二次函數(shù)與最大利潤(rùn)問(wèn)題 教學(xué)案例

二次函數(shù)與最大利潤(rùn)問(wèn)題教學(xué)案例課題二次函數(shù)與最大利潤(rùn)問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)技能能夠?qū)⑤^簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析和表示實(shí)際問(wèn)題中的變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a>0和a<0的關(guān)系求實(shí)際問(wèn)題的最大（?。┲?，增強(qiáng)解題能力。過(guò)程與方法.能夠分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問(wèn)題的最大（?。┲?發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)用建模的思想去解決其他和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題。.通過(guò)觀察圖象,理解頂點(diǎn)的特殊性,會(huì)把實(shí)際問(wèn)題中的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，提高分析、解決問(wèn)題的能力并體會(huì)一般與特殊的關(guān)系培養(yǎng)函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)歷銷售中最大利」?jié)檰?wèn)題的探究過(guò)程，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)不怕困難的品質(zhì)，發(fā)展合作意識(shí)和科學(xué)精神。教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)分析并解決生活中的利潤(rùn)問(wèn)題難點(diǎn)：學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，列出函數(shù)解析式，并運(yùn)用函數(shù)模型思想和數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題。教具多媒體教法引導(dǎo)--—探究--一發(fā)現(xiàn)（續(xù)表）教學(xué)過(guò)程教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一：溫故知新1、二次函數(shù)y=3（x-6-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,當(dāng)x 時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x 時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x 時(shí)，y有最小值。2、拋物線y=—x2+4x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對(duì)稱軸直線為 ，當(dāng)x 時(shí)，y有最 ，最 值是。師生活動(dòng)：學(xué)生自主進(jìn)行解答，教師點(diǎn)評(píng)。復(fù)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)，為學(xué)習(xí)新課做好準(zhǔn)備.

:新課導(dǎo)入【課堂引入】問(wèn)題：服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤成本是每件10元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)13元批發(fā)經(jīng)銷商，服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤衫，每件的成本10元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)13元批發(fā)給經(jīng)銷商，經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷5000件，并且表示每件降價(jià)0.1元，愿意多經(jīng)銷500件，請(qǐng)你幫助分析：廠家批發(fā)單價(jià)是多少時(shí)可以獲利最多？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生提出以下問(wèn)題：（1）單位利潤(rùn)二售價(jià)-進(jìn)價(jià)。每件成本為10元，批發(fā)價(jià)為13元，這時(shí)每件可以獲利多少元？（2）經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷5000件時(shí)，廠家可以獲利多少元？（3）為什么降價(jià)后經(jīng)銷商可'以多售出一些T恤？（4）降價(jià)0.1元后，批發(fā)價(jià)為多少？銷售量為多少？所獲得利潤(rùn)是多少？（5）降價(jià)0.2元后，批發(fā)價(jià)為多少？銷售量為多少？所獲得利潤(rùn)是多少？（6）降價(jià)x元后，批發(fā)價(jià)為多少？銷售量為多少？所獲得利潤(rùn)是多少？（7）x的取值有條件限制嗎？（8）還有第二種解法嗎？結(jié)合生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.教師對(duì)問(wèn)題的引導(dǎo)一步一步地遞進(jìn)，能促使學(xué)生有條不紊地理清思路，較快地列出函數(shù)解析式。三. *.:新知探究【新知探究】學(xué)生活動(dòng)：針對(duì)課堂引入的問(wèn)題進(jìn)行分小組討論。經(jīng)過(guò)討論后得出結(jié)果，教師板書(shū)，并糾正學(xué)生回答中的錯(cuò)誤。設(shè)批發(fā)價(jià)降低0.1x元，則批發(fā)價(jià)為（13-0.1x）元;銷售量為（5000+500X）件。銷售額為（13-0.1x）（5000+500X）元。因?yàn)閤N0，13-0.1xN0，所以0WxW301、通過(guò)解答此題，使學(xué):生會(huì)根據(jù)“總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)義數(shù)量”，列出函數(shù)解析式解決有關(guān)的禾1」?jié)檰?wèn)題。解：設(shè)每件降價(jià)x元，利潤(rùn)為y元.根據(jù)題意，得y=（13-0.1x-10）（5000+500x）=—50（x—10）2+20000（0WxW30）.因?yàn)閍=—50<0,所以函數(shù)有最大值.當(dāng)x=10時(shí)，y有最大值為20000.因此，當(dāng)批發(fā)價(jià)為12元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)20000元。還有其他解法嗎？有的學(xué)生設(shè)批發(fā)價(jià)為x元，建立不同的函數(shù)模型。2、通過(guò)解答此題，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)模型在同一個(gè)問(wèn)題中的不同解法及不同情況下又如何解，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高解題的靈

新知

探究四：知識(shí)

運(yùn)用設(shè)批發(fā)價(jià)為x元，那么銷售量(5000+500X13—6件新知

探究四：知識(shí)

運(yùn)用即(70000-5000X)件，銷售額為(70000-5000X)x元，10WxW13,設(shè)獲得的利潤(rùn)為y元，則y二(70000-5000x)(x-10)=—5000a—12)2+20000當(dāng)批發(fā)價(jià)為12元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)20000元。比較兩種方法的異同，你發(fā)現(xiàn)了什么？畫(huà)出函數(shù)y=—5000(x—12)2+20000的圖象的草圖，從圖中發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖象進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)：批發(fā)價(jià)下降過(guò)程中，利潤(rùn)先是不斷增大，到達(dá)最大值后又不斷減小，批發(fā)價(jià)為10元時(shí)利潤(rùn)值將為0。繼續(xù)提問(wèn)：如果批發(fā)量不能少于15000件時(shí)，那么如何確定批發(fā)價(jià)可以獲得最大利潤(rùn)？你是怎么知道的？學(xué)生思考后回答?！緫?yīng)用舉例】某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時(shí)，每天都客滿.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日租金增加10元，那么客房每天出租數(shù)會(huì)減少6間.不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高到多少元時(shí)，客房日租金的總收入最高？解題思路：⑴確定自變量和函數(shù)；⑵表示出單位利潤(rùn)和銷售數(shù)量；⑶利用利潤(rùn)公式列出函數(shù)解析式；⑷運(yùn)用頂點(diǎn)公式求出最值。方法一：設(shè)每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數(shù)會(huì)減少6x間.設(shè)客房的日租金總收入為y元，則y=(160+10x)(120—6x)=—60(x—2)2+19440。Vx^0,且120—6x>0,???0Wx<20.當(dāng)x=2時(shí)，y目=19440。這時(shí)每間客房的大日租金為160+10X2=180(元)。因此，每間客房的日租金提高到180元時(shí)，客房總收入最高，最高收入為19440元。方法二：設(shè)每間客房的日租金為x元，則每天客房出租x—160數(shù)會(huì)減少(120—々尸6)間.設(shè)客房的日租金總收入活性。3、在草稿上畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合圖象解決問(wèn)題，可以直觀明了的解決問(wèn)題。有針對(duì)性的練

習(xí)，有利于鞏

固提高。為y活性。3、在草稿上畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合圖象解決問(wèn)題，可以直觀明了的解決問(wèn)題。有針對(duì)性的練

習(xí)，有利于鞏

固提高。義—160y-x(120-I。X6)=—0.6(x—180)2+19440。因此，每間客房的日租金提高到180兀時(shí)，客房總收入最高，最高收入為19440元。(續(xù)表)五：變式拓展(2010?武漢)某賓館有50個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340元.設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)增加x元(x為10的正整數(shù)倍)。(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；⑵設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)一天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？分析：本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，特別容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是在求最值時(shí)不考慮自變量x的取值范圍，直接求頂點(diǎn)坐標(biāo)。(1)理解每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每增加x元，則減少房間二間，則可以得到y(tǒng)與x之間的關(guān)系；10⑵每個(gè)房間訂住后每間的利潤(rùn)是房?jī)r(jià)減去20元，每間的利潤(rùn)與所訂的房間數(shù)的積就是利潤(rùn)；⑶求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及x的范圍即可求解。解題過(guò)程：解：⑴由題意得：y=50——,且(0WxW160,且x10為10的正整數(shù)倍)w=(180-20+X)|50-—|=-—:t-+34;c+8000"ImJ10w=—1x2+34x+8000=—1(x—17。1+1089010 10拋物線的對(duì)稱軸是：x=-b=170，拋物線的開(kāi)口向2a下，當(dāng)x<170時(shí)，w隨x的增大而增大，但0WxW160,因而當(dāng)x=160時(shí)，即房?jī)r(jià)是340元時(shí)，利潤(rùn)最本題是對(duì)上一題的變式，其易錯(cuò)點(diǎn)在于沒(méi)能充分考慮自變量x的取值范圍(x為10的正整數(shù)倍)。分析題目中的每個(gè)問(wèn)題，理清思路，整理出解題過(guò)程。

大，此時(shí)一天訂住的房間數(shù)是:50-(160?10)=34間，最大利潤(rùn)是：34X(340-20)=10880元.答:一天訂住34個(gè)房間時(shí)，賓館每天利潤(rùn)最大，最大禾1」?jié)櫈?0880元。(續(xù)表)【聯(lián)系拓展】1、我區(qū)“東華”超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元)(我x》30)存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系。?試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；0設(shè)超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)P元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？十六：

綜合應(yīng)用20口 六：

綜合應(yīng)用jIII_二一j_il= ,一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題是對(duì)己學(xué)知識(shí)的延伸，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力和提高發(fā)散思維能力.~1020304050工嗨一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題是對(duì)己學(xué)知識(shí)的延伸，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力和提高發(fā)散思維能力.師生活動(dòng)：學(xué)生小組內(nèi)討論、交流，教師參與小組合作，并引導(dǎo)學(xué)生理清解題思路。教師做好總結(jié)和展示：(1)設(shè)y=kx+b,由圖象可知，r/t=-20解之得：???y=-20x+1000(30WxW50,不寫自變量取值范圍不扣分).(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)=-20x2+1400x-20000.Va=-20<0,

???p有最大值。當(dāng)X=—1400=35時(shí)，P=4500.2x(-20) 最大值即當(dāng)銷售單價(jià)為35元/千克時(shí)，每天可獲得最大前」?jié)?500元.(3)31WxW34或36WxW39.(續(xù)表)七：課堂小結(jié).課堂總結(jié)：(1)本節(jié)課你學(xué)到了什么，有哪些收獲？(2)學(xué)習(xí)本節(jié)課后，你還有哪些困惑？.布置作業(yè)：教材第50習(xí)題2.9第1,2題.通過(guò)提問(wèn)，學(xué)生回答，能使學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)，提高學(xué)習(xí)能力。知識(shí)要點(diǎn)1、y=ax2+bx+c(a=0)的最大(小)值與a的關(guān)系。2、利潤(rùn)問(wèn)題的等量關(guān)系：?jiǎn)渭麧?rùn)二售價(jià)-進(jìn)價(jià)總利潤(rùn)二單件利潤(rùn)又?jǐn)?shù)量梳理要點(diǎn)，突出重點(diǎn)八：教學(xué)反思【教學(xué)反思】1、本節(jié)課采用“引導(dǎo)一探究一發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)方式，結(jié)合T恤衫的銷售問(wèn)題，通過(guò)師生互動(dòng)、