2023-2024學(xué)年江西省吉安市遂川中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年江西省吉安市遂川中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．42．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．3．甲乙丙丁四人中，甲說(shuō)：我年紀(jì)最大，乙說(shuō)：我年紀(jì)最大，丙說(shuō)：乙年紀(jì)最大，丁說(shuō)：我不是年紀(jì)最大的，若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．已知，，則（）A． B． C． D．5．在三棱錐中，，，P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b8．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)9．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:10．框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，11．如圖，中，點(diǎn)D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．14．已知，滿足約束條件，則的最小值為__________.15．某高校開展安全教育活動(dòng)，安排6名老師到4個(gè)班進(jìn)行講解，要求1班和2班各安排一名老師，其余兩個(gè)班各安排兩名老師，其中劉老師和王老師不在一起，則不同的安排方案有________種.16．設(shè)平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)于任意，有，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng).（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.20．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.21．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算．【詳解】的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話，結(jié)合其他人的說(shuō)法，看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話，即可求得年紀(jì)最大者，即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是甲，那么乙說(shuō)謊，丙也說(shuō)謊，而丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故甲說(shuō)的不是真話，年紀(jì)最大的不是甲；②假設(shè)乙說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，那么甲說(shuō)謊，丙說(shuō)真話，丁也說(shuō)真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故乙說(shuō)謊，年紀(jì)最大的也不是乙；③假設(shè)丙說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，所以乙說(shuō)真話，甲說(shuō)謊，丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故丙在說(shuō)謊，年紀(jì)最大的也不是乙；④假設(shè)丁說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的不是丁，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，那么甲也說(shuō)謊，說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的，同時(shí)乙也說(shuō)謊，說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的，年紀(jì)最大的只有一人，所以只有丙才是年紀(jì)最大的，故假設(shè)成立，年紀(jì)最大的是丙.綜上所述，年紀(jì)最大的是丙故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，解題時(shí)可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.4、D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D【點(diǎn)睛】考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.5、A【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)椋酝饨訄A的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所?設(shè)，易知平面ABC，則.因?yàn)椋?，即，解?所以球Q的半徑.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計(jì)算求解能力，是中檔題6、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡(jiǎn)得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點(diǎn)（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.8、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】，，∴等價(jià)于，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

依題意問(wèn)題是，然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．12、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故，解得，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）＝，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設(shè)f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵14、【解析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點(diǎn)處取最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、156【解析】

先考慮每班安排的老師人數(shù)，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的方案數(shù)，再考慮劉老師和王老師在同一班級(jí)的方案數(shù)，兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個(gè)班則每班老師人數(shù)為1，1，2，2，共有種，劉老師和王老師分配到一個(gè)班，共有種，所以種.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，難度一般.對(duì)于分組的問(wèn)題，首先確定每組的數(shù)量，對(duì)于其中特殊元素，可通過(guò)“正難則反”的思想進(jìn)行分析.16、【解析】

根據(jù)已知條件計(jì)算出，結(jié)合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）（3）【解析】

（1）假設(shè)公差，公比，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)式子，可得，，然后利用公式法，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和，可得結(jié)果.（3）計(jì)算出，代值計(jì)算并化簡(jiǎn)，可得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意：，即，解得：所以，（2），，，上面兩式相減，得：則即所以，（3），所以由得，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及利用錯(cuò)位相減法求和，屬基礎(chǔ)題.18、（1）見(jiàn)解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解析】

（1）由等差中項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出的取值范圍，進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)時(shí)，，整理可得，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整數(shù)的值為35.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了與的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時(shí)，常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，一般借助數(shù)列，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù).19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值，證明.20、（1）；（2）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）會(huì)超過(guò)；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝0