2024屆云南省楚雄彝族自治州高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2云南省楚雄彝族自治州2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得到，所以，又，所以，故選：D.2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，因為，所以.故選：D.3.若平面截球O所得截面圓的半徑為3，且球心O到平面的距離為2，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，則，所以球O的表面積為.故選：B4.某校有甲、乙、丙、丁四個排球隊，在某次排球比賽的初賽中，甲隊對戰(zhàn)丙隊，乙隊對戰(zhàn)丁隊，甲隊每局戰(zhàn)勝丙隊的概率為0.6，乙隊每局戰(zhàn)勝丁隊的概率為0.45.在初賽中，甲隊和丙隊對戰(zhàn)一局，乙隊和丁隊對戰(zhàn)一局，則甲隊、乙隊至少有一隊獲勝的概率是（）A.0.51 B.0.66 C.0.78 D.0.88〖答案〗C〖解析〗“甲隊、乙隊至少有一隊獲勝”的對立事件為“甲隊、乙隊都失敗”，故甲隊、乙隊至少有一隊獲勝的概率是.故選：C5.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多2個，已知第一排有6個座位，且該階梯大教室共有266個座位，則該階梯大教室共有（）A.12排 B.13排 C.14排 D.15排〖答案〗C〖解析〗階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項為6，公差為2.設(shè)該階梯大教室共有n排，則，解得故選：C6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，，則，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則可得.因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)時，，則，由已知可得或.綜上，不等式的解集為.故選：D7.設(shè)的小數(shù)部分為x，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由，得的整數(shù)部分為2，則，所以，即，所以.故選：A8.已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因為，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：D二、選擇題9.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A. B.a與b可能相等C. D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗由正數(shù)a，b滿足，得，A錯誤；若，則，而a為正數(shù)，則，B正確；顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：BD10.已知橢圓：，則（）A.的長軸長為 B.當(dāng)時，的焦點(diǎn)在軸上C.的焦距可能為4 D.的短軸長與長軸長的平方和為定值〖答案〗BCD〖解析〗若，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長軸長為：，A錯誤.當(dāng)時，，則的焦點(diǎn)在軸上，B正確.當(dāng)時，的焦距為4，C正確.因為，所以，D正確.故選：BCD11.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為的中點(diǎn)，則 B.若為的中點(diǎn)，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，可得平面的一個法向量為．若為的中點(diǎn)，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因為平面，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當(dāng)三點(diǎn)共線時，的周長最小，此時，翻折前，故的周長的最小值為，D正確．故選：BCD12.定義在上的函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A函數(shù)恰有4個零點(diǎn)B.函數(shù)恰有3個零點(diǎn)C.函數(shù)恰有5個零點(diǎn)D.函數(shù)恰有8個零點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗對A：因為，所以直線與的圖像恰有4個公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，A正確.對B：因為，所以直線與的圖像只有2個公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，B錯誤.對C：由圖像可知有3個零點(diǎn)，則，，，數(shù)形結(jié)合可知無解，有2個不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為，C正確.對D：由圖可知直線與的圖像有4個交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，數(shù)形結(jié)合可知無解，有2個不相等的實(shí)根，有2個不相等的實(shí)根，有4個不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為，D正確.故選：ACD.三、填空題13.若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗由求導(dǎo)得，直線斜率為，代入導(dǎo)函數(shù)有：，解得.故〖答案〗為：14.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為______.〖答案〗2.7〖解析〗將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為2.7.故〖答案〗為：2.7.15.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______，______.〖答案〗5〖解析〗圓，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，故，聯(lián)立，化簡整理可得，，設(shè),，.，由韋達(dá)定理可知，，，．故〖答案〗為：；5．16.若函數(shù)在上的最小值大于，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，又，所以，則解得.故〖答案〗為：四、解答題17.已知數(shù)列滿足，.（1）求，；（2）求，并判斷是否為等比數(shù)列.解：（1），（2）因為，所以，所以，，…，，將以上各式相加得.因為，所以，又也滿足，所以，所以，所以是等比數(shù)列，且首項、公比均為2.18.設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，已知，.（1）求A的值；（2）若，，求c的值.解：（1）因為，，所以，由正弦定理得.又，所以.因為，所以.又，所以.（2）由，得，所以，所以點(diǎn)D在邊上，且，因為，所以，.在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根已舍去）.19.某冰雪樂園計劃推出冰雪優(yōu)惠活動，發(fā)放冰雪消費(fèi)券.每位顧客從一個裝有6個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲得的消費(fèi)券的總額.（1）若袋中所裝的6個球中1個球所標(biāo)的面值為30元，2個球所標(biāo)的面值為20元，3個球所標(biāo)的面值為10元，求每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率；（2）若冰雪優(yōu)惠活動有兩種方案，方案甲中6個球?qū)?yīng)的面值與（1）中一致，方案乙中6個球?qū)?yīng)的面值分別為25，25，25，15，5，5，比較這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望的大小.解：（1）顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率為.（2）對于方案甲，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為X，則X的可能取值為20，30，40，50，則，，，，則.對于方案乙，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為Y，則Y的可能取值為10，20，30，40，50，則，，，，，則.因為，所以這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望相等.20.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，E是的中點(diǎn)，且，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)F（不含端點(diǎn)），使得平面與平面的夾角的余弦值為？如果存在，求的長；如果不存在，請說明理由.（1）證明：由，，，得，所以，又底面是正方形，所以，因為，面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過點(diǎn)A在平面內(nèi)作的垂線，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以這條垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)，因為，所以，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，，.設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得.設(shè)平面法向量是，由，即，令，得.所以，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即.21.已知點(diǎn)，動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，且，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）若，是C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，直線的斜率為k，且，求.解：（1）設(shè)，則，.由，可得，整理得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以C的方程為或.（2）因為A在第一象限，所以.設(shè)B在曲線上，則直線的方程為，即，代入，得.由韋達(dá)定理得，則，.因為，所以，解得或4.當(dāng)時，B與A重合，不符合題意，所以，.設(shè)B在曲線上，，因，所以，解得（正根已舍去）.綜上，或.22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)，時，證明：當(dāng)時，恒成立；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍.（1）證明：當(dāng)，時，令函數(shù)，則.令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時，恒成立.（2）解：當(dāng)時，，，，且，為偶函數(shù).令，，則，，，當(dāng)時，，當(dāng)，且時，，因此在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在處取得極大值，符合題意.當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，所以，，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，這與在處取得極大值矛盾，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是.云南省楚雄彝族自治州2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得到，所以，又，所以，故選：D.2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，因為，所以.故選：D.3.若平面截球O所得截面圓的半徑為3，且球心O到平面的距離為2，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，則，所以球O的表面積為.故選：B4.某校有甲、乙、丙、丁四個排球隊，在某次排球比賽的初賽中，甲隊對戰(zhàn)丙隊，乙隊對戰(zhàn)丁隊，甲隊每局戰(zhàn)勝丙隊的概率為0.6，乙隊每局戰(zhàn)勝丁隊的概率為0.45.在初賽中，甲隊和丙隊對戰(zhàn)一局，乙隊和丁隊對戰(zhàn)一局，則甲隊、乙隊至少有一隊獲勝的概率是（）A.0.51 B.0.66 C.0.78 D.0.88〖答案〗C〖解析〗“甲隊、乙隊至少有一隊獲勝”的對立事件為“甲隊、乙隊都失敗”，故甲隊、乙隊至少有一隊獲勝的概率是.故選：C5.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多2個，已知第一排有6個座位，且該階梯大教室共有266個座位，則該階梯大教室共有（）A.12排 B.13排 C.14排 D.15排〖答案〗C〖解析〗階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項為6，公差為2.設(shè)該階梯大教室共有n排，則，解得故選：C6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，，則，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則可得.因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)時，，則，由已知可得或.綜上，不等式的解集為.故選：D7.設(shè)的小數(shù)部分為x，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由，得的整數(shù)部分為2，則，所以，即，所以.故選：A8.已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因為，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：D二、選擇題9.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A. B.a與b可能相等C. D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗由正數(shù)a，b滿足，得，A錯誤；若，則，而a為正數(shù)，則，B正確；顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：BD10.已知橢圓：，則（）A.的長軸長為 B.當(dāng)時，的焦點(diǎn)在軸上C.的焦距可能為4 D.的短軸長與長軸長的平方和為定值〖答案〗BCD〖解析〗若，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長軸長為：，A錯誤.當(dāng)時，，則的焦點(diǎn)在軸上，B正確.當(dāng)時，的焦距為4，C正確.因為，所以，D正確.故選：BCD11.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為的中點(diǎn)，則 B.若為的中點(diǎn)，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，可得平面的一個法向量為．若為的中點(diǎn)，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因為平面，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當(dāng)三點(diǎn)共線時，的周長最小，此時，翻折前，故的周長的最小值為，D正確．故選：BCD12.定義在上的函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A函數(shù)恰有4個零點(diǎn)B.函數(shù)恰有3個零點(diǎn)C.函數(shù)恰有5個零點(diǎn)D.函數(shù)恰有8個零點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗對A：因為，所以直線與的圖像恰有4個公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，A正確.對B：因為，所以直線與的圖像只有2個公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，B錯誤.對C：由圖像可知有3個零點(diǎn)，則，，，數(shù)形結(jié)合可知無解，有2個不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為，C正確.對D：由圖可知直線與的圖像有4個交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，數(shù)形結(jié)合可知無解，有2個不相等的實(shí)根，有2個不相等的實(shí)根，有4個不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為，D正確.故選：ACD.三、填空題13.若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗由求導(dǎo)得，直線斜率為，代入導(dǎo)函數(shù)有：，解得.故〖答案〗為：14.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為______.〖答案〗2.7〖解析〗將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為2.7.故〖答案〗為：2.7.15.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______，______.〖答案〗5〖解析〗圓，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，故，聯(lián)立，化簡整理可得，，設(shè),，.，由韋達(dá)定理可知，，，．故〖答案〗為：；5．16.若函數(shù)在上的最小值大于，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，又，所以，則解得.故〖答案〗為：四、解答題17.已知數(shù)列滿足，.（1）求，；（2）求，并判斷是否為等比數(shù)列.解：（1），（2）因為，所以，所以，，…，，將以上各式相加得.因為，所以，又也滿足，所以，所以，所以是等比數(shù)列，且首項、公比均為2.18.設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，已知，.（1）求A的值；（2）若，，求c的值.解：（1）因為，，所以，由正弦定理得.又，所以.因為，所以.又，所以.（2）由，得，所以，所以點(diǎn)D在邊上，且，因為，所以，.在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根已舍去）.19.某冰雪樂園計劃推出冰雪優(yōu)惠活動，發(fā)放冰雪消費(fèi)券.每位顧客從一個裝有6個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲得的消費(fèi)券的總額.（1）若袋中所裝的6個球中1個球所標(biāo)的面值為30元，2個球所標(biāo)的面值為20元，3個球所標(biāo)的面值為10元，求每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率；（2）若冰雪優(yōu)惠活動有兩種方案，方案甲中6個球?qū)?yīng)的面值與（1）中一致，方案乙中6個球?qū)?yīng)的面值分別為25，25，25，15，5，5，比較這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望的大小.解：（1）顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率為.（2）對于方案甲，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為X，則X的可能取值為20，30，40，50，則，，，，則.對于方案乙，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為Y，則Y的可能取值為10，20，30，40，50，則，，，，，則.因為，所以這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望相等.20.