第07講 一元二次方程的解法-配方法（原卷版）

第07講一元二次方程的解法-配方法2.2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解配方法的概念，會(huì)用配方法解一元二次方程；2．掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的基本步驟；3．通過(guò)用配方法將一元二次方程變形的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：①把原方程化為的形式；②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.要點(diǎn)：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開(kāi)方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．二、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過(guò)作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：配方法解一元二次方程例1．用配方法解一元二次方程，此方程可化為（

）A． B． C． D．例2．用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．例3．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為例4．關(guān)于y的方程，用___________法解，得__，__．例5．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）A．B．C．D．例6．用配方法解方程，正確的是（

）A． B．C．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解 D．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解例7．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．考點(diǎn)2：配方法的應(yīng)用1-三角形問(wèn)題例8．的三邊分別為、、，若，，按邊分類，則是______三角形例9．如果一個(gè)三角形的三邊均滿足方程，則此三角形的面積是______例10．已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個(gè)三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13考點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用2-比較整式大小與求值問(wèn)題例11．若M=2-12x+15，N=-8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N例12．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（）A．0 B．1 C．3 D．不確定例13．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)4：配方法的應(yīng)用3-最值問(wèn)題例14．若為任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（

）A． B． C． D．例15．無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2－2x－4y+16的值總是_______數(shù)．例16．不論x，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．總大于7 B．總不小于9C．總不小于﹣9 D．為任意有理數(shù)例17．若，則x2+y2+z2可取得的最小值為（）A．3 B． C． D．6例18．關(guān)于代數(shù)式，有以下幾種說(shuō)法，①當(dāng)時(shí)，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說(shuō)法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③考點(diǎn)5：配方法的應(yīng)用4-配方法在二次根式與分式中的應(yīng)用例19．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．例20．已知（x，y均為實(shí)數(shù)），則y的最大值是______．例21．已知，則____________例22．已知，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義，則c的取值范圍_______.例23．（1）設(shè)，求的值．（2）已知代數(shù)式，先用配方法說(shuō)明：不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？考點(diǎn)6：配方法的應(yīng)用5-創(chuàng)新與閱讀材料題例24．選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫作配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：或；③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：（1）寫(xiě)出的兩種不同形式的配方．（2）已知，求的值．（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足，試判斷a、b、c能否圍成三角形，并說(shuō)明理由．例25．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＜y＜z時(shí)，則稱x，y，z為正序排列．已知x=﹣m2+2m﹣1，y=﹣m2+2m，若當(dāng)m時(shí)，x，y，z必為正序排列，則z可以是()A．m B．﹣2m+4 C．m2 D．1【真題演練】一、單選題1．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．2．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．3．（2018·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的情況是（

）A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根C．有兩個(gè)正根，且都小于3 D．有兩個(gè)正根，且有一根大于3二、填空題4．（2013·廣東佛山·中考真題）方程的解是_______．5．（2011·廣西崇左·中考真題）若為正實(shí)數(shù)，且，則=_______．三、解答題6．（2019·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）解方程：7．（2013·四川自貢·中考真題）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．8．（2017·山東濱州·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．（1）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．①方程x2－2x＋1＝0的解為_(kāi)_______________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為_(kāi)_______________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為_(kāi)_______________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為_(kāi)_______________________；②關(guān)于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請(qǐng)用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0經(jīng)過(guò)配方后可變形為（）A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝72．一元二次方程化為的形式，正確的是（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)3．在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是（

）小思：小博A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確 C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確4．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為5．用配方法解方程，正確的是（

）A． B．C．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解 D．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解6．閱讀下列材料:如果,那么,則,由此可知:,.根據(jù)以上材料計(jì)算的根為

A．, B．,C．, D．,7．若M=2-12x+15，N=-8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N8．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（）A．0 B．1 C．3 D．不確定9．《代數(shù)學(xué)》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小聰按此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為36，則該方程的正數(shù)解為（

）A．6 B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．下列是小明同學(xué)用配方法解方程：的過(guò)程：解：，…第1步，…第2步，…第3步，則…第4步∴．最開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第_____步．12．用配方法解方程時(shí)，方程的兩邊同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)_____________，使得方程左邊配成一個(gè)完全平方式．13．若一元二次方程配方后為，則______．14．已知等腰三角形的面積S與底邊x有如下關(guān)系：S＝﹣5x2+10x+14，將這個(gè)解析式配方，得S=_______________，則x＝______時(shí)，S有最大值，最大值是____________．15．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0兩根為a，b，且a＞b，則2a﹣b的值為_(kāi)____．16．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．17．無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2－2x－4y+16的值總是_______數(shù)．18．閱讀并回答問(wèn)題：小亮是一位刻苦學(xué)習(xí)的同學(xué)．一天他在解方程x=-1時(shí)，突發(fā)奇想：x=-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，如果存在一個(gè)數(shù)i，使i2=-1，那么當(dāng)x2=-1時(shí)，有x=±i，從而x=±i是方程x2=-1的兩個(gè)根．據(jù)此可知：方程x2-4x+5=0的兩根為_(kāi)_．(根用i表示)三、解答題19．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．20．解下列方程：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）．21．閱讀：代數(shù)式x2+2x+3可以轉(zhuǎn)化為（x+m）2+k的形式（其中m，k為常數(shù)），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2（1）仿照此法將代數(shù)式x2+6x+15化為（x+m）2+k的形式；（2）若代數(shù)式x2﹣6x+a可化為（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．22．閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式．例如：根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1)用多項(xiàng)式的配方法將化成的形式；(2)把多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式23．選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫作配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：或；③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：（1）寫(xiě)出的兩種不同形式的配方．（2）已知，求的值．（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足，試判斷a、b、c能否圍成三角形，并說(shuō)明理由．