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第四章等可能條件下的概率(知識(shí)歸納+題型突破)知道試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性的含義。會(huì)求等可能條件下的概率。能夠運(yùn)用列表法和樹(shù)狀圖法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。等可能性:一般的,設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)。它們都是隨機(jī)事件,每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,那么我們說(shuō)這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的,也稱(chēng)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。等可能條件下的概率:等可能條件下的概率計(jì)算方法和步驟是列出所有的可能結(jié)果,并判定每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等。確定所有可能發(fā)生的結(jié)果個(gè)數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果個(gè)數(shù)m。計(jì)算所求事件發(fā)生的可能性:P(所求事件)=m用列舉法計(jì)算概率常見(jiàn)的列舉法有兩種:列舉法和畫(huà)樹(shù)狀圖法題型一判斷事件發(fā)生的可能性大小【例1】一份粽子禮盒中裝有豆沙、咸蛋黃、鮮肉三種不同口味的粽子,從這個(gè)禮盒中隨機(jī)取出一個(gè)粽子,則取出鮮肉粽子的可能性最大的是(
)A.有1個(gè)豆沙、2個(gè)咸蛋黃和5個(gè)鮮肉的禮盒B.有2個(gè)豆沙、3個(gè)咸蛋黃和3個(gè)鮮肉的禮盒C.有3個(gè)豆沙、3個(gè)咸蛋黃和2個(gè)鮮肉的禮盒D.有4個(gè)豆沙、3個(gè)咸蛋黃和1個(gè)鮮肉的禮盒【例2】彤彤拋五次硬幣,次正面朝上,次反面朝上,她拋第次時(shí),下面說(shuō)法正確的是哪一個(gè)?(
)A.一定正面朝上 B.一定反面朝上C.不可能正面朝上 D.有可能正面朝上也有可能反面朝上【例3】一只不透明的袋子中裝有10個(gè)白球、20個(gè)黃球和30個(gè)紅球,每個(gè)球除顏色外都相同,將球攪勻,從中任意摸出一個(gè)球,則下列事件:(1)該球是白球;(2)該球是黃球;(3)該球是紅球;則發(fā)生的可能性最大的為:(只填寫(xiě)序號(hào)).【例4】在一副撲克牌中,任意抽取一張,則下列事件:①抽到“紅桃”;②抽到“黑桃”;③抽到“”;④抽到“紅色的”,則事件發(fā)生的可能性最大的是.(填序號(hào))鞏固訓(xùn)練1.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán),當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),指針落在紅色區(qū)域的可能性最大的是(
)A.
B.
C.
D.
2.一只不透明的口袋中裝有3只黃色乒乓球和5只白色乒乓球(除顏色外都相同),攪勻后從中任意摸出一只乒乓球,摸到(填寫(xiě)“黃”或“白”)色乒乓球的可能性大.3.一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黃球和3個(gè)紅球,每個(gè)球除顏色外都相同,從中任意摸出一個(gè)球,①該球是白球;②該球是黃球;③該球是紅球.將這些事件的序號(hào)按發(fā)生的可能性從小到大排列為.4.有4根小棒,長(zhǎng)度分別是1,6,7,8,從中任取3根,能?chē)扇切蔚目赡苄员炔荒車(chē)扇切蔚目赡苄?).(填“大”或“小”)題型二根據(jù)概率公式計(jì)算概率【例5】實(shí)驗(yàn)室的試管架上有三個(gè)沒(méi)有標(biāo)簽的試管,試管內(nèi)分別裝有,,三種溶液,小明同學(xué)將酚酞試劑隨機(jī)滴入其中一個(gè)試管,則試管中溶液變紅的概率是(
)A.0 B.1 C. D.【例6】小明的書(shū)包里只裝有外觀相同的作業(yè)本,其中語(yǔ)文作業(yè)本4本,數(shù)學(xué)作業(yè)本5本,英語(yǔ)作業(yè)本3本.小明從書(shū)包中隨機(jī)抽出一本,不是數(shù)學(xué)作業(yè)本的概率是()A. B. C. D.鞏固訓(xùn)練5.袋子里有8個(gè)紅球,m個(gè)黑球,每個(gè)球除顏色外都相同,從中任意摸出一個(gè)球,若摸到紅球的可能性比摸到黑球的可能性大,則m的值不可能是()A.10 B.5 C.3 D.16.小明參加了一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲:一個(gè)不透明的布袋里裝有1個(gè)紅球,2個(gè)藍(lán)球,4個(gè)黃球,8個(gè)白球,這些小球除顏色外完全相同.從布袋里摸出1球,摸到紅球、藍(lán)球、黃球、白球可分別得到獎(jiǎng)金30元、20元、5元和0元,則小明摸一次球得到的平均收益是元.題型三幾何概率【例7】如圖,點(diǎn)C、D在線(xiàn)段上,且.以點(diǎn)A為圓心,分別以線(xiàn)段為半徑畫(huà)同心圓,記以為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ,所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ,所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ.現(xiàn)在此圖形中隨機(jī)撒一把豆子,統(tǒng)計(jì)落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù).若大量重復(fù)此實(shí)驗(yàn),則(
)A.豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B.豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小C.豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D.豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【例8】如圖,正方形,點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上,,分別交、于點(diǎn)、,若隨機(jī)向正方形內(nèi)投一粒米,則落在陰影部分的概率是(
)A. B. C. D.【例9】小華在如圖所示的正方形網(wǎng)格紙板上玩飛鏢游戲(每次飛鏢均落在紙板上,且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等),則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是.鞏固訓(xùn)練7.如圖,桌面上有3張卡片,1張正面朝上.任意將其中1張卡片正反面對(duì)調(diào)一次后,這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是().A.1 B. C. D.8.《周髀算經(jīng)》中提出了“方屬地,圓屬天”,也就是人們常說(shuō)的“天圓地方”.我國(guó)古代銅錢(qián)的鑄造也蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方”“天地合一”的哲學(xué)思想,現(xiàn)將銅錢(qián)抽象成如圖所示的圖形,其中圓的半徑為r,正方形的邊長(zhǎng)為,若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn),得到點(diǎn)取自陰影部分的概率為P,則圓周率π的值為(用所給字母表示.)9.一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動(dòng),并隨機(jī)停留在某塊地磚上,每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同,那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是.題型四列表法或樹(shù)狀圖法求概率【例10】某校對(duì)初一新生隨機(jī)搖號(hào)分班,一共分4個(gè)班,班號(hào)分別為1班、2班、3班、4班,甲、乙兩人是該校的初一新生.(1)甲恰好被分在1班的概率為_(kāi)_____;(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表方法求甲、乙被分在班號(hào)連續(xù)的兩個(gè)班級(jí)的概率.【例11】有4張撲克牌,牌面數(shù)字分別為2、3、4、4,其余都相同.小明隨機(jī)從中摸出一張牌,記錄牌面數(shù)字后放回;洗勻后再?gòu)闹忻鲆粡埮?,記錄牌面?shù)字后又放回.小明摸了100次,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:牌面數(shù)字2344次數(shù)26243020(1)上述試驗(yàn)中,小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是;小明摸一張牌,摸到牌面數(shù)字為3的概率是;(2)若小明一次摸出兩張牌,求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率.【例12】2023年5月30日,神舟十六號(hào)飛船發(fā)射成功,我國(guó)航天事業(yè)開(kāi)啟新篇章.某校舉行“筑夢(mèng)天宮,探秘蒼穹”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng),共有10道必答選擇題,每道選擇題都有A,B,C三個(gè)選項(xiàng),有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.小明已答對(duì)前8題,最后這兩道題小明只能從所有選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè).(1)小明第9題答對(duì)的概率是________;(2)請(qǐng)計(jì)算余下兩題中,小明至少答對(duì)一題的概率.【例13】如圖,是一個(gè)豎直放置的釘板,其中,黑色圓面表示釘板上的釘子,分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙,這些空隙大小均相等,從入口處投放一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球,圓球下落過(guò)程中,總是碰到空隙正下方的釘子,且沿該釘子左右兩個(gè)相鄰空隙繼續(xù)下落的機(jī)會(huì)相等,直至圓球落入下面的某個(gè)槽內(nèi).用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,求圓球落入③號(hào)槽內(nèi)的概率.鞏固訓(xùn)練10.小華、小玲一起到淮安西游樂(lè)園游玩,他們決定在三個(gè)熱門(mén)項(xiàng)目(A:智取芭蕉扇、B:三打白骨精、C:盤(pán)絲洞)中各自隨機(jī)選擇一個(gè)項(xiàng)目游玩.(1)小華選擇C項(xiàng)目的概率是_________;(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法求小華、小玲選擇不同游玩項(xiàng)目的概率.11.由于疫情原因,我校在校門(mén)口建立兩個(gè)體溫檢測(cè)通道,九(3)班甲乙兩位同學(xué)上午從兩個(gè)通道中任意一個(gè)通道進(jìn)入校園,求下列事件發(fā)生的概率.(1)甲同學(xué)從通道進(jìn)入的概率是;(2)求甲乙兩位同學(xué)都從通道進(jìn)入的概率.(請(qǐng)寫(xiě)出分析過(guò)程)12.李老師帶領(lǐng)甲、乙、丙三名同學(xué)乘飛機(jī)去北京參加活動(dòng),若航班售票系統(tǒng)隨機(jī)分配座位,且系統(tǒng)已將4人分配到同一排,如圖所示是飛機(jī)內(nèi)同一排座位A,B,C,D的排列示意圖:窗AB過(guò)道CD窗(1)利用樹(shù)狀圖或表格,求甲乙兩同學(xué)被分配到相鄰座位的概率(過(guò)道兩側(cè)座位B、C不算相鄰);(2)為方便管理,若李老師首先選擇過(guò)道左側(cè)座位B,讓甲、乙、丙三名同學(xué)隨機(jī)選擇座位,甲同學(xué)認(rèn)為:座位不在過(guò)道左側(cè),就在過(guò)道右側(cè),所以他自己也在過(guò)道左側(cè)的概率為.請(qǐng)判斷甲同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確,并簡(jiǎn)述理由.題型五概率的應(yīng)用【例14】林業(yè)部門(mén)要考察某種幼樹(shù)在一定條件下的移植成活率,下表是這種幼樹(shù)在移植過(guò)程中的一組數(shù)據(jù):移植的棵數(shù)10001500250040008000150002000030000成活的棵數(shù)8651356222035007056131701758026430成活的頻率(精確到)(1)________,________;(2)估計(jì)該種幼樹(shù)在此條件下移植成活的概率的估計(jì)值是多少?(精確到)(3)若要成活26400棵樹(shù)苗,需要移植多少棵樹(shù)苗?【例15】商場(chǎng)在國(guó)慶期間舉行部分商品優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng),顧客只能從以下兩種方案中選擇一種:方案一:購(gòu)物每滿(mǎn)200元減66元;方案二:顧客購(gòu)物達(dá)到200元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是:在一個(gè)箱子內(nèi)裝有四張一樣的卡片,四張卡片中有2張寫(xiě)著數(shù)字1,2張寫(xiě)著數(shù)字5.顧客隨機(jī)從箱子內(nèi)抽出兩張卡片,兩張卡片上的數(shù)字和記為,的值和享受的優(yōu)惠如表所示.的值2610實(shí)際付款8折7折6折(1)若按方案二的抽獎(jiǎng)方式,利用樹(shù)形圖(或列表法)求一次抽獎(jiǎng)獲得7折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客的購(gòu)物金額為元(),請(qǐng)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí),求出選擇方案二更優(yōu)惠時(shí)的取值范圍.鞏固訓(xùn)練13.菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)國(guó)際大獎(jiǎng),每四年頒發(fā)一次,被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng),截至2022年,世界上共有65位數(shù)學(xué)家獲得過(guò)菲爾茲獎(jiǎng),獲獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)時(shí)的年齡分別如下表:年齡/歲27293132333435363738394045人數(shù)1354446599771通過(guò)上表數(shù)據(jù),某同學(xué)繪制了如圖頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整):菲爾茲獎(jiǎng)獲得者獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡頻數(shù)分布表年齡x/歲人數(shù)(頻數(shù))112m321請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問(wèn)題:(1)填空:;(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;(3)在34歲的四位獲獎(jiǎng)?wù)咧杏袃晌坏膰?guó)籍是意大利,另外兩位的國(guó)籍分別是比利時(shí)和英國(guó),若從這四位數(shù)學(xué)家中隨機(jī)抽取兩位,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的
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