2023屆安徽省淮北市高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.二項(xiàng)式(4+2)”的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()

x

A.180B.90C.45D.360

2.已知直線4：ox+2y+4=0,l2:x+(a-1)y+2=0,則“a=—l”是C的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

29

3.設(shè)片，入分別為雙曲線與=1(?>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作圓f+>2=〃的切線與雙曲線的左

一瓶

支交于點(diǎn)P,若|尸用=2忸用，則雙曲線的離心率為()

A.72B.73C.75D.V6

4.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-44G2中，P為線段的中點(diǎn)，分別為線段AG和棱上任意

一點(diǎn)，則2PM+0MN的最小值為()

5.設(shè)雙曲線。孑=1,>08>0)的左右焦點(diǎn)分別為入，點(diǎn)E(0,f)(r>0).已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C的右支

上，且點(diǎn)P,E，6不共線.若APE"的周長(zhǎng)的最小值為4》，則雙曲線。的離心率e的取值范圍是()

、

,+oo

，3c.

/\

6.將函數(shù)/U）=s加3x-gcos3x+l的圖象向左平移J個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，給出下列關(guān)于g（x）的結(jié)論:

6

①它的圖象關(guān)于直線X=三57r對(duì)稱；

2萬(wàn)

②它的最小正周期為7；

1\JI

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（-此，1）對(duì)稱；

18

④它在［彳5乃，詈19乃］上單調(diào)遞增.

39

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為（

5

B.2兀—71D.3萬(wàn)

2

8,下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象（）

A.向左平移彳個(gè)單位B.向右平移?個(gè)單位

C.向左平移2個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位

9.已知a￡(0,4)，且tana=2,則cos2a+cosa=()

A,正R百-3C亞+3D.必

B.------------

5555

V

10.已知定義在R上的奇函數(shù)/（X）,其導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,當(dāng)xNO時(shí)，恒有§/'（回+/*）>0.則不等式

J</（X）—（1+2X）3/（1+2X）<0的解集為（).

{x|-l<x<-1}

A.{x|—3<x<-1}B.

C.{%|尢<一3或x>T}D.

11.已知拋物線。：丁2=2〃宜〃>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線。交于A,3兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)A位于第一象

限），過(guò)點(diǎn)A,3分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)4，用，拋物線。的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K,若招=2,

I4KI

則直線/的斜率為

A.1B.72C.272D.6

12.^ABC的內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為a,6,c,已知a+2c=2/?cosA,則角8的大小為（）

2萬(wàn)71-兀5萬(wàn)

A.—B.—C.—D.—

3366

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.給出以下式子：

（Dtan25o+tan35°+百tan25°tan35°；

（2）2（sin35°cos250+cos350cos65°）；

\+tan\5Q

③--------------

l-tanl50

其中，結(jié)果為6的式子的序號(hào)是.

y>0

14.若實(shí)數(shù)X，），滿足不等式組<2x—y+320,則z=2y—x的最小值是一

x+y-l<0

15.古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有種.（用數(shù)字作

答）

16.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為；系數(shù)最大的項(xiàng)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)仆9=|x-2。|-|x-a|,aeR.

（I）若f⑴>1,求。的取值范圍；

（ID若a<0,對(duì)％,y￡（-oo,a],都有不等式SI?+2020》+|y-al恒成立，求。的取值范圍.

18.（12分）已知等腰梯形438中（如圖1）,AB=4,BC=CD=DA=2,F為線段CD的中點(diǎn)，E、M為

線段AB上的點(diǎn)，AE=EM=1,現(xiàn)將四邊形AEED沿EE折起（如圖2）

FC

EM

圖1圖2

（1）求證：40〃平面8C。；

（2）在圖2中，若BD=6求直線CO與平面BCFE所成角的正弦值.

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐

x=-2+旦

標(biāo)方程為夕sin2e=2acos6（a>0）,過(guò)點(diǎn)P（—2,-4）的直線I的參數(shù)方程為<（為參數(shù)），直線/與曲

線C交于M、N兩點(diǎn)。

（1）寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

（2）若|尸"1,1MNPN|成等比數(shù)列，求a的值。

2萬(wàn)5

20.（12分）如圖，在平面四邊形ABC。中，—,sinNB4C=cosN8=—,AB=13.

313

B

(1)求AC；

(2)求四邊形A3CD面積的最大值.

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足4=且4=等+擊(〃N2,〃eN).

(1)求證：數(shù)列｛2"4｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”.

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=e*+2ox-e,g(x)=-lnx+ox+a.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)對(duì)任意xNl,都有/(x)Ng(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

試題分析：因?yàn)?4+4)”的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以〃=10,

X

心=品?(4.—產(chǎn)'？弓O廠2/x5--2r,令5-5于=0,貝以=2,7>4Gj-=18().

x2

考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.組合數(shù)的計(jì)算.

2.C

【解析】

先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍，可得到答案.

【詳解】

直線4:ax+2y+4=0,/2:x+(?-l)y+2=0,4||4的充要條件是a(a-l)=2=a=2期=-1,當(dāng)a=2時(shí)，化

簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終2=-1.因此得到“。=-1”是“4||/2"的充分必要條件.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

判斷充要條件的方法是：①若p=q為真命題且qnp為假命題，則命題P是命題q的充分不必要條件；②若p=q為假

命題且q=>p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若pnq為真命題且qnp為真命題，則命題p是命題

q的充要條件；④若pnq為假命題且q〉p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與

命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.

3.C

【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)片作圓/+產(chǎn)=從的切線的切點(diǎn)為T,根據(jù)切線的性質(zhì)可得。丁，尸￡,且|OT|=a,再由|「鳥|=2|「用和

雙曲線的定義可得|P耳1=2。,|P6|=4。，得出T為耳尸中點(diǎn)，則有077/巴。得到P鳥"LPK，即可求解.

【詳解】

設(shè)過(guò)點(diǎn)冗作圓犬+y2=〃的切線的切點(diǎn)為T,

22

OT±PFt,\F}T\=7lOF,|-b=a

|尸閶=2|尸磯|尸閭-|尸制=2a,|P周=4,|尸制=%,

所以T是耳P中點(diǎn)，??.OT//PK，，P￡1P外,

22

:.|P￡F+1PF21=20a2=|f；^|=4c,

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

4.D

【解析】

取AC中點(diǎn)￡,過(guò)M作面A4G。，可得&WKV為等腰直角三角形，由可得=

當(dāng)MN_L4G時(shí)，MN最小,由MF=—MN故

29

（五、

2PM+母MN=2PM+—MN=2（EM+MF）>2AA]=29即可求解.

【詳解】

取AC中點(diǎn)E,過(guò)M作面A4G。，如圖:

則小4/泡=41@/，故PM=EM,

而對(duì)固定的點(diǎn)"，當(dāng)MV_LBC1時(shí)，MN最小.

后

此時(shí)由陸_1面4g6。1，可知&WMV為等腰直角三角形，MF=—MN,

2

故2PM+6MN=2PM+—MN^2(EM+MF)>2AA]=2.

、2>

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

5.A

【解析】

依題意可得C"EF?=PE+PF?+EF2=PE+PF2+EFt>2PF]一2a=4Z?

即可得到2a+4b>2(a+c),從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFt

-PE+PF、+EF]-la

>2PFi-2a=4b

2PFt=2a+4/?>2(a+c)

所以2/?>c

貝114c2-4/>c2

所以3c2>4a2

M4.

所以/=彳>3

a23

所以e>竽，即ee1孚,+8

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

6.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)丁=44“5+8)圖象的平移變換公式求出函數(shù)g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間等相

關(guān)性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)殪?=§配3x-73cos3x+l=2s加(3x-g)+L由y=Asin(①x+9)圖象的平移變換公式知，

jrjrjr27r

函數(shù)g(x)=2s加［3(x+7)?；］+l=2s加(3x+：)+l,其最小正周期為7=-丁，故②正確；

令3乂+常吃,得4^+觸口),所以x=^不是對(duì)稱軸，故①錯(cuò)誤；

令標(biāo)+曾乃，得產(chǎn)"W(FZ),取&=2,得*=坐，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(坐，1)對(duì)稱，故③正確；

63181818

人7in712攵萬(wàn)2乃2攵"兀―—10413萬(wàn)?-16419萬(wàn)

令2Am—<3x+——,々￡Z,得-----—-----*■—,取k=2,得----^x<----,取A=3,得------------,

26239399999

故④錯(cuò)誤;

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查〉=44!1（5+9）圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和

整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}

型

7.A

【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1,圓柱的底面

半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，

半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.

貝!J幾何體的體積為1=乃xFxl=g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

8.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為/（x）=sin+。），再根據(jù)平移法則得到答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為/(x)=Asin(ct)x+(p)+b,

T7T7L7E

根據(jù)圖像：A=l,b=O,-=故7=］，即o=2,

43124

n

sin今+q=1,e=(+2%乃/eZ,取攵=0,得到/(x)=sin12x+2J,

1233

函數(shù)向右平移7個(gè)單位得到丁=sin2x.

o

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

9.B

【解析】

分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得cosa的值，之后借助于倍角公式，將待求的

式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的式子，代入從而求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題中的條件，可得a為銳角，

根據(jù)lana=2,可求得cosa=旦,

-'''5

而cos2a+cosa=2cos2a+cosa-1=—+^--1=――-＞故選B.

555

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)已知真切求余弦的方法

要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.

10.D

【解析】

先通過(guò)|r（x）+/（%）＞o得到原函數(shù)g（%）=土?。為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到）'軸距離求解不等式即可.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g（x）=E^l,

貝！Jg，(x)=■?/(X)+3/1X)=尤2/1X)+/(X))

由題可知:/'（x）+/（x）＞0,所以g（x）=5誓在x?0時(shí)為增函數(shù);

立區(qū)為偶函數(shù);

由r'為奇函數(shù)，"X）為奇函數(shù)，所以g（x）=

3

又x3f(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0,即文f(x)<(1+2x)3/(I+2x)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)為開口向上的偶函數(shù)

所以|x|<|l+2x|,解得》<一1或x>—；

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.

11.C

【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得IA/HA4,I,\BF1=1BBJ，

又小〃FK〃叫‘所以源=兩=2,

mm

設(shè)|8旦|=租(機(jī)>0),貝力朋|=2m，貝卜0$乙4&=以九/844=-L.==-.,

所以sinZA&=述，所以直線/的斜率Z=tanZA以=20.故選C.

3

12.A

【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解A

【詳解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sin5cosA,即sinA+2sin(A+6)=2sin3cosA,即有sinA(1+2cos3)=0,

12萬(wàn)

因?yàn)閟inA>0,貝ijcos6=-一，而Be(0,萬(wàn))，所以3=——.

23

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.③

【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】

“c八°-八tan25+tan35rr

?Vtan60°=tan(25°+35°)=------------------------=、3

1-tan250tan350

tan250+tan35°4-^/3tan25°tan35°；

=G(1—必〃25°幻〃35°)+tan25°tan35°,

5

②2(sin35ocos25o+cos35ocos650)=2(sin35ocos250+cos35osin25°),

=2sin60°=y/3;

\+tan\50tan450tan150

=tan(45°+15°)=tan60°=G；

\-tan15°1-tan450tan450

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.

14.-1

【解析】

作出可行域，如圖:

由2=2y一%得丫=^X+；2,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)人點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A(1,0)

所以Zmin=-1

故答案為-1

15.1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5x2xlxlxl=l.

考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景，利用分

步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.

16.60240/

【解析】

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng)；求出項(xiàng)的系數(shù)，利用作商法可

求出系數(shù)最大的項(xiàng).

【詳解】

(2/+的展開式的通項(xiàng)為C3(2X2)6"J=鼠曠，

令12-3左=0,得Z=4,所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為22=60；

小〃k正幻％*tfC；-26-n>Cr'-27-

令4=。6-2("N,仁6),令，即一介5”

1c6,2*6-2

47

解得Q〃wN,；.〃=2,因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為。>24./=24(卜6.

故答案為：60；240/.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解

決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)(-co,-1)U(l,+<x))i(II)[-1010,0).

【解析】

(I)由題意不等式化為-2a\利用分類討論法去掉絕對(duì)值求出不等式的解集即可；

(D)由題意把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為伏刈4網(wǎng)W小+2。20|+IP-而，分別求出的〃max和川+2020\+｝一。3而，列出不等式

求解即可.

【詳解】

(I)由題意知，f(l)=\1-2a\-\l-a\>1,

若則不等式化為1-2a"+。>/,解得

若；<a<l，則不等式化為2a-/-〃-力>/,解得a>/,即不等式無(wú)解；

若a1,則不等式化為2a-1+/-〃>/,解得〃>/,

綜上所述，。的取值范圍是(-oo,-1)U(1,+00);

(II)由題意知，要使得不等式s@+2020)1+[y-a|恒成立，

只需如〃max'收+2。2。|+A叫曲，

當(dāng)x￡(-00,O/時(shí),|x-2a\-\X-a\<ra,[f(x)]mm=-af

因?yàn)閮H+2020|+\y-a\>\a+2020\,所以當(dāng)。，+2020)僅-a/S。時(shí)，

[\y+2020\+\y-a\]n^^\a+2020\,

即-a4|a+2020|,解得a2-10/0,

結(jié)合a<0,所以“的取值范圍是/<10/0,0%

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題，含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問(wèn)題，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了

分類討論思想，是中檔題.含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，再通過(guò)絕對(duì)值三角不

等式求解最值，從而建立不等關(guān)系，求出參數(shù)范圍.

18.(1)見解析；(2)旦.

3

【解析】

(1)先連接CM,根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

(2)在圖2中，過(guò)點(diǎn)。作。。，所，垂足為。，連接08,OC,證明平面BCEE_L平面800,得到點(diǎn)。在底

面BCFE上的投影必落在直線上，記”為點(diǎn)。在底面8CEE上的投影，連接OH,HC,得出/DC”即是直

線C。與平面3CEE所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)連接CM,因?yàn)榈妊菪蜛BC。中(如圖1),AM=AE+EM=2=CD,AB//CD,

所以AM與CD平行且相等，即四邊形AMCD為平行四邊形；所以AZ)〃CM；

又尸為線段CD的中點(diǎn)，E為AM中點(diǎn)，易得：四邊形的7)也為平行四邊形，所以4。〃￡尸；

將四邊形AEFD沿所折起后，平行關(guān)系沒(méi)有變化，仍有：AD//CM,且AO=CM,

所以翻折后四邊形AMCD也為平行四邊形；&AM"CD；

因?yàn)閃平面BCD,CDu平面BCD,

所以AM〃平面BCD；

(2)在圖2中，過(guò)點(diǎn)。作OOJ.EF,垂足為。，連接OB,OC,

因?yàn)锳D=2,AE=\,翻折前梯形ABC。的高為q/=0七=亞二7=6，

所以ZDAE=ZDFE=60，則DO=DF?sin60=—>OF=DF-cos60=-；

22

所~以O(shè)E=EF-OF=3；

2

又BE=EM+MB=3,NFEM=NDFE=60，

所以BO=J-+9-2x-x3xcos60=—,即BO2+OE2=BE?,所以80，OE；

\422

又DOcBO=O,且￡>Ou平面80。，BOu平面80。，

所以￡0,平面BOO；因此，平面3CFE_L平面BOO；

所以點(diǎn)O在底面3CEE上的投影必落在直線上；

記”為點(diǎn)。在底面5CEE上的投影，連接HC,

則平面3CFE；

所以ZDCH即是直線C。與平面BCFE所成角,

因?yàn)锽D=瓜,所以cosN5OO="士”二^匕=L,

2OBOD3

因此0”=。07吊/。03=亙^^=逅，OH=DOcosZDOB=,

233236

故34=30-0"=更-且=辿；

263

因?yàn)閆OFC=Z.EFC=NFCB=120',

所以ZHBC=NOBC=360-120-120-90°=30，

因此Ca二^BH2+BC2-2BH-BC-cosAHBC=逆，故CO=XJDH2+HC2=應(yīng)，

3

所以sinNDCH-.

CD3

即直線cr＞與平面BCFE所成角的正弦值為且.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于

常考題型.

19.(1)/的普通方程y=x-2；C的直角坐標(biāo)方程y=2ax-(2)a=l.

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消去參數(shù)/即可得到直線

/的直角坐標(biāo)方程；

(2)將直線/的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出從而建立關(guān)于。的方程,

求解即可.

【詳解】

[.V2

x=-2+——t

2

(1)由直線/的參數(shù)方程〈「消去參數(shù)，得，

y=-4+^-f

y=T+x+2,即y=x-2為，的普通方程

由psin20=2czcos^,兩邊乘以夕得p?sin?6=2apeos。

y=2ax為C的直角坐標(biāo)方程.

[_oV2

(2)將42代入拋物線J=2ax得/一2夜(a+4)/+32+8a=0

y=-4H-----1

I2

△=(2技〃+4))2-4(32+8a)>0

§+'2=2>/5(Q+4)>0

=32+8a>0

">0,Z2>0

由已知IP例1,1MN\,\PN|成等比數(shù)列，

:.\MN^=\PM\-\PN\

叫一針=葉卜2I，W+幻2-4禮=%，(%+幻2=5%，

(2友(a+4))2=5(32+8a)整理得a2+3a-4=0

。二一4(舍去)或4=1.

【點(diǎn)睛】

熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

20.(1)12;(2)5=12>/3+30

【解析】

(D根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得cos/R4C=sin/3,結(jié)合正弦和角公式求得5皿/8。4=$m(/84。+/8),即

可求得N8CA=2,進(jìn)而由三角函數(shù)

2

(2)設(shè)42=乂。。=乂根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得町的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得S“oc的最大

值，即可求得四邊形ABCD面積的最大值.

【詳解】

(1)sinZBAC=cosZB=—,

13

12

則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得cosABAC=sinNB==—，

13

則sinNBCA=sin(ABAC+NB)

=sinABAC-cosNB+cosZBAC-sinZB

551212,

=~X-X-=1,

13131313

TT

則ZBCA=-

29

所以AC=A8-sin8=13x"=12.

13

(2)設(shè)A￡)=x,OC=y,

22

在ADAC中由余弦定理可得AC=DA?+DC-2DADCCOSZADC,代入可得

144=x+y+孫，

由基本不等式f+y229可知144一沖22沖，

即孫448,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4百時(shí)取等號(hào)，

由三角形面積公式可得S^DC=-xysinZADC

<lx48x—=12百

22

SAACB=]X12X5=30,

所以四邊形ABC。面積的最大值為S=1273+30.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦和角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

21.(1)證明見解析，4=等L(2)S,=5-2言.

【解析】

(1)將等式%=苧+擊變形為2"a"=2"-%,i+2,進(jìn)而