幾何綜合題2021年二模（解析版）

幾何綜合題2021年二模1．如圖1，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)是中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，若．①求證：；②猜想的值并寫出計(jì)算過(guò)程．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）證明△BCF≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠CBF=∠CAD，則可得出答案；（2）①連接CE，證明△EAF∽△CAE，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)AC=BC=2x，則BD=CD=x，AD=x，得出AE=CF=（-1）x，則可得出結(jié)論；②由①可得出AF和CF的值，化簡(jiǎn)的比值則可得出答案．【詳解】解：（1）證明：，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，，；（2）①證明：連接，，，，，，，，即，，；設(shè)，則，，，，；②猜想：，理由如下：，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，連接、、，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（3）連接，當(dāng)線段取最小值時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)證明，得到，繼而根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解得即可解題；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，由勾股定理得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理解得BM、EM的長(zhǎng)，即可解題；（3）根據(jù)90°所對(duì)的弦是直徑，得到在以為直徑的半圓上，連接交半圓于點(diǎn)，計(jì)算，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：在正方形中，AB=BC=CD=AD,，在與中是中點(diǎn)，；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)；（3）在以為直徑的半圓上，如圖，連接交半圓于點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，涉及90°所對(duì)的弦是直徑、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)G．（1）求證：AF⊥DE；（2）如圖2，連接BG，求證：BG平分∠EGF；（3）如圖3，連接BD交AF于點(diǎn)H，設(shè)ADG的面積為S，求證：BG2=2S．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明ΔDAE≌ΔABF，得到∠ADE=∠BAF，推出∠DAG+∠ADG=90°，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AF，垂足為M，設(shè)BF=a，則AB=2a，AF=a，利用平行線的性質(zhì)及勾股定理求出BM=a，AM=a，得到GM=BM=a，推出ΔBMG為等腰直角三角形，求出∠BGM=∠BGE，由此得到結(jié)論；（3）根據(jù)ΔADG的面積為S，則AG·DG=2S，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AF，垂足為M，由（2）推出BG2=2BM2，證明ΔDAG≌ΔABM，得到BM=AG，AM=DG，由AG·DG=2AG2=2S，得到AG2=S，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90°，∵E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，∴AE=BF，∴ΔDAE≌ΔABF，∴∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠EAG=90°，∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AF，垂足為M，則BM//GE，∵AE=BE，∴AG=GM，設(shè)BF=a，則AB=2a，AF=a，∵,∴，∴BM=a，∴AM==a，∴GM=BM=a，∴ΔBMG為等腰直角三角形，∴∠BGM=45°，∠BGE=90°-45°=45°，∴∠BGM=∠BGE，∴BG平分∠EGF；（3）ΔADG的面積為S，則AG·DG=2S，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AF，垂足為M，由（2）知：GM=AG，BM=AM，BG2=2BM2，∵∠AGD=∠AMB=90°，∠ADG=∠BAM，AB=AD，∴ΔDAG≌ΔABM，∴BM=AG，AM=DG，∴AG=DG，AG·DG=2AG2=2S，即AG2=S，∴BM2=S，∴BG2=2BM2=2S．．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．4．在中，，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．（1）若，請(qǐng)判斷的形狀，并給出證明；（2）若，求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）等邊三角形，證明見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）由題意解得，繼而由直角三角形中，30°的對(duì)邊等于斜邊的一半，解得，結(jié)合三角形外角性質(zhì)可求得都等于，據(jù)此解題；（2）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得到，繼而證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到，再由平行線的性質(zhì)解得，由此證明，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題；（3）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由勾股定理解得AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形內(nèi)角和180°證明，，繼而證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)證明，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例結(jié)合勾股定理解題即可．【詳解】解：（1）為等邊三角形，理由如下，，為直角三角形為等邊三角形；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，；（3）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，涉及含30°的直角三角形性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．等腰直角△AOB和等腰直角△COD按如圖方式放置，∠AOB＝∠COD＝90°，連接AC、BD，二者交于點(diǎn)P．（1）求證：BD＝AC；（2）連接OP，若OP平分∠AOD，且角∠AOD＝40°，求∠BDO的度數(shù)；（3）點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接MN，求的值．【答案】（1）見解析；（2）25°；（3）【分析】（1）由題意，先證明△BOD≌△AOC，即可得到結(jié)論成立；（2）易證得∠APB=90°，由圓周角定理的推論可知點(diǎn)P、O，在以AB為直徑的圓上，則，再根據(jù)外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）先證明∽，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的值．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即，∵BO=AO，DO=CO，∴△BOD≌△AOC，∴BD＝AC；（2）如圖，設(shè)AO、BD相交于點(diǎn)E，∵△BOD≌△AOC，∴∠DBO=∠CAO，∵∠AEP=∠ABE+∠BAE，∴∠AEP+∠PAO=∠ABE+∠BAE+∠DBO=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠APE=90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，∵∠AOB=90°，∴點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上，∴∠BPO=∠BAO=45°；又∵∠POD=∠AOD=20°，∴∠PDO=∠BPO∠POD=25°；（3）連接OM、ON，如圖：∵點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵，∴，∴∽，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線進(jìn)行分析．6．已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在BC、AB和CD上，F(xiàn)G⊥ED，垂足為點(diǎn)H．（1）如圖1，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，求證：FG=ED；（2）如圖2，點(diǎn)G與點(diǎn)C不重合，延長(zhǎng)FG交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若H為FM的中點(diǎn)，求證：AF=CM；（3）如圖3，在（2）的條件下，取AD的中點(diǎn)N，連接HN，若BF=2AF，HN=，求EM的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EM＝5【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B=∠BCD=90°，BC=CD，根據(jù)DE⊥FC，證明∠HDC=∠HCE，即可證明△BCF≌△CDE（ASA），運(yùn)用全等三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）連接DF，DM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DF=DM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）過(guò)H作PQ∥AB交AD于P交BC于Q，則四邊形PQBA是矩形，于是得到PQ=AB，AP=BQ，∠APQ=∠PQB=90°，設(shè)AF=x，BF=2x，求得AB=PQ=BC=3x，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到HQ=BF=x，BQ=QM=2x，求得2PH=2x，AP=2x，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BG＝CD．∵DE⊥FG，∴∠DHG＝90°．∴∠HDC+∠DGH＝∠HGE+∠DGH，∴∠HDC＝∠HGE．∴△BGF≌△CDE，∴FG＝ED；（2）連接DF，DM，如圖∵DE⊥FG，H為FM的中點(diǎn)，∴DF＝DM．∵∠A＝∠DCM＝90°，AD＝DC，∴Rt△ADF≌Rt△CDM，∴AF＝CM；（3）過(guò)H作PQ∥AB交AD于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，如圖，則∠APQ＝∠PQB＝90°，四邊形PQBA是矩形，∴PQ＝AB，AP＝BQ．設(shè)AF＝x，則CM＝AF＝x．∵BF＝2AF，∴BF＝2x，∴AB＝PQ＝BC＝3x．∵H為FM的中點(diǎn)，HQ∥BF，∴HQ＝BF＝x，BQ＝QM＝2x，∴PH＝2x，AP＝2x．∵點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，∴A