新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修1精講精練

第1講§集合的含義與表示¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過實(shí)例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言〔列舉法或描述法〕描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個特征.¤知識要點(diǎn)：1.把一些元素組成的總體叫作集合〔set〕，其元素具有三個特征，即確定性、互異性、無序性.2.集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來，根本形式為，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，根本形式為，既要關(guān)注代表元素x，也要把握其屬性，適用于無限集.3.通常用大寫拉丁字母表示集合.要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集N，正整數(shù)集或，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R.4.元素與集合之間的關(guān)系是屬于〔belongto〕與不屬于〔notbelongto〕，分別用符號、表示，例如，.¤例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示以下集合：〔1〕由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；〔2〕大于2且小于7的整數(shù).解：〔1〕用描述法表示為：；用列舉法表示為.〔2〕用描述法表示為：；用列舉法表示為.【例2】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨海?，那么有?7A；－5A解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希骸步滩腜6練習(xí)題2，P13A組題4〕〔1〕一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合；〔2〕二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合；〔3〕反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合.解：〔1〕.〔2〕.〔3〕.點(diǎn)評：以上代表元素，分別是點(diǎn)、函數(shù)值、自變量.在解題中不能把點(diǎn)的坐標(biāo)混淆為，也注意比照〔2〕與〔3〕中的兩個集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質(zhì)上不同，分析時一定要細(xì)心.*【例4】集合，試用列舉法表示集合A．解：化方程為：．應(yīng)分以下三種情況：⑴方程有等根且不是：由△=0，得，此時的解為，合．⑵方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解，合．⑶方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解為，合．綜上可知，．點(diǎn)評：運(yùn)用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示.注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.第1練§集合的含義與表示※根底達(dá)標(biāo)1．以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是〔B〕.A.中國古代四大創(chuàng)造B.地球上的小河流C.方程的實(shí)數(shù)解D.周長為10cm的三角形2．方程組的解集是〔C〕.A.B.C.D.3．給出以下關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的個數(shù)是〔C〕.A.1B.2C.3D.44．有以下說法：〔1〕0與{0}表示同一個集合；〔2〕由1,2,3組成的集合可表示為或{3，2，1}；〔3〕方程的所有解的集合可表示為{1，1，2}；〔4〕集合是有限集.其中正確的說法是〔C〕.A.只有〔1〕和〔4〕B.只有〔2〕和〔3〕C.只有〔2〕D.以上四種說法都不對5．以下各組中的兩個集合M和N,表示同一集合的是〔D〕.A.,B.,C.,D.,6．實(shí)數(shù)，集合，那么a與B的關(guān)系是.7．，那么集合中元素x所應(yīng)滿足的條件為.※能力提高8．試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希骸?〕二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合；〔2〕函數(shù)的自變量的值組成的集合.答案：〔1〕；〔2〕9．集合，試用列舉法表示集合A.答案：提示：分等情況.※探究創(chuàng)新10．給出以下集合：①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠-3}；②③；④{(x，y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}．其中不能表示“在直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，除去點(diǎn)〔1，1〕，〔2，-3〕之外的所有點(diǎn)的集合”的序號有.答案：④提示：集合①與②是等價的，它們均表示除去了四條直線外的所有的點(diǎn)；集合③表示整個坐標(biāo)平面；集合④不能表示點(diǎn)〔1，1〕、〔2，-3〕，集合④能表示所指定的集合．第2講§集合間的根本關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義；能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.¤知識要點(diǎn)：1.一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，那么說兩個集合有包含關(guān)系，其中集合A是集合B的子集〔subset〕，記作〔或〕，讀作“A含于B”〔或“B包含A”〕.2.如果集合A是集合B的子集〔〕，且集合B是集合A的子集〔〕，即集合A與集合B的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，記作.3.如果集合，但存在元素，且，那么稱集合A是集合B的真子集〔propersubset〕，記作AB〔或BA〕.4.不含任何元素的集合叫作空集〔emptyset〕，記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.5.性質(zhì)：；假設(shè)，，那么；假設(shè)，那么；假設(shè)，那么.¤例題精講：【例1】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨骸?〕{菱形}{平行四邊形}；{等腰三角形}{等邊三角形}.〔2〕；0{0}；{0}；N{0}.解：〔1〕，；〔2〕=，∈，，.BA．B．C．D．【例2】設(shè)集合，那么以下圖形能表示A與BBA．B．C．D．解：簡單列舉兩個集合的一些元素，，，易知BA，故答案選A．另解：由，易知BA，故答案選A．【例3】假設(shè)集合，且，求實(shí)數(shù)的值.解：由，因此，.〔=1\*romani〕假設(shè)時，得，此時，；〔=2\*romanii〕假設(shè)時，得.假設(shè),滿足，解得.故所求實(shí)數(shù)的值為或或.點(diǎn)評：在考察“”這一關(guān)系時，不要忘記“”，因?yàn)闀r存在.從而需要分情況討論.題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進(jìn)行.【例4】集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}.假設(shè)A=B，求實(shí)數(shù)x的值.解：假設(shè)a+ax2-2ax=0,所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.當(dāng)a=0時，集合B中的元素均為0，故舍去；當(dāng)x=1時，集合B2ax2-ax-a=0.因?yàn)閍≠0，所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0.又x≠1，所以只有.經(jīng)檢驗(yàn)，此時A=B成立.綜上所述.點(diǎn)評：抓住集合相等的定義，分情況進(jìn)行討論.融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合.第2練§集合間的根本關(guān)系※根底達(dá)標(biāo)1．集合,那么A與B之間最適合的關(guān)系是〔D〕.A.B.C.ABD.AB2．設(shè)集合，，假設(shè)，那么的取值范圍是〔D〕.A．B．C．D．3．假設(shè)，那么的值為〔A〕.A.0B.1C.D.24．集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z}.假設(shè)x0∈M，那么x0與N的關(guān)系是〔A〕.A.x0∈NB.x0NC.x0∈N或x0N5．集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，假設(shè)QP，那么a的值是〔D〕.A.1B.－1C.1或－1D.0，1或－16．集合，那么集合A的真子集的個數(shù)是.7個7．當(dāng)時，a=_________，b=_________.－1，0※能力提高8．A={2,3}，M={2,5,}，N={1,3,}，AM，且AN，求實(shí)數(shù)a的值.答案：.提示：聯(lián)合及求解9．集合，.假設(shè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.答案：〔注意區(qū)間端點(diǎn)及B=〕※探究創(chuàng)新10．集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一個子集，當(dāng)x∈A時，假設(shè)有x-1A且x+1A，那么稱x為A的一個“孤立元素”，寫出S中所有無“孤立元素”的4元子集.解：依題意可知，“孤立元素x”是沒有與x相鄰的，非“孤立元素x”是指在集合中有與x相鄰的元素．因此所求問題的集合可分成如下兩類：〔1〕4個元素連續(xù)的，有3個：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；〔2〕4個元素分兩組，每組兩個連續(xù)的，也有3個：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．第3講§集合的根本運(yùn)算〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.¤知識要點(diǎn)：集合的根本運(yùn)算有三種，即交、并、補(bǔ)，學(xué)習(xí)時先理解概念，并掌握符號等，再結(jié)合解題的訓(xùn)練，而到達(dá)掌握的層次.下面以表格的形式歸納三種根本運(yùn)算如下.并集交集補(bǔ)集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集〔unionset〕由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集〔intersectionset〕對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集〔complementaryset〕記號〔讀作“A并B”〕〔讀作“A交B”〕〔讀作“A的補(bǔ)集”〕符號圖形表示UUA¤例題精講：【例1】設(shè)集合.AB-1359xAB-1359x，，【例2】設(shè)，，求：〔1〕；〔2〕.解：.〔1〕又，∴；〔2〕又，得.∴.【例3】集合，，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.-24mxBA-24mBA4m在數(shù)軸上表示集合A與集合B，如右圖所示：由圖形可知，.點(diǎn)評：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關(guān)系，得到各端點(diǎn)之間的關(guān)系，特別要注意是否含端點(diǎn)的問題.【例4】全集，，，求，，，，并比擬它們的關(guān)系.解：由，那么.由，那么由，，那么，.由計算結(jié)果可以知道，，.另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.點(diǎn)評：可用Venn圖研究與，在理解的根底記住此結(jié)論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第3練§集合的根本運(yùn)算〔一〕※根底達(dá)標(biāo)1．全集,，那么〔C〕.A.B.C.D.2．假設(shè)，那么〔D〕.A.B.C.D.3．右圖中陰影局部表示的集合是〔A〕.A.B.C.D.4．假設(shè)，那么〔C〕.A.B.C.D.5．設(shè)集合,，假設(shè)，那么的取值范圍是〔B〕.A．B．C．D．6．設(shè)全集，，,那么=.7．集合，那么集合=.※能力提高8．設(shè)全集，假設(shè)，，，求集合A、B.答案：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.提示：由Venn圖可知.9．設(shè)，，，求、.答案：,※探究創(chuàng)新10．設(shè)集合，.〔1〕求，；〔2〕假設(shè)，求實(shí)數(shù)a的值；〔3〕假設(shè)，那么的真子集共有個,集合P滿足條件，寫出所有可能的集合P.解：〔1〕.當(dāng)時，，那么，；當(dāng)時，，那么，；當(dāng)且時，，那么，.〔2〕假設(shè)，由上易知或.〔3〕當(dāng)時，，，其真子集有7個.，那么滿足的集合P有：.第4講§集合的根本運(yùn)算〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握集合、交集、并集、補(bǔ)集的有關(guān)性質(zhì)，運(yùn)行性質(zhì)解決一些簡單的問題；掌握集合運(yùn)算中的一些數(shù)學(xué)思想方法.¤知識要點(diǎn)：1.含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域，分別對應(yīng)著這兩個集合運(yùn)算的結(jié)果.我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運(yùn)算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運(yùn)算.通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：,.2.集合元素個數(shù)公式：.3.在研究集合問題時，常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等.也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.¤例題精講：【例1】設(shè)集合，假設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.解：由于，且，那么有：當(dāng)解得，此時，不合題意，故舍去；當(dāng)時，解得.不合題意，故舍去；，合題意.所以，.【例2】設(shè)集合，，求,.〔教材P14B組題2〕解：.當(dāng)時，，那么，；當(dāng)時，，那么，；當(dāng)時，，那么，；當(dāng)且且時，，那么，.點(diǎn)評：集合A含有參數(shù)a，需要對參數(shù)a進(jìn)行分情況討論.羅列參數(shù)a的各種情況時，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運(yùn)算結(jié)果的可能而進(jìn)行分析，不多不少是分類的原那么.【例3】設(shè)集合A={|}，B={|，}，假設(shè)AB=B，求實(shí)數(shù)的值．解：先化簡集合A=.由AB=B，那么BA，可知集合B可為，或?yàn)閧0}，或{－4}，或.(i)假設(shè)B=，那么，解得＜；(ii)假設(shè)B，代入得=0=1或=， 當(dāng)=1時，B=A，符合題意；當(dāng)=時，B={0}A，也符合題意．(iii)假設(shè)－4B，代入得=7或=1， 當(dāng)=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當(dāng)=7時，B={－12，－4}，不符合題意．綜上可得，=1或≤．點(diǎn)評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用.通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系，可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學(xué)中的化歸思想，是重要數(shù)學(xué)思想方法．解該題時，特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了A=B和B=的情形，從而造成錯誤．這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題.【例4】對集合A與B，假設(shè)定義，當(dāng)集合，集合時，有=.〔由教材P12補(bǔ)集定義“集合A相對于全集U的補(bǔ)集為”而拓展〕解：根據(jù)題意可知，，由定義，那么.點(diǎn)評：運(yùn)用新定義解題是學(xué)習(xí)能力的開展，也是一種創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，關(guān)鍵是理解定義的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含義是從A中排除B的元素.如果再給定全集U，那么也相當(dāng)于.第4練§集合的根本運(yùn)算〔二〕※根底達(dá)標(biāo)1．集合A=,B=,那么A與B的關(guān)系是〔B〕.A.A=BB.ABC.ABD.A∪B=2．為非零實(shí)數(shù),代數(shù)式的值所組成的集合為M,那么以下判斷正確的選項(xiàng)是〔D〕.A.B.C.D.3．1〕，，，那么〔B〕.A．B.C．D.4．定義集合A、B的一種運(yùn)算：，假設(shè)，，那么中的所有元素數(shù)字之和為〔B〕.A．9B.14C.18D.215．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，與都是U的子集〔如右圖所示〕，那么陰影局部所表示的集合為〔A〕. A. B.C. D.6．集合，，且滿足，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.7．經(jīng)統(tǒng)計知，某村有的家庭有35家，有農(nóng)用三輪車的家庭有65家，既有又有農(nóng)用三輪車的家庭有20家，那么和農(nóng)用三輪車至少有一種的家庭數(shù)為.80提示：結(jié)合文氏圖，易知，那么※能力提高8．集合，，且，求．答案：9．集合U=，A={|+1|，2}，={+3}，求實(shí)數(shù)的值.答案：提示：由集合元素的特征列方程組而解.※探究創(chuàng)新10．〔1〕給定集合A、B，定義A※B={x|x=m-n，m∈A，n∈B}．假設(shè)A={4，5，6}，B={1，2，3}，那么集合A※B中的所有元素之和為 〔〕A．15 B．14 C．29 D．-14〔2〕設(shè)全集為U，集合A、B是U的子集，定義集合A、B的運(yùn)算：A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，那么(A*B)*A等于〔〕A．A B．B C． D．〔3〕集合A={|且，N，N*，≤100}，試求出集合A的元素之和.答案：〔1〕A※B={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案選A．〔2〕先將A*B化簡即得A*B={x|x∈A∪B，且xA∩B}=．∴(A*B)*A={x|x∈(A*B)∪A，且x(A*B)∩A}={x|x∈A∪B，且x}=B．〔3〕S＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234第5講§函數(shù)的概念¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此根底上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.¤知識要點(diǎn)：1.設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)〔function〕，記作=，．其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域〔domain〕，與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域〔range〕.2.設(shè)a、b是兩個實(shí)數(shù)，且a<b，那么：{x|a≤x≤b}＝[a,b]叫閉區(qū)間；{x|a<x<b}＝(a,b)叫開區(qū)間；{x|a≤x<b}＝，{x|a<x≤b}＝，都叫半開半閉區(qū)間.符號：“∞”讀“無窮大”；“－∞”讀“負(fù)無窮大”；“+∞”讀“正無窮大”.那么，，，，.3.決定函數(shù)的三個要素是定義域、值域和對應(yīng)法那么.當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)定義域、對應(yīng)法那么分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù).¤例題精講：【例1】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，解得且，所以原函數(shù)定義域?yàn)?〔2〕由，解得且，所以原函數(shù)定義域?yàn)?【例2】求以下函數(shù)的定義域與值域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕要使函數(shù)有意義，那么，解得.所以原函數(shù)的定義域是.，所以值域?yàn)?〔2〕.所以原函數(shù)的定義域是R，值域是.【例3】函數(shù).求：〔1〕的值；〔2〕的表達(dá)式解：〔1〕由，解得，所以.〔2〕設(shè)，解得，所以，即.點(diǎn)評：此題解法中突出了換元法的思想.這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結(jié)合換元法、特值代入、方程思想等.【例4】函數(shù).〔1〕求的值；〔2〕計算：.解：〔1〕由.〔2〕原式點(diǎn)評：對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實(shí)施巧算.正確探索出前一問的結(jié)論，是解答后一問的關(guān)鍵.第5練§函數(shù)的概念※根底達(dá)標(biāo)1．以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是〔C〕. A. B. C. D.2．函數(shù)的定義域?yàn)椤睤〕.A. B.C.D.xy0-22xy0-222xy0xy0-22xy0-222xy0-222xy0-222A.B.C.D.4．以下四個圖象中，不是函數(shù)圖象的是〔B〕.A.B.C.D.A.B.C.D.5．函數(shù)的定義域?yàn)?，那么的定義域?yàn)椤睠〕. A． B． C． D．6．＝＋x＋1，那么＝______；f［］＝______．3＋,577．，那么=.－1※能力提高8．〔1〕求函數(shù)的定義域；〔2〕求函數(shù)的定義域與值域.答案：〔1〕；〔2〕定義域，值域.9．，，且，試求的表達(dá)式.答案：※探究創(chuàng)新10．函數(shù)，同時滿足：；，，，求的值.解：令得.再令，即得.假設(shè)，令時，得不合題意，故；，即，所以；那么，.第6講§函數(shù)的表示法¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā矆D象法、列表法、解析法〕表示函數(shù)；通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；了解映射的概念.¤知識要點(diǎn)：1.函數(shù)有三種表示方法：解析法〔用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量可求函數(shù)值〕；圖象法〔用圖象表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反響變化趨勢〕；列表法〔列出表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：不需計算就可看出函數(shù)值〕.2.分段函數(shù)的表示法與意義〔一個函數(shù)，不同范圍的x，對應(yīng)法那么不同〕.3.一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法那么f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一個映射〔mapping〕．記作“”.判別一個對應(yīng)是否映射的關(guān)鍵：A中任意，B中唯一；對應(yīng)法那么f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_____，這個函數(shù)的定義域?yàn)開______．解：盒子的高為x，長、寬為，所以體積為V＝.又由，解得.所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是，定義域?yàn)?【例2】f(x)=，求f[f(0)]的值.解：∵，∴f(0)=.又∵>1，∴f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.【例3】畫出以下函數(shù)的圖象：〔1〕；〔教材P26練習(xí)題3〕〔2〕.解：〔1〕由絕對值的概念，有.所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.〔2〕，所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.點(diǎn)評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，當(dāng)時，寫出的解析式，并作出函數(shù)的圖象.解：.函數(shù)圖象如右：點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是理解符號的概念，抓住分段函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)式.第6練§函數(shù)的表示法※根底達(dá)標(biāo)1．函數(shù)f(x)=，那么=〔B〕. A.1B.2C.3D.42．某同學(xué)從家里到學(xué)校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的路，設(shè)在途中花的時間為t，離開家里的路程為d，下面圖形中，能反映該同學(xué)的行程的是〔C〕.OOdtOdtOdtOdtA.B.C.D.3．函數(shù)滿足，且，，那么等于〔B〕. A. B. C. D.4．設(shè)集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，從A到B的對應(yīng)法那么f不是映射的是〔A〕. A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x5．?dāng)M定從甲地到乙地通話分鐘的話費(fèi)由給出，其中是不超過的最大整數(shù)，如：，從甲地到乙地通話分鐘的話費(fèi)是〔C〕. A.3.71B.4.24C.4.77D.6．函數(shù)且此函數(shù)圖象過點(diǎn)〔1，5〕，實(shí)數(shù)m的值為.47．0；假設(shè)4.※能力提高8．畫出以下函數(shù)的圖象：〔1〕；〔2〕.9．設(shè)二次函數(shù)滿足且=0的兩實(shí)根平方和為10，圖象過點(diǎn)(0,3)，求的解析式答案：※探究創(chuàng)新10．〔1〕設(shè)集合，.試問：從A到B的映射共有幾個？〔2〕集合A有元素m個，集合B有元素n個，試問：從A到B的映射共有幾個？解：〔1〕按映射定義，可以允許多對一，從而依次按三對一、二對一、一對一的情況作出映射圖示，共有8種.〔2〕依據(jù)從A到B的映射定義，集合A的每一個元素都對應(yīng)著B中的一個元素，有n種可能，所以，共有映射個.第7講§函數(shù)的單調(diào)性¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增〔減〕函數(shù)的證明和判別.¤知識要點(diǎn)：1.增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)〔increasingfunction〕.仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2.如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有〔嚴(yán)格的〕單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的〔如右圖1〕，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的〔如右圖2〕.由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3.判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x、x∈給定區(qū)間，且x<x；→計算f(x)－f(x)→判斷符號→下結(jié)論.¤例題精講：【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間〔0，1〕上的單調(diào)性.解：任取∈(0,1)，且.那么.由于，，，，故，即.所以，函數(shù)在〔0，1〕上是減函數(shù).【例2】求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.解：設(shè)任意，且.那么.假設(shè)，當(dāng)時，有，，即，從而，即，所以在上單調(diào)遞增.同理可得在上單調(diào)遞減.【例3】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕，其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).〔2〕，其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在、上是減函數(shù).點(diǎn)評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù).第2小題也可以由偶函數(shù)的對稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè)，得到的圖象.由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.【例4】，指出的單調(diào)區(qū)間.解：∵，∴把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如下圖.由圖象得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.點(diǎn)評：變形后結(jié)合平移知識，由平移變換得到一類分式函數(shù)的圖象.需知平移變換規(guī)律.第7練§函數(shù)的單調(diào)性※根底達(dá)標(biāo)1．函數(shù)的減區(qū)間是〔D〕.A.B.C.D.2．在區(qū)間〔0，2〕上是增函數(shù)的是〔B〕.A.y=－x+1B.y=C.y=x2－4x＋5D.y=3．函數(shù)的遞增區(qū)間依次是〔C〕.A.B.C.D.4．是R上的增函數(shù)，令，那么是R上的〔B〕. A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先減后增 D．先增后減5．二次函數(shù)在區(qū)間(∞，4)上是減函數(shù)，你能確定的是〔C〕.A.B.C.D.6．函數(shù)的定義域?yàn)?，且對其?nèi)任意實(shí)數(shù)均有：，那么在上是增函數(shù)〔填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”或“非單調(diào)函數(shù)”〕7．函數(shù)f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之間的大小關(guān)系為.※能力提高8．指出以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性：〔1〕；〔2〕解：〔1〕在、上都是減函數(shù).〔2〕先作出函數(shù)的圖象，由于絕對值的作用，把x軸下方的圖象沿x軸對折到x軸上方，所得圖象如右圖所示.由圖可知，函數(shù)在、上是減函數(shù)，在、上是增函數(shù).9．假設(shè)，且.〔1〕求b與c的值；〔2〕試證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).解：〔1〕；〔2〕略.※探究創(chuàng)新10．函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)、均有，且，又當(dāng)時，有.〔1〕求的值；〔2〕求證：是單調(diào)遞增函數(shù).解：〔1〕令，那么，∴.又，∴，.〔2〕設(shè)，那么，.又時有，∴.又，∴，∴在R上為增函數(shù).第8講§函數(shù)最大〔小〕值¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的最大〔小〕值及其幾何意義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大〔小〕值.¤知識要點(diǎn)：1.定義最大值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得=M.那么，稱M是函數(shù)的最大值〔MaximumValue〕.仿照最大值定義，可以給出最小值〔MinimumValue〕的定義.2.配方法：研究二次函數(shù)的最大〔小〕值，先配方成后，當(dāng)時，函數(shù)取最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取最大值.3.單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比擬容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4.圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.¤例題精講：【例1】求函數(shù)的最大值.解：配方為，由，得.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】某商人如果將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可售出100件.現(xiàn)在他采用提高售出價，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤，這種商品每件提價1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤.解：設(shè)他將售出價定為x元，那么提高了元，減少了件，所賺得的利潤為.即.當(dāng)時，.所以，他將售出價定為14元時，才能使每天所賺得的利潤最大,最大利潤為360元.【例3】求函數(shù)的最小值.解：此函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，函數(shù)的最小值為2.點(diǎn)評：形如的函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，那么，，所以，在時是增函數(shù)，當(dāng)時，，故函數(shù)的最小值為2.【例4】求以下函數(shù)的最大值和最小值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕二次函數(shù)的對稱軸為，即.畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)的最大值為4,最小值為.〔2〕.作出函數(shù)的圖象，由圖可知，.所以函數(shù)的最大值為3,最小值為-3.點(diǎn)評：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行分析.含絕對值的函數(shù)，常分零點(diǎn)討論去絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行研究.分段函數(shù)的圖象注意分段作出.第8練§函數(shù)最大〔小〕值※根底達(dá)標(biāo)1．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么y的最小值是〔A〕.A.1B.3C.－2D.52．函數(shù)的最大值是〔B〕.A.8B.C.4D.3．函數(shù)在區(qū)間上有最小值，那么的取值范圍是〔A〕.A．B．C．D．4．某部隊練習(xí)發(fā)射炮彈，炮彈的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系式是那么炮彈在發(fā)射幾秒后最高呢〔C〕.5.的最大〔小〕值情況為〔C〕.A.有最大值，但無最小值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.無最大值，也無最小值6．函數(shù)的最大值是.67．，.那么的最大值與最小值分別為.12;6※能力提高8．函數(shù).〔1〕證明在上是減函數(shù);〔2〕當(dāng)時，求的最大值和最小值.答案：〔1〕略；〔2〕房價〔元〕住房率〔%〕160551406512075100859．一個星級旅館有100個標(biāo)準(zhǔn)房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營，經(jīng)理得到一些定價和住房率的數(shù)據(jù)如右：欲使每天的的營業(yè)額最高，應(yīng)如何定價？答案：設(shè)房價為x元，那么營業(yè)額，當(dāng)元時，營業(yè)額最高.※探究創(chuàng)新10．函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.解：令.〔1〕當(dāng)，即a≤0時，，得.〔2〕當(dāng)0<<1，即0<a<2時，，得，都不在〔0,2〕內(nèi)，不合.〔3〕當(dāng)，即a≥2時，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)或.第9講§函數(shù)的奇偶性¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性.¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有，那么函數(shù)叫偶函數(shù)〔evenfunction〕.如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有〕，那么函數(shù)叫奇函數(shù)〔oddfunction〕.2.具有奇偶性的函數(shù)其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對稱.3.判別方法：先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再用比擬法、計算和差、比商法等判別與的關(guān)系.¤例題精講：【例1】判別以下函數(shù)的奇偶性：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕原函數(shù)定義域?yàn)?，對于定義域的每一個x，都有，所以為奇函數(shù).〔2〕原函數(shù)定義域?yàn)镽，對于定義域的每一個x，都有，所以為偶函數(shù).〔3〕由于，所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【例2】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.解：∵是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，∴，.那么，即.兩式相減，解得；兩式相加，解得.【例3】是偶函數(shù)，時，，求時的解析式.解：作出函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)為.∵是偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對稱.作出時的圖象，其頂點(diǎn)為，且與右側(cè)形狀一致，∴時，.點(diǎn)評：此題中的函數(shù)實(shí)質(zhì)就是.注意兩拋物線形狀一致，那么二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對值相同.此類問題，我們也可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來求，過程如下.【另解】當(dāng)時，，又由于是偶函數(shù)，那么，所以，當(dāng)時，.【例4】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)a滿足不等式，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴的圖象在y軸左側(cè)遞減.又∵是奇函數(shù)，∴的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，那么在y軸右側(cè)同樣遞減.又，解得，所以的圖象在R上遞減.∵，∴，解得.點(diǎn)評：定義在R上的奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn).由圖象對稱性可以得到，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.第9練§函數(shù)的奇偶性※根底達(dá)標(biāo)1．函數(shù)(|x|≤3)的奇偶性是〔A〕.A．奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)2．〔08年全國卷Ⅱ.理3文4〕函數(shù)的圖像關(guān)于〔C〕.A．軸對稱 B．直線對稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．直線對稱3．函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，等于〔B〕.A.B.C.D.4．函數(shù)，那么的奇偶性是〔A〕.A．奇函數(shù)B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C．偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)5．假設(shè)奇函數(shù)在[3,7]上是增函數(shù)，且最小值是1，那么它在上是〔B〕.A.增函數(shù)且最小值是－1 B.增函數(shù)且最大值是－1C.減函數(shù)且最大值是－1 D.減函數(shù)且最小值是－16．，，那么.-267．是定義在上的奇函數(shù)，在是增函數(shù)，且，那么的解集為※能力提高8．函數(shù).〔1〕求函數(shù)的定義域；〔2〕判斷函數(shù)的奇偶性并證明你的結(jié)論.答案：〔1〕；〔2〕奇函數(shù).9．假設(shè)對于一切實(shí)數(shù)，都有：〔1〕求，并證明為奇函數(shù)；〔2〕假設(shè)，求.解：〔1〕由于對一切實(shí)數(shù)，都有，故在上式中可令，那么有：，所以.再令，那么有：，所以：，即，為奇函數(shù).〔2〕由于為奇函數(shù)，且，※探究創(chuàng)新10．，討論函數(shù)的性質(zhì)，并作出圖象.解：函數(shù)定義域?yàn)镽，∵，∴是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.當(dāng)時，.設(shè)，那么，當(dāng)時，易知，那么在上是增函數(shù)；當(dāng)時，易知，那么在上是減函數(shù).當(dāng)時，的最大值是1.結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，可作出圖象如下.第10講第一章集合與函數(shù)概念復(fù)習(xí)¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：強(qiáng)化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用文氏圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練.深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念.掌握對應(yīng)法那么、圖象等有關(guān)性質(zhì).理解掌握函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并掌握根本的判定方法和步驟，并會運(yùn)用.¤例題精講：【例1】〔05年江蘇卷.17〕a,b為常數(shù)，假設(shè)，那么.解：由，那么，整理得，比擬系數(shù)得：，解得：；或.那么.【例2】〔02京、皖春.18〕是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明.解：設(shè)x1＜x2＜0，那么－x1＞－x2＞0，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，那么.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由此可得在上是增函數(shù).【例3】集合，，假設(shè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：由，得.當(dāng)時，有：，解得.-12-m3-12-m3m+17BA，解得.綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.點(diǎn)評：兩個含參集合的關(guān)系或者運(yùn)算結(jié)果時，可以結(jié)合數(shù)軸分析區(qū)間端點(diǎn)的位置情況，列出相關(guān)不等式后求解參數(shù)范圍.注意當(dāng)時，不能無視的情況.【例4】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)，x∈R.〔1〕討論的奇偶性；〔2〕假設(shè)x≥a，求的最小值.解：〔1〕當(dāng)a=0時，函數(shù)，此時為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時，，，.此時函數(shù)f〔x〕為非奇非偶函數(shù).〔2〕當(dāng)x≥a時，函數(shù).假設(shè)a≤－，那么函數(shù)在上的最小值為.假設(shè)a＞－，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)在上的最小值為f〔a〕=a2+1.綜上，當(dāng)a≤－時，函數(shù)f〔x〕的最小值是－a.當(dāng)a＞－時，函數(shù)f〔x〕的最小值是a2+1.點(diǎn)評：x∈R，f〔0〕=|a|+1≠0，由此排除f〔x〕是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時，f〔x〕是偶函數(shù)，此題還需運(yùn)用分類討論思想，研究二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.第10練第一章集合與函數(shù)概念復(fù)習(xí)※根底達(dá)標(biāo)1．〔06年陜西卷〕集合那么等于〔D〕.A.B.C.D.2．〔06年重慶卷.1)集合，，，那么〔D〕.A.B.C.D.3．〔06年遼寧卷.文3理2〕設(shè)是上的任意函數(shù)，以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是〔C〕A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)4．〔06年遼寧卷.文2理1〕設(shè)集合，那么滿足的集合的個數(shù)是〔C〕.A.1 B.3 C.4 D.85．〔06年山東卷〕定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=－f(x)，那么f(6)的值為〔B〕.A.－1B.0C.1D.26．〔06年上海卷.理1〕集合，集合．假設(shè)BA，那么實(shí)數(shù)＝.17．〔06年上海春卷〕函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當(dāng)時，，那么當(dāng)時，.※能力提高8．全集，兩個集合A與B同時滿足：，，且.求集合A、B.解：畫出Venn圖，如右圖所示.把、、的結(jié)果分別填入Venn圖中相應(yīng)區(qū)域，由全集U，得到另一個區(qū)域.由圖可知，，.9．函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.解：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，最大值當(dāng)即時，最大值時，在上單調(diào)遞減，最大值綜上，.※探究創(chuàng)新10．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)滿足條件：對于任意的x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y).〔1〕求證：f(0)=0；〔2〕求證f(x)是奇函數(shù)，并舉出兩個這樣的函數(shù)；〔3〕假設(shè)當(dāng)x≥0時，f(x)＜0.〔i〕試判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并證明之；〔ii〕判斷方程│f(x)│=a所有可能的解的個數(shù)，并求出對應(yīng)的a的范圍.證明：〔1〕令x=y=0，那么f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0.〔2〕令y=-x,那么f(0)=f(-x)+f(x)，即f(-x)=-f(x)，故f(x)為奇函數(shù).例如：.〔3〕〔i〕任取x1<x2，那么x2-x1>0，f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，那么該函數(shù)有f(x2)<f(x1)，所以該函數(shù)f(x)在〔-∞，+∞〕上為單調(diào)減函數(shù).〔ii〕當(dāng)a>0時，有兩解；當(dāng)a=0時，有一解；當(dāng)a<0時，無解.第11講§指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.¤知識要點(diǎn)：1.假設(shè)，那么x叫做a的n次方根，記為，其中n>1，且.n次方根具有如下性質(zhì)：〔1〕在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個負(fù)數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等、符號相反的數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.〔2〕n次方根〔〕有如下恒等式：；；，〔a0〕.2.規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：〔〕；.¤例題精講：【例1】求以下各式的值：〔1〕〔〕；〔2〕.解：〔1〕當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，.〔2〕.當(dāng)時，；當(dāng)時，.【例2】，求的值.解：.【例3】化簡：〔1〕；〔2〕〔a＞0，b＞0〕；〔3〕.解：〔1〕原式=.〔2〕原式====.〔3〕原式=.點(diǎn)評：根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分母，冪指數(shù)化為分子，根號的嵌套，化為冪的冪.正確轉(zhuǎn)化和運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，是復(fù)雜根式化簡的關(guān)鍵.【例4】化簡與求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式====4.〔2〕原式===.點(diǎn)評：形如的雙重根式，當(dāng)是一個平方數(shù)時，那么能通過配方法去掉雙重根號，這也是雙重根號能否開方的判別技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也表達(dá)了一種消去法的思想.第〔1〕小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開方而得.第11練§指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算※根底達(dá)標(biāo)1．化簡的結(jié)果是〔B〕.A.B.C.32．以下根式中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的選項(xiàng)是〔C〕.A.B.C.D.3．以下各式正確的選項(xiàng)是〔D〕.A.B.C.D.4．計算，結(jié)果是〔B〕.A.1B.C.D.5．化簡，結(jié)果是〔A〕.A.B.C.D.6．化簡的結(jié)果是.7．計算.※能力提高8．化簡求值：〔1〕；〔2〕.答案：〔1〕；〔2〕；9．=3，求以下各式的值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕.〔2〕，.∴原式=.※探究創(chuàng)新10．函數(shù)，.〔1〕判斷、的奇偶性；〔2〕分別計算和，并概括出涉及函數(shù)和對所有不為0的實(shí)數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.答案：〔1〕都是奇函數(shù)；〔2〕，，一般地.證明略.第12講§指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)〔exponentialfunction〕，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.2.以函數(shù)與的圖象為例，觀察這一對函數(shù)的圖象，可總結(jié)出如下性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?dāng)時，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時，在R上是減函數(shù)，當(dāng)時，在R上是增函數(shù).¤例題精講：【例1】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?〔2〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?〔3〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?【例2】求以下函數(shù)的值域：〔1〕；〔2〕解：〔1〕觀察易知，那么有.∴原函數(shù)的值域?yàn)?〔2〕.令，易知.那么.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，由其對稱軸觀察得到在上為增函數(shù)，所以.∴原函數(shù)的值域?yàn)?【例3】〔05年福建卷.理5文6〕函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕.A． B．C． D．解：從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)為減函數(shù)，從而0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)的圖象向左平移|-b|個單位而得，所以-b>0，即b<0.所以選D.點(diǎn)評：觀察圖象變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到參數(shù)a的范圍.根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到參數(shù)b的范圍.也可以取x=1時的特殊點(diǎn)，得到，從而b<0.【例4】函數(shù).〔1〕求該函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕指出該函數(shù)的單調(diào)性.解：〔1〕當(dāng)，即時，.所以，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).〔2〕∵是減函數(shù)，∴當(dāng)時，在R上是增函數(shù)；當(dāng)時，在R上是減函數(shù).點(diǎn)評：底數(shù)兩種情況的辨析，實(shí)質(zhì)就是分類討論思想的運(yùn)用.而含參指數(shù)型函數(shù)的研究，要求正確處理與參數(shù)相關(guān)的變與不變.第12練§指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕※根底達(dá)標(biāo)1．以下各式錯誤的選項(xiàng)是〔C〕.A.B.C.D.2．，在以下不等式中成立的是〔C〕.A.B.C.D.3．函數(shù)y=ax+1〔a＞0且a≠1〕的圖象必經(jīng)過點(diǎn)〔D〕.A.〔0，1〕 B.〔1，0〕C.〔2，1〕 D.〔0，2〕4．設(shè)滿足，以下不等式中正確的選項(xiàng)是〔C〕.A.B.C.D.5．世界人口已超過56億，假設(shè)千分之一的年增長率，那么兩年增長的人口可相當(dāng)于一個〔D〕.A.新加坡(270萬)B.香港(560萬)C.瑞士(700萬)D.上海(1200萬)6．某地現(xiàn)有綠地100平方公里，方案每年按10%的速度擴(kuò)大綠地，那么三年后該地的綠地為平方公里.7．函數(shù)的定義域?yàn)?；函?shù)的值域?yàn)椋?※能力提高8．為不相等的正數(shù)，試比擬與的大小..解：作商，得.當(dāng)時，，，∴.當(dāng)時，，，∴.由上可得，>1，即>.9．假設(shè)函數(shù)，.〔1〕求函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕求證：.解：〔1〕當(dāng)，即時，.所以，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).〔2〕證明：.∴.※探究創(chuàng)新10．討論函數(shù)的值域.解：觀察易知，，那么當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得，所以值域?yàn)?；?dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得，所以值域?yàn)?綜上所述，當(dāng)時，原函數(shù)值域?yàn)?；?dāng)時，原函數(shù)值域?yàn)?第13講§指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：在解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.¤知識要點(diǎn)：以函數(shù)與的圖象為例，得出這以下結(jié)論：〔1〕函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱.〔2〕指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，底數(shù)由下到大.¤例題精講：【例1】按從小到大的順序排列以下各數(shù)：，，，.解：構(gòu)造四個指數(shù)函數(shù)，分別為，，，，它們在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，依次是，，，.如右圖所示.由于，所以從小到大依次排列是：，，，.點(diǎn)評：利用指數(shù)函數(shù)圖象的分步規(guī)律，巧妙地解決了同指數(shù)的冪的大小比擬問題.當(dāng)然，我們在后面的學(xué)習(xí)中，可以直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比擬此類大小.【例2】.〔1〕討論的奇偶性；〔2〕討論的單調(diào)性.解：〔1〕的定義域?yàn)镽.∵.∴為奇函數(shù).〔2〕設(shè)任意，且，那么.由于，從而，即.∴，即.∴為增函數(shù).點(diǎn)評：在這里，奇偶性與單調(diào)性的判別，都是直接利用知識的定義來解決.需要我們理解兩個定義，掌握其運(yùn)用的根本模式，并能熟練的進(jìn)行代數(shù)變形，得到理想中的結(jié)果.【例3】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕設(shè).由知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)時，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)時，y關(guān)于u為減函數(shù).∴當(dāng)時，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.〔2〕函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè).易知為減函數(shù).而根據(jù)的圖象可以得到，在區(qū)間與上，y關(guān)于u均為減函數(shù).∴在上，原函數(shù)為增函數(shù)；在上，原函數(shù)也為增函數(shù).點(diǎn)評：研究形如的函數(shù)的單調(diào)性，可以有如下結(jié)論：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相反.而對于形如的函數(shù)單調(diào)性的研究，也需結(jié)合的單調(diào)性及的單調(diào)性進(jìn)行研究.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，遵循一般步驟和結(jié)論，即：分別求出與兩個函數(shù)的單調(diào)性，再按口訣“同增異減”得出復(fù)合后的單調(diào)性，即兩個函數(shù)同為增函數(shù)或者同為減函數(shù)，那么復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；假設(shè)兩個函數(shù)一增一減，那么復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).為何有“同增異減”？我們可以抓住“x的變化→的變化→的變化”這樣一條思路進(jìn)行分析.第13練§指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕※根底達(dá)標(biāo)1．如果指數(shù)函數(shù)y=在x∈R上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是〔C〕.A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)＜3C．2＜a＜3 D．2．使不等式成立的的取值范圍是〔B〕.A.B.C.D.3．某工廠去年12月份的產(chǎn)值是去年元月份產(chǎn)值的m倍，那么該廠去年產(chǎn)值的月平均增長率為〔D〕.A.m B. C. D.4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為〔D〕.210y/m2t/月238210y/m2t/月238145．如下圖的是某池塘中的浮萍蔓延的面積()與時間(月)的關(guān)系:,有以下表達(dá):①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;②第5個月時,浮萍的面積就會超過;③浮萍從蔓延到需要經(jīng)過1.5個月;④浮萍每個月增加的面積都相等.其中正確的選項(xiàng)是〔D〕.A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②6．我國的人口約13億，如果今后能將人口數(shù)年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過x年后我國人口數(shù)為y億，那么y與x的關(guān)系式為.7．定義運(yùn)算那么函數(shù)的值域?yàn)?※能力提高8．.〔1〕討論的奇偶性；〔2〕討論的單調(diào)性.答案：定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以所以函數(shù)為奇函數(shù)；〔2〕，為R上的減函數(shù)，為增函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).9．求函數(shù)的定義域、值域并指出單調(diào)區(qū)間．答案：，函數(shù)U在，而在R上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”，所以函數(shù)。定義域R；值域；單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間.※探究創(chuàng)新10．函數(shù)是偶函數(shù).〔1〕試確定的值及此時的函數(shù)解析式；〔2〕證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；〔3〕當(dāng)時，求函數(shù)的值域.解：〔1〕由函數(shù)是偶函數(shù)，得，即，解得.所以.〔2〕證明：設(shè)且，那么=.因?yàn)榍?，所以，因?又因?yàn)椋?因此，在上是減函數(shù).〔3〕因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，那么，即.第14講§對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解對數(shù)的概念；能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，并能運(yùn)用指對互化關(guān)系研究一些問題.¤知識要點(diǎn)：1.定般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)〔logarithm〕.記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2.我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)〔commonlogarithm〕，并把常用對數(shù)簡記為lgN在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，并把自然對數(shù)簡記作lnN3.根據(jù)對數(shù)的定義，得到對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系：當(dāng)時，.4.負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；，¤例題精講：【例1】將以下指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕ln100=4.606.解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.【例2】計算以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.〔2〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.〔3〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.【例3】求證：〔1〕；〔2〕.證明：〔1〕設(shè)，那么，解得.所以.〔2〕設(shè)，，那么，.因?yàn)?，那?所以，.點(diǎn)評：對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是對數(shù)運(yùn)算的靈魂，其推導(dǎo)以對數(shù)定義得到的指對互化關(guān)系為橋梁，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)而得到.我們需熟知各種運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo).【例4】試推導(dǎo)出換底公式：〔，且；，且；〕.證明：設(shè)，，，那么，，.從而，即.由于，那么.所以，.點(diǎn)評：換底公式是解決對數(shù)運(yùn)算中底數(shù)不相同時的核心工具.其推導(dǎo)也密切聯(lián)系指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，牢牢扣住指對互化關(guān)系.第14練§對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔一〕※根底達(dá)標(biāo)1．對應(yīng)的指數(shù)式是〔B〕.A.B.C.D.2．以下指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是〔C〕.A.B.C.D.3．設(shè)，那么x的值等于〔C〕.A.10B.0.01C.100D.10004．設(shè)，那么底數(shù)x的值等于〔D〕.A.2B.C.4D.5．，那么等于〔C〕.A.B.C.D.6．假設(shè)，那么x=；假設(shè)，那么x=.7．計算：=8；=-6.※能力提高8．求以下各式的值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕設(shè)，那么，即，解得.所以.〔2〕設(shè)，那么，即，解得.所以.9．求以下各式中x的取值范圍：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，解得且.〔2〕由，解得或.※探究創(chuàng)新10．〔1〕設(shè)，，求的值.〔2〕設(shè),，且，求a的值.解：〔1〕由，，得，.所以，.〔2〕由且，由于，所以.第15講§對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運(yùn)算的作用；理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；理解推導(dǎo)這些運(yùn)算性質(zhì)的依據(jù)和過程；能較熟練地運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)解決問題.¤知識要點(diǎn)：1.對數(shù)的運(yùn)算法那么：，，，其中，.三條法那么是有力的解題工具，能化簡與求值復(fù)雜的對數(shù)式.2.對數(shù)的換底公式.如果令b=N，那么得到了對數(shù)的倒數(shù)公式.同樣，也可以推導(dǎo)出一些對數(shù)恒等式，如，，等.¤例題精講：【例1】化簡與求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式=====.〔2〕原式====.【例2】假設(shè)，那么=.〔教材P83B組2題〕解：由，得，.那么.【例3】〔1〕方程的解x=________；〔2〕設(shè)是方程的兩個根，那么的值是.解：〔1〕由，得，即，整理為.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.〔2〕設(shè)，那么原方程化為，其兩根為.由，得到.點(diǎn)評：同底法是解簡單對數(shù)方程的法寶，化同底的過程中需要結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).第2小題巧妙利用了換元思想和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【例4】〔1〕化簡：；〔2〕設(shè)，求實(shí)數(shù)m的值.解：〔1〕原式=.〔2〕原式左邊=,∴，解得.點(diǎn)評：換底時，一般情況下可以換為任意的底數(shù)，但習(xí)慣于化為常用對數(shù).換底之后，注意結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)完成后階段的運(yùn)算.第15練§對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔二〕※根底達(dá)標(biāo)1．〔〕等于〔B〕.A.1 B.－1 C.2 D.－22．〔a≠0〕化簡得結(jié)果是〔C〕.A.－a B.a2 C.｜a｜ D.a3．化簡的結(jié)果是〔A〕.A.B.1C.2D.4．,那么的值等于〔A〕.A.1B.2C.8D.125．化簡的結(jié)果是〔C〕.A.1B.C.6．計算＝1.7．假設(shè)3a＝2，那么log38－2log36＝a-2.※能力提高8．〔1〕，，試用a、b表示的值；〔2〕，用a、b表示.解：〔1〕由，得到.設(shè)，那么.因?yàn)椋?，?〔2〕9．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭〔除燃料外〕的質(zhì)量的關(guān)系是.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的多少倍時，火箭的最大速度可到達(dá)10？解：由，即.∴.用計算器※探究創(chuàng)新10．〔1〕設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，試比擬3x與4y的大小.〔2〕假設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且至少有一個不為1，，討論x、y、z所滿足的關(guān)系式.解：〔1〕解：由，得到.從而，所以.〔2〕由，兩邊取對數(shù)，得，同理，.三式相加，得.∴或.由，得，即，代入，得.又a、b、c至少有一個不為1，所以，即.所以，x、y、z應(yīng)滿足或.第16講§對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實(shí)例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction).自變量是x；函數(shù)的定義域是〔0，+∞〕.2.由與的圖象，可以歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；當(dāng)時，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時，在上遞減，當(dāng)時，在上遞增.¤例題精講：【例1】比擬大?。骸?〕，，；〔2〕，，.解：〔1〕∵在上是減函數(shù)，且，∴.又，所以.〔2〕由，得.又，，所以.【例2】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，得，解得.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?〔2〕由，即，所以，解得.所以，原函數(shù)的定義域?yàn)?【例3】函數(shù)的區(qū)間上總有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵，∴當(dāng)時，，即.∵，∴，解得.當(dāng)時，，即.∵，∴，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)評：先對底數(shù)a分兩種情況討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性及條件，列出關(guān)于參數(shù)a的不等式組，解不等式〔組〕而得到參數(shù)的范圍.解決此類問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化與分類討論，不等式法求參數(shù)范圍.【例4】求不等式中x的取值范圍.解：當(dāng)時，原不等式化為，解得.當(dāng)時，原不等式化為，解得.所以，當(dāng)時，x的取值范圍為；當(dāng)時，x的取值范圍為.點(diǎn)評：結(jié)合單調(diào)性，將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式組，注意對數(shù)式有意義時真數(shù)大于0的要求.當(dāng)?shù)讛?shù)a不確定時，需要對底數(shù)a分兩種情況進(jìn)行討論.第16練§對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕※根底達(dá)標(biāo)1．以下各式錯誤的選項(xiàng)是〔B〕.A.B.C.D..xy11oxxy11oxyo11oyx11oyx11ABCD3．以下函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)〔C〕A.B.y=C.D.y=4．函數(shù)的定義域是〔D〕.A.B.C.D.5．假設(shè)，那么滿足的條件是〔C〕.A.B.C.D.6．函數(shù)的定義域?yàn)?〔用區(qū)間表示〕7．比擬兩個對數(shù)值的大?。?lt;；>.※能力提高8．求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕，〔2〕9．函數(shù)，，求：〔1〕的值域；〔2〕的最大值及相應(yīng)x的值.解：〔1〕∵，∴為增函數(shù).因此，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為.所以，的值域?yàn)?〔2〕.易知在區(qū)間上，為減函數(shù)，那么當(dāng)時，.※探究創(chuàng)新10．假設(shè)為不等于1的正數(shù)，且，試比擬、、.解：因?yàn)?，所以只需比擬、、－1的大小.、當(dāng)時，，，所以.當(dāng)時，，，那么.當(dāng)時，，.假設(shè)，那么，所以；假設(shè)，那么，所以；假設(shè)，那么，所以.第17講§對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用對數(shù)函數(shù)解決實(shí)際中的問題.知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).〔a>0,a≠1〕¤知識要點(diǎn)：1.當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時,可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新函數(shù)的自變量,而把這個函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量.我們稱這兩個函數(shù)為反函數(shù)〔inversefunction〕.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.2.函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，口訣是“同增異減”，即兩個函數(shù)同增或同減，復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；假設(shè)兩個函數(shù)一增一減，那么復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：〔i〕求定義域；〔ii〕拆分函數(shù)；〔iii〕分別求的單調(diào)性；〔iv〕按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.¤例題精講：【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性.解：先求定義域，由,解得.設(shè)，易知為減函數(shù).又∵函數(shù)是減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【例2】〔05年山東卷.文2〕以下大小關(guān)系正確的選項(xiàng)是〔〕.A.B.C.D.解：在同一坐標(biāo)系中分別畫出的圖象，分別作出當(dāng)自變量x取3，0.4，0.3時的函數(shù)值.觀察圖象容易得到：.應(yīng)選C.【例3】指數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的圖象有何關(guān)系？解：在指數(shù)函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，那么.由指對互化關(guān)系，有.所以，點(diǎn)在對數(shù)函數(shù)的圖象上.因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以指數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.點(diǎn)評：兩個函數(shù)的對稱性，由任意點(diǎn)的對稱而推證出來.這種對稱性實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的圖象特征，即函數(shù)與互為反函數(shù)，而互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.【例4】2005年10月12日，我國成功發(fā)射了“神州”M是箭體〔包括搭載的飛行器〕的重量m和燃料重量x之和.在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：.當(dāng)燃料重量為噸〔e為自然對數(shù)的底數(shù)，〕時，該火箭的最大速度為4〔km/s〕.〔1〕求火箭的最大速度與燃料重量x噸之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕該火箭的起飛重量是544噸，是應(yīng)裝載多少噸燃料，才能使該火箭的最大飛行速度到達(dá)8km/s，順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的軌道？解：〔1〕依題意把代入函數(shù)關(guān)系式，解得.所以所求的函數(shù)關(guān)系式為整理得〔2〕設(shè)應(yīng)裝載x噸燃料方能滿足題意，此時，代入函數(shù)關(guān)系式所以，應(yīng)裝載344噸燃料方能順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的軌道.點(diǎn)評：直接給定參數(shù)待定的函數(shù)模型時，由待定系數(shù)法的思想，代入的數(shù)據(jù)得到相關(guān)的方程而求得待定系數(shù).一般求出函數(shù)模型后，還利用模型來研究一些其它問題.代入法、方程思想、對數(shù)運(yùn)算，是解答此類問題的方法精髓.第17練§對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕※根底達(dá)標(biāo)1．函數(shù)的圖象關(guān)于〔C〕.A.y軸對稱 B.x軸對稱C.原點(diǎn)對稱 D.直線y＝x對稱2．函數(shù)的值域是〔C〕.A.RB.C.D.3．〔07年全國卷.文理8〕設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，那么〔D〕.0xC1C2C4C0xC1C2C4C31y4．圖中的曲線是的圖象，的值為，，，，那么相應(yīng)曲線的依次為〔A〕.A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，5．以下函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是〔D〕.A.B.C.D.6．函數(shù)是奇函數(shù).〔