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文檔簡介
廣東惠州光正實驗學校2023-2024學年高考數(shù)學五模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,是方程的兩個不等實數(shù)根,記().下列兩個命題()①數(shù)列的任意一項都是正整數(shù);②數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù).A.①正確,②錯誤 B.①錯誤,②正確C.①②都正確 D.①②都錯誤2.已知函數(shù),則下列結論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④3.設是定義域為的偶函數(shù),且在單調遞增,,則()A. B.C. D.4.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.某歌手大賽進行電視直播,比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分,場內外的觀眾可以通過網(wǎng)絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表,場內外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分,組織方將觀眾評分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為,場內外的觀眾評分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數(shù)為,則下列選項正確的是()A. B. C. D.6.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.7.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.8.設、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.39.已知點是雙曲線上一點,若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.210.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.311.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復數(shù)),則復數(shù)在復平面內對應的點在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設實數(shù)x,y滿足,則點表示的區(qū)域面積為______.14.已知一組數(shù)據(jù),1,0,,的方差為10,則________15.函數(shù)的值域為_____.16.滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某調查機構為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響,對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元,假設該產(chǎn)品可全部賣出,預測當年產(chǎn)量為多少時,年利潤w取到最大值?參考公式:18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;(2)已知點是曲線上的任意一點,又直線上有兩點和,且,又點的極角為,點的極角為銳角.求:①點的極角;②面積的取值范圍.19.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果,在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績,并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓的學生中隨機選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計這名學生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù),規(guī)定當時培訓有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效,并說明理由.20.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大小;(2)求點到平面的距離.21.(12分)已知數(shù)列的通項,數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項;(2)設,求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用韋達定理可得,,結合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷②的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實數(shù)根,所以,,因為,所以,即當時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應當為0或5,由,,依次計算可知,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故②錯誤;故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導,考查數(shù)列性質的應用,考查學生的綜合分析以及計算能力.2、D【解析】
因為,所以①不正確;因為,所以,,所以,所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因為函數(shù)的圖象關于直線對稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當時,,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因為,所以,所以函數(shù)的最小值為,④正確.故選D.3、C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質,比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質,是基礎題.4、B【解析】
求出導函數(shù),確定函數(shù)的單調性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點,則,∴.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.5、C【解析】
計算出、,進而可得出結論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場外有數(shù)萬名觀眾,所以,.故選:B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算,考查計算能力,屬于基礎題.6、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,得,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖像,,因為是奇函數(shù),所以,解得,因為,所以的最小值為.故選:【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質,屬于基礎題.7、A【解析】
設,延長至,使得,連,可證,得到(或補角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設,延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故選:A.【點睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.8、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳驗?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c睛】本題主要考查函數(shù)性質奇偶性的應用。9、A【解析】
設點的坐標為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結合,可得到的齊次方程,進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,構造的齊次方程是解決本題的關鍵,屬于中檔題.10、C【解析】試題分析:拋物線的準線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點,,,則;選C考點:1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準線方程;11、D【解析】
設,由,得,利用復數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設,則,所以,解得,故,復數(shù)在復平面內對應的點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的模等知識,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.12、B【解析】
先分別判斷命題真假,再由復合命題的真假性,即可得出結論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當,或時,則不成立.則,,均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性,判斷簡單命題的真假是解題的關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點坐標,利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎題.14、7或【解析】
依據(jù)方差公式列出方程,解出即可.【詳解】,1,0,,的平均數(shù)為,所以解得或.【點睛】本題主要考查方差公式的應用.15、【解析】
利用配方法化簡式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結果.【詳解】函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的值域為故答案為:【點睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題,屬基礎題。16、-2【解析】
可行域是如圖的菱形ABCD,代入計算,知為最小.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當時,年利潤最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得關于的回歸直線方程,由此求得關于的回歸直線方程.方法二:根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達式,根據(jù)二次函數(shù)的性質作出預測.【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關于的線性回歸方程是即,故關于的線性回歸方程是.方法二:因為,,,,,所以,故關于的線性回歸方程是,(2)年利潤,根據(jù)二次函數(shù)的性質可知:當時,年利潤最大.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進行預測,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.的極坐標方程為(2)①②【解析】
(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對應的曲線,并將的普通方程轉化為極坐標方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標方程,由此求得點的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進而求得,從而求得點的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點到直線的距離的表達式,結合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值,進而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因為則曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.所以的極坐標方程為,即.(2)①點的極角為,代入直線的極坐標方程得點極徑為,且,所以為等腰三角形,又直線的普通方程為,又點的極角為銳角,所以,所以,所以點的極角為.②解法1:直線的普通方程為.曲線上的點到直線的距離.當,即()時,取到最小值為.當,即()時,取到最大值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.解法2:直線的普通方程為.因為圓的半徑為2,且圓心到直線的距離,因為,所以圓與直線相離.所以圓上的點到直線的距離最大值為,最小值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.【點睛】本小題考查坐標變換,極徑與極角;直線,圓的極坐標方程,圓的參數(shù)方程,直線的極坐標方程與普通方程,點到直線的距離等.考查數(shù)學運算能力,包括運算原理的理解與應用、運算方法的選擇與優(yōu)化、運算結果的檢驗與改進等.也兼考了數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).19、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可;(Ⅱ)結合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu),從而求出滿足條件的概率即可;(Ⅲ)求出滿足的成績有16個,求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(Ⅰ)設這名學生考核優(yōu)秀為事件,由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道,30名同學中,有7名同學考核優(yōu)秀,所以所求概率約為(Ⅱ)設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件,因為表中成績在的6人中有2個人考核為優(yōu),所以基本事件空間包含15個基本事件,事件包含9個基本事件,所以(Ⅲ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),滿足的成績有16個,所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.【點睛】本題考查了莖葉圖問題,考查概率求值以及轉化思想,是一道常規(guī)題.20、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉化為異面直線與直線所成的角的大?。唬?)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意
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