2023中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)匯編特訓(xùn) 專題13二次函數(shù)解答壓軸題(共62題)(原卷版+解析)

專題13二次函數(shù)解答壓軸題（62題）一、解答題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)求證：．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點(diǎn)，則t的值為多少？(2)當(dāng)時(shí)，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?3)若在m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求的取值范圍．5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．8．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的周長．10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A，B，三點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸，直線交于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求的長；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．13．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)，在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，連接，．

(1)求此拋物線的解析式．(2)當(dāng)點(diǎn)與此拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，求的值．(3)當(dāng)?shù)倪吪c軸平行時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差．(4)設(shè)此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．15．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作y軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（?。┊?dāng)時(shí)，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．20．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時(shí)，為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時(shí)，連接交于點(diǎn)D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)M，連接，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．22．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，①當(dāng)時(shí)，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．23．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為，，，．求證：；【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點(diǎn)．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求直線的解析式；【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，連接．拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

24．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．25．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．26．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)是線段上一點(diǎn)，連接，且．①求證：是直角三角形；②的平分線交線段于點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：經(jīng)過點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求b，c的值；(3)平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．28．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．

(1)如果四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明理由．(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．29．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．30．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，直線交于點(diǎn)，求的最大值；(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點(diǎn)，交的延長線于，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．31．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．33．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，求的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點(diǎn)，．

①求證：．②當(dāng)點(diǎn)在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．35．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．36．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點(diǎn)（在的左邊），交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點(diǎn)，連接．若與相似，求的值；(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作直線（異于直線）交拋物線于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．問點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)說明理由．37．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點(diǎn)E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；(2)求證：；(3)直線EA交x軸于點(diǎn)．將經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線向左平移2個(gè)單位，得到拋物線．①若直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，求t的值；②若拋物線的頂點(diǎn)P在直線上，求t的值；③將拋物線再向下平移，個(gè)單位，得到拋物線．若點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．38．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的值；(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．39．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，______；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，記的最小值為m．①求m的值；②設(shè)的面積為S，若，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．41．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．42．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．44．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，且，求證：三點(diǎn)共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．45．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．46．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)D是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．47．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過點(diǎn)．過作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；(2)將矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；②直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值；③拋物線與邊分別相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸同側(cè)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．48．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．49．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．51．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線、分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積；(3)點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求M的坐標(biāo)．52．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．53．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．54．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．?dāng)?shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．同學(xué)們，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn)．設(shè)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．(1)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．55．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．56．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過B、C兩點(diǎn)作直線．

(1)求a的值．(2)將直線向下平移個(gè)單位長度，交拋物線于、兩點(diǎn)．在直線上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線的距離最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．57．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點(diǎn)為，與軸相交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸相交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，過點(diǎn)作，垂足為．(1)若．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．58．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)面積是面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），使得，求的取值范圍．59．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫出所有滿足條件的的值．60．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖2，若動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)（直線與不重合），連接，直線與交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說明理由．61．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，連接，．

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D是線段(包含點(diǎn)B，C)上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)N，若以點(diǎn)Q，N，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(4)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過程中，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，的最小值為______．62．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請(qǐng)直接寫出的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線l：的距離．請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)求出的面積．

專題13二次函數(shù)解答壓軸題（62題）一、解答題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)①；②當(dāng)時(shí)，；(2)【分析】（1）①將代入解析式，化為頂點(diǎn)式，即可求解；②已知頂點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出當(dāng)時(shí)，有最大值7，當(dāng)時(shí)取得最小值，即可求解；（2）根據(jù)題意時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，得出拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，即，由拋物線開口向下，時(shí)，的最大值為2，可知，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為3，求出，即可得解．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最大值7．又∴當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值；∴當(dāng)時(shí)，．（2）∵時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，∴拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，∴，∵拋物線開口向下，時(shí)，的最大值為2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)求證：．【答案】(1)；(2)；(3)見解析【分析】（1）由可得圖像過點(diǎn)和，然后代入解析式解方程組即可解答；（2）先確定函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，則拋物線過點(diǎn)，即，然后再結(jié)合即可解答；（3）根據(jù)圖像的對(duì)稱性得，即，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；將點(diǎn)和分別代入表達(dá)式并進(jìn)行運(yùn)算可得；則，進(jìn)而得到，然后化簡變形即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，圖像過點(diǎn)和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函數(shù)圖像過點(diǎn)和，∴函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．∵圖像過點(diǎn)，∴根據(jù)圖像的對(duì)稱性得．∵，∴．（3）解：∵圖像過點(diǎn)和，∴根據(jù)圖像的對(duì)稱性得．∴，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．將點(diǎn)和分別代人表達(dá)式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對(duì)稱性、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點(diǎn)，則t的值為多少？(2)當(dāng)時(shí)，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值；（2）確定拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)待定參數(shù)分類討論，分，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，以及，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，求得相應(yīng)的t值即可得；（3）由關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得，且A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)；確定拋物線與y軸交點(diǎn)，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合已知確定出；再分類討論：A，B都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，A，B分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，分別列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）將代入中，得，解得，；（2）拋物線對(duì)稱軸為．若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，，解得．，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，，解得（不合題意，舍去）綜上所述．（3）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線與y軸交點(diǎn)為，拋物線對(duì)稱軸為直線，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為且，解得．當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，，解得，當(dāng)A，B分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)到對(duì)稱軸的距離大于A到對(duì)稱軸的距離，解得綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對(duì)可能情況作出分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?3)若在m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減??；(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可．（2）利用拋物線的對(duì)稱性質(zhì)求得拋物線的對(duì)稱軸為直線；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可．（3）先把代入，得，從而得，再求出，，，從而得，然后m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，得，求解即可．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴．（2）解：∵，在圖象上，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減?。?）解：把代入，得，∴∴把代入得，，把代入得，，把代入得，，∴，∵m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解析的關(guān)鍵．5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)30；(3)【分析】（1）用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．（2）先將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．（3）根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為∵，∴，即的坐標(biāo)為則，得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為過作于，作于，四邊形的面積；

（3）如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．由勾股定理得：，∵，∴，即，∴由，得，∴．∴是等腰直角三角形∴∴的坐標(biāo)為所以過的直線的解析式為令解得，或所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為即所求的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是將所學(xué)的知識(shí)靈活運(yùn)用．6．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點(diǎn)，∵直線的解析式為，拋物線對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．∴當(dāng)時(shí)，，∴，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，∵，∴，∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．【答案】(1)；(2)或或【分析】（1）令求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解答；（2）由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點(diǎn)P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，∴．（2）解：∵拋物線過∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)，∵，∴,如圖：連接，則，∴，∴切線為邊長的正方形的面積為，過點(diǎn)P作軸，垂足為H，則：，∴∵，∴，

假設(shè)過點(diǎn),則有以下兩種情況：①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：或，∵∴；②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：，∵∴；綜上，或．∴當(dāng)不經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，矩形的周長有最大值，最大值為；(3)4【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）由拋物線的對(duì)稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）連接A，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：由拋物線的對(duì)稱性得：，∴．當(dāng)時(shí)，．∴矩形的周長為．∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長有最大值，最大值為．（3）解：連接，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，∴直線過點(diǎn)P．．由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，∴．∵四邊形是矩形，∴P是的中點(diǎn)．∴．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴．∴拋物線平移的距離是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的周長．【答案】(1)；(2)①②或【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）①設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴把，代入得，，解得，，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

∴∵∴∵軸，∴又∴四邊形是矩形，∴∴∵∴∴（不合題意，舍去）∴∴；②設(shè)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，解得，∴∵由勾股定理得，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則四邊形是矩形，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴∵軸，∴∴∴∴∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵∴∴∴∴設(shè)直線的解析式為，把代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴，∴,又且∴解得，（舍去）∴∴四邊形的周長；當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖，

同理可得：解得，（舍去）∴∴四邊形的周長；綜上，四邊形的周長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，，；(2)或或；(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，∴解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，∴（2）∵，，，設(shè)，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，解得：，∴；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，解得：∴當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，解得：∴綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，設(shè)，則解得：（舍去）∴點(diǎn)設(shè)直線的解析式為∴解得：.∴直線的解析式∵，，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖所示：

∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對(duì)稱軸為：，設(shè)點(diǎn)，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A，B，三點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸，直線交于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求的長；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為，可得，求得，再將代入拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法求得，即可解答；（2）①求出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的解析式為，設(shè)，則，求得的解析式，列方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)列方程，即可求出的長；②過分別作的垂線段，交于點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線段，交于點(diǎn)I，根據(jù)，可得，即，證明，設(shè)，得到直線的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入解方程，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為，得，解得，將代入拋物線可得，拋物線的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，得，解得，，，，設(shè)的解析式為，將，代入，得，解得，的解析式為，設(shè)，則，設(shè)的解析式為，將，代入，得，解得，的解析式為，聯(lián)立方程，解得，根據(jù)，得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，是方程的解，點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在軸正半軸，，即的長為；②解：如圖，過分別作的垂線段，交于點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線段，交于點(diǎn)I，

，，，設(shè)，則，，，，，，，，即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，，設(shè)的解析式為，將，，代入得，解得，的解析式為，，即，，四邊形是矩形，，，即，將代入，得，解得，（舍去），．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程，兩點(diǎn)之間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)，在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，連接，．

(1)求此拋物線的解析式．(2)當(dāng)點(diǎn)與此拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，求的值．(3)當(dāng)?shù)倪吪c軸平行時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差．(4)設(shè)此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)；(3)點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為或；(4)或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可求解；（3）分軸時(shí)，軸時(shí)分別根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入拋物線解析式，求得縱坐標(biāo)，即可求解；（4）分四種情況討論，①如圖所示，當(dāng)都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，當(dāng)在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)小于時(shí)，分別求得，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)．∴∴拋物線解析式為；（2）解：∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)與此拋物線的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為∴，解得：；（3）①軸時(shí)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，∴，則，，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為；②當(dāng)軸時(shí)，則關(guān)于直線對(duì)稱，∴，則∴，；∴點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為；綜上所述，點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為或；（4）①如圖所示，當(dāng)都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，

則∴∵，即∴；∵∴解得：或（舍去）；②當(dāng)在對(duì)稱軸兩側(cè)或其中一點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，

則，即，則，∴，解得：（舍去）或（舍去）；③當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)且在直線上方時(shí)，即，

，∴解得：或（舍去）；④當(dāng)在直線上或下方時(shí)，即，

，，，解得：（舍去）或（舍去）綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個(gè)單位，得到，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：①∵拋物線解析式為，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②設(shè)直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，則∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作y軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)為或或；(3)存在，m的值為2或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式列方程求解即可；（3）先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立拋物線和直線解析式，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，，利用待定系數(shù)法分別求得直線、的表達(dá)式為得到，，過E作軸于Q，過D作軸于N，證明得到，整理可得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：設(shè)，根據(jù)題意，是以為腰的等腰三角形，有兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，

∵，∴；當(dāng)時(shí)，則，∴，整理，得，解得，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，滿足題意的點(diǎn)B的坐標(biāo)為或或；（3）解：存在常數(shù)m，使得．根據(jù)題意，畫出圖形如下圖，

設(shè)拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由得，∴，；設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，令，由得，∴，同理，可得直線的表達(dá)式為，則，過E作軸于Q，過D作軸于N，則，，，，若，則，∴，∴，∴，∴，則，整理，得，即，將，代入，得，即，則或，解得，，綜上，存在常數(shù)m，使得，m的值為2或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題是解答的關(guān)鍵．17．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（?。┊?dāng)時(shí)，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)（?。唬áⅲ痉治觥浚?）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（ⅰ）根據(jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）的結(jié)論，分和分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為建立方程，解方程進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，解得：，∴；（2）（?。┰O(shè)直線的解析式為，∵，∴解得：，∴直線，如圖所示，依題意，，，，

∴，，∴當(dāng)時(shí)，與的面積之和為，（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱右側(cè)時(shí)，則，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得：，

當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得：（舍去）或（舍去）

綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；②過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖2-1，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．記．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．③如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【詳解】（1）解：①∵，∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，得，解得．∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即．②如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

設(shè)直線為，把代入，得，解得，∴直線為．同理，直線為．由解得∴．∴．∵，∴．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．∵為的外角，∴．∵．∴．∴．∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．

②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．記．∵為的外角，∴．∴∴．∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

③如圖2-3，當(dāng)時(shí)，存在．記．

∵，∴．∴．∴．∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．∵，∴．

∴．∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)或或；(3)或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進(jìn)而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；（3）根據(jù)題意，求得當(dāng)是直角三角形時(shí)的的值，進(jìn)而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，得解得：∴拋物線解析式為；（2）∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，解得：∴，則∵，則∴是等腰直角三角形，∵∴到的距離等于到的距離，∵，，設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，

設(shè)的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得：∴直線的解析式為，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如圖所示，延長至，使得，過點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，則，則符合題意的點(diǎn)在直線上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴或綜上所述，或或；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是直角三角形，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，

設(shè)交于點(diǎn)，∵直線的解析式為，則，∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，設(shè)，則∵∴解得：（舍去）或∴∵是銳角三角形∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，同理可得即∴解得：或（舍去）由（2）可得時(shí)，

∴綜上所述，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時(shí)，為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）過點(diǎn)作，垂足為根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直線的解析式為，設(shè)，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，根據(jù)等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進(jìn)而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，∴解得：∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：或，∵其中點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴；（3）解：依題意，點(diǎn)恰好在軸上，則，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時(shí)，連接交于點(diǎn)D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)M，連接，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；的最大值為；(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，得出，根據(jù)軸，得出，根據(jù)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和最大值即可；（3）證明，得出，設(shè)，，得出，，根據(jù)，得出，求出或或，根據(jù)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P、M、C、四點(diǎn)重合，不存在舍去，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）解：過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，如圖所示：

設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，∵點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，∴，∵軸，∴，∴∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（3）解：根據(jù)折疊可知，，，，∵軸，∴，∴，∴，

∴，設(shè)，，，，∵，∴，∴，整理得：，∴或，解得：或或，∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P、M、C、四點(diǎn)重合，不存在，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出輔助線或畫出圖形．22．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，①當(dāng)時(shí)，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進(jìn)而求出，則；（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，由此求出當(dāng)時(shí)，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，求得t的值即可得答案；（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，繼而得答案．【詳解】（1）解：∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，且，∵，，∴，∴，故答案為：3；②∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在勻速運(yùn)動(dòng)，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，，由圖2可知，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴；（3）解：①∵點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，∴，∴，∵存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．∴可以看作，∴，故答案為：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．

.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．23．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為，，，．求證：；【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點(diǎn)．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求直線的解析式；【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，連接．拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

【答案】（1）見解析；（2）①；②直線的解析式為；（3）或【分析】[建立模型]（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；[類比遷移]（2）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）的方法，證明，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，求得，，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；②由，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得直線的解析式為；[拓展延伸]（3）根據(jù)解析式求得，；①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，證明，根據(jù)得出，設(shè)，則，求得點(diǎn)，進(jìn)而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同①的方法即可求解．【詳解】[建立模型]（1）證明：∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴；[類比遷移]（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又，∴，∴，∴，∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，∴；②∵，設(shè)直線的解析式為，將代入得：解得：∴直線的解析式為，（3）∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，；①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∵，，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，得：，解得：，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得：（舍去），；②當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

同理可得，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：（舍去），，綜上所述，的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)