18.1 平行四邊形的性質(zhì)（原卷版）

八年級下冊數(shù)學《第十八章平行四邊形》18.1平行四邊形的性質(zhì)知識點一平行四邊形的定義知識點一平行四邊形的定義◆1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.◆2、表示方法：平行四邊形用符號“□”表示，平行四邊形ABCD記作：“□ABCD”，讀作:“平行四邊形ABCD”.◆3、幾何語言：(雙重含義)∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（判定）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC（性質(zhì)）知識點二平行四邊形的性質(zhì)知識點二平行四邊形的性質(zhì)●●平行四邊形的性質(zhì)：◆1、邊：①平行四邊形的對邊平行；②平行四邊形的對邊相等．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，◆2、角：①平行四邊形的對角相等．②平行四邊形的對角互補.幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D◆3、對角線：平行四邊形的對角線互相平分．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=OD知識點三知識點三兩條平行線間的距離◆1、定義：兩條平行線線之間的距離.◆2、兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.◆3、如果有兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等.如圖（1），a∥b，c∥d，c，d與a，b分別相交于A，B，C，D四點.由平行四邊形的概念和性質(zhì)可知，四邊形ABDC是平行四邊形，即AB=CD；如圖（2）線段AB（或CD）的長即為兩條平行線之間的距離.◆4、三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系距離兩點之間的距離點到直線的距離兩條平行線之間的距離區(qū)別連接兩點的線段的長度.點到直線的垂線段的長度.兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.聯(lián)系都是指線段的長度.◆5、“兩條平行線間的距離處處相等”，在作平行四邊形的高時，可根據(jù)需要靈活選擇位置.(常常用來解決三角形同底等高問題.)題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長【例題1】如圖，?ABCD的周長為30，AD：AB＝3：2，那么BC的長度是（）A．9 B．12 C．15 D．18解題技巧提煉平行四邊形中求有關線段的方法是利用平行四邊形對邊分別相等，對角線互相平分的性質(zhì)來求解決的.【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．11 B．10 C．9 D．8【變式1-2】平行四邊形的一邊長是9cm，那么這個平行四邊形的兩條對角線的長可以是（）A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm【變式1-3】BF＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【變式1-4】如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，過點O作OE⊥AC交AD于點E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，則AC的長為（）【變式1-5】（2022?蘇州模擬）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，AB＝6，EF＝2，求BC的長．題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度【例題2】在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．140° B．120° C．100° D．40°解題技巧提煉平行四邊形中求有關角度的方法是利用平行四邊形對角相等，鄰角互補的性質(zhì)，并且已知一個角或已知兩鄰角的關系可求出其它三個角的度數(shù).【變式2-1】在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【變式2-2】如圖，在?ABCD中，AE⊥CD于點E，∠B＝60°，則∠DAE等于（）A．15° B．25° C．30° D．65°【變式2-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，則∠A的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．105°【變式2-4】如圖，在?ABCD中，點E在BC上，且CD＝CE，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂足為F，若∠DAF＝48°，則∠C的度數(shù)為（）A．84° B．96° C．98° D．106°【變式2-5】（2022秋?招遠市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度數(shù)．題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求周長或面積題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求周長或面積【例題3】如圖，EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F，若平行四邊形ABCD的周長為36，OE＝3，則四邊形ABFE的周長為（）A．24 B．26 C．28 D．30解題技巧提煉1、平行四邊形的周長=2(a+b)（其中a、b分別為兩相鄰邊的邊長）

2、平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【變式3-1】（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，則平行四邊形ABCD的周長為．【變式3-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交CD，AB于點E、F，連接CF．若△BCF的周長為4，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．14 B．12 C．10 D．8【變式3-3】（2022秋?張店區(qū)校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于點E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，則圖中陰影部分的面積是．【變式3-4】（2022?襄汾縣一模）如圖，在?ABCD中，點E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，則四邊形ABCD的面積為．【變式3-5】（2021春?靖遠縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于F，交DC的延長線于E，過點B作BG⊥AE于點G．（1）求證：AG＝FG；（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由；（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四邊形ABCD的面積．題型四利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型四利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例題4】（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點，連接AB、AC、ED．若AE＝AB，求證：AC＝DE．解題技巧提煉平行四邊形的定義、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)在有關平行四邊形的證明中，常常結(jié)合在一起綜合應用，而利用平行四邊形的定義、平行線的性質(zhì)獲得三角形全等的條件是解題的關鍵.【變式4-1】（2022春?丹鳳縣期末）已知：?ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，連接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求證：AE＝CF．【變式4-2】（2022?興慶區(qū)模擬）如圖，?ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OB、OD上的中點．連接AE、CF．求證：∠DAE＝∠BCF．【變式4-3】（2022?大武口區(qū)校級一模）已知：如圖在平行四邊形ABCD中，點M在邊AD上，且AM＝DM，CM、BA的延長線相交于點E，BM平分∠ABC．求證：BM⊥CE．【變式4-4】如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分別是AB、CD上的點，且BE＝DF，連接EF交BD于O．（1）求證：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG＝1時，求AE的長．【變式4-5】（2022春?蓬江區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD邊的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，連接BE，BE⊥AF．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．題型五兩條平行線間的距離及其應用題型五兩條平行線間的距離及其應用【例題5】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點M在邊AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分別為E、N，則平行線AB與CD之間的距離是（）AE的長 B．MN的長 C．AB的長 D．AC的長解題技巧提煉兩條平行線間的距離指的是：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的垂線段的長度，平行線間的處處都相等，在作平行四邊形的高時，可根據(jù)需要靈活選擇位置.【變式5-1】如圖，在?ABCD中，過點C分別作邊AB，AD的垂線CM，CN，垂足分別為M，N，則直線AB與CD的距離是（）A．CD的長 B．BC的長 C．CM的長 D．CN的長【變式5-2】（2022春?館陶縣期末）如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直線MN交AB于點M，CD于點N，EF于點O．若直線AB和CD之間的距離可以是圖中一條線段的長，則這條線段是（）A．MN B．OE C．EF D．OF【變式5-3】（2022春?新化縣期末）如圖，直線a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a與b的距離是5cm，b與c距離是2cm，則a與c的距離．【變式5-4】（2022春?順平縣期末）在同一平面內(nèi)，設a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，則a與c間的距離為（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【變式5-5】（2021秋?新羅區(qū)校級月考）如圖，已知AB∥CD，O為∠CAB、∠ACD的角平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，則兩平行線AB、CD間的距離等于．題型六平行四邊形與平面直角坐標系的綜合題型六平行四邊形與平面直角坐標系的綜合【例題6】如圖，平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標分別是（1，0），（﹣3，0），（0，2），則頂點C的坐標是（）A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）解題技巧提煉在平面直角坐標系中，已知平行四邊形的三個頂點的坐標，求第四個頂點的坐標時，主要考查平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，解題時，利用了平行四邊形的對邊相等且平行的性質(zhì)，對角線互相平分，有時需要分情況討論．【變式6-1】?ABCD的頂點坐標分別是為A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），則點D的坐標是（）A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）【變式6-2】如圖，已知?ABCD三個頂點坐標是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四個頂點D的坐標是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）【變式6-3】如圖，平行四邊形ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），則頂點D的坐標是（）A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）【變式6-4】如圖，若?ABCD的頂點A，C，D的坐標分別是（1，1），（3，﹣1），（5，2），則點B的坐標是（）A．（﹣4，﹣2） B．（-12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣【變式6-5】平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O為頂點作平行四邊形，第四個頂點的坐標不可能是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）題型七平行四邊形的折疊問題題型七平行四邊形的折疊問題【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝70°，將平行四邊形折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°解題技巧提煉折疊型問題就是把一個圖形一部分沿某條直線折疊后，所形成的圖形胃疼，這類問題既是對稱問題的應用又可考查空間想象能力，平行四邊形中的折疊問題是利用平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的全等、平行等知識在解決問題.【變式7-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上的一個點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，則∠FED′＝（）度．A．40 B．35 C．30 D．50【變式7-1】如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B'處，若∠1＝∠2＝42°，則∠B為（）A．84° B．114° C．116° D．117°【變