19.6一次函數(shù)與方程、不等式（解析版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》19.6一次函數(shù)與方程、不等式知識點一知識點一一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系◆1、由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)值．◆2、對于一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值時，就是把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y或x的一元一次方程來解.◆3、一元一次方程ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）與一次函數(shù)y＝ax+b（a，b為常數(shù)，a≠0）的關(guān)系如下：（1）ax+b＝0（a≠0）的解?函數(shù)y＝ax+b（a≠0）中，y=0時，x的值.（2）ax+b＝0（a≠0）的解?直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交點的橫坐標(biāo).◆4、用一次函數(shù)的圖象解一元一次方程的一般步驟：①轉(zhuǎn)化：將一元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；②畫圖象：畫出一次函數(shù)的圖象；③找交點：找出一次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即為一元一次方程的解.知識點二知識點二一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系◆1、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系:從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．◆2、用畫函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）對應(yīng)一次函數(shù)y＝kx+b，它與x軸交點為（-bk，當(dāng)k＞0時，不等式kx+b＞0的解為：x＞-bk，不等式kx+b＜0的解為：當(dāng)k＜0時，不等式kx+b＞0的解為：x＜-bk，不等式kx+b＜0的解為：知識點三知識點三一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系◆一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系：一般地，因為每個含有未知數(shù)x和y的二元一次方程，都可以改寫為y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)的形式，所以每個這樣的方程都對應(yīng)著一個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)著一條直線，這條直線上每個點的坐標(biāo)（x,y）都是這個二元一次方程的解.因此，由含有未知數(shù)x和y的兩個二元一次方程組成的二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，也就是兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組，相當(dāng)于當(dāng)求自變量為何值時相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等，以及這個函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解方程組，相當(dāng)于確定的兩條直線的交點坐標(biāo).題型一利用一次函數(shù)解一元一次方程題型一利用一次函數(shù)解一元一次方程【例題1】（2022秋?中衛(wèi)期中）已知一次函數(shù)y＝2x+n的圖象如圖所示，則方程2x+n＝0的解可能是（）A．x＝1 B．x=-12 C．x=32 D【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點進行解答即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x+n的圖象與x軸的交點在（0，0）和（﹣1，0）之間，∴方程2x+n＝0的解可能是在0和﹣1之間．觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．【點評】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方程，能根據(jù)數(shù)形結(jié)合求出x的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉解關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0），從“數(shù)”的角度來看,相當(dāng)于當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值；從“形”的角度來看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)值．【變式1-1】（2022春?武邑縣校級期末）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點P（﹣3，2），則關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．無法確定【分析】根據(jù)題意，可知當(dāng)x＝﹣3時，y＝kx+b＝2，根據(jù)圖象即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，可知當(dāng)x＝﹣3時，y＝kx+b＝2，∴關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．故選：C．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，結(jié)合圖象解方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?淮北月考）如圖，直線y＝ax+b過點（0，﹣2）和點（﹣3，0），則方程ax+b+1＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【分析】所求方程的解，即為函數(shù)y＝ax+b圖象與直線y＝﹣1的交點橫坐標(biāo)，確定出解即可．【解答】解：把點（0，﹣2）和點（﹣3，0）代入y＝ax+b得，-3k+b=0b=-2解得k=-2∴y=-23x﹣當(dāng)y＝﹣1時，即-23x﹣2＝﹣解得x=-3故方程ax+b+1＝0的解是﹣1.5，故選：C．【點評】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值．【變式1-3】（2023?臨渭區(qū)一模）已知直線y＝﹣3x與y＝kx+2相交于點P（m，3），則關(guān)于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】先把點P（m，3）代入直線y＝﹣3x求出m的值，故可得出P點坐標(biāo)，再根據(jù)交點坐標(biāo)進行解答即可．【解答】解：∵直線y＝﹣3x和直線y＝kx+2的圖象相交于點P（m，3），∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，∴P（﹣1，3），∴關(guān)于x的方程kx+2＝﹣3x的解是為x＝﹣1，故選：A．【點評】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方【變式1-4】（2022春?阜平縣期末）若關(guān)于x的方程﹣2x+b＝0的解為x＝2，則直線y＝﹣2x+b一定經(jīng)過點（）A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）【分析】根據(jù)方程可知當(dāng)x＝2，y＝0，從而可判斷直線y＝﹣2x+b經(jīng)過點（2，0）．【解答】解：由方程的解可知：當(dāng)x＝2時，﹣2x+b＝0，即當(dāng)x＝2，y＝0，∴直線y＝﹣2x+b的圖象一定經(jīng)過點（2，0），故選：A．【點評】本題主要考查的是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．程，熟知函數(shù)與方程的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022?海珠區(qū)校級二模）已知一次函數(shù)y＝ax+2的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（3，0），則一元一次方程ax+2＝0的解為（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a【分析】根據(jù)圖象經(jīng)過點（3，0），即把（3，0）代入函數(shù)解析式成立，即方程成立，據(jù)此即可判斷．【解答】解：根據(jù)題意當(dāng)x＝3時，y＝0，即方程ax+2＝0成立，則方程的解是x＝3．故選：A．【點評】本題考查了一次函數(shù)與方程的解的關(guān)系，函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式，即若把函數(shù)解析式作為方程，坐標(biāo)對應(yīng)的值就是方程的解．【變式1-6】（2022春?鳳山縣期末）已知函數(shù)y＝kx+b的部分函數(shù)值如表所示，則關(guān)于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（）x…﹣1.5012…y…631﹣1…A．1 B．32 C．﹣1 D．【分析】根據(jù)表格把x＝0，y＝3和x＝1，y＝1分別代入y＝kx+b得出3=b1=k+b，求出k、b的值，再把k、b的值代入方程kx+b﹣5＝0【解答】解：把x＝0，y＝3和x＝1，y＝1分別代入y＝kx+b，得3=b1=k+b解得：k＝﹣2，b＝3，即y＝﹣2x+3，∴方程kx+b﹣5＝0變形為﹣2x+3﹣5＝0，解得：x＝﹣1，即關(guān)于x的方程kx+b﹣5＝0的解是x＝﹣1，故選：C．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程和一次函數(shù)的性質(zhì)，能求出k、b的值是解此題的關(guān)鍵．題型二利用解一元一次方程確定一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)題型二利用解一元一次方程確定一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)【例題2】（2022秋?豐順縣校級期末）已知方程kx+b＝0的解是x=32，則函數(shù)y＝kx+A． B． C． D．【分析】根據(jù)方程的解得出函數(shù)y＝kx+b與x軸的交點坐標(biāo)，然后判斷即可．【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x=3∴函數(shù)y＝kx+b與x軸的交點坐標(biāo)是(3滿足條件的只有D．故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，理解一元一次方程的解與函數(shù)圖象和x軸交點坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉交點法：求一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點，令y=0，解方程即得與x軸的交點；令x=0，解方程即得與y軸的交點.【變式2-1】已知關(guān)于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸交于點（0，2），則這個一次函數(shù)的表達式是．【分析】先根據(jù)方程的解得定義得到2k+b=0，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到b=2，于是可計算出k=1，從而得到一次函數(shù)解析式．【解答】解：把x=﹣2代入kx+b=0得-2k+b=0，

把（0，2）代入y=kx+b得b=2，

所以-2k+2=0，解得k=1，

所以一次函數(shù)解析式為y=x+2．

故答案為y=x+2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a,b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值．【變式2-2】（2022春?建甌市校級月考）已知一次函數(shù)y＝﹣2x+b的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，O為坐標(biāo)原點．若S△AOB＝6，求一次函數(shù)解析式．【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出OA，OB的長，再根據(jù)S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得．【解答】解：對于一次函數(shù)y＝﹣2x+b，當(dāng)y＝0時，x=b2，則當(dāng)x＝0時，y＝b，則B（0，b），OB＝|b|，∵x軸⊥y軸，S△AOB＝6，∴12OA?OB=12×|b解得b=±26則一次函數(shù)解析式為y=-2x+26或y=-2x-2【點評】本題考查的是利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的解析式，正確表示OA，OB的長是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?甘井子區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，請根據(jù)函數(shù)圖象回答下列問題：（1）與x軸交點A的坐標(biāo)是，與y軸交點B的坐標(biāo)是；（2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣2x+4＝0時，x的值是，當(dāng)﹣2x+4＞0時，x的取值范圍是；（3）當(dāng)y＝﹣1時，求x的值．【分析】（1）令y＝0，可解得A的坐標(biāo)；令x＝0，可解得B的坐標(biāo)；（2）﹣2x+4＝0，即y＝0，所以x的值就是A坐標(biāo)的數(shù)值；﹣2x+4＞0，即y＞0，即函數(shù)圖象在x軸上方時x的取值范圍；（3）令y＝﹣1，可解得x的值．【解答】解：（1）令y＝0，即﹣2x+4＝0，解得：x＝2，即與x軸交點A的坐標(biāo)是（2，0）；令x＝0，此時y＝4，即與y軸交點B的坐標(biāo)是（0，4）；（2）由（1）可知，當(dāng)﹣2x+4＝0時，x的值是2；由圖象可知，結(jié)合函數(shù)圖象與x軸的交點為（2，0），當(dāng)﹣2x+4＞0時，x的取值范圍是x＜2；（3）當(dāng)y＝﹣1時，即﹣2x+4＝﹣1，解得：x=5【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的簡單性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022春?聊城期末）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求點D的坐標(biāo)；（2）求直線CE：y＝﹣2x﹣4與直線AB及y軸圍成圖形的面積；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)y＝kx+b解析式，令x＝0求出y即可；（2）聯(lián)立兩直線解析式，解方程組即可得到點C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案；【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過點A（﹣5，0），B（﹣1，4），∴-5k+b=0-k+b=4解得k=1b=5∴y＝x+5，當(dāng)x＝0時，y＝5，∴點D的坐標(biāo)為（0，5）；（2）∵若直線y＝﹣2x﹣4與直線AB相交于點C，∴y=-2x-4y=x+5解得x=-3y=2故點C（﹣3，2），∵y＝﹣2x﹣4與y＝x+5分別交y軸于點E和點D，∴D（0，5），E（0，﹣4），∴直線CE：y＝﹣2x﹣4與直線AB及y軸圍成圖形的面積為：12DE?|?x|=12×9【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)圖象的交點，關(guān)鍵是正確從函數(shù)圖象中獲得正確信息．題型三利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程（組）題型三利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程（組）【例題3】用圖象法解某二元一次方程組時，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象（如圖）．則所解的二元一次方程組是（）A．y=2x+1y=x+2 B．y=3x+1C．y=-2x+1y=x-1 D．【分析】先利用待定系數(shù)求出兩函數(shù)解析式，由于函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，則可判斷所解的二元一次方程組為兩解析式所組成的方程組．【解答】解：設(shè)過點（3，0）和（0，3）的直線解析式為y＝kx+b，則3k+b=0b=3，解得k=-1所以過點（3，0）和（0，3）的直線解析式為y＝﹣x+3；設(shè)過點（2，1）和（0，﹣5）的直線解析式為y＝mx+n，則2m+n=1n=-5，解得m=3所以過點（2，1）和（0，﹣5）的直線解析式為y＝3x﹣5，所以所解的二元一次方程組為y=-x+3y=3x-5故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．解題技巧提煉用圖象法解二元一次方程組的基本方法：（1）將方程組的兩個方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y＝kx+b的形式；（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象；（3）利用圖象直接確定交點坐標(biāo)；（4）得出方程組的解.【變式3-1】下面四條直線，其中直線上每個點的坐標(biāo)都是二元一次方程2x﹣y＝2的解的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，當(dāng)x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點，即可得出圖象．【解答】解：∵2x﹣y＝2，∴y＝2x﹣2，∴當(dāng)x＝0，y＝﹣2；當(dāng)y＝0，x＝1，∴一次函數(shù)y＝2x﹣2，與y軸交于點（0，﹣2），與x軸交于點（1，0），即可得出選項B符合要求，故選：B．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系進而得出與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】下面四條直線，其中直線上的每一個點的坐標(biāo)都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，當(dāng)x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點，即可得出圖象．【解答】解：∵2x﹣3y＝6，∴y=23x﹣∴當(dāng)x＝0，y＝﹣2；當(dāng)y＝0，x＝3，∴一次函數(shù)y=23x﹣2的圖象與y軸交于點（0，﹣2），與x軸交于點（3，即可得出選項D符合要求，故選：D．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系進而得出與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式3-3】用圖象法解某二元一次方程組時，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象如圖所示，則所解的二元一次方程組是（）A．x+y-2=02x-y-1=0 B．2x+y-1=0C．2x-y-1=03x-2y-1=0 D．【分析】由于函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．因此本題應(yīng)先用待定系數(shù)法求出兩條直線的解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)解析式所組成的方程組即為所求的方程組．【解答】解：根據(jù)給出的圖象上的點的坐標(biāo)，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）；分別求出圖中兩條直線的解析式為y＝2x﹣1，y＝﹣x+2，因此所解的二元一次方程組是x+y-2=02x-y-1=0故選：A．【點評】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程，掌握方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】如圖中的兩直線l1、l2的交點坐標(biāo)可以看作哪個方程組的解（）A．y=-13x-1y=-2x+4 C．y=-13x-1y=-2x-4【分析】因為函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．因此本題應(yīng)該先用待定系數(shù)法求出兩條直線的解析式，聯(lián)立兩直線解析式所組成的方程組即為所求的方程組．【解答】解：由于直線l1經(jīng)過點（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直線l1的解析式為y=-13x﹣同理可求得直線l2的解析式為y＝﹣2x+4；因此直線l1，l2的交點坐標(biāo)可以看作方程組y=-1故選：A．【點評】方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【變式3-5】（2021秋?康定市期末）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點A（0，2），與x軸交于點B（4，0），與正比例函數(shù)y＝mx的圖象交于點C．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達式；（2）若點C（2，a），請直接寫出方程組mx-y=0kx-y=-b【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求得C點的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)與方程組的關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點A（0，2），與x軸交于點B（4，0），∴b=24k+b=0，解得k=-∴一次函數(shù)y＝kx+b的表達式為y=-12x（2）∵一次函數(shù)y=-12x+2過點C（2，∴a=-12×2+2∴C（2，1），∴方程組mx-y=0kx-y=-b的解為x=2【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．題型四方程組與兩直線的交點坐標(biāo)問題題型四方程組與兩直線的交點坐標(biāo)問題【例題4】（2011?百色）兩條直線y＝k1x+b1和y＝k2x+b2相交于點A（﹣2，3），則方程組y=kA．x=2y=3 B．x=-2y=3 C．x=3y=-2 【分析】由題意，兩條直線y＝kix+b1和y＝k2x+b2相交于點A（﹣2，3），所以x＝﹣2、y＝3就是方程組y=k【解答】解：∵兩條直線y＝kix+b1和y＝k2x+b2相交于點A（﹣2，3），∴x＝﹣2、y＝3就是方程組y=k∴方程組的y=k1x+故選：B．【點評】本題主要考查了二元一次方程（組）和一次函數(shù)的綜合問題，兩直線的交點就是兩直線解析式所組成方程組的解，認真體會一次函數(shù)與一元一次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系．解題技巧提煉利用二元一次方程組的解可以確定兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，反之，根據(jù)兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，可以確定二元一次方程組的解.【變式5-1】（2022秋?余姚市校級期末）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點P（m，2），則關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是．【分析】首先利用函數(shù)解析式y(tǒng)＝2x求出m的值，然后再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)就是關(guān)于x的方程kx+b＝2的解可得答案．【解答】解：∵直線y＝2x與y＝kx+b相交于點P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴當(dāng)x＝1時，y＝kx+b＝2，∴關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故答案為：x＝1．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是求得兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【變式5-2】（2022春?趙縣期末）如圖，已知函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得關(guān)于x，y的二元一次方程組y=ax+by=kxA．x=-2y=-4 B．x=-4y=-2 C．x=2y=-4 【分析】圖可知：兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）；那么交點坐標(biāo)同時滿足兩個函數(shù)的解析式，而所求的方程組正好是由兩個函數(shù)的解析式所構(gòu)成，因此兩函數(shù)的交點坐標(biāo)即為方程組的解．【解答】解：函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P（﹣4，﹣2），即x＝﹣4，y＝﹣2同時滿足兩個一次函數(shù)的解析式．所以關(guān)于x，y的方程組y=ax+by=kx的解是x=-4故選：B．【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【變式5-3】（2023春?泰興市月考）如果函數(shù)y＝2x﹣b（b為常數(shù)）與函數(shù)y＝x+4的圖象的交點坐標(biāo)是（1，5），那么關(guān)于x，y的二元一次方程組2x-y=bx-y=-4的解是【分析】根據(jù)兩個一次函數(shù)圖象的交點就是二元一次方程組的解，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)已知條件，可知一次函數(shù)y＝2x﹣b和y＝x+4的圖象交于點（1，5），所以關(guān)于x，y的方程組y=2x-by=x+4的解是x=1即關(guān)于x，y的方程組2x-y=bx-y=-4的解是x=1故答案為：x=1y=5【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值．而這一對未知數(shù)的值也可同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【變式5-4】（2022秋?禮泉縣期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣x+4的圖象相交于點P（m，1），則關(guān)于x、y的二元一次方程組x+y=4y-kx=b的解是【分析】先利用y＝﹣x+4確定P點坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)進行判斷．【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，所以P點坐標(biāo)為（3，1），所以關(guān)于x、y的二元一次方程組x+y=4y-kx=b的解是x=3故答案為：x=3y=1【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【變式5-5】（2021秋?菏澤月考）如圖，已知直線l1：y＝3x+1與y軸交于點A，且和直線l2：y＝mx+n交于點P（﹣2，a），根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）求a的值；（2）不解關(guān)于x，y的方程組y=3x+1y=mx+n（3）判斷直線l3：y=-12nx﹣2m是否也經(jīng)過點（4）若直線l1，l2表示的兩個一次函數(shù)都大于0，此時恰好x＞3，求直線l2的函數(shù)解析式．【分析】（1）因為點P（﹣2，a）在直線y＝3x+1上，可求出a＝﹣5；（2）因為直線y＝3x+1直線y＝mx+n交于點P，所以方程組y=3x+1y=mx+n的解就是P（3）把點P坐標(biāo)代入直線l2，得到關(guān)于m、n的等式，再把點P代入直線l3，如果得到同樣的m、n的關(guān)系式，則點P在直線l3上，否則不在．（4）因為直線l1，l2表示的兩個一次函數(shù)都大于0，此時恰好x＞3，所以直線l2過點（3，0），又有直線l2過點P（﹣2，﹣5），可得關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可．【解答】解：（1）∵（﹣2，a）在直線y＝3x+1上，∴當(dāng)x＝﹣2時，a＝﹣5；（2）∵直線l1：y＝3x+1與y軸交于點A，且和直線l2：y＝mx+n交于點P（﹣2，﹣5），∴關(guān)于x，y的方程組y=3x+1y=mx+n的解為x=-2（3）由（2）知點P（﹣2，﹣5），∵點P（﹣2，﹣5）在直線l2：y＝mx+n上，∴﹣2m+n＝﹣5，當(dāng)x＝﹣2時，直線l3：y=-12nx﹣2m＝﹣2m+n＝﹣所以直線l3：y=-12nx﹣2m也經(jīng)過點P（﹣2，（4）∵直線l1，l2表示的兩個一次函數(shù)都大于0，此時恰好x＞3，∴直線l2過點（3，0），又∵直線l2過點P（﹣2，﹣5），∴3m+n=0-2m+n=-5解得m=1n=-3∴直線l2的函數(shù)解析式為y＝x﹣3．【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組），用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法，另外本題還滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．題型五用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式題型五用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式【例題5】（2023?瑤海區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（0，2），則不等式kx+b＞2的解集為．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可確定不等式kx+b＞2的解集．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（0，2），∴當(dāng)x＝0時，kx+b＝2，由圖象可知，不等式kx+b＞2的解集為x＜0，故答案為：x＜0．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、代數(shù)法：將題中信息轉(zhuǎn)化為解不等式，可求出不等式的解集；2、圖象法：先找出直線與坐標(biāo)軸的交點，畫出函數(shù)的圖象，再觀察圖象，確定兩直線的交點坐標(biāo)，最后觀察圖象交點兩側(cè)直線的位置，直接得出不等式的解集.【變式5-1】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點（﹣1，3），則不等式kx+b≤3的解集為（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≤﹣1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象，可以寫出所求不等式的解集．【解答】解：由圖象可得，當(dāng)x＝﹣1時，y＝3，該函數(shù)y隨x的增大而增大，∴不等式kx+b≤3的解集是x≤﹣1，故選：D．【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5-2】（2022秋?邗江區(qū)校級期末）如圖，函數(shù)y＝﹣3x和y＝kx+b的圖象交于點A（m，4），則關(guān)于x的不等式kx+b+3x＜0的解集為．【分析】首先將點A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)中求得m的值，然后結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣3x經(jīng)過點A（m，4），∴﹣3m＝4，解得：m=-4則關(guān)于x的不等式kx+b+3x＜0可以變形為kx+b＜﹣3x，由圖象得：kx+b＜﹣3x的解集為x＜-故答案為：x＜-【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的知識，解題的關(guān)鍵是求得m的值，然后利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式的解集．【變式5-3】（2022春?海港區(qū)期末）如圖，直線y＝mx+n與x軸交于點（﹣2，0），與y軸交于點（0，5），則關(guān)于x的不等式mx+n＜0的解集為．【分析】一次函數(shù)y＝mx+n的圖象落在x軸下方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即為不等式mx+n＜0的解集．【解答】解：∵直線y＝mx+n與x軸交于點（﹣2，0），∴關(guān)于x的不等式mx+n＜0的解集為x＜﹣2．故答案為：x＜﹣2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．【變式5-4】（2022春?秀嶼區(qū)校級期末）直線y＝k2x和y＝k1x+b如圖所示，則關(guān)于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可確定不等式的解集．【解答】解：根據(jù)圖象，可知關(guān)于x的不等式k2x＜k1x+b的解集是x＜﹣1，故答案為：x＜﹣1．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象與一元一次不等式的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】作出函數(shù)y＝2x﹣4的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：（1）當(dāng)﹣2≤x≤4時，求函數(shù)y的取值范圍；（2）當(dāng)x取什么值時，y＜0，y＝0，y＞0；（3）當(dāng)x取何值時，﹣4＜y＜2．【分析】本題要求利用圖象求解各問題，先求得函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點后，畫函數(shù)圖象，根據(jù)圖象觀察，得出函數(shù)的增減性后，求得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝﹣4，當(dāng)y＝0時，x＝2，即y＝2x﹣4過點（0，﹣4）和點（2，0），過這兩點作直線即為y＝2x﹣4的圖象，從圖象得出函數(shù)值隨x的增大而增大；（1）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣8，當(dāng)x＝4，y＝4，∴當(dāng)﹣2≤x≤4時，函數(shù)y的取值范圍為：﹣8≤y≤4；（2）由于當(dāng)y＝0時，x＝2，∴當(dāng)x＜2時，y＜0，當(dāng)x＝2時，y＝0，當(dāng)x＞2時，y＞0；（3）∵當(dāng)y＝﹣4時，x＝0；當(dāng)y＝2時，x＝3，∴當(dāng)x的取值范圍為：0＜x＜3時，有﹣4＜y＜2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問題關(guān)鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結(jié)合．【變式5-6】（2021春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，函數(shù)y＝﹣2x+3與y=-12x+m的圖象交于P（n，﹣（1）求出m、n的值；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式-12x+m＞﹣2x（3）將函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象向左平移a個單位后得到直線l，若直線l與直線y=-12x+m的交點在y軸上，求【分析】（1）先把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3求出n得到P（3，﹣3），然后把P點坐標(biāo)代入y=-12x+m求出（2）寫出直線y=-12x+m在直線y＝﹣2x（3）根據(jù)便宜點規(guī)律表示出直線l的解析式，然后求得直線y=-12x+m的與y軸的交點，代入直線l的解析式即可求得【解答】解：（1）把P（n，﹣3）代入y＝﹣2x+3得﹣2n+3＝﹣3，解得n＝3；∴P（3，﹣3），把P（3，﹣3）代入y=-12x+m得﹣3=-12×3+（2）不等式-12x+m＞﹣2x+3的解集為x＞（3）在y=-12x-32中，令x＝0∴直線y=-12x+m與y軸的交點為（0，將函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象向左平移a個單位后得到直線l，則直線l為y＝﹣2（x+a）+3，∵直線l與直線y=-12x+m的交點在∴-32=-2（0+a解得a=9【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合；也考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換．題型六比較一次函數(shù)值的大小題型六比較一次函數(shù)值的大小【例題6】（2022秋?平桂區(qū)期末）如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx﹣b與y2＝nx函數(shù)圖象相交于點M，當(dāng)kx﹣b＝nx時，x的值是，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是，當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是．【分析】根據(jù)兩條直線的交點、結(jié)合圖象解答即可．【解答】解：由圖象可知，當(dāng)kx﹣b＝nx時，x的值是1，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是x＜1，當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是x＞1．故答案為：1，x＜1，x＞1．【點評】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方程、與一元一次不等式的關(guān)系，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉確定在自變量的某個取值范圍內(nèi)兩個函數(shù)值的大小時，往往將問題轉(zhuǎn)化到不等式中進行解決.【變式6-1】（2022春?銀川校級期中）函數(shù)y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范圍是．【分析】先根據(jù)題意得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，當(dāng)y1＜y2時，2x+4＜5x﹣10，解得x＞14所以使y1＜y2的x的范圍是x＞14故答案為：x＞14【點評】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式的知識，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2021春?城陽區(qū)期末）已知函數(shù)，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，則當(dāng)y1＞y2時，則x的取值范圍是．【分析】由已知可得不等式﹣2x+3＞3x+4，解不等式即可求解．【解答】解：∵y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，y1＞y2，∴﹣2x+3＞3x+4，∴x＜-故答案為x＜-【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，理解一次函數(shù)與一元一次不等式之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2021春?自貢期末）已知一次函數(shù)y1＝x和y2=-x-2(x＜0)2x-2(x≥0)，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是【分析】分別解不等式組x＞-x-2x＜0【解答】解：解不等式組x＞-x-2x＜0，得﹣1解不等式組x＞2x-2x≥0，得0≤x綜上可得，﹣1＜x＜2．故答案為：﹣1＜x＜2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一元一次不等式組的解法，難度適中．此題還可以利用圖象法求解．【變式6-4】（2022春?魚臺縣期末）已知函數(shù)y1＝2x，y2＝x+2，試比較y1、y2的大小關(guān)系．【分析】解方程組求得直線y1＝2x與y2＝x+2的交點坐標(biāo)為（2，4），于是得到結(jié)論．【解答】解：解y1=2xy∴直線y1＝2x與y2＝x+2的交點坐標(biāo)為（2，4），∴當(dāng)x≤2時，y1≤y2；當(dāng)x＞2時，y1＞y2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，求得直線y1＝2x與y2＝x+2的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2021秋?合肥期末）如圖，過點B（3，0）的一次函數(shù)y1＝﹣x+b的圖象與正比例函數(shù)y2＝kx的圖象相交于點C，且點C的縱坐標(biāo)是2．（1）求一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)y1＞y2＞0時，x的取值范圍．【分析】（1）將點B的坐標(biāo)代入y1＝﹣x+b求b，從而求得一次函數(shù)的解析式，然后將y＝2代入y1得到點C的坐標(biāo)，再把點C的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式求k，從而得到正比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）將B（3，0）代入y1＝﹣x+b得，﹣3+b＝0，∴b＝3，∴一次函數(shù)的解析式為：y1＝﹣x+3，當(dāng)y＝2時，x＝1，∴點C（1，2），將點C代入y2＝kx得，k＝2，∴正比例函數(shù)的解析式為：y2＝2x，（2）由圖象可知，當(dāng)y1＞y2＞0時，x的取值范圍0＜x＜1．【點評】本題考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式6-6】（2022春?原州區(qū)期末）利用函數(shù)圖象回答下列問題：（1）函數(shù)y1與函數(shù)y2的交點坐標(biāo)為；（2）函數(shù)值y1＞y2的解集為；（3）函數(shù)值y1＜y2的解集為．【分析】（1）觀察函數(shù)的圖象y＝2x與y＝﹣x+3相交于點（1，2），從而求解；（2）觀察函數(shù)的圖象，從而求解；（3）觀察函數(shù)的圖象，從而求解；【解答】解：（1）觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象相交于（1，2）．可求出方程組的解為x=1y=2故答案為：（1，2）．（2）觀察圖象可知，函數(shù)值y1＞y2的解集為x＞1，故答案為：x＞1．（3）觀察圖象可知，函數(shù)值y1＜y2的解集為x＜1，故答案為：x＜1．【點評】此題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)圖形的性質(zhì)，從圖象入手解題較為簡單．題型七兩直線相交求面積問題題型七兩直線相交求面積問題【例題7】（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，用圖象法求二元一次方程組x+y=42x-y=-1（2）求（1）中圖象與x軸所圍成的三角形的面積．【分析】（1）作出函數(shù)y＝﹣x+4和函數(shù)y＝2x+1的圖象，由二元一次方程組x+y=42x-y=-1，的解即函數(shù)y＝﹣x+4和函數(shù)y＝2x+1（2）分別由圖象得出兩函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，代入三角形面積公式即可．【解答】解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝﹣x+4和函數(shù)y＝2x+1的圖象：∵二元一次方程組x+y=42x-y=-1，的解即函數(shù)y＝﹣x+4和函數(shù)y＝2x+1∵由圖象知：函數(shù)y＝﹣x+4和函數(shù)y＝2x+1的圖象的交點坐標(biāo)為（1，3），∴二元一次方程組x+y=42x-y=-1，的解為x=1（2）由圖象知：函數(shù)y＝﹣x+4和函數(shù)y＝2x+1的圖象與x軸的交點坐標(biāo)分別為（4，0），（﹣0.5，0），∴（1）中圖象與x軸所圍成的三角形的面積為：12【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．解題技巧提煉1、本題運用一次函數(shù)與方程（組）的關(guān)系求出三角形三個頂點的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)求出三角形的面積.2、運用一次函數(shù)與方程（組）的關(guān)系是求點的坐標(biāo)常用的方法.【變式7-1】（2021春?興慶區(qū)校級期中）如圖，函數(shù)y＝﹣2x+3與y=-12x+m的圖象交于點P（n（1）求出m，n的值．（2）直接寫出-1（3）求出△ABP的面積．【分析】（1）根據(jù)凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式把P點坐標(biāo)代入y＝﹣2x+3可得n的值，進而可得P點坐標(biāo)，再把P點坐標(biāo)代入y=-12x+m可得（2）根據(jù)函數(shù)圖象可直接得到答案；（3）首先求出A、B兩點坐標(biāo)，進而可得△ABP的面積．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+3過P（n，﹣2）．∴﹣2＝﹣2n+3，解得：n=5∴P（52，﹣2∵y=-12x+m的圖象過P（52∴﹣2=-12解得：m=-3（2）不等式-12x+m≤﹣2x+3的解集為x（3）∵當(dāng)y＝﹣2x+3中，x＝0時，y＝3，∴A（0，3），∵當(dāng)y=-12x-34中，x＝0∴B（0，-3∴AB＝334∴△ABP的面積：12AB×【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．【變式7-2】（2022春?遂溪縣期末）如圖，直線y1＝x+1交x軸、y軸于點A、B，直線y2＝﹣2x+4交x、y軸于點C、D，兩直線交于點E．（1）求點E的坐標(biāo)；（2）求△ACE的面積；（3）根據(jù)圖象直接回答：當(dāng)x為何值時，y1＜y2？【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，解方程組可得；（2）先根據(jù)函數(shù)解析式求得點A、C的坐標(biāo)，即可得線段AC的長，再根據(jù)三角形面積公式計算可得；（3）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）解y=x+1y=-2x+4得x=1∴E（1，2）；（2）當(dāng)y1＝x+1＝0時，解得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），當(dāng)y2＝﹣2x+4＝0時，解得：x＝2，∴C（2，0），∴AC＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△ACE=12（3）由圖象可知，當(dāng)x＜1時，y1＜y2．【點評】本題主要考查兩直線相交或平行的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩直線解析式求得兩者交點的坐標(biāo)及其與x軸的交點坐標(biāo)．【變式7-3】如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點P（2，b）．（1）求b的值；（2）直接寫出關(guān)于x，y的方程組x-y+1=0，（3）若l1交x軸于點A，l2交x軸于點B，且S△PAB＝9，求直線l2對應(yīng)的函數(shù)表達式．【分析】（1）已知點P在l1上，故將點P坐標(biāo)代入l1函數(shù)解析式，即可求得b的值；（2）二元一次方程組的解為l1與l2的交點坐標(biāo)，根據(jù)上問求解即可直接得到方程組的解；（3）在l1上，求出當(dāng)y＝0時，對應(yīng)點A的坐標(biāo)，設(shè)出點B坐標(biāo)，利用三角形面積公式，即可求得點B坐標(biāo)，分別將點P與點B坐標(biāo)代入l2函數(shù)式，即可求得對應(yīng)函數(shù)表達式．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：點P（2，b）在直線y＝x+1上，則2+1＝b，解得b＝3；（2）因為b＝3，∴交點坐標(biāo)是（2，3），∴方程組的解是x=2y=3（3）直線l1中，當(dāng)y＝0時，x＝﹣1，故點A坐標(biāo)為（﹣1，0），設(shè)點B坐標(biāo)為（t，0），故12×3×（t+1）＝解得：t＝5，故點B坐標(biāo)為（5，0），將點B、點P坐標(biāo)代入l2方程，可得：3=2m+n0=5m+n解得：m＝﹣1，n＝5，故直線l2對應(yīng)函數(shù)表達式為：y＝﹣x+5．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握一次函數(shù)與方程組之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型八用一次函數(shù)與一元一次不等式的實際應(yīng)用題型八用一次函數(shù)與一元一次不等式的實際應(yīng)用【例題8】（2021春?固原期末）某單位需要用車，準備和一個體車主或一國有出租車公司其中的一家簽訂合同．設(shè)汽車每月行駛xkm，應(yīng)付給個體車主的月租費是y1元，付給出租車公司的月租費是y2元，y1，y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象是如圖的兩條直線，觀察圖象，回答下列問題：（1）每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費用相同？（2）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時，租國有出租車公司的出租車合算？（3）如果這個單位估計每月行駛的路程為2300km，那么這個單位租哪家的車合算？【分析】根據(jù)圖象可知（1）兩直線的交點即為每月行駛的路程等于1500km時，租兩家車的費用相同；（2）根據(jù)圖象得到表示個體戶的直線在出租公司的直線上時，即y2＜y1時對應(yīng)的x的范圍即可；（3）先判斷2300km＞1500km，再結(jié)合圖象判斷哪條直線在下方，代表哪方合算．【解答】解：（1）兩條直線在1500km處相交，故每月行駛的路程等于1500km時，租兩家車的費用相同；（2）由圖可知當(dāng)y2＜y1時，對應(yīng)的x的范圍是x＜1500km；（3）由圖象可知，當(dāng)x＝2300km＞1500km，y1＜y2，即租用個體戶的車合算．【點評】主要考查了一次函數(shù)的實際運用和讀圖能力．從圖象中獲得所需的信息是需要掌握的基本能力，要理解交點坐標(biāo)和直線的上下關(guān)系在實際問題中的具體含義．解題技巧提煉本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與一元一次不等式關(guān)系的知識，充分利用圖象中數(shù)據(jù)信息，正確應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式以及構(gòu)造不等式是解題關(guān)鍵．【變式8-1】某電信公司推出甲、乙兩種收費方式供手機用戶選擇：甲種方式：每月收月租費5元，每分鐘通話費為0.2元；乙種方式：不收月租費，每分鐘通話費為0.3元；（1）請分別寫出甲乙兩種收費方式每月付費y1、y2（元）與通話時間x（分鐘）之間函數(shù)表達式；（2）如何根據(jù)通話時間的多少選擇付費方式，請給出你的方案．【分析】（1）根據(jù)題意可以直接寫出甲乙兩種收費與t的關(guān)系，從而可以解答本題；（2）令兩種收費一樣多，求出相應(yīng)的時間t，然后根據(jù)題意即可根據(jù)通話時間確定省錢的付費方式．【解答】解：（1）由題意可得，甲種方式的費用為y1＝5+0.2t，乙種方式的費用為y2＝0.3t，（2）當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，即5+0.2t＝0.3t，解得，t＝50，∴當(dāng)t＜50分鐘時，乙種收費方式省錢，當(dāng)t＝50分鐘時，兩種收費方式一樣，當(dāng)t＞50分鐘時，甲種收費方式省錢．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，求出兩種花費一樣多的時間．【變式8-2】（2023?二道區(qū)校級一模）某工廠的銷售部門提供兩種薪酬計算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪為3000元，每銷售一件商品另外獲得15元的提成；薪酬方式二：無底薪，每銷售一件商品獲得30元的提成．設(shè)銷售人員一個月的銷售量為x（件），方式一的銷售人員的月收入為y1（元），方式二的銷售人員的月收入為y2（元）．（1）請分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)表達式；（2）哪種薪酬計算方式更適合銷售人員？【分析】（1）根據(jù)已知直接可得y1、y2與x之間的函數(shù)表達式；（2）由（1）的表達式，分別列方程和不等式，即可解得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y1與x之間的函數(shù)表達式為y1＝3000+15x，y2與x之間的函數(shù)表達式為y2＝30x；（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，∴當(dāng)x＝200時，選擇兩種薪酬計算方式對銷售人員一樣，當(dāng)3000+15x＜30x時，解得x＞200，∴當(dāng)x＞200時，薪酬方式二計算方式更適合銷售人員．當(dāng)3000+15x＞30x時，解得x＜200，∴當(dāng)x＜200時薪酬方式一計算方式更適合銷售人員，綜上所述，當(dāng)x＜200時薪酬方式一計算方式更適合銷售人員，當(dāng)x＝200時，選擇兩種薪酬計算方式對銷售人員一樣，當(dāng)x＞200時，薪酬方式二計算方式更適合銷售人員．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，通過方程（或不等式））解答．【變式8-3】（2022秋?大豐區(qū)期末）某中學(xué)計劃寒假期間安排4名老師帶領(lǐng)部分學(xué)生參加紅色旅游．甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人1000元．經(jīng)協(xié)商，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：老師、學(xué)生都按八折收費；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：四位老師全額收費，學(xué)生都按七折收費．（1）設(shè)參加這次紅色旅游的老師和學(xué)生共有x名，y甲，y乙（單位：元）分別表示選擇甲、乙兩家旅行社所需的費用，求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若該校共有30名老師和學(xué)生參加活動，則選擇哪家旅行社支付的旅游費用較少？【分析】（1）甲旅行社需要的費用為：0.8×1000x，；乙旅行社的收費為：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；（2）將x＝30分別代入（1）求得的函數(shù)解析式，計算即可求解．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝4×1000+0.7×1000×（x﹣4）＝700x+1200；（2）當(dāng)x＝30時，y甲＝800x＝800×30＝24000，y乙＝700x+1200＝700×30+1200＝22200，y甲＞y乙，答：選擇乙旅行社支付的旅游費用較少．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，得出相應(yīng)的函數(shù)解析式．【變式8-4】（2021春?永川區(qū)期末）已知A、B兩地的路程為240千米．某經(jīng)銷商每天都要用汽車或火車將x噸保鮮品一次性由A地運往B地．受各種因素限制，下一周只能采用汽車和火車中的一種進行運輸，且須提前預(yù)訂．現(xiàn)有貨運收費項目及收費標(biāo)準表、行駛路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖象（如圖）等信息如下：貨運收費項目及收費標(biāo)準表運輸工具運輸費單價：元/（噸?千米）冷藏費單價：元/（噸時）固定費用：元/次汽車25200火車1.652280（1）汽車的速度為多少？火車的速度為多少？（2）設(shè)每天用汽車和火車運輸?shù)目傎M用分別為y汽（元）和y火（元），分別求y汽、y火與x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）；（3）當(dāng)x為何值時，y汽＞y火．（總費用＝運輸費+冷藏費+固定費用）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得汽車的速度為60千米/時，火車的速度100千米/時；（2）根據(jù)總費用＝運輸費+冷藏費+固定費用可得y汽＝500x+200，y火＝396x+2280；（3）由500x+200＞396x+2280可解得答案．【解答】解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知：汽車的速度為120÷2＝60（千米/時），火車的速度為200÷2＝100（千米/時）；答：汽車的速度為60千米/時，火車的速度100千米/時；（2）根據(jù)表格可得：y汽＝240×2x+24060×5x+200＝500y火＝240×1.6x+240100×5x+2280＝396答：每天用汽車運輸?shù)目傎M用分別為y汽＝500x+200，每天用火車運輸?shù)目傎M用y火＝396x+2280；（3）當(dāng)y汽＞y火時，500x+200＞396x+2280，解得x＞20，答：當(dāng)y汽＞y火時，x＞20．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能列出函數(shù)關(guān)系式．【變式8-5】（2023?中原區(qū)校級三模）為了積極助力脫貧攻堅工作，如期打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某駐村干部帶領(lǐng)村民種植草莓，在每年成熟期都會吸引很多人到果園去采摘．現(xiàn)有甲、乙兩家果園可供采摘，這兩家草莓的品質(zhì)相同，售價均為每千克30元，這兩家果園的采摘方案不同．甲果園：每人需購買20元的門票一張，采摘的草莓按6折優(yōu)惠；乙果園：不需要購買門票，采摘的草莓按售價付款不優(yōu)惠．設(shè)小明和爸爸媽媽三個人采摘的草莓?dāng)?shù)量為x千克，在甲、乙果園采摘所需總費用分別為y甲、y乙元，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）請分別求出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請求出圖中點A的坐標(biāo)并說明點A表示的實際意義；（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出小明一家選擇哪家果園采摘更合算．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象和圖象中的數(shù)據(jù)可以解答本題；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，聯(lián)立方程組解答即可；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論列不等式或方程解答即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得y甲＝30×0.6×x+20×3＝18x+60，設(shè)y乙＝k2x，∵點（10，30）在y乙上根據(jù)題意得，10k2＝300，解得k2＝30，∴y乙＝30x；（2）聯(lián)立y=18x+60y=30x，解得x=5∴點A的坐標(biāo)為（5，150），點A的實際意義是當(dāng)采摘量為5千克時，到兩家果園所需總費用相同均為150元；（3）由（2）知點A的坐標(biāo)為（5，150），觀察圖象知：當(dāng)采摘量大于5千克時，到甲果園更劃算；當(dāng)采摘量等于5千克時，兩家果園所需總費用相同，所以到甲乙果園哪家都可以；當(dāng)采摘量小于5千克時，到家乙果園更劃算．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．題型九題型九方程（組）、不等式（組）與一次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題9】已知一服裝廠現(xiàn)有A種布料70米，B種布料52米，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)M，N兩種型號的時裝共80套．已知做一套M型號的時裝需用A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利50元；做一套N型號的時裝需用A種布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利45元．設(shè)生產(chǎn)M型號的時裝套數(shù)為x，解答下列問題：（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過程；（2）當(dāng)生產(chǎn)M型號的時裝為多少套時，能使該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以求得x的取值范圍，然后即可得到相應(yīng)的生產(chǎn)方案；（2）根據(jù)題意，可以得到利潤與生產(chǎn)M型號的時裝套數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)x的取值范圍和一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當(dāng)生產(chǎn)M型號的時裝為多少套時，能使該廠所獲利潤最大，最大利潤是多少．【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)M型號的時裝x套，則生產(chǎn)N型號的時裝（80﹣x）套，1.1x+0.6(80-x)≤700.4x+0.9(80-x)≤52解得40≤x≤44，∵x為整數(shù)，∴x＝40，41，42，43，44，∴有5種符合題意的生產(chǎn)方案；（2）設(shè)該廠所獲利潤為y元，由題意可得，y＝50x+45（80﹣x）＝5x+3600，∵k＝5，∴y隨x的增大而增大，∵x＝40，41，42，43，44，∴當(dāng)x＝44時，y取得最大值，此時y＝3820，答：當(dāng)生產(chǎn)M型號的時裝為44套時，能使該廠所獲利潤最大，最大利潤是3820元．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．解題技巧提煉一次函數(shù)、二元一次方程（組）與不等式