河北省張家口市高新區(qū)姚家坊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

河北省張家口市高新區(qū)姚家坊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.三棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且，則該球的體積為

（

）A．

B． C．

D．參考答案：B略2.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C，所以，故選C.考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.二次不等式的求解.3.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，一學(xué)生到達(dá)該路口時(shí)，見到紅燈的概率是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：幾何概型．專題：計(jì)算題．分析：本題是一個(gè)那可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長度為30+5+40秒，滿足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到答案．解答： 解：由題意知本題是一個(gè)那可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長度為30+5+40=75秒，設(shè)紅燈為事件A，滿足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到出現(xiàn)紅燈的概率．故選A．點(diǎn)評：本題考查等可能事件的概率，是一個(gè)由時(shí)間長度之比確定概率的問題，這是幾何概型中的一類題目，是最基礎(chǔ)的題．4.設(shè)函，則滿足的的取值范圍是(

)A．，2]

B．[0，2]

C．

D．參考答案：C5.復(fù)數(shù) （

） A．－3－4i

B．－3+4i C．

3－4i

D．3+4i參考答案：B,選B.6.等差數(shù)列中，如果，，則數(shù)列前9項(xiàng)的和為(

)(A)297

(B)144

(C)99

(D)66參考答案：C略7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最小值為（）A．﹣2 B．5 C．6 D．7參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出約束條件的可行域，再將可行域中各個(gè)角點(diǎn)的值依次代入目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y，不難求出目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最小值．【解答】解：如圖作出陰影部分即為滿足約束條件的可行域，由得A（3，5），當(dāng)直線z=x﹣y平移到點(diǎn)A時(shí)，直線z=x﹣y在y軸上的截距最大，即z取最小值，即當(dāng)x=3，y=5時(shí)，z=x﹣y取最小值為﹣2．故選A．8.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為邊BC的三等分點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】先判定三角形形狀，然后建立直角坐標(biāo)系，分別求出，向量的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求出答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根據(jù)余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=滿足勾股定理可知∠BCA=90°以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB方向?yàn)閤，y軸正方向建立坐標(biāo)系∵AC=1，BC=，則C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F(xiàn)分別是Rt△ABC中BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則E（0，），F(xiàn)（0，）則=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故選A．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，其中建立坐標(biāo)系，將向量數(shù)量積的運(yùn)算坐標(biāo)化可以簡化本題的解答過程．9.據(jù)報(bào)道，德國“倫琴”（ROSAT）衛(wèi)星將在2011年10月23日某時(shí)落在地球的某個(gè)地方，砸中地球人的概率約為，為了研究中學(xué)生對這件事情的看法，某中學(xué)對此事進(jìn)行了問卷調(diào)查，共收到2000份有效問卷，得到如下結(jié)果。對衛(wèi)星撞地球的態(tài)度關(guān)注但不擔(dān)心關(guān)注有點(diǎn)擔(dān)心關(guān)注且非常關(guān)心不關(guān)注人數(shù)（人）1000500

300則從收到的2000份有效問卷中，采用分層抽樣的方法抽取20份，抽到的關(guān)注且非常擔(dān)心的問卷份數(shù)為A．2

B．3

C．5

D．10參考答案：A10.橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，則a=2，S△ABC=

．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理化簡可得：c=2a，利用已知即可解得a的值，根據(jù)三角形面積公式即可得解．【解答】解：∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，∴c=4，解得：a=2，∴S△ABC=acsinB==．故答案為：2，．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.已知正數(shù)，滿足，則當(dāng)

時(shí)，取得最小值為

．參考答案：，13.已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________．參考答案：14.若n-m表示的區(qū)間長度，函數(shù)的值域的區(qū)間長度為，則實(shí)數(shù)的值為_______.參考答案：4略15.在三棱錐P-ABC中，，，，，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為__________.參考答案：【分析】畫出圖形，經(jīng)過分析可得三棱錐P-ABC的外接球的球心在的外接圓圓心的位置，利用正弦定理即可求出外接球的半徑，最后求出表面積?！驹斀狻咳鐖D所示：，，則，又，，，則，為直角三角形，外接圓的圓心在邊的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓的圓心為，所以三棱錐的外接球的球心在過且與平面垂直的直線上，設(shè)外接球半徑為，連接、，為直角三角形，，，為邊的中點(diǎn)，，又在中，，為邊的中點(diǎn)，，，，，，即，則為直角三角形，，，又，則平面，又平面，平面平面，又三棱錐的外接球的球心在過且與平面垂直的直線上，球心在的連線上，又，則點(diǎn)在的外接圓圓心的位置，又，，，則，由正弦定理可得：，解得：，三棱錐的外接球的表面積為：，故答案為：【點(diǎn)睛】解決幾何體的外接球問題時(shí)，關(guān)鍵在于如何確定外接球球心的位置和半徑，其中球心在過底面多邊形的外接圓圓心且與底面垂直的直線上，且球心到幾何體各頂點(diǎn)的距離相等，利用正余弦定理或是勾股定理求解可得球的半徑，本題屬于中檔題。16.已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)m，n滿足，且，則

參考答案：117.不等式選做題）若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）中，角的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若求的面積參考答案：1），又（2）由余弦定理得：

代入得所以19.已知f(x)在(－1，1)上有定義，f()＝－1，且滿足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()⑴證明：f(x)在(－1，1)上為奇函數(shù)；⑵對數(shù)列x1＝，xn＋1＝，求f(xn);⑶求證參考答案：(Ⅰ)證明：令x＝y(tǒng)＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(x)＋f(－x)＝0

∴f(－x)＝－f(x)∴f(x)為奇函數(shù)

4分(Ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)∴＝2即{f(xn)}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列∴f(xn)＝－2n－1(Ⅲ)解：

而∴

略20.已知函數(shù)f（x）=|2x+a|+x．（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：絕對值不等式的解法．專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）利用絕對值的含義，對x討論，分當(dāng)x≥1時(shí)，當(dāng)x＜1時(shí)，最后取各部分解集的并集即可；（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含，等價(jià)于f（x）≤|x+3|在內(nèi)恒成立，由此去掉一個(gè)絕對值符號，再探究f（x）≤|x+3|的解集與區(qū)間的關(guān)系．解答： 解：（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，不等式f（x）≤2x+1即為|2x﹣2|≤x+1，當(dāng)x≥1時(shí)，不等式即為2x﹣2≤x+1，解得1≤x≤3；當(dāng)x＜1時(shí)，不等式即為2﹣2x≤2x+1，解得≤x＜1．即有原不等式的解集為；（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含，等價(jià)于f（x）≤|x+3|在內(nèi)恒成立，從而原不等式可化為|2x+a|+x≤x+3，即|2x+a|≤3，∴當(dāng)x∈時(shí)，﹣a﹣3≤2x≤﹣a+3恒成立，∴﹣a﹣3≤2且﹣a+3≥4，解得﹣5≤a≤﹣1，故a的取值范圍是．點(diǎn)評：本題考查了含絕對值不等式的解法，一般有根據(jù)絕對值的含義和零點(diǎn)分段法，函數(shù)圖象法等．同時(shí)考查不等式恒成立問題，注意由條件去掉一個(gè)絕對值符號，是解題的關(guān)鍵．21.橫峰中學(xué)的平面示意圖如圖所示的五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB、BC、CD、DE、EA、BE為學(xué)校主要道路(不考慮寬度)，。(1)求道路BE的長度；(2)求生活區(qū)ABE面積的最大值。參考答案：(1)；(2)。【分析】（1）連接，在中，由余弦定理求得，再在直角中，利用勾股定理，即可求解.（2）設(shè)，在中，由正弦定理可得，利用面積公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）如圖所示，連接，在中，由余弦定理可得，解得，因?yàn)?所以又由，所以,在直角中，,（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大面積，即生活區(qū)面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和題設(shè)條件，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】（1）由函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)得在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，求導(dǎo)得=，a在系數(shù)位置對它進(jìn)行討論，結(jié)合x∈（0，e]分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況進(jìn)行．【解答】解：（1）在[1，2]上恒成立