二次函數(shù)與最大利潤問題 教學案例

二次函數(shù)與最大利潤問題教學案例課題二次函數(shù)與最大利潤問題學習目標知識技能能夠?qū)⑤^簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，分析和表示實際問題中的變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a>0和a<0的關(guān)系求實際問題的最大（?。┲?，增強解題能力。過程與方法.能夠分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大（?。┲?發(fā)展學生解決問題的能力，學會用建模的思想去解決其他和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題。.通過觀察圖象,理解頂點的特殊性,會把實際問題中的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，通過動手動腦，提高分析、解決問題的能力并體會一般與特殊的關(guān)系培養(yǎng)函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想。情感態(tài)度與價值觀經(jīng)歷銷售中最大利」?jié)檰栴}的探究過程，發(fā)展學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)不怕困難的品質(zhì)，發(fā)展合作意識和科學精神。教學重、難點重點：運用二次函數(shù)的知識分析并解決生活中的利潤問題難點：學會分析問題，列出函數(shù)解析式，并運用函數(shù)模型思想和數(shù)形結(jié)合思想解決問題。教具多媒體教法引導--—探究--一發(fā)現(xiàn)（續(xù)表）教學過程教學步驟師生活動設(shè)計意圖一：溫故知新1、二次函數(shù)y=3（x-6-1的頂點坐標是 ,當x 時，y隨著x的增大而增大，當x 時，y隨著x的增大而減小，當x 時，y有最小值。2、拋物線y=—x2+4x的頂點坐標是 ，對稱軸直線為 ，當x 時，y有最 ，最 值是。師生活動：學生自主進行解答，教師點評。復習二次函數(shù)的性質(zhì)，為學習新課做好準備.

:新課導入【課堂引入】問題：服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤成本是每件10元，根據(jù)市場調(diào)查，以單價13元批發(fā)經(jīng)銷商，服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤衫，每件的成本10元，根據(jù)市場調(diào)查，以單價13元批發(fā)給經(jīng)銷商，經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷5000件，并且表示每件降價0.1元，愿意多經(jīng)銷500件，請你幫助分析：廠家批發(fā)單價是多少時可以獲利最多？師生活動：教師引導學生提出以下問題：（1）單位利潤二售價-進價。每件成本為10元，批發(fā)價為13元，這時每件可以獲利多少元？（2）經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷5000件時，廠家可以獲利多少元？（3）為什么降價后經(jīng)銷商可'以多售出一些T恤？（4）降價0.1元后，批發(fā)價為多少？銷售量為多少？所獲得利潤是多少？（5）降價0.2元后，批發(fā)價為多少？銷售量為多少？所獲得利潤是多少？（6）降價x元后，批發(fā)價為多少？銷售量為多少？所獲得利潤是多少？（7）x的取值有條件限制嗎？（8）還有第二種解法嗎？結(jié)合生活實例，引導學生思考，培養(yǎng)學生探究意識和解決實際問題的能力.教師對問題的引導一步一步地遞進，能促使學生有條不紊地理清思路，較快地列出函數(shù)解析式。三. *.:新知探究【新知探究】學生活動：針對課堂引入的問題進行分小組討論。經(jīng)過討論后得出結(jié)果，教師板書，并糾正學生回答中的錯誤。設(shè)批發(fā)價降低0.1x元，則批發(fā)價為（13-0.1x）元;銷售量為（5000+500X）件。銷售額為（13-0.1x）（5000+500X）元。因為xN0，13-0.1xN0，所以0WxW301、通過解答此題，使學:生會根據(jù)“總利潤=單位利潤義數(shù)量”，列出函數(shù)解析式解決有關(guān)的禾1」?jié)檰栴}。解：設(shè)每件降價x元，利潤為y元.根據(jù)題意，得y=（13-0.1x-10）（5000+500x）=—50（x—10）2+20000（0WxW30）.因為a=—50<0,所以函數(shù)有最大值.當x=10時，y有最大值為20000.因此，當批發(fā)價為12元時，可以獲得最大利潤20000元。還有其他解法嗎？有的學生設(shè)批發(fā)價為x元，建立不同的函數(shù)模型。2、通過解答此題，讓學生體會函數(shù)模型在同一個問題中的不同解法及不同情況下又如何解，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，提高解題的靈

新知

探究四：知識

運用設(shè)批發(fā)價為x元，那么銷售量(5000+500X13—6件新知

探究四：知識

運用即(70000-5000X)件，銷售額為(70000-5000X)x元，10WxW13,設(shè)獲得的利潤為y元，則y二(70000-5000x)(x-10)=—5000a—12)2+20000當批發(fā)價為12元時，可以獲得最大利潤20000元。比較兩種方法的異同，你發(fā)現(xiàn)了什么？畫出函數(shù)y=—5000(x—12)2+20000的圖象的草圖，從圖中發(fā)現(xiàn)了什么？引導學生對圖象進行觀察發(fā)現(xiàn)：批發(fā)價下降過程中，利潤先是不斷增大，到達最大值后又不斷減小，批發(fā)價為10元時利潤值將為0。繼續(xù)提問：如果批發(fā)量不能少于15000件時，那么如何確定批發(fā)價可以獲得最大利潤？你是怎么知道的？學生思考后回答?！緫?yīng)用舉例】某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時，每天都客滿.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日租金增加10元，那么客房每天出租數(shù)會減少6間.不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？解題思路：⑴確定自變量和函數(shù)；⑵表示出單位利潤和銷售數(shù)量；⑶利用利潤公式列出函數(shù)解析式；⑷運用頂點公式求出最值。方法一：設(shè)每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數(shù)會減少6x間.設(shè)客房的日租金總收入為y元，則y=(160+10x)(120—6x)=—60(x—2)2+19440。Vx^0,且120—6x>0,???0Wx<20.當x=2時，y目=19440。這時每間客房的大日租金為160+10X2=180(元)。因此，每間客房的日租金提高到180元時，客房總收入最高，最高收入為19440元。方法二：設(shè)每間客房的日租金為x元，則每天客房出租x—160數(shù)會減少(120—々尸6)間.設(shè)客房的日租金總收入活性。3、在草稿上畫出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合圖象解決問題，可以直觀明了的解決問題。有針對性的練

習，有利于鞏

固提高。為y活性。3、在草稿上畫出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合圖象解決問題，可以直觀明了的解決問題。有針對性的練

習，有利于鞏

固提高。義—160y-x(120-I。X6)=—0.6(x—180)2+19440。因此，每間客房的日租金提高到180兀時，客房總收入最高，最高收入為19440元。(續(xù)表)五：變式拓展(2010?武漢)某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用.根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元.設(shè)每個房間的房價增加x元(x為10的正整數(shù)倍)。(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；⑵設(shè)賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？分析：本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，特別容易出現(xiàn)的錯誤是在求最值時不考慮自變量x的取值范圍，直接求頂點坐標。(1)理解每個房間的房價每增加x元，則減少房間二間，則可以得到y(tǒng)與x之間的關(guān)系；10⑵每個房間訂住后每間的利潤是房價減去20元，每間的利潤與所訂的房間數(shù)的積就是利潤；⑶求出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及x的范圍即可求解。解題過程：解：⑴由題意得：y=50——,且(0WxW160,且x10為10的正整數(shù)倍)w=(180-20+X)|50-—|=-—:t-+34;c+8000"ImJ10w=—1x2+34x+8000=—1(x—17。1+1089010 10拋物線的對稱軸是：x=-b=170，拋物線的開口向2a下，當x<170時，w隨x的增大而增大，但0WxW160,因而當x=160時，即房價是340元時，利潤最本題是對上一題的變式，其易錯點在于沒能充分考慮自變量x的取值范圍(x為10的正整數(shù)倍)。分析題目中的每個問題，理清思路，整理出解題過程。

大，此時一天訂住的房間數(shù)是:50-(160?10)=34間，最大利潤是：34X(340-20)=10880元.答:一天訂住34個房間時，賓館每天利潤最大，最大禾1」?jié)櫈?0880元。(續(xù)表)【聯(lián)系拓展】1、我區(qū)“東華”超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元)(我x》30)存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系。?試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；0設(shè)超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？十六：

綜合應(yīng)用20口 六：

綜合應(yīng)用jIII_二一j_il= ,一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題是對己學知識的延伸，進一步培養(yǎng)學生實際應(yīng)用能力和提高發(fā)散思維能力.~1020304050工嗨一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題是對己學知識的延伸，進一步培養(yǎng)學生實際應(yīng)用能力和提高發(fā)散思維能力.師生活動：學生小組內(nèi)討論、交流，教師參與小組合作，并引導學生理清解題思路。教師做好總結(jié)和展示：(1)設(shè)y=kx+b,由圖象可知，r/t=-20解之得：???y=-20x+1000(30WxW50,不寫自變量取值范圍不扣分).(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)=-20x2+1400x-20000.Va=-20<0,

???p有最大值。當X=—1400=35時，P=4500.2x(-20) 最大值即當銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大前」?jié)?500元.(3)31WxW34或36WxW39.(續(xù)表)七：課堂小結(jié).課堂總結(jié)：(1)本節(jié)課你學到了什么，有哪些收獲？(2)學習本節(jié)課后，你還有哪些困惑？.布置作業(yè)：教材第50習題2.9第1,2題.通過提問，學生回答，能使學生學會總結(jié)，提高學習能力。知識要點1、y=ax2+bx+c(a=0)的最大(小)值與a的關(guān)系。2、利潤問題的等量關(guān)系：單件利潤二售價-進價總利潤二單件利潤又數(shù)量梳理要點，突出重點八：教學反思【教學反思】1、本節(jié)課采用“引導一探究一發(fā)現(xiàn)”的教學方式，結(jié)合T恤衫的銷售問題，通過師生互動、