高考數(shù)學(xué)-函數(shù)中存在性和任意性問題分類解析

函數(shù)中存在性問題分類解析.1.，，使得，等價(jià)于函數(shù)在上的值域與函數(shù)在上的值域的交集不空，即.一兩個(gè)函數(shù)之間有如下恒成立或存在性命題及其等價(jià)命題：1對(duì)于,使得函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x1)<g(x2)恒成立.等價(jià)于：時(shí)f(x)的最大值小于時(shí)g(x)的最小值2對(duì)于，使得函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x1)<g(x2).等價(jià)于：時(shí)f(x)的最大值小于時(shí)g(x)的最大值3對(duì)于，使得函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x1)<g(x2)成立.等價(jià)于：時(shí)f(x)的最小值小于時(shí)g(x)的最小值4對(duì)于，使得函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x1)<g(x2),成立.等價(jià)于：時(shí)f(x)的最小值小于時(shí)g(x)的最大值。例1設(shè)a(0<a<1)是給定的常數(shù)，f(x)是R上的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，若存在feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(logat)>0，則t的取值范圍是________．【解析】因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故f(x)在區(qū)間(－∞，0)上也是增函數(shù)．畫出函數(shù)f(x)的草圖．當(dāng)t>1時(shí)，因?yàn)?<a<1，所以logat<0.由圖象可得－eq\f(1,2)<logat<0，解得1<t<eq\f(1,\r(a))；當(dāng)0<t<1時(shí)，因?yàn)?<a<1，所以logat>0.由圖象可得eq\f(1,2)<logat，解得0<t<eq\r(a)，綜上，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(a))))∪(0，eq\r(a))．例2(2011江蘇)設(shè)，.①若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為＿＿＿;②若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為＿＿＿解①依題意實(shí)數(shù)的取值范圍就是函數(shù)的值域.設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，由均值不等式得，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.②依題意實(shí)數(shù)的取值范圍就是使得函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集的實(shí)數(shù)的取值范圍.由①知，易求得函數(shù)的值域，則當(dāng)且僅當(dāng)即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.已知是在閉區(qū)間的上連續(xù)函，則對(duì)使得，等價(jià)于.3、設(shè)，且（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(I) 求p與q的關(guān)系；(II)設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.3、解：(I)由題意得而，所以(II) ∵ g(x)=EQ\F(2e,x)在[1,e]上是減函數(shù)∴ x=e時(shí)，g(x)min=2，x=1時(shí)，g(x)max=2e即 g(x)[2,2e] …………10分①p≤0時(shí)，由(II)知f(x)在[1,e]遞減f(x)max=f(1)=0<2，不合題意。②0<p<1時(shí)，由x[1,e]x－EQ\F(1,x)≥0∴ f(x)=p(x－EQ\F(1,x))－2lnx≤x－EQ\F(1,x)－2lnx右邊為f(x)當(dāng)p=1時(shí)的表達(dá)式，故在[1,e]遞增∴ f(x)≤x－EQ\F(1,x)－2lnx≤e－EQ\F(1,e)－2lne=e－EQ\F(1,e)－2<2，不合題意。 ③p≥1時(shí)，由(II)知f(x)在[1,e]連續(xù)遞增，f(1)=0<2，又g(x)在[1,e]上是減函數(shù)∴ 本命題f(x)max>g(x)min=2，x[1,e]f(x)max=f(e)=p(e－EQ\F(1,e))－2lne>2p>EQ\F(4e,e2－1)綜上，p的取值范圍是(EQ\F(4e,e2－1),+) 4(1)已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)存在依次為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)開_______．(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,|x－3|)，x≠3，,1，x＝3，))若存在關(guān)于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】(1)令f(x)＝0，g(x)＝0，h(x)＝0得：2x＝－x，log2x＝－x，x3＝－x，分別作出y＝2x，y＝log2x，y＝x3，y＝－x的圖象如下：可知a<0，b>0，c＝0，即a<c<b.(2)設(shè)t＝f(x)，則原方程即化為t2＋at＋b＝0，由t＝f(x)圖象如下：可得：當(dāng)t＝1時(shí)，x有三解，當(dāng)t>0且t≠1時(shí)，x有兩解．又t1＋t2＝－a，所以當(dāng)t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)時(shí)，原方程有5個(gè)解，即a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．5設(shè)m∈N，若函數(shù)f(x)＝2x－meq\r(10－x)－m＋10存在整數(shù)零點(diǎn)，則m的取值集合為________．【解析】原命題等價(jià)為f(x)＝2x－meq\r(10－x)－m＋10＝0有整根，即方程m＝eq\f(2x＋10,\r(10－x)＋1)有整數(shù)解．因?yàn)閙∈N，所以2x＋10≥0，且10－x≥0，所以x∈[－5,10]，且x∈Z，又eq\r(10－x)∈Z，當(dāng)x＝－5時(shí)，m＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，m＝3；當(dāng)x＝6時(shí)，m＝eq\f(22,3)(舍去)；當(dāng)x＝9時(shí)，m＝14；當(dāng)x＝10時(shí)，m＝30.6.已知是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使f(x)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)；②在[1，+∞)上是增函數(shù)；③最大值為1.若存在，求出a，b，c的值；若不存在，說(shuō)明理由分析：先“脫”去對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”，利用①中的奇函數(shù)的條件求出a，b，c所滿足的一些條件或值，然后利用條件②進(jìn)一步確定出待求系數(shù)所應(yīng)滿足的條件，最后利用條件③求出滿足條件的值或說(shuō)明其不存在解析：假設(shè)滿足條件的a，b，c存在，則f(x)是定義域R上的奇函數(shù)，于是f(0)=0，從而f(0)=log3b=0，于是b=1.又因?yàn)閒(-x)=-f(x)，故從而又因?yàn)閒(-x)=-f(x)，，，于是(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2所以a2=c2，即a=c或a=-c.當(dāng)a=c時(shí)，f(x)=0，不合題意，故舍去從而a=-c于是在[1，+∞)上是增函數(shù)．令因?yàn)樵赱1，+∞)與(-∞，-1]上是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，＞0，當(dāng)x＜-1時(shí)，＜0，故僅當(dāng)c＞0時(shí)，f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，從而當(dāng)x=-1時(shí)，在(-∞，-1]取得最大值-2，此時(shí)由f(x)的最大值為1知，g(x)的最大值為3，于是1-2c/c-2=3解得c=1，從而a=-1，b=1，滿足題設(shè)條件的a，b，c存在，且它們的值分別為-1,1,1.7、已知函數(shù)（且）。（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)滿足：對(duì)于任意，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。7、解：（1）由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義