人教版高數(shù)必修四第8講：平面向量數(shù)量積(學(xué)生版)-東直門仉長娜

PAGEPAGE1平面向量的基本概念與線性運(yùn)算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.一、平面向量數(shù)量積的物理背景及定義：以物理學(xué)中的做功為背景引入問題：觀察討論做功的公式中左右兩端的量分別是什么量？什么影響了功的大??？如何精確的給出數(shù)學(xué)中的定義？力做的功：W=|F||s|cos，是F與s的夾角1、兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角說明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向；（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向；（3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0≤≤180CC2、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos，（０≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為03、兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量①==||cos②=0③=||2或④cos=⑤||≤||||4、向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算率：①；②；③向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知兩個(gè)向量，,則_=___________________.2.設(shè)，則.______________________3.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么._____________4.向量垂直的判定兩個(gè)非零向量，，則______________.5.兩向量夾角的余弦cos=_________________（）.6.向量在軸上的正射影：作圖定義：||cos叫做向量在所在軸上的正射影正射影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)正射影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)正射影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)正射影為0；當(dāng)=0時(shí)正射影為||；當(dāng)=180時(shí)正射影為||類型一、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算：例題1已知下列命題:①;②;③;④其中正確命題序號(hào)是_____.例題2已知;(2);(3)的夾角為,分別求.練習(xí):已知,求類型二、夾角問題：例題3(2005年北京)若,且,則向量與向量的夾角為()A.B.C.D.練習(xí)：1、已知,求向量與向量的夾角.2、已知,夾角為,則.3、已知是兩個(gè)非零向量,同時(shí)滿足,求的夾角.類型三、向量模的問題：例題4已知向量滿足,且的夾角為,求.練習(xí)：1、(2005年湖北)已知向量,若不超過5,則的取值范圍()A.B.C.D.2、(2006年福建)已知的夾角為,,,則等于()A5B.4C.3D.1類型四、平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用：例題5(2006年全國卷)已知向量.若;(2)求的最大值.例題6已知向量,且滿足,求證;(2)將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù);求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)向量與向量的夾角.一、選擇題1．若a·c＝b·c(c≠0)，則()A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)≠bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)在c方向上的正射影的數(shù)量與b在c方向上的正射影的數(shù)量必相等2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，則a與b的夾角等于()A．150° B．120°C．60° D．30°3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夾角為30°，則a在b方向上的投影為()A．2 B．eq\r(3)C．2eq\r(3) D．44．|m|＝2，m·n＝8，<m，n>＝60°，則|n|＝()A．5 B．6C．7 D．85．向量a的模為10，它與x軸的夾角為150°，則它在x軸上的投影為()A．－5eq\r(3) B．5C．－5 D．5eq\r(3)6．若向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b·b＋a·b等于()A．3 B．4C．5 D．6二、填空題7．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝____.8．若|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為135°，則a在b方向上的投影為________．三、解答題9．已知正六邊形P1P2P3P4P5P6的邊長為2，求下列向量的數(shù)量積．(1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))；(2)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))；(3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))；(4)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→)).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，則向量a與b的夾角為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)2．已知點(diǎn)A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－1 B．0C．1 D．23．已知A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正確4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－eq\f(1,7) B．eq\f(1,7)C．－eq\f(1,6) D．eq\f(1,6)5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．5 D．256．(2014·重慶理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝()A．－eq\f(9,2) B．0C．3 D．eq\f(15,2)二、填空題7．(2014·安徽宿州市朱仙莊煤礦中學(xué)高一月考)已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．8．設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，則|a|＝________.三、解答題9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四點(diǎn)，試判斷四邊形ABCD的形狀．能力提升一、選擇題1．(2014·山東文，7)已知向量a＝(1，eq\r(3))、b＝(3，m)，若向量a、b的夾角為eq\f(π,6)，則實(shí)數(shù)m＝()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好與m垂直，則實(shí)數(shù)k的值為()A．1 B．－1C．1或－1 D．以上都不對3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于()A．－eq\f(π,4) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)4．已知a＝(2,4)，則與a垂直的單位向量的坐標(biāo)是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))二、填空題5．(2014·湖北理，11)設(shè)向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________.6．(2014·四川文，14)平面向量a＝(1,2)