初二奧數(shù)教材類比與聯(lián)想

第二十講類比與聯(lián)想

利用類比與聯(lián)想，常常可以發(fā)現(xiàn)新命題和擴展解題思路.

1.類比與發(fā)現(xiàn)

例1已知：aABC中，ZC=90°,AC=BC=1,BD是AC邊上的中線,

E點在AB邊上，且ED_LBD.求4DEA的面積（圖2-113）.

解引CF_LBA于F,由于BC=AC,所以CF是底邊AB上的中線.因為

H為△ABC的重心，所以

c2c21c2111

°ABHC20ABDC32a。?。3226'

因為NC=NBDE=90°,所以

ZADE=ZCBH.

又由NA=NBCH=45°,可知△ADE^Z^CBH.所以

WJADV1

S廟HCUcJ4，

所以S5以=：?S而柄=3\=營

類比如果保留例1中等腰三角形諸條件，去掉直角這一特殊性，那

么是否會產(chǎn)生類似的命題呢？由此想到例2.

圖2-114

例2如圖2-114.已知AABC中，NC=4NB=4NA,BD是AC邊上的中

線，E點在AB上，且NAED=NC,義題=1,求心皿

解類似例1的解法，引CF1AB于F,交BD于H,顯然4ADE不相似

于aCBH.但由已知條件

ZC=4ZB=4ZA,

則

ZA=ZB=30°,ZC=120°.

由于CF平分NC,所以

ZACF=60°.

又因為NAED=NACB,ZA=ZA,所以

△ADEABC,

所以

,△■ADE_

由于aAFC中NAFC=90°,ZA=30°,所以若設(shè)CF=x,則

AC=2x,AF=V3x.

于是AB=2疾，因此

c2

Q-ADE=x

SAABC(2V3X)2

注意若SA擊=J，則皿=99J，與例1結(jié)論相同.

乙X乙乙fc?*?

類比如果保留例1中的直角等條件，去掉等腰三角形這一特殊性，

可以類似地得到例3.

例3已知4ABC中NC=90°,AC=2BC=2,BD是AC邊上的中線，CF

_LAB于F,交BD于H（圖2-115）.求S..

解本題直接求SA刖有些困難，聯(lián)想例1、例2中的AADE,不妨引輔

助線DELBD交AB于E.

由于AC=2BC=2,D是AC的中點，且NC=NBDE=90°,所以

ZCBH=ZADE=45°.

因為CFLAB于F,所以NBCH=NA.由于BC=AD=1,所以

△CBH^AADE,

所以SACBH=S△ADE.

因此只要求出SA確即可，為此，設(shè)DE=X,則

SABDE+$△標E=$'

所以

!BD*X+[X*AD.sin45o=^-,

222

1W1，圾1

即

2222

_42

所以a亍

S=

所以4CBHSAADE=3?-y-*1*sin450

172A/21

~2~~T~6

注意(。例3中，若令AC=2BC=1,則S4ABe=9,S&卯D=

那么DE=W，S&如E=:，也與例侑相同結(jié)論.

oiz/q

(2)例3由例1類比而來，最自然的想法是求SA則為增加難度與變

換方式獲得新命題，故例3反求SACBU.

我們知道一個三角形的三邊如果是a,b,C,那么就有

b-c|<a<b+c,①

即三角形任意一邊小于其余兩邊之和，大于其余兩邊之差.

我們對①類比：是否有

卜歷-閔《以〈VU+、后②

存在呢？如果②存在，那么就發(fā)現(xiàn)了如下命題（例4）.

例4已知線段a,b,c組成了一個三角形.求證：7a,7b,加也

能組成一個三角形.

證由已知條件，可設(shè)

Ib-c|<Ca<Cb+c,

由a<b+c得

(、同*<b+c<(?\/b+質(zhì))'，

所以

又由于

2

1而一'局(m+A/C)=|b-c|〈a=(7a),

所以

而一眼<$、<平=石，

+JcJa

因此

|^/b-^/c|<C^/a.

綜上

卜歷-,同<,區(qū)VVb+

同理

|^/a-'同<Vc<CVa+Vb,

k/c-Va|<CVc+-\/a,

所以、以，,歷，、門也能組成一個三角形.

2.聯(lián)想與解題

例5a,b為兩個不相等且都不為零的數(shù)，同時有

a2+pa+q=0,b2+pb+q=0,

求工+￡的值.

ab

分析與解由已知條件，聯(lián)想到方程根的定義，a,b是方程xHpx+q=O

的兩個根，由a,b不為零，有

冬+J=o,N+i=o.

a2ab2b

這樣，?為方程qx?+px+l=0的兩個根，那么，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

ab

系，就得到

-1+1---=---P

abq

例6如果例-x)2-4(x?y)(y-z)=0,求證：

x+z=2y.

分析與解(1)展開原式有

z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0,

合并、配方得

(x+z)2-4y(x+z)+4y-=0,

即(x+z-2y)2=0,

所以x+z=2y.

(2)如果看已知條件：

(z-x)M(x-y)(y-z)=0,

很像二次方程根的判別式b：'-4ac的形式，因此，可聯(lián)想到方程

(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0(x-y#0)有二相等實根.由

(x-y)+(z-x)+(y-z)=0

可知1是以上方程的根，再由根與系數(shù)關(guān)系知

x-y

所以x+z=2y.

當x=y=0,即x=y時，有x=y=z,所以

x+z=2y.

例7化簡

x2-x-2+(x-1)42-4

x2+x-2+(x-l)Jx*-4

分析與解這是一個根式的化簡問題，分子、分母大同小異，自然聯(lián)

想到應用因式分解，使分子、分母具有公因式，化簡就很容易了.

(x+l)(x-2)+(x-l)Jg+2Xx-2)

＞、'(x-l)(x+2)+(x+1)J(x+2)(x-2)

_(X+1)(Jx_+(x_1)J(x+2)(X—2)

(x-1)(Jx+2y+(x+1)J(x+2)(x—2)

Jx-2[(x+l)Vx_2+(x-l)Jx+2]

Jx+Jx+2+(x+1)Jx-2]

Jx-2-4

例8圖2-116是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理的“弦圖”，其中

“弦實”是弦平方的面積，“弦圖”以弦為邊作正方形(如正方形ABCD),

然后在“弦圖”內(nèi)部作四個直角三角形(如△AHB,ABEC,ACDF,ADAG).設(shè)

a,b,c為四個直角三角形的勾、股、弦，則根據(jù)“出入相補原理”就有

圖2-116

c2=4x3ab+(b-a>,

c2=2ab+b2-2ab+a2,

c2=a2+b2.

即c-2ab+b2-2ab+a2,

即c-a2+b2.

這是中國古代數(shù)學家獨立于西方畢達哥拉斯和歐幾里得發(fā)明的證

法.后人沿用“出入相補原理”，也就是割補原理解決了許多數(shù)學問題，

也創(chuàng)造了''勾股定理”的許多新證法.事實上每位初中同學，學了勾股定

理，只要用心思考，一定會用割補法想出更新的證明勾股定理的方法.下

面的幾例，便是同學們提出的割補圖.

設(shè)a,b,c分別為直角三角形的勾、股、弦.

⑴在圖2-117中，有

圖2-117

aW=(S3+S5)+(S,+S2+S,)

=(S1+S5)+(S1+S2+S3)

=2S?+Si+S產(chǎn)C2.

⑵在圖2-118中，有

22

a+b=(S,+S)+(S,+S2)

,

=S.+S3+S1+S2+S5=c2

圖2-118

圖2-119

(3)在圖2-119中，有

22

a+b=(S2+S5)+(S14-S：1+S.)

=--=

Sl+S2|S3+Sl+S5C2.

(4)在圖2-120中，有

圖2-120

22z

a+b=(S2+S5)+(S,+Ss+S1)

;

=(S2+S,)+(S,+S3+S5)