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26.04.20241關(guān)于函數(shù)的增減性曲線的凹凸性與拐點(diǎn)26.04.20242一、函數(shù)增減性圖1圖2第2頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202431.利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性解
第3頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.20244
解
經(jīng)驗第4頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.20245解:經(jīng)驗:從例2、例3可以看到在討論函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間時,函數(shù)的駐點(diǎn)或函數(shù)有定義、但一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都可能成為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).第5頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.20246求單調(diào)區(qū)間的基本步驟:(1)確定定義區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù);(3)找出駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn))和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn);(4)以駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)為分界點(diǎn),把定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間,并討論在這些小區(qū)間上,導(dǎo)數(shù)的符號,進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間。第6頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202472.利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式所以第7頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.20248二、函數(shù)的極值第8頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202492.函數(shù)取得極值的充要條件
說明:第9頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202410下面給出判斷極值點(diǎn)的兩種不同方法.第10頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.2024113.第一充分條件(TheFirstSufficientCondition)(極小值)第11頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202412(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)第12頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202413第13頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202414根據(jù)上述討論,第14頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202415解所以第15頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202416解所以第16頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.2024174.第二充分條件(TheSecondSufficientCondition)第17頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202418解題步驟:第18頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202419解第19頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202420函數(shù)的最大值最小值(ExtremeProblems)在很多學(xué)科領(lǐng)域與實(shí)際問題中,經(jīng)常遇到在一定條件下如何用料最省、成本最低、時間最短、效益最高等問題,這類問題我們稱為最優(yōu)化問題.在數(shù)學(xué)上,它們常歸結(jié)為求某一個函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù))在某個范圍內(nèi)的最大值、最小值問題(簡稱為最值問題).第20頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202421我們來看一下下面的幾幅圖:第21頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202422解第22頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202423求最大值與最小值思路:第23頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202424(解答見下頁)(補(bǔ)充題)第24頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202425第25頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202426三、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)(InflectionPoint)1、曲線凹凸的定義顯然,曲線AB與BC都是單調(diào)增加的,但它們單調(diào)增加的變化方式卻有所不同。這說明:僅靠單調(diào)性來描述曲線的性態(tài)是不夠的。為此,我們有必要研究一下曲線的彎曲方向問題。第26頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202427定義:
如果在某區(qū)間內(nèi)曲線位于每一點(diǎn)處切線的上方,則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的(或稱上凹)(concave);如果在某區(qū)間內(nèi)曲線位于每一點(diǎn)處切線的下方,則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的(或稱下凹)(convex)。連續(xù)曲線凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)(inflectionpoint)。高等數(shù)學(xué)第二章第四節(jié)06-04第27頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202428x1x2xyo
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2凹(concave)高等數(shù)學(xué)第二章第四節(jié)06-05第28頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202429xyo
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2x2x1凸(convex)高等數(shù)學(xué)第二章第四節(jié)06-06第29頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202430直接利用定義來判別曲線的凹凸性是比較困難的,下面利用二階導(dǎo)數(shù)來判別曲線的凹凸性.第30頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.2024312、曲線凹凸性的判定(證明略)第31頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202432解
第32頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202433解:凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)第33頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.2024341.函數(shù)單調(diào)性的判別法(定理1)內(nèi)容小結(jié)(1)會利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性(2)會利用導(dǎo)數(shù)來證明一些不等式(3)利用導(dǎo)數(shù)來證明方程根的唯一性2.函數(shù)凹凸性的定義3.函數(shù)凹凸性的判別定理(定理2)(1)拐點(diǎn)的定義(會求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間)(2)會利用凹凸性來證明一些不等式第34頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202435解
第35頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202436四、函數(shù)圖形的描繪第36頁,共40頁,2024年2月25日,星期天26.04.202437第37頁,共40頁,
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