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文檔簡介
北京市門頭溝區(qū)市級名校2024屆高考數學倒計時模擬卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設過點,,的圓的圓心坐標為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③2.已知函數,則在上不單調的一個充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.3.已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-814.公差不為零的等差數列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比數列,則數列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.45.等比數列的前項和為,若,,,,則()A. B. C. D.6.下列命題中,真命題的個數為()①命題“若,則”的否命題;②命題“若,則或”;③命題“若,則直線與直線平行”的逆命題.A.0 B.1 C.2 D.37.是拋物線上一點,是圓關于直線的對稱圓上的一點,則最小值是()A. B. C. D.8.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.德國數學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于π的級數展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內的三個公式,同時求得了展開三角函數和反三角函數的6個新級數公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于π的級數展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結果是()A. B.C. D.10.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時,液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時,液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.11.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)12.現有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則_________.14.已知橢圓:的左,右焦點分別為,,過的直線交橢圓于,兩點,若,且的三邊長,,成等差數列,則的離心率為__________.15.記實數中的最大數為,最小數為.已知實數且三數能構成三角形的三邊長,若,則的取值范圍是.16.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點.(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.18.(12分)根據國家統計局數據,1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根據數據及統計圖表,判斷與(其中為自然對數的底數)哪一個更適宜作為全國GDP總量關于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關于的回歸方程.(2)使用參考數據,估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.參考數據:45678的近似值551484031097298119.(12分)如圖,在直角中,,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)點是線段上一點,,且,求的值.20.(12分)已知數列的各項均為正數,且滿足.(1)求,及的通項公式;(2)求數列的前項和.21.(12分)已知函數(1)求單調區(qū)間和極值;(2)若存在實數,使得,求證:22.(10分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
對于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對于②,設直線的方程為,與拋物線聯立,用坐標表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設,到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以①正確.由題意可設直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設點,的坐標分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據拋物線的對稱性可知,,兩點關于軸對稱,所以過點,,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點睛】本題考查了拋物線的性質綜合,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數形結合,數學運算的能力,屬于較難題.2、D【解析】
先求函數在上不單調的充要條件,即在上有解,即可得出結論.【詳解】,若在上不單調,令,則函數對稱軸方程為在區(qū)間上有零點(可以用二分法求得).當時,顯然不成立;當時,只需或,解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數的函數的單調性及充分不必要條件,要注意二次函數零點的求法,屬于中檔題.3、B【解析】
根據二項式系數的性質,可求得,再通過賦值求得以及結果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等,故可得,令,故可得,又因為,令,則,解得令,則.故選:B.【點睛】本題考查二項式系數的性質,以及通過賦值法求系數之和,屬綜合基礎題.4、B【解析】
設數列的公差為.由,成等比數列,列關于的方程組,即求公差.【詳解】設數列的公差為,①.成等比數列,②,解①②可得.故選:.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算,屬于基礎題.5、D【解析】試題分析:由于在等比數列中,由可得:,又因為,所以有:是方程的二實根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點:等比數列.6、C【解析】
否命題與逆命題是等價命題,寫出①的逆命題,舉反例排除;原命題與逆否命題是等價命題,寫出②的逆否命題后,利用指數函數單調性驗證正確;寫出③的逆命題判,利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若,則”,令,可知該命題為假命題,故否命題也為假命題;②的逆否命題為“若且,則”,該命題為真命題,故②為真命題;③的逆命題為“若直線與直線平行,則”,該命題為真命題.故選:C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路:(1)判斷一個命題的真假時,首先要弄清命題的結構,即它的條件和結論分別是什么,然后聯系其他相關的知識進行判斷.(2)當一個命題改寫成“若,則”的形式之后,判斷這個命題真假的方法:①若由“”經過邏輯推理,得出“”,則可判定“若,則”是真命題;②判定“若,則”是假命題,只需舉一反例即可.7、C【解析】
求出點關于直線的對稱點的坐標,進而可得出圓關于直線的對稱圓的方程,利用二次函數的基本性質求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設點關于直線的對稱點為點,則,整理得,解得,即點,所以,圓關于直線的對稱圓的方程為,設點,則,當時,取最小值,因此,.故選:C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算,同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用,考查計算能力,屬于中等題.8、D【解析】
先求出四個頂點、四個焦點的坐標,四個頂點構成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標為,四個焦點的坐標為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.9、B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結果,故選:B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.10、B【解析】
根據空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因為,所以.故選:B【點睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎題.11、C【解析】
利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.12、B【解析】
求得基本事件的總數為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數和所求事件所包含的基本事件的個數,利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0.4【解析】
因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性,即得解.【詳解】因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關于對稱,所.【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應用,考查了學生概念理解,數形結合,數學運算的能力,屬于基礎題.14、【解析】
設,,,根據勾股定理得出,而由橢圓的定義得出的周長為,有,便可求出和的關系,即可求得橢圓的離心率.【詳解】解:由已知,的三邊長,,成等差數列,設,,,而,根據勾股定理有:,解得:,由橢圓定義知:的周長為,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴離心率.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應用,考查計算能力.15、【解析】試題分析:顯然,又,①當時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內的交點分別是(1,1)和,從而②當時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內的交點分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點:不等式、簡單線性規(guī)劃.16、【解析】
①根據向量數量積的坐標表示結合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結合①求出,根據面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點睛】此題考查平面向量與三角函數解三角形綜合應用,涉及平面向量數量積的坐標表示,三角恒等變換,根據三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)分別取,的中點,,連接,,,,,要證明平面,只需證明面∥面即可.(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標系,分別計算面的法向量,面的法向量可取,并判斷二面角為銳角,再利用計算即可.【詳解】(1)證明:分別取,的中點,,連接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標系由面,所以面的法向量可取,點,點,點,,,設面的法向量,所以,取,二面角的平面角為,則為銳角.所以【點睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查學生的運算能力,在做此類題時,一定要準確寫出點的坐標.18、(1),;(2)148萬億元.【解析】
(1)由散點圖知更適宜,對兩邊取自然對數得,令,,,則,再利用線性回歸方程的計算公式計算即可;(2)將代入所求的回歸方程中計算即可.【詳解】(1)根據數據及圖表可以判斷,更適宜作為全國GDP總量關于的回歸方程.對兩邊取自然對數得,令,,,得.因為,所以,所以關于的線性回歸方程為,所以關于的回歸方程為.(2)將代入,其中,于是2020年的全國GDP總量約為:萬億元.【點睛】本題考查非線性回歸方程的應用,在處理非線性回歸方程時,先作變換,轉化成線性回歸直線方程來處理,是一道中檔題.19、(1)3;(2).【解析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程組即可.【詳解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因為,所以,解得.在中,由余弦定理得,,即,,故.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,考查學生的計算能力,是一道中檔題.20、(1);.;(2)【解析】
(1)根據題意,知,且,令和即可求出,,以及運用遞推關系求出的通項公式;(2)通過定義法證明出是首項為8,公比為4的等比數列,利用等比數列的前項和公式,即可求得的前項和.【詳解】解:(1)由題可知,,且,當時,,則,當時,,,由已知可得,且,∴的通項公式:.(2)設,則,所以,,得是首項為8,公比為4的等比數列,所以數列的前項和為:,即,所以數列的前項和:.【點睛】本題考查通過遞推關系求數列的通項公式,以及等比數列的前項和公式,考查計算能力.21、(1)時,函數單調遞增,,函數單調遞減,;(2)見解析【解析
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