高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類及解析-6-文檔

PAGEPAGE2【練63】（2005高考淅江東）如圖,在三棱錐中,,,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),.(=1\*ROMANI)求證;(=2\*ROMANII)當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的大小;(=3\*ROMANIII)當(dāng)取何值時(shí),在平面PBC內(nèi)的射影恰好為的重心?【答案】方法一：（Ｉ）Ｏ、Ｄ分別為、的中點(diǎn).又平面.平面.(II),又平面.取中點(diǎn)Ｅ，連結(jié),則平面.作于F,連結(jié),則平面,是與平面所成的角.又與平面所成角的大小等于.在中，與平面所成的角為.（III）由II知，平面，是在平面內(nèi)的射影.是的中點(diǎn)，若點(diǎn)是的重心，則、、三點(diǎn)共線，直線在平面內(nèi)的射影為直線.，即.反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，在平面內(nèi)的射影為的重心.方法二:平面,以為原點(diǎn)，射線為非負(fù)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)則,,.設(shè),則(I)D為PC的中點(diǎn)，＝，又,＝-平面.(II),即,=可求得平面的法向量設(shè)與平面所成的角為,則,與平面所成的角為(III)的重心平面又即反之，當(dāng)時(shí)，三棱椎為正三棱錐，在平面內(nèi)的射影為的重心.【易錯(cuò)點(diǎn)64】常見(jiàn)幾何體的體積計(jì)算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò)。例64、（2003年天津理12）棱長(zhǎng)為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（）A、B、C、D、【易錯(cuò)點(diǎn)分析】正確的分析圖形，采用割補(bǔ)法。解析：如圖此八面體可以分割為兩個(gè)正四棱錐，而，故選C。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的體積，要選擇某個(gè)面作為底面，選擇的前提條件是這個(gè)面上的高易求?！揪?4】（2004全國(guó)20）如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面成二面角為。求四棱錐P—ABCD的體積。解析：如圖，去AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，則。作平面ABCD，垂足為O，連結(jié)OE。根據(jù)三垂線定理的逆定理得，所以為側(cè)面PAD與底面所成二面角的平面角。由已知條件可，所以，四棱錐P—ABCD的體積?！疽族e(cuò)點(diǎn)65】求點(diǎn)到平面的距離的方法有直接法、等體積法、換點(diǎn)法。例65、（2005年春季上海19）如圖，已知正三棱錐P—ABC的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為。證明；求底面中心O到側(cè)面的距離。解析：（1）證明：取BC邊的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，則，故。（2）解：如圖，由（1）可知平面PBC平面APD，則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角。過(guò)點(diǎn)O做，E為垂足，則OE就是點(diǎn)O到側(cè)面的距離，設(shè)OE為h，由題意可知點(diǎn)O在AD上，即底面中心O到側(cè)面的距離為3。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】求點(diǎn)到平面的距離一般由該點(diǎn)向平面引垂線，確定垂足，轉(zhuǎn)化為解三角形求邊長(zhǎng)，或者利用空間向量表示點(diǎn)到平面的垂線段，設(shè)法求出該向量，轉(zhuǎn)化為計(jì)算向量的模，也可借助體積公式利用等積求高?！揪?5】如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（Ⅱ）求點(diǎn)A1到平面AED的距離.解析：連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角.設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC，（Ⅱ）連結(jié)A1D，有,設(shè)A1到平面AED的距離為h，則.故A1到平面AED的距離為.【易錯(cuò)點(diǎn)62】二面角平面角的求法，主要有定義法、三垂線法、垂面法等。例62、如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1＝A1C1＝a，E為BB1的中點(diǎn)，若截面A1EC⊥側(cè)面AC1．求截面A1EC與底面A1B1C1所成銳二面角度數(shù)．解法1∵截面A1EC∩側(cè)面AC1＝A1C．連結(jié)AC1，在正三棱ABC－A1B1C1中，∵截面A1EC⊥側(cè)面AC1，數(shù)就是所求二面角的度數(shù)．易得∠A1AC1＝45°，故所求二面角的度數(shù)是45°．解法2如圖3所示，延長(zhǎng)CE與C1B1交于點(diǎn)F，連結(jié)AF，則截面A1EC∩面A1B1C＝AF．∵EB1⊥面A1B1C1，∴過(guò)B1作B1G⊥A1F交A連接EG，由三垂線定理知∠EGB1就是所求二面角的平面角．即所求二面角的度數(shù)為45°．【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過(guò)這個(gè)平面和二面角兩個(gè)面的交線得出平面角。（2）垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線法：是指利用三垂線定理或逆定理作出平面角；【練65】如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，且BD與底面所成角為30°.（1）求點(diǎn)D到AB所在直線的距離.（2）求二面角A1－BD－B1的度數(shù).解析：①∵CC1⊥面ABC，∠B=90°，∴DB⊥AB，∴DB的長(zhǎng)是點(diǎn)D到AB所在直線的距離，∠DBC是BD與底面所成的角，即∠DBC=30°，∵BC=，∴BD==2.②過(guò)B1作B1E⊥BD于E，連A1E，∵BB1⊥AB，AB⊥BC，且BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵B1E⊥BD，∴A1E⊥BD，即∠A1EB1是面A1BD與面BDC1B1所成二面角的平面角.連B1D.∵BC=，BD=2，∴CD=1.∵CC1=2，∴D為CC1的中點(diǎn)∴S△BDB1=SBCC1B1∴B1E·BD=BC·CC1即B1E·2=·2∴B1E=在Rt△A1B1E中，tan∠A1EB1=【易錯(cuò)點(diǎn)66】直線與雙曲線的位置關(guān)系可通過(guò)分析直線方程與漸進(jìn)線方程的位置關(guān)系，也可以聯(lián)立直線方程與雙曲線方程通過(guò)判別式，兩種方法往往會(huì)忽視一些特殊情形。例66、過(guò)點(diǎn)（0，3）作直線l，如果它與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的條數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在探討直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況，但容易忽視直線與漸進(jìn)線平行的特殊情況，這時(shí)構(gòu)成的方程是一次的。解析：用數(shù)形結(jié)合的方法：過(guò)點(diǎn)（0，3）與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線分兩類。一類是平行于漸進(jìn)線的，有兩條；一類是與雙曲線相切的有兩條。如圖所示：OOyx(0,3)故選（D）【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】直線與雙曲線的位置關(guān)系分為：相交、相離、相切三種。其判定方法有兩種：一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程。若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與漸進(jìn)線平行，有一個(gè)交點(diǎn)。若，直線與雙曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。若，直線與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)。yxyxO【