2020-2021學(xué)年合肥市包河區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)

2020-2021學(xué)年合肥市包河區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

1.下面四個手機應(yīng)用圖標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（）

A.

2.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a+0）的圖象如圖所示，則下列四個選項正確的

是（）

A.6>0,c<0,△>0

B.b<0,c<0,△>0

C.b>0,c>0,△>0

D.b<0,c>0,△<0

3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a*0）圖象上部分點的坐標(biāo)（x,y）的對應(yīng)值如下表所示:

X0100400

y2-22

貝方程ax?+匕尢+4=0的根是（）

A.xr=x2=200B.=0,x2=400

則第四個頂點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.如圖，在△ABC中，AABC=90°,4B〃y軸，AB=3,反比例

函數(shù)丁=一：的圖象經(jīng)過點B，與4C交于點。，且CD=24。，則

點。的橫坐標(biāo)是（）

A.-1

B.-2

C.—3

D.-4

7.在比例尺為1：1000000的地圖上量得AB兩地的距離是25cm,那么4、B兩地的實際距離是（）

A.2500mB.250kmC.2500/cmD.2500000cm

8.如圖，在。。中，弦4c〃半徑OB,ABOC=48°,則N04B的度數(shù)為（

A.24°

B.30°

c.60°

D.90°

9.已知（m,-2）是拋物線y=--%一3上一點，貝lj代數(shù)式/—m+2018的值為（）

A.2017B.2018C.2019D.2020

10.如圖，已知正方形4BCC的邊長為2,點E,尸分別是BC,CD邊上的動點,

滿足BE=CF.則4E+A尸的最小值為（）

A.V5

B.2A/2

C.2+2V2

D.2V5

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩條開口向上的拋物線所對應(yīng)的

函數(shù)表達式分別為y=（2a2-1）久2與y=a/.若其中一個函數(shù)

的二次項系數(shù)是另一個函數(shù)二次項系數(shù)的2倍，貝Ua的值為

12.—3的相反數(shù)是；近似數(shù)3.14xIO,精確到____位.

13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則sim4的值為.

14.如圖，在5x5的方格中，有一個正方形4BCD,假設(shè)每一個小方格的邊長為1個單位長度，則正

方形ABCD的邊長為

三、解答題(本大題共9小題，共90.0分)

15.(1)計算：G)T-|-2+V^an453+(&-1.41)°；

(2)先化簡，再求值：(乜一，_)義之二，其中。=夜—2.

a-1a+ra

16.已知：拋物線、=。/+加:+(:的頂點為4,與y軸相交于點B.若4(1,4),8(0,3),求拋物線的解

析式.

17.已知正比例函數(shù)y=此與反比例函數(shù)y=-沏圖象都過4(m,1)點，求此正比例函數(shù)解析式.

18.如圖，AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為4(1,1),B(4,2),C(3,4).

(1)請畫出將ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形△4B1G

(2)請畫出將么ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△4282c2.

19.小唐同學(xué)在操場上放風(fēng)箏，風(fēng)箏從4處起飛，幾分鐘后便飛達C處，此時，在4Q延長線上B處的

小宋同學(xué)，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上.

(1)如圖①，已知旗桿PQ高為10米，若在B處測得旗桿頂點P的仰角為30。，在4處測得點P的仰角為

45°,求A,8之間的距離;

(2)如圖②，在(1)的條件下，在4處測得風(fēng)箏的仰角為75。，若繩子在空中視為一條線段，求繩子4c

的長.

20.如圖，48是00的直徑，弦CD14B,垂足為E,如果=20,

求線段OE的長.

21.(1)如圖1,在正方形4BCD中，點。是對角線AC的中點，點E是邊BC上一點，連接。E,過點。作

OE的垂線交4B于點F.求證：OE=OF.

(2)若將(1)中，“正方形4BCD”改為“矩形4BCD”，其他條件不變，如圖2,連接EF.

團)求證：/.OEF=LBAC.

團)試探究線段/F,EF,CE之間數(shù)量上滿足的關(guān)系，并說明理由.

D

22.如圖，乙4=NB=50。，P為AB的中點，點E為射線AC上(不與點

4重合)的任意一點，連結(jié)EP,并使EP的延長線交射線BC于點F.

(1)求證：AAPE三ABPF.

(2)當(dāng)EF=2BF時，求NBFP的度數(shù).

23.已知，在RtAABC中，AACB=90°,AC=4,BC=2,。是AC邊上的一個動點，將△4BD沿B。

所在直線折疊，使點4落在點P處.

A

A

(1)如圖1,若點。是AC中點，連接PC.

①寫出BP,BD的長;

②求證：四邊形BCP。是平行四邊形.

(2)如圖2,若BO=4￡>,過點P作PH_L8C交BC的延長線于點“，求PH的長.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：4、圖形不是中心對稱圖形；

8、圖形是中心對稱圖形；

C、圖形不是中心對稱圖形；

。、圖形不是中心對稱圖形，

故選：B.

根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可.

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折

疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合.

2.答案：B

解析：解：???拋物線開口向上，

:,a>0,

???拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，

a、b異號,即b<0,

???拋物線與y軸的交點在%軸下方，

???c<0,

???拋物線與x軸有2個交點，

0.

故選:B.

利用拋物線的開口方向先確定a的符合，再利用對稱軸的位置確定b的符合，接著利用拋物線與y軸

的交點位置確定c的符合，然后根據(jù)拋物線與x軸個數(shù)確定△的符合，從而可對各選項進行判斷.

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時，

拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：

當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點:

拋物線與y軸交于(o,c).拋物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定：△=b2-4ac>。時，拋物線與4軸有2個

交點；△=/?2-4砒=0時，拋物線與％軸有1個交點；△=/>2-4這<0時，拋物線與x軸沒有交點.

3.答案：C

解析：解：由拋物線經(jīng)過點(0,2)得到c=2,

因為拋物線經(jīng)過點(0,2)、(400,2),

所以拋物線的對稱軸為直線x=200,

而拋物線經(jīng)過點(100,-2),

所以拋物線經(jīng)過點(300,-2),

所以二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+2,

方程a/+bx+4=0變形為a/+bx+2=-2,

所以方程a/+版+4=0的根理解為函數(shù)值為-2所對應(yīng)的自變量的值，

所以方程a/+bx+4=0的根為X]=100,x2=300.

故選：C.

利用拋物線經(jīng)過點(0,2)得到c=2,根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=200,拋物

線經(jīng)過點(300,-2),由于方程a/+bx+4=0變形為a/+bx+2=-2,則方程a/+bx+4=0

的根理解為函數(shù)值為-2所對應(yīng)的自變量的值，所以方程a/+bx+4=0的根為石=100,x2=300.

本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a。0)與x軸的交點

坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

4.答案：C

解析：解：???等邊三角形ABC中，AB=3,AD=1,

???BD=2,/.ABC=600=乙ACB,

?.?射線ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到射線EF,

???乙DEF=60°,

v乙EDC=/.ABC+乙BDE=乙DEF+Z.CEF,

:.Z-BDE=乙CEF,

CEFs〉BDE,

...生=生，

BDBE

.?”=若也=-“BE—/+3，

???CF的最大值為[

O

故選：C.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NDEF=60°,通過證明^CEFMBDE,可得蕓=芻由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識,

證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

5.答案：A

解析：解：如圖，正方形的第4個頂點的坐標(biāo)為(1,5).

利用直角坐標(biāo)系畫出滿足條件的正方形即可得到答案.

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)特征計算線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系.利

用數(shù)形結(jié)合的扇形是解決此類題目的關(guān)鍵.

6.答案：C

解析：解：過。作的平行線，交8c于E,交支軸于F,則ABEF是矩

形，EF=AB=3.

???DEUAB,CD=2AD,

??DE_CD_"""2,

ABAC3

2

:.DE=-AB=2,

3

???DF=EF-DE=3-2=1,

???。點縱坐標(biāo)為1,

??,反比例函數(shù)y=一:的圖象經(jīng)過點D,

???y—1時，X=—3,

???點。的橫坐標(biāo)是一3.

故選：C.

過。作4B的平行線，交BC于E,交x軸于F,得ITHBEF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF=4B=3.由

DE//AB,根據(jù)平行線分線段成比例定理求出￡>E=|AB=2,則DF=1,即。點縱坐標(biāo)為1,再根據(jù)

反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點D,即可求出點。的橫坐標(biāo).

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，矩形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，求出。

點縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

7.答案：B

解析：解：根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離，

得4、B兩地的實際距離為25x1000000=25000000(cm),

25000000=250km.

故A、B兩地的實際距離是250km.

故選：B.

比例尺=圖上距離：實際距離，根據(jù)比例尺關(guān)系可直接得出人B兩地的實際距離.

本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺正確進行計算，注意單位的換算.

8.答案：A

解析：解：???4C〃0B,

:.乙OBA=Z.BAC,

vABAC=-Z-BOC=ix48°=24°,

22

???乙OBA=24°,

vOA=OB,

??.Z.OAB=24°.

故選：A.

利用平行線的性質(zhì)得N0B4=NBAC,再利用圓周角定理得到NB4C=|ZBOC=24°,從而得到4048

的度數(shù).

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓

心角的一半.

9.答案:C

解析：解：丫(m,-2)是拋物線y=-3上一點，

：?m2-m—3=—2,

???m2-m=1,

???m2-m+2018=1+2018=2019.

故選：C.

根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到巾2一血-3=—2,變形得m2-m=i,然后利用整體代入

得方法計算巾2一巾+2018的值.

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式.

10.答案:D

解析：解：連接DE,乍、------f~~|C

根據(jù)正方形的性質(zhì)及BE=CF,

：.&DCE三4ADF(SAS),/;

.-.DE=AF,I......［二：：4

AB?

AE+AF=AE+DE,

作點4關(guān)于BC的對稱點4,連接BA'、EA',

則4E=A'E,

即4E+AF=AE+DE=A'E+DE,

當(dāng)。、E、4’在同一直線時，4E+4F最小，

AA'=2AB=4,

此時，在RtZkADA'中，DA'=V22+42=2>/5,

故AE+4F的最小值為2遍.

故選：D.

連接DE,作點4關(guān)于BC的對稱點4,連接BA、EA',易得AE+AF=AE+DE=A'E+DE,當(dāng)D、

E、4'在同一直線時，4E+AF最小，利用勾股定理求解即可.

本題考查正方形的性質(zhì)和最短距離問題，解題的關(guān)鍵是把兩條線段的和轉(zhuǎn)化在同一條線段上求解.

11.答案：11追

2

解析：解：由圖象可知，根據(jù)題意2a=2a2-1,

解得a="，

2

???拋物線開口向上,

1+V3

Aa=---

2

故答案為J.

2

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象得到2a=2a2-1,解方程求得a的值即可.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，明確間的大小決定開口的大小是解題的關(guān)鍵.

12.答案：3百

解析：解：-3的相反數(shù)是3,

3.14x104=31400,其中“4”在百位，

近似數(shù)3.14xIO,精確到百位，

故答案為：3；百.

根據(jù)相反數(shù)概念求解，先將科學(xué)記數(shù)法還原，然后判斷“4”所在的數(shù)位.

本題考查相反數(shù)，科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，用科學(xué)記數(shù)法axIO"。<a<io,n是正整數(shù)）表示的數(shù)

的精確度的表示方法是：先把數(shù)還原，再看首數(shù)的最后一位數(shù)字所在的位數(shù)，即為精確到的數(shù)位.

13.答案：|

解析：解：設(shè)正方形網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1,

連接格點BC,AD,過C作CEL4B于E,

?:AC=AB=V42+22=26，BC=2&,AD=ylAC2-CD2=3魚，

■■■SAABC=^AB-CE=^BC-AD,

“BCAD2V2X3V2675

C￡/——產(chǎn)—,

AB2y/55

6>/S

s\nZ-CAB=—=—

AC2V55

故答案為：

設(shè)正方形網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1,連接格點BC,AD,過C作CE1AB于E,解直角三角形即可

得到結(jié)論.

本題考查了解直角三角形，正切函數(shù)的定義.作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

14.答案：V13

解析：解：由勾股定理得：AB=V22+32=V13.

故答案為：V13.

根據(jù)勾股定理計算可得正方形4BCC的邊長.

本題考查了勾股定理和算術(shù)平方根，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵.

15.答案：解：（1）原式=3-（2-遮）+1=2+遮;

0、盾T_3a(a+l)-a(a-l)(a+l)(a-l)_2a(a+2)(a+l)(a-l)_

(2)原式一1+而二1)------a--日+i)(晨J----a--92a+A4，

當(dāng)a=V^-2時，原式=2應(yīng)-4+4=2魚.

解析：(1)原式第一項利用負指數(shù)累法則計算，第二項利用特殊角的三角函數(shù)值及絕對值的代數(shù)意義

化簡，最后一項利用零指數(shù)幕法則計算，即可得到結(jié)果；

(2)原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結(jié)果，將a的值代入計算

即可求出值.

16.答案：解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+4,

將B(0,3)代入得：a+4=3,即a=-l,

則拋物線解析式為y=-(x-I)2+4,

即y=—x2+2x+3.

解析：根據(jù)頂點的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點式，將B坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式.

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是確定二次函數(shù)解析式的關(guān)鍵.

17.答案：解：由反比例函數(shù)y=-:的圖象過4(科1)點，得

m=-5,即4(一5,1),

將/點坐標(biāo)代入y=kx,得

1=-5k,

解得k=-1,

正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-|x.

解析：根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值；根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案.

本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，利用函數(shù)值求出A點坐標(biāo)是階梯關(guān)鍵，再利用待定

系數(shù)法求函數(shù)解析式.

19.答案：解：（1）在RtABPQ中，PQ=10米，4B=30。,

???乙BPQ=90°-30°=60°,

則BQ=tan60°xPQ=10V3，

又在RtAAPQ中，/.PAB=Z.APQ=45°,

則4Q=tan45°xPQ=10,

即AB=106+10（米）;

（2）過4作AE1BC于E,

在Rt△力BE中，Z.B=30°,AB=1073+10.

AE=sin30°xAB=1（10V3+10）=58+5（米）.

???ACAD=75°,NB=30°,

AzC=45°,

在RtACAE中，sin45°=—,

AC

AC=磊=甯=5y[6+5夜（米）.

2

解析：（1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形在直角三角形ABPQ中求出4Q的長度，然后求出

AB=BQ+AQ,

（2）過A作4E1BC于E,在RtAABE中，求出4E的長度，然后在△C4E中求出/C的長度：

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解直

角三角形.

20.答案：解：連接。D,如圖所示：

?.?弦CD_L4B,4B為圓。的直徑,

??.E為CD的中點，又CD=16,

.-.CE=DE=^CD=8,

又0。="B=10,

???CD1AB,

???Z.OED=90°,

在RtAOOE中，DE=8,OD=10,

根據(jù)勾股定理得：。52+DE2=OD2,

OE=yJOD2-DE2=6-

則。E的長度為6.

解析：本題考查了垂徑定理，勾股定理，解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長

的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題.

連接。D,由直徑AB與弦CD語直，根據(jù)垂徑定理得到E為CC的中點，由CD的長求出DE的長，又由直

徑的長求出半徑0D的長，在直角三角形ODE中，由。E及。。的長，利用勾股定理即可求出0E的長.

21.答案：解：（1）證明：連接0B,

???在正方形4BC0中，。是4C的中點，

OB=OA,Z.OAB=Z.OBA=乙OBC=45°,

???/.AOB=90°,

又：OE1OF,

■.Z.AOF=Z.BOE,

Z.AOF=乙BOE

在△40F和△80E中，［CM=OB,

.^.OAB=Z.OBC

/4OF=ABOE,

???OE=OF；

(2)①v乙EOF=4FBE=90。，

???0,E,F,B四點共圓，

???/.OBA=Z.OEF,

???在矩形4BCD中，。是AC的中點，

OA=OB,Z-OAB=Z.OBA,

：,/LOEF=^.BAC；

②如圖，連接BD,延長E。交4D于G,

圖2

???BD與AC交于。，四邊形ABC。是矩形，

?1?OB=OD,Z.ODG=Z.OBE,

又???乙DOG=乙BOE,

則4OGD=LDEB,

???OG—OE,DG=BE,

?1?AG=CE,

???OF1GE,

：.FG=EF,

在RtAZGF中，GF2=AG2+AF2,BREF2=CE2+AF2.

解析：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接。B,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到08=。4^OAB=/.OBA=/.OBC=45°,得到44。8=90。，

根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)已知條件得到。，E,F,B四點共圓，由圓周角定理得到4084=NOEF,根據(jù)矩形的性

質(zhì)即可得到結(jié)論；②如圖，連接BD,延長E。交4。于G,證明AOGD三△DEB,于是到OG=OE,根

據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到FG=E尸，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

22.答案：解：(1)證明：???「是4B的中點，

???PA=PB,

在△/12￡和4BPF中，

24=乙B

PB=PA

JLAPE=乙BPF

??.△4PE*BPFQ4SA）；

(2)由(1)得：2APEm〉BPF,

:.PE=PF,

???EF=2PF,

???EF=2BF,

.??BF=PF,

???Z.BPF=Z,B=50°,

???乙BFP=180°-50°-50°=80°.

解析：(1)根據(jù)44s證明：△APEwZkBPF；

(2)由(1)中的全等得：EF=2PF,所以PF=8F,由等邊對等角可得結(jié)論.

本題考查了三角形全等的判定以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,

屬于中考?？碱}型.

23.答案：解：(1)①在RtZk/lBC中，???8C=2,AC=4,

-AB=V224-42=2巡，

-AD=CD=2,

???BD=V224-22=2V2,

由翻折可知，BP=BA=2V5.

②如圖1中，

???Z.BDC=45°,

???Z^ADB=乙BDP=135°,

Z-PDC=135°-45°=90°,

???(BCD=乙PDC=90°,

???DP//BC,???PD=AD=BC=2,

???四邊形BCPD是平行四邊形.

(2)如圖2中，作D