2019年全國各省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題匯編(含答案)

各省數(shù)學(xué)競賽匯集

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷

一、填空題（70分）

1、當(dāng)％e[-3,3]時(shí),函數(shù)/（無）=|之一3%|的最大值為_18—.

2、在AABC中，已知4。-5。=12,4。?衣4=—4,則4。=_4—.

3＞從集合｛3,4,5,6,7,8｝中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，這3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

3

10,

4、已知。是實(shí)數(shù)，方程%2+（4+，）％+4+。/=0的一個(gè)實(shí)根是方（，是虛部單位），則

|a+bi|的值為____2A/2—.

22

5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：d——匕=1的右焦點(diǎn)為尸，一條過原點(diǎn)。且

124

傾斜角為銳角的直線/與雙曲線。交于A,8兩點(diǎn).若AFAB的面積為86，則直線的斜

6、已知G是正實(shí)數(shù)，左=。電°的取值范圍是一口,中力）.

7、在四面體ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4該四面體的

體積為_____543.

8、已知等差數(shù)列｛與｝和等比數(shù)列｛4｝滿足：

%+偽=3,%+"=7,q+b3=15,a4+b4=35,則an+bn=_3"T+2n—.

（九eN*）

9、將27,37,47,48,55,71,75這7個(gè)數(shù)排成一列，使任意連續(xù)4個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)，

則這樣的排列有—144種.

10、三角形的周長為31,三邊a,6,c均為整數(shù)，且則滿足條件的三元數(shù)組

（a,b,c）的個(gè)數(shù)為_24—.

二、解答題（本題80分，每題20分）

n、在AABC中，角A,5,C對(duì)應(yīng)的邊分別為Q,Z?,C,證明:

(1)Z?cosC+ccosB=a

a+b

證明：（1）在△旗C中，由正弦定理導(dǎo)=導(dǎo)=虛=2火（其中R是△/3C外接圓的半徑）,

得6cosc+ccos5=27fsinBcosC+27?sinCcos5

=27?sin(5+Q

=27?sinJ

故命題得證.10分

(2)由(1)知bcosC+c8sB=。，同理有acosC+cco~=b,

所以6cosC+ccosB+acosC+ccosA=a+b9

即c(cosB+cos^l)=(a+i)(1-cosC)=(a+b)?

cos^+cos5

所以?20分

12、已知a.b為實(shí)數(shù)，a>2,函數(shù)/(x)=|Inx-—|+b{x>0).若

/(l)=e+l,/(2)=|-ln2+l.

(1)求實(shí)數(shù)a,。；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若實(shí)數(shù)c,d滿足c>d,cd=1,求證：/(c)</(J)

解：(1)由題設(shè)_/(l)=e+l,/(^奇一U12+1得同+6=e+l,|ln2—ln2+l,

.密_/7e

因?yàn)閍>2,所以a>21n2,從而a+6=e+l,且1+6=5+1,

解得a=e,b=\.................................................................5分

(2)由(1)得危)=|lnx—1+l.

因?yàn)镮nx,一1在(0,+8)上均單調(diào)遞增，Ine—7=0.

xe

令8(X)=3一號(hào)所以有

當(dāng)x>e時(shí)，g(x)>g(e)=0,從而危)=lnx—；+1單調(diào)遞增；

當(dāng)0Vx<e時(shí)，g(x)Vg(e)=0,從而危)=，-lnr+1單調(diào)遞減.

故加)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e)；單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+8).

..................................15分

(3)因?yàn)閏>d,cd=l,所以d=?c>\,

e1

于是次c)=1—lnc|+l,KZ)=/(1)=|ec+lnc|+l=ec+lnc+l.

又因?yàn)楫?dāng)c>l時(shí)，ec+Inc>Inc+->|lnc—

cc

t

所以人C)V>M)-

命題得證.......................................20分

13、如圖，半徑為1的圓。上有一定點(diǎn)M為圓。上的動(dòng)點(diǎn).在射線

OM上有一動(dòng)點(diǎn)6,AB=1,O5>1.線段交圓。于另一點(diǎn)

C,。為線段的06中點(diǎn).求線段CD長的取值范圍.

解：設(shè)乙4。8="

因?yàn)椤?=48,所以NOB力=&ZBAO=130°~2e.

又OA=OC,得/。。=180°—2仇于是N80C=180°—30.

因?yàn)椤?=4B,O為線段08的中點(diǎn)，所以4O_L。，從而a)=04.cos6=cos。.

...................................5分

在△OCD中，由余弦定理得

齒支^+必一？oc-OD.cosZBOC

=1+cos2^—2cos^-cos(180°—30

=1+cos%+2cos。?cos36

=8cos'。-5cos2j+l

57

=8(COS2^—T7)2+TZ.

1032

.............10分

又/BOC=180。-30VZAOB=0,

ZOCA=lSO0-2e＞ZOBA=0,

得180。-3?！闯?80。-2。〉仇

所以45。＜。＜60。.....

從而|vcos2ev1.

于是看得斗孚，等號(hào)在cos6=乎時(shí)成立.

所以線段CD長的取值范圍是相，挈.................................20分

O/

14、設(shè)是a,h,c,d正整數(shù)，Q3是方程％2—(d—c)%+cd=0的兩個(gè)根.證明：存在邊

長是整數(shù)且面積為ab的直角三角形.

證明：由題設(shè)可知a+b=d—ab=cd...............................5分

由于mb,c,d是正整數(shù)，所以a+b,a+c,b+c中任意兩個(gè)數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)，

從而知存在以。+6,〃+c,b+c為邊的三角形.

因?yàn)?a+c)2+(B+cP=J+62+2C2+2c(?+b)

=a2+i2+2c2+2c(d—c)

=a2~hb2~h2cd

=a2+fe2+2ab

=(a+b)2...............................15分

所以，這樣的三角形是直角三角形，其直角邊長為a+c,b+c,斜邊長為a+b,且該三

角形的面積為

+c)(b+cy=^ab+c(a+b+c)]

=^ab+cd)

=ab.

故邊長為〃+b,Q+C,5+c的三角形符合題設(shè)要求.

..........20分

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案

(高一年級(jí))

說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評(píng)閱，

只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。

一、填空題(本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。)

1.已知集合A={x|x<a},_S={x|x>Z?},a,b￡N,且An3nN={l},則a+人=1.

2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列a}的公比qwl,且。2，%，%成等差數(shù)列，則

%+%+。7

。3+。6+。9

3函數(shù)i的值域?yàn)?/p>

1

4.3sin2a+2sin2[3=1,3(sina+cosa)2-2(sin+cos^)2=L貝!Ie2(a+/)=--

5.已知數(shù)列{4}滿足：%為正整數(shù)，

.“為偶數(shù)

3an+1,明為奇數(shù),

如果6+出+%=29,貝!jax-5

Fj

6.在△A3C中，角A,8,C的對(duì)邊長“，"c滿足a+c=2/j,且C=2A,則sinA=——

4

7.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.設(shè)。是△ABC的內(nèi)心，^AO=pAB+qAC,

則義的值為3.

q2

8.設(shè)三,巧,巧是方程--x+l=O的三個(gè)根，則的值為-5.

二'解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）

9.已知正項(xiàng)數(shù)列｛““｝滿足,“網(wǎng)+1+%4+2=4癡4+1+%3+3也％且6=1,

〃2=8,求｛%｝的通項(xiàng)公式.

解在已知等式兩邊同時(shí)除以瓦丁，得』『=45^】+3,

即數(shù)列仍“｝是以4=4為首項(xiàng),4為公比的等比

1n

以b?=b｛-4"-=4.

即=[(4"一1尸一1k

于是，當(dāng)〃>1時(shí),

22W22

冊(cè)=[(4^-I)-1]^=[(4^-I)-1].[(4--l)-l]an_2

“一1"-1

212

=...=P([(4t-1-1)-i]Q1=n[(4*--1)-1],

左=1無=1

1,n=l,

n—\

因此a"=|P[[(4M-I)2-1],/?>2.

d=l

--------------------------------16分

10.已知正實(shí)數(shù)滿足。2+82=1,且Q3+匕3+1=加(々+人+])3,求相的最小值.

JT

解令々=8$。*=51118,0<0<—,則

2

cos36+sii?0+1(cos+sin(cos26-cos6sin。+sin?6)+1

m=

(cos6+sine+l)3(cos9+sine+l)3

----------------5分

令％=cose+sin。，貝|%=J5sin6+M)￡(l,J^］,且

4

丫2_1

c64s-----H-------------------------------------10分

2

于是

x2-l

A一?T)+2+3%一九32+x-x22-x31

m=------------=---------=--------=------=---------.-----------

(x+1)32(%+1)32(%+1)22(x+l)2(x+l)2

--------------15分

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=--——工在(1,正］上單調(diào)遞減，所以/(五)⑴.

2(%+1)2

因止匕，機(jī)的最小值為

/(收)=3能-4.--------------------------------------------20分

11.設(shè)/(x)=lo^(x-2tz)+log(x-3<2),其中〃>0且awl.若在區(qū)間［a+3,a+4］上

■工)恒成立，求〃的取值范圍.

22

解于(x)=1oagx(-cu&\-a6=)

,IX-2?>0,,3II./5〃3,八

由《倚ZI=尤I>3a,由題思知a+3>3a，故a<一,從而(a+3)-------=—(a—2)>0,

［x-3a>0,222

q2

故函數(shù)g(x)=(X--)2--在區(qū)間［?+3,a+4］上單調(diào)遞增.

24

----------------------------------------------5分

⑴若。<”1,則/(x)在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間［a+3,a+4］上

的最大值為/(。+3)=10&,(21-9〃+9).

在區(qū)間團(tuán)+3,.+4］上不等式/(x)41恒成立，等價(jià)于不等式log。(2/-9a+9)41成立，

從而2/一9—,解得北必自或aV且也.

22

結(jié)合0<4<1得

0<a<l.----------------------------------------------10分

3

(2)^l<a<-,則/(x)在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞增，所以/(x)在區(qū)間［a+3,a+4］

2

上的最大值為f(a+4)=lOga(2a-12a+16).

在區(qū)間［a+3,a+4］上不等式/(x)41恒成立，等價(jià)于不等式log,(2/-12+16)41成立,

從而24—1勿+164〃，即2“2—1%+1640,解得13―歷13+歷.

44

易知13一歷,所以不符

42

合.-----------------------------15分

綜上可知：。的取值范圍為

(0,1).--------------------------------20分

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題

(高二年級(jí))

說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和。分兩檔；解答題的評(píng)閱，

只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。

一、填空題(本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。)

1.函數(shù)匚豆二的值域?yàn)開______________.

\x2+4X+7

2.已知3sIcmb2s彳尸n=l,3(sin6z+coscr)2-2(sin/7+cos^)2=1,則

C(2(CS+B)=.

3.已知數(shù)列{氏}滿足：句為正整數(shù)，。用=%為偶數(shù)，如果生+&+%=29,

3an+1,凡為奇數(shù)，

則%=.

4.設(shè)集合S={1,2,3,…,12},A={“i，%，的}是S的子集，且滿足見<a2<a3,a3-a2<5,

那么滿足條件的子集A的個(gè)數(shù)為.

22

5.過原點(diǎn)。的直線/與橢圓C：j+==l(a>>>0)交于兩點(diǎn)，尸是橢圓C上異

ab

于的任一點(diǎn).若直線的斜率之積為-,，則橢圓C的離心率為

3

6.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.設(shè)。是△ABC的內(nèi)心，若工3=pQ+q就,

則己的值為_______________

q

7.在長方體ABC。-A/1G2中，已知AC=1,坊。=后,4q=p,則長方體的體積最大

時(shí)，p為.

k

20122019+O

8.設(shè)印表示不超過x的最大整數(shù)，則Z[器]=-

k=02

二'解答題(本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分)

9.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足J%7a,+I+64+2=4j%?a“+i+a3+3ja“%!+i且6=1,

a2=8,求｛%｝的通項(xiàng)公式.

10.已知正實(shí)數(shù)滿足/+/=1,且〃+。3+1=%（°+匕+］）3,求機(jī)的取值范圍.

11.已知點(diǎn)E（九"）為拋物線為=2pMp>0）內(nèi)一定點(diǎn),過E作斜率分別為配右的兩條

直線交拋物線于A,民C,。，且M,N分別是線段AB,。的中點(diǎn).

（1）當(dāng)〃=0且占%=T時(shí)，求△EMN的面積的最小值；

（2）若占+七=2（4片0,2為常數(shù)），證明：直線MN過定點(diǎn).

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案

(高二年級(jí))

說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和。分兩檔；解答題的評(píng)閱,

只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。

一、填空題(本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。)

I—x+1一的指十十%mV6,

i.函數(shù)y(x)=j—；------的值域?yàn)椋?),■一］.

Vx2+4x+76

2.已知Bsil?a+2sin2f3=l,3(sincif+coscif)2-2(sin/？+cos^)2=1,貝2(a+/)=一；.

3.已知數(shù)列{0}滿足：%為正整數(shù)，

a.1?，?！榕紨?shù)，

3?！?1,〃〃為奇數(shù)，

如果％+〃2+%=29,貝!j氏=5.

4.設(shè)集合S={1,2,3,…,12},A={〃］，出,/}是S的子集，且滿足％va2v“3，%-。2<5,

那么滿足條件的子集A的個(gè)數(shù)為185.

22

5.過原點(diǎn)。的直線/與橢圓C：二+==l(a>>>0)交于兩點(diǎn)，P是橢圓C上異

ab

于V,N的任一點(diǎn).若直線的斜率之積為-』，則橢圓C的離心率為YG.

33

6.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.設(shè)。是△ABC的內(nèi)心，^AO=pAB+qAC,

則義的值為3.

q2

7.在長方體ABCD-ABiGA中，已知4C=：l,31C=后,A旦=p,則長方體的體積最大

8.設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則\〔---百—1=2018.

k=02

二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）

9.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足+“"4+2MA/a/Hi+a3+3J44+1且q=1,

。2=8,求｛%｝的通項(xiàng)公式.

解在已知等式兩邊同時(shí)除以,彳導(dǎo)1+-=41+也+3,

aa

V?+lVn

所以1+—+1=4(1+—+1).

V4+1Van

-----------------------------4分

令a=J1+今叱+1，貝Ia=4,勾+1=4%，

即數(shù)列｛〃｝是以仇=4為首項(xiàng),4為公比的等比

1n

數(shù)列，所以bn=bt-4"-=4.

-----------------------------8分

所以J1+乎+1=4",

n2

即?H+i=[(4-D-iK.

-----------------------------12分

于是，當(dāng)〃>1時(shí)，

22

4=[(4〃T-1)2_加1=[(4〃T-1)2_a[(4---I)-1]??_2

n-\n-\

==n【dI-if一啊=n?I-1)2-1]，

上=1k=l

1,n=l,

因此，n-l

A"=|P[[(4M-1)2-1],n>2.

」二1

-----------------------------16分

10.已知正實(shí)數(shù)滿足/+/=1,^.a3+b3+l=m(a+b+i)3,求機(jī)的取值范圍.

77

解令〃=(：05。力=01118,0<0<—,貝!!

2

cos3^+sin36+1(cos6^+sin^)(cos26^-cos^sin^+sin26)+1

m=----------------=-----------------------------------------.--------------------

(cos6+sine+l)3(cos^+sin^+l)3

-----------5分

令x=cose+sin。，貝|x=V2sin(<9+—)G(1,V2],且

4

r2

c64s---H---------------------------------------10分

2

于是

x2-1

式1-2^+12+3x-x32+x-x22-x31

TYI=--------------=----------=---------=-------=-----------.-------------

(x+1)32(%+1)32(x+l)22(x+l)2(x+l)2

---------15分

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=--——工在(1,正]上單調(diào)遞減，所以/(V2)<777</(1).

2(x+l)2

又/⑴=1,/(揚(yáng)=型|心,所以

42

11.已知點(diǎn)為拋物線,=2pHp>0)內(nèi)一定點(diǎn)，過E作斜率分別為配右的兩條

直線交拋物線于A,B,C,O,且M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn).

(1)當(dāng)〃=0且占次2=-1時(shí)，求△EMN的面積的最小值；

(2)若匕+七=2(4片0"為常數(shù))，證明：直線MN過定點(diǎn).

解所在直線的方程為x=/i(y-〃)+〃7,其中4=占，代入/=2內(nèi)中，得

h

y2—Ipt^y+^pt^n—lpm-Q,

設(shè)A。,％),5(%,％)，則有力+為=2pr「從而

%+%=。(%+%—2")+2m=ti(2pti-2n)+2m.

則M(pt；—ntx+m,ptj.

1c

CD所在直線的方程為X=12(、-川)+機(jī)，其中,2=^-，同理可得N(p/2—加2+八夕’2),

■5分

2

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，E(m,0),M(pt；+m,p￡),N(pt1+m,pt2),IEM|=|ptx\71+^,

2

]EN\=\pt2\^l+t2.

又占&=T，故.12=-1，于是的面積

>m=p1,

當(dāng)且僅當(dāng)1乙|=舊i=i時(shí)等號(hào)成立.

所以，△EMN的面積的最小值為p2.

-----------------------------10分

(2)k-'2)_J

p(G-t2)-n(tx-t2)?]+心)_二

12P

MN所在直線的方程為y-ptx=----------------[x-{pt^-ntx+根],

G+t2)—

p

即

y(t1+t2pt1t2=x-m.-----------------------------15分

P

+^2=—+—=2,BP乎2=&+/，代入上式，得+t2p-^—^=x-m,

GGXp2

即(,+?2)(y——■)=x-\———m.

4p

y_——P

當(dāng)y-K=0時(shí)，有x+空一機(jī)=0,即"A為方程的一組解，

彳Px=m」

I2

所以直線MN恒過定點(diǎn)

z幾20分

olr2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

月

泄

典陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷

(（5月20日上午8：30-11；00）

r

微二試

DsR題號(hào)一試總成績

一—二三四五

加

得分

赧評(píng)卷人

復(fù)核人

考生注意：

琮1.本試卷分兩試,第一試共10小題，滿分80分;第二試共5大題，滿分120分.

拔

2.用藍(lán)色(或黑色)鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.

3.解題書寫不要超過裝訂線.

群

4.不能使用計(jì)算器.

第一試

用X

1

料得分評(píng)卷入填空題(每小題8分，共80分)

——

需

——本題共有10小題，要求直接將答案填在題中的橫線上.

—

1.已知集合M={1,3,5,7,9},若非空集合4滿足：4中各元素都加4后構(gòu)成M

扁

的一個(gè)子集,4中各元素都減4后也構(gòu)成朋的一個(gè)子集，則4=.

2.已知兩條直線％H:y=4,設(shè)函數(shù)y=3"的圖象與匕&分別交于點(diǎn)A、B,

陽

函數(shù)y=5,的圖象與I1&分別交于點(diǎn)C、D,則直線AB與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____.

)3.對(duì)于正整數(shù)n,若n=p*q(p2q,p、qeN,)，當(dāng)p-q最小時(shí)，我們稱p?q為n的

“最佳分解”，并規(guī)定加)=；例如,12的分解有12x1,6x2,4x3,其中4x3為12

的最佳分解，則/(12)=*關(guān)于/(“)，有下列四個(gè)判斷：

4

頷4)=0；②f(7)=于額24)=不?(2012)=而

2/0J\JJ

5其中，所有正確判斷的序號(hào)是_____.

4,已知AABC為等腰直角三角形，44=90。,且施=a+b,就=。-瓦若a=

(頗。加6)(6wR),則△ABC的面積等于_____.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第1頁(共6頁)

(

兇

)

護(hù)

5.在正四面體ABCD中,40平面BCD,垂足為。.設(shè)M是線段40上一點(diǎn)，且滿

足"MC=90。,則A券M=

6.如圖1,上△48C的三個(gè)頂點(diǎn)都在給定的拋物線

x2=2py（p>0）上,且斜邊AB//x軸，則斜邊上的高|CD|

7.某項(xiàng)游戲活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)分成一、二、三等獎(jiǎng)（參與游戲

活動(dòng)的都有獎(jiǎng)），且相應(yīng)獲獎(jiǎng)的概率是以a為首項(xiàng)、2為公比

的等比數(shù)列,相應(yīng)獲得的獎(jiǎng)金是以700元為首項(xiàng)、-140為公

差的等差數(shù)列.則參與這項(xiàng)游戲活動(dòng)獲得獎(jiǎng)金的期望是

_____7E.

8.設(shè)p、g是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，則pi+q”】被pF除的余數(shù)是_.

9.定義在R上的函數(shù)/（工）滿足/（1）=1,且對(duì)任意的,cR,都有了'（%）-.則

不等式/（勿g2%）>容2的解集為_____.

10.從公路旁的材料工地沿筆直公路向同一方向運(yùn)送電線桿到500m以外的公路

邊埋栽，在500m處栽一根，然后每間隔50m在公路邊栽一根.已知運(yùn)輸車輛一次最多

只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)栽20根電線桿的任務(wù)，并返回材料工地,則運(yùn)輸車總的行程最

小為m.

得分評(píng)卷人

一、（本題滿分20分）

在中，已知48=2,4。=1,且如24+2s/W=l.

（1）求角A的大小和5c邊的長；

（2）若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），且點(diǎn)P到三邊距離之和為d.設(shè)點(diǎn)P到邊

BCyCA的距離分別為%、y,試用7表示或并求d的取值范圍.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第2頁（共6頁）

得分評(píng)卷入

二、（本題滿分20分）

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（￡,：）為圓心的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，且分別與x軸、

,軸交于點(diǎn)（不同于原點(diǎn)0）.

（1）求證:A4OE的面積S為定值；

（2）設(shè)直線/：,=-2%+4與圓C相交于不同的兩點(diǎn)M、N,且|。版|=|0押|,

求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽友預(yù)賽試卷第3頁（共6頁）

得分評(píng)卷人

三、（本題滿分20分）

如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于圓。，過圓心0且垂直于半徑OA

的直線分別交邊四“C于點(diǎn)E、F.設(shè)圓。在B、C兩點(diǎn)處的切線

相交于點(diǎn)P,求證:直線AP平分線段EF.

圖2

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第4頁（共6頁）

得分評(píng)卷入

四、(本題滿分30分)

已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足a[=24/+[+3a?+1(ne/V*).

(1)求數(shù)列I4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列|6」?jié)M足乞=1+：(幾wN：)，且對(duì)任意正整數(shù)兀(22),不等式

芝—T—r＞費(fèi)恒成立，求整數(shù)m的最大值.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第5頁(共6頁)

得分評(píng)卷人

五、（本題滿分30分）

對(duì)于任意的正整數(shù)"，證明:

11117

fZ2+3r+21+3i^2l+**，+3,,+(-2Y

賽3-

闔

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第6頁（共6頁）

2018年上海市高中數(shù)學(xué)競賽

一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）

1.如圖，正六邊形A4Go耳片的邊長為1，它的6條對(duì)角線又

圍成一個(gè)正六邊形&5G2與耳，如此繼續(xù)下去，則所有這些_\_\FI

六邊形的面積和是

a.3

2.已知正整數(shù)q,%,,%（）滿足:上■>—/<，</V10,則《（）

a；2

的最小可能值是,

3.若tantz+tan，+tan/=-，cota+cot，+cot/=——,cot?cot/3

65

17

+cot/3coty+cotycota=---,貝！Itan(cr+#+7)=.

4.已知關(guān)于x的方程1g（區(qū)）=21g（x+l）僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)人的

取值范圍是.

5.如圖，AA所是邊長為x的正方形4BCO的內(nèi)接三角形，已知

ZAEF=90°,AE=a,EF-b,a>b,貝1]x=.

6.方程2"-3"-3"M+2"=13的非負(fù)整數(shù)解(〃〃)=.

7.一個(gè)口袋里有5個(gè)大小一樣的小球，其中兩個(gè)是紅色的，兩個(gè)是白色的，一

個(gè)是黑色的，依次從中摸出5個(gè)小球，相鄰兩個(gè)小球的顏色均不相同的概率

是.（用數(shù)字作答）

8.數(shù)列｛%｝定義如下：%=1,%=2,4+2=I上產(chǎn),〃=1,2,?若

ILI乙fII乙

金〉2+3，則正整數(shù)機(jī)的最小值為.

m2012

二、解答題

9.（本題滿分14分）如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=x,BC=1,對(duì)角線

AC與BD的夾角ZBOC=45°,記直線AB與CD的距離為/z（x）.

求/2（X）的表達(dá)式，并寫出X的取值范圍.

A

10.（本題滿分14分）給定實(shí)數(shù)求函數(shù)/（x）=（"+sinx）（4+sinx）的最小

1+smx

值.

11.(本題滿分16分)正實(shí)數(shù)％,y,z滿足9盯z+盯+yz+zx=4,求證:

(/1.)、xy+yz+zx>4—；

(2)x+y+z>2.

12.（本題滿分16分）給定整數(shù)3）,記/⑺為集合｛1,2,,2"-1｝的滿足如下

兩個(gè)條件的子集A的元素個(gè)數(shù)的最小值：

（a）leA,2n-leA；

。）A中的元素（除1外）均為A中的另兩個(gè)（可以相同）元素的和.

（1）求”3）的值;

（2）求證：/（100）<108.

2018年上海市高中數(shù)學(xué)競賽答案

9』

1、2、92

~T~

3、114、S，O）{4}

5、6、(3,O),(2,2)

-y/tz2+(a-t>)2

2

7、8、4025

9.解由平行四邊形對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和得

22222

OB+OC=1(AB+BC)=1(X+1).①

（2分）

在△03C中,由余弦定理

BC2=OB2+OC2-2OB-OCcosZBOC,

所以O(shè)B2+OC2-42OBOC=1,②

r2_1

由①，②得OBOC=—日.③

272

.(5分)

所以SABC萬4ROBOSinZB

L