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文檔簡(jiǎn)介
安徽省定遠(yuǎn)二中2024年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.2.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C.5 D.64.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)5.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.26.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線7.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.48.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)9.若不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.的二項(xiàng)展開(kāi)式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-2811.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.12.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里,其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里,超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:萬(wàn)公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)且斜率為的直線交橢圓于,若三角形的面積等于,則該橢圓的離心率為_(kāi)_______.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,當(dāng)時(shí),(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.15.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,若,則______________.16.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖,連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐.(Ⅰ)求證;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大??;②在棱PC上存在點(diǎn)M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.18.(12分)如圖,在長(zhǎng)方體中,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn),且滿足,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軸于Q,線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N,D為線段BN的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.20.(12分)過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn),已知當(dāng)l的斜率為時(shí),.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.22.(10分)已知圓的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實(shí)數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.2、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.3、A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo),再求出過(guò)點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程,通過(guò)解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、D【解析】
求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.7、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn),即時(shí),有最小值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問(wèn)題,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后,得到圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.9、B【解析】
轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、A【解析】試題分析:由題意得,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.11、D【解析】
首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.12、D【解析】
由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題得直線的方程為,代入橢圓方程得:,設(shè)點(diǎn),則有,由,且解出,進(jìn)而求解出離心率.【詳解】由題知,直線的方程為,代入消得:,設(shè)點(diǎn),則有,,而,又,解得:,所以離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積計(jì)算與離心率的求解,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力14、【解析】
先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為,可得出,代值計(jì)算,即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則,又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,所以,,則,所以,函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算函數(shù)值,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.15、9【解析】
用換中的n,得,作差可得,從而數(shù)列是等比數(shù)列,再由即可得到答案.【詳解】由,得,兩式相減,得,即;又,解得,所以數(shù)列為首項(xiàng)為-3、公比為3的等比數(shù)列,所以.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查已知與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題,要注意n的范圍,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.16、【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出,由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),從而得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意,.展開(kāi)式通項(xiàng)為,由得,∴常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、Ⅰ詳見(jiàn)解析;Ⅱ①,②或.【解析】
Ⅰ可以通過(guò)已知證明出平面PAB,這樣就可以證明出;Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求出二面角的大小;求出平面PBC的法向量,利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明:Ⅰ在圖1中,,,為平行四邊形,,,,當(dāng)沿AD折起時(shí),,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由于平面ABCD則0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,設(shè)平面PBC的法向量為y,,則,取,得0,,設(shè)平面PCD的法向量b,,則,取,得1,,設(shè)二面角的大小為,可知為鈍角,則,.二面角的大小為.設(shè)AM與面PBC所成角為,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直線AM與平面PBC所成的角為,,解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直,考查了利用向量數(shù)量積,求二面角的大小以及通過(guò)線面角公式求定比分點(diǎn)問(wèn)題.18、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)解法一:作的中點(diǎn),連接,.利用三角形的中位線證得,利用梯形中位線證得,由此證得平面平面,進(jìn)而證得平面.解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)證明直線的方向向量和平面的法向量垂直,證得平面.(2)利用平面和平面法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)法一:作的中點(diǎn),連接,.又為的中點(diǎn),∴為的中位線,∴,又為的中點(diǎn),∴為梯形的中位線,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在長(zhǎng)方體中,,,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,,,,,,,,.(1)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,.∴.同理可算得平面的一個(gè)法向量為∴,又由圖可知二面角的平面角為一個(gè)鈍角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題考查線面的位置關(guān)系,空間向量與線面角,二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.19、(1)(2)點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】
(1)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn),,則,,求出直線的方程,進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo),下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.【詳解】(1)由題意可知,,解得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè)點(diǎn),,則,,直線的斜率為,直線的方程為:,令得,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,,又點(diǎn),在橢圓上,,,,點(diǎn)在以為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程,考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及平面向量的基本知識(shí),屬于中檔題.20、;【解析】
根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程;設(shè),的中點(diǎn)為,把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達(dá)
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