(教案)充分條件與必要條件-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

充分條件與必要條件

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個(gè)概念，并能在判斷、論證中正確運(yùn)

用。

2.在師生、學(xué)生間的數(shù)學(xué)交流中增強(qiáng)邏輯思維活動(dòng)，為用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題打下

基礎(chǔ)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

正確理解三個(gè)概念，并在分析中正確判斷。

【教學(xué)難點(diǎn)】

充分性與必要性的推導(dǎo)順序。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【教材分析】

這一大節(jié)通過(guò)若干實(shí)例，講述充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識(shí)。

這一大節(jié)的重點(diǎn)是充要條件。學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的技

能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容

是十分必要的。

關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件，本章對(duì)教學(xué)要求的尺度，還是控制在對(duì)初中代數(shù)、

幾何的有關(guān)問(wèn)題的理解上為宜。

【教學(xué)過(guò)程】

一、復(fù)習(xí)引入：

同學(xué)們，當(dāng)某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時(shí)候，你向老師介紹你的媽媽說(shuō)：“這是

我的媽媽"。那么，大家想一想這個(gè)時(shí)候你的媽媽還會(huì)不會(huì)補(bǔ)充說(shuō)：“你是她的孩子”呢？不會(huì)

T!為什么呢？因?yàn)榍懊婺闼榻B的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子。那么，這在數(shù)學(xué)

中是一層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)有意義的課題一一充分條件與必要條件。

二、講解新課：

1.符號(hào)的含義

前面我們討論了“若P則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假?！叭鬚則q”

為真，是指由p經(jīng)過(guò)推理可以得出q,也就是說(shuō)，如果p成立，那么q一定成立，記作p=q,

或者qUp；如果由p推不出q,命題為假，記作ptq。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，"若P則q"為真，記作p=>q（或q<=p）；

“若P則q”為假,記作p#>q（或qUp）。

符號(hào)“一”叫做推斷符號(hào)。

例如，“若x〉0,則x"0"是一個(gè)真命題，可寫成：x>0=>x2>0；

又如，“若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等”是一個(gè)真命題，可寫成：兩三角形全等

一兩三角形面積相等。

說(shuō)明：

（1）“P=q”表示“若P則q”為真；也表示“P蘊(yùn)含q”。

⑵“pnq”也可寫為“qUp”,有時(shí)也用“p-q”。

2.什么是充分條件？什么是必要條件？

如果已知p=q,那么我們就說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

在上面是兩個(gè)例子中，“x>0”是“卡>0”的充分條件，“卡>0”是“x>0”的必要條件；

“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形

全等”的必要條件。

3.充分條件與必要條件的判斷

直接利用定義判斷：即“若p-q成立，則P是q的充分條件，q是P的必要條件”。（條

件與結(jié)論是相對(duì)的）

三、范例

【例1】指出下列各組命題中，P是q的什么條件，q是P的什么條件：

（1）p：x=y；q：x2=y2o

（2）p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個(gè)角相等。

分析：可根據(jù)“若P則q”與“若q則P”的真假進(jìn)行判斷。

解：（1）由p=>q,即x=y=>xJy2,知p是q的充分條件，q是p的必要條件。

（2）由p=q,即三角形的三條邊相等一三角形的三個(gè)角相等，知P是q的充分條件，q

是p的必要條件；

又由q=p,即三角形的三個(gè)角相等一三角形的三條邊相等，知q也是P的充分條件，P也

是q的必要條件。

【例2】如圖1,有一個(gè)圓A,在其內(nèi)又含有一個(gè)圓B.請(qǐng)回答：

（1）命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；

“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件。

(2)命題：若“紅點(diǎn)在B內(nèi)”，則“紅點(diǎn)一定在A內(nèi)”中，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”X\

是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的什么條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”又是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的什么條

解法1(直接判斷)：(1)???“A為綠色為綠色”是真的，.?.由定義知，圖2。)

“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件。

(2)如圖2(1),V"紅點(diǎn)在B內(nèi)n紅點(diǎn)在A內(nèi)”是真的，.?.由定義知，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”

是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的充分條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的必要條件。

解法2(利用逆否命題判斷)：(1)它的逆否命題是：若“B不為綠色”則“A不為綠色”。

???“B不為綠色nA不為綠色”為真，I.“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠

色”是“A為綠色”的必要條件。

(2)它的逆否命題是：若“紅點(diǎn)不在A內(nèi)”，則“紅點(diǎn)一定不在B內(nèi)"。如

圖2(2),?.?“紅點(diǎn)不在A內(nèi)=紅點(diǎn)一定不在B內(nèi)”為真，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是(

“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的充分條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的必要條件。

如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2

為例來(lái)說(shuō)明。

先說(shuō)充分性：說(shuō)條件是充分的，也就是說(shuō)條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證

的。例如，說(shuō)“A為綠色”是“B為綠色”的一個(gè)充分條件，就是說(shuō)“A為綠色”，它足以保證

“B為綠色”。它符合上述的“若p則q”為真(即p=q)的形式。

再說(shuō)必要性：必要就是必須，必不可少。從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能

為綠色，A也可能不為綠色。但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”。因此，必要條件

簡(jiǎn)單說(shuō)就是：有它不一定，沒(méi)它可不行。它滿足上述的“若非q則非P”為真(即Iq=-ip)

的形式。

總之，數(shù)學(xué)上的充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”、

“必要”意義相近，不過(guò)，要準(zhǔn)確理解它們，還是應(yīng)該以數(shù)學(xué)定義為依據(jù)。

例2的問(wèn)題，若用集合觀點(diǎn)又怎樣解釋呢？請(qǐng)同學(xué)們想一想。

四、練習(xí)：

用“充分”或“必要”填空，并說(shuō)明理由：

1.“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的充分條件;

2.“四邊相等”是“四邊形是正方形”的必要條件;

3.“xW3”是“|x|w3”的充分條件;

4."x-l=O”是“x2-l=0”的充分條件;

5.“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是“這兩個(gè)角相等”的充分條件;

6.“至少有一組對(duì)應(yīng)邊相等”是“兩個(gè)三角形全等”的必要條件；

7.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不為0）來(lái)說(shuō)，“b2-4ac之0”是“這個(gè)

方程有兩個(gè)正根”的必要條件;

8.“a=2,b=3”是“a+b=5”的充分條件;

9.“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的必要條件;

10.“個(gè)位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個(gè)自然數(shù)能被5整除”的充分條件。

五、小結(jié)：

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了推斷符號(hào)“一”的意義，充分條件與必要條件的概念，以及判斷充分條件

與必要條件的方法。

判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是：

若p=>q（或若qn-!P）,則P是q的充分條件；

若q=>p（或若-）p=>-]q）,則p是q