高一物理單元復(fù)習(xí)過過過(人教版2019必修第二冊)第七章萬有引力與宇宙航行【思維導(dǎo)圖+考點(diǎn)通關(guān)】(原卷版+解析)

第七章萬有引力與宇宙航行一、思維導(dǎo)圖二、考點(diǎn)通關(guān)考點(diǎn)1行星的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目定律內(nèi)容圖示意義開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上否定了行星圓形軌道的說法，建立了正確的軌道理論，給出了太陽準(zhǔn)確的位置開普勒第二定律(面積定律)對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等描述了行星在其軌道上運(yùn)行時(shí)，線速度的大小不斷變化。解決了行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的速度大小問題開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,T2)＝k))表明了行星公轉(zhuǎn)周期與軌道半長軸間的關(guān)系，橢圓軌道半長軸越長的行星，其公轉(zhuǎn)周期越長；反之，其公轉(zhuǎn)周期越短2．行星運(yùn)動(dòng)的近似處理實(shí)際上，行星的軌道與圓十分接近，在中學(xué)階段的研究中我們可按圓軌道處理。這樣就可以說：(1)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。注：處理行星繞太陽(恒星)的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，根據(jù)題意判斷行星軌道是需要按橢圓軌道處理，還是按圓軌道處理，當(dāng)題中說法是軌道半徑時(shí)，則可按圓軌道處理。【典例1】“墨子號”是由中國自主研制的世界上第一顆空間量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星，標(biāo)志著中國在量子通信技術(shù)方面走在了世界前列；其運(yùn)行軌道為如圖所示的繞地球E運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。軌道上標(biāo)記了墨子衛(wèi)星經(jīng)過相等時(shí)間間隔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δt＝\f(T,14)，T為軌道周期))的位置。則下列說法正確的是()A．面積S1>S2B．衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度小于其在B點(diǎn)的速度C．T2＝Ca3，其中C為常數(shù)，a為橢圓半長軸D．T2＝C′b3，其中C′為常數(shù)，b為橢圓半短軸【變式訓(xùn)練1】火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積考點(diǎn)2萬有引力定律1．萬有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)，式中G為引力常量，在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)的相互吸引力。引力常量由英國物理學(xué)家卡文迪什在實(shí)驗(yàn)室中比較準(zhǔn)確地測出。測定G值的意義：①引力常量的普適性成了萬有引力定律正確性的有力證據(jù)；②使萬有引力定律有了真正的實(shí)用價(jià)值。2．萬有引力的特點(diǎn)普適性萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個(gè)物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個(gè)物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，作用在彼此上宏觀性地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力的作用不可忽略3．應(yīng)用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的注意事項(xiàng)(1)求兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，或者當(dāng)兩物體間距離遠(yuǎn)大于物體本身大小時(shí)，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)公式中的r表示兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。(2)求兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力時(shí)，公式中的r為兩個(gè)球心間的距離。(3)求一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力時(shí)，r指質(zhì)點(diǎn)到球心的距離。(4)對于兩個(gè)不能看成質(zhì)點(diǎn)的物體間的萬有引力，不能直接用萬有引力公式求解，切不可依據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)得出r→0時(shí)F→∞的結(jié)論，違背公式的物理含義。【典例2】（多選）下列說法正確的是()A．萬有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的作用力計(jì)算B．據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)，當(dāng)r→0時(shí)，物體m1、m2間引力F趨于無窮大C．把質(zhì)量為m的小球放在質(zhì)量為M、半徑為R的大球球心處，則大球與小球間萬有引力F＝Geq\f(Mm,R2)D．兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的分離的球體之間的相互作用力也可以用F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算，r是兩球體球心間的距離【變式訓(xùn)練2】如有兩艘輪船，質(zhì)量都是1.0×107kg，相距10km，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則它們之間的萬有引力的大小為()A．6.67×10－5N，相比于船自身的重力，該引力可忽略B．6.67×10－5N，相比于船自身的重力，該引力不能忽略C．6.67×106N，相比于船自身的重力，該引力可忽略D．6.67×106N，相比于船自身的重力，該引力不能忽略考點(diǎn)3萬有引力與重力的關(guān)系1．萬有引力和重力的關(guān)系如圖，地球?qū)ξ矬w的萬有引力F＝Geq\f(m地m,R2)可分解為F1、F2兩個(gè)分力，其中F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力Fn，F(xiàn)2就是物體的重力mg。所以重力是萬有引力的一個(gè)分力，重力的大小mg≤Geq\f(m地m,R2)，重力的方向可能偏離地心。2．重力與緯度的關(guān)系地面上物體的重力隨緯度的升高而變大。在南北兩極和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球兩極處重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一條直線上。(1)赤道上：重力和向心力在一條直線上，F(xiàn)＝Fn＋mg，即Geq\f(m地m,R2)＝mω2r＋mg，所以mg＝Geq\f(m地m,R2)－mω2r。地球上任何一點(diǎn)自轉(zhuǎn)的角速度都相等，同一物體赤道上的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑最大，需要的向心力最大，故物體在赤道上的重力是最小的。(2)兩極處：因?yàn)橄蛐牧榱悖詍g＝F＝Geq\f(m地m,R2)，故物體在兩極處的重力是最大的。3．重力與高度的關(guān)系由于地球的自轉(zhuǎn)角速度很小，故地球自轉(zhuǎn)帶來的影響很小，一般情況下認(rèn)為在地面附近：mg＝Geq\f(m地m,R2)。若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(m地m,R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)，可得g′＝eq\f(Gm地,R＋h2)＝eq\f(R2,R＋h2)g，所以距地面越高，物體的重力加速度越小，則物體所受的重力也越小?！镜淅?】火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量大約是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，那么地球表面上質(zhì)量為50kg的宇航員(地球表面的重力加速度g取10m/s2)，(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航員在地球表面能跳1.5m高，那他在火星表面能跳多高？【變式訓(xùn)練3】某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為M?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A．eq\r(\f(GM,10R3)) B．eq\r(\f(GM,11R3))C．eq\r(\f(1.1GM,R3)) D．eq\r(\f(GM,R3))考點(diǎn)4天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．天體質(zhì)量的計(jì)算(1)重力加速度法若已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，根據(jù)在天體表面上物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天體的質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”。(2)環(huán)繞法借助環(huán)繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)計(jì)算中心天體的質(zhì)量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：萬有引力提供向心力中心天體的質(zhì)量說明Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)r為行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，v、ω、T為行星(或衛(wèi)星)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度和周期Geq\f(Mm,r2)＝mω2rM＝eq\f(ω2r3,G)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)rM＝eq\f(4π2r3,GT2)2．天體密度的計(jì)算方法一：若天體的半徑為R，由“重力加速度法”可知天體的質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，那么由ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3求得天體的密度ρ＝eq\f(3g,4πRG)。方法二：若中心天體的半徑為R，由“環(huán)繞法”可知中心天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)(r、T為環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期)，那么由ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3求得中心天體的密度ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)。當(dāng)行星(或衛(wèi)星)環(huán)繞中心天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2)。ρ＝eq\f(3π,GT2)給出了一種簡單地求中心天體密度的方法，但是要注意這里的T是環(huán)繞中心天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)對應(yīng)的周期，而不是在其他軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期，也不是隨中心天體自轉(zhuǎn)的周期。注意區(qū)分R、r、h的意義，一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離行星表面的高度，r＝R＋h?！镜淅?】土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1μm到10m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距離從7.3×104km延伸到1.4×105km。已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為14h，引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(估算時(shí)不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用)()A．9.0×1016kg B．6.4×1017kgC．9.0×1025kg D．6.4×1026kg【變式訓(xùn)練4】(多選)2011年7月在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星，某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料(如圖所示)計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的式子中正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)()A．ρ＝eq\f(3g0,2πGd) B．ρ＝eq\f(g0T2,3πd)C．ρ＝eq\f(3π,GT2) D．ρ＝eq\f(6M,πd3)考點(diǎn)5天體運(yùn)動(dòng)中各物理量與軌道半徑的關(guān)系1．天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算(1)基本思路：行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)和衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)一般情況可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由太陽或地球這樣的中心天體對它的萬有引力提供，即F引＝F向。(2)常用關(guān)系：①Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。②忽略自轉(zhuǎn)時(shí)，Geq\f(Mm,R2)＝mg(物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：GM＝gR2，該公式通常被稱為“黃金代換式”，即當(dāng)GM不知道時(shí)，可以用gR2來代換GM。2．天體運(yùn)動(dòng)中的各物理量與軌道半徑的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小。(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小。(3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大。(4)由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，r越大，a越小。以上結(jié)論可總結(jié)為：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越遠(yuǎn)越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”?！镜淅?】人造地球衛(wèi)星在運(yùn)行中，由于受到稀薄大氣的阻力作用，其運(yùn)動(dòng)軌道半徑會逐漸減小，在此進(jìn)程中，以下說法中正確的是()A．衛(wèi)星的速率將變小B．衛(wèi)星的周期將增大C．衛(wèi)星的向心加速度將增大D．衛(wèi)星的角速度將變小【變式訓(xùn)練5】(多選)土星外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系，則下列判斷正確的是()A．若v2∝R，則外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群B．若v∝R，則外層的環(huán)是土星的一部分C．若v∝eq\f(1,R)，則外層的環(huán)是土星的一部分D．若v2∝eq\f(1,R)，則外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群考點(diǎn)6雙星及多星問題1．雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)(1)兩顆星體各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供(如圖)，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。(2)兩顆星體的運(yùn)動(dòng)周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)兩顆星體的軌道半徑與它們之間距離的關(guān)系為：r1＋r2＝L。2．多星系統(tǒng)在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系統(tǒng)，在多星系統(tǒng)中：(1)各個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期、角速度相同。(2)某一星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由其他星體對它的萬有引力的合力提供的?！镜淅?】(多選)有科學(xué)家認(rèn)為，木星并非圍繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)，而是圍繞著木星和太陽之間的某個(gè)公轉(zhuǎn)點(diǎn)進(jìn)行公轉(zhuǎn)，因此可以認(rèn)為木星并非太陽的行星，它們更像是太陽系中的“雙星系統(tǒng)”。假設(shè)太陽的質(zhì)量為m1，木星的質(zhì)量為m2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是()A．太陽的軌道半徑為R＝eq\f(m1,m1＋m2)LB．木星的軌道半徑為r＝eq\f(m2,m1)LC．這個(gè)“雙星系統(tǒng)”運(yùn)行的周期為T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2))D．若認(rèn)為木星繞太陽中心做圓周運(yùn)動(dòng)，則木星的運(yùn)行周期為T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1))【變式訓(xùn)練6】雙星系統(tǒng)由兩顆質(zhì)量近似相等的恒星組成，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，該雙星系統(tǒng)周期的理論計(jì)算值是實(shí)際觀測周期的k倍(k>1)?？茖W(xué)家推測該現(xiàn)象是由兩恒星連線中點(diǎn)的一個(gè)黑洞造成的，則該黑洞的質(zhì)量與該雙星系統(tǒng)中一顆恒星質(zhì)量的比值為()A．eq\f(k2－1,4) B．eq\f(k＋1,2)C．eq\f(k2－1,8) D．eq\f(2k2－1,4)考點(diǎn)7宇宙速度1．對三種宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度：是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，其大小為7.9km/s。(2)第二宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠(yuǎn)離開地球的最小發(fā)射速度，其大小為11.2km/s。(3)第三宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使其掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度，其大小為16.7km/s。2．第一宇宙速度的推導(dǎo)已知地球的質(zhì)量為m地＝5.98×1024kg，近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于地球半徑R＝6.4×106m，重力加速度g＝9.8m/s2。思路一：萬有引力提供向心力，由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7.9km/s。思路二：由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝7.9km/s。說明：由第一宇宙速度的兩種表達(dá)式可知，第一宇宙速度的大小由地球決定。其他天體的第一宇宙速度可以用v＝eq\r(\f(GM,R))或v＝eq\r(g天體R)表示，式中G為引力常量，M為天體的質(zhì)量，g天體為天體表面的重力加速度，R為天體的半徑。3．發(fā)射速度與環(huán)繞速度(1)當(dāng)v發(fā)＝7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)當(dāng)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球在橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，且發(fā)射速度越大，衛(wèi)星的軌道半長軸越大，在近地點(diǎn)速度越大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度越小。(3)當(dāng)11.2km/s≤v發(fā)<16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)成為太陽系的一顆“小行星”，或繞太陽系內(nèi)其他星體運(yùn)動(dòng)。(4)當(dāng)v發(fā)≥16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星可以掙脫太陽引力的束縛到達(dá)太陽系以外的空間。【典例7】(多選)已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)。下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是()A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B．發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以C．發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D．火星探測器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球第一宇宙速度的eq\f(\r(2),3)【變式訓(xùn)練7】(多選)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法中正確的是()A．第一宇宙速度v1＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1，小于v2B．美國發(fā)射的“鳳凰號”火星探測衛(wèi)星，其發(fā)射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是在地面附近使物體可以掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度D．第一宇宙速度7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度考點(diǎn)8人造地球衛(wèi)星1．人造地球衛(wèi)星(1)軌道形狀①橢圓軌道：地心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。②圓軌道：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星所需的向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供，由于萬有引力指向地心，所以衛(wèi)星的軌道圓心必然是地心，即衛(wèi)星在以地心為圓心的軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)軌道位置：過地心，與地心在同一平面?？梢栽诔嗟榔矫鎯?nèi)(赤道軌道)，可以通過兩極上空(極地軌道)，也可以和赤道平面成任意角度。(3)運(yùn)行規(guī)律人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3))、T＝2πeq\r(\f(r3,GM))、a＝eq\f(GM,r2)，所以衛(wèi)星的v、ω、a隨r的增大而減小，周期T隨r的增大而增大。2．地球同步衛(wèi)星(1)定義：周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同的衛(wèi)星。(2)同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：五個(gè)“一定”①周期一定：同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h。②角速度大小一定：同步衛(wèi)星繞行的角速度大小等于地球自轉(zhuǎn)的角速度大小。③高度一定：同步衛(wèi)星高度約為3.6×104km。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r知，r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))。由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，R為地球半徑，則h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R。又因GM＝gR2，代入數(shù)據(jù)T＝24h＝86400s，g取9.8m/s2，R＝6.4×106m，得h≈3.6×104km。④線速度大小一定：同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度大小為3.1×103m/s。設(shè)其運(yùn)行速度為v，由于Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，所以v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))＝3.1×103m/s。⑤向心加速度大小一定：同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌道處的重力加速度(0.23m/s2)。由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma得a＝Geq\f(M,R＋h2)＝gh＝0.23m/s2。注：一種特殊的地球同步衛(wèi)星——靜止衛(wèi)星，還具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：①繞行方向一定：靜止衛(wèi)星的繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致，即自西向東。②軌道平面一定：所有的靜止衛(wèi)星都在赤道的正上方，其軌道平面與赤道平面重合。3．衛(wèi)星的追及相遇問題的分析如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個(gè)不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb，某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面同一點(diǎn)正上方，相距最近，如圖甲所示；當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時(shí)，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如圖乙所示。兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)，相距最近的條件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2…)?！镜淅?】如圖所示，A為地面上的待發(fā)射衛(wèi)星，B為近地圓軌道衛(wèi)星，C為地球同步衛(wèi)星。三顆衛(wèi)星質(zhì)量相同，線速度大小分別為vA、vB、vC，角速度大小分別為ωA、ωB、ωC，周期分別為TA、TB、TC，向心加速度分別為aA、aB、aC，則()A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TC<TBC．vA＝vC<vB D．a(chǎn)A＝aC>aB【變式訓(xùn)練8】由于月球與地球間潮汐力的影響，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3.7億年前一天大約22小時(shí)，而現(xiàn)在一天約23時(shí)56分，對于地球自轉(zhuǎn)變慢帶來的影響，下列說法正確的是()A．近地衛(wèi)星的周期變大B．近地衛(wèi)星的線速度變大C．同步衛(wèi)星的高度變低D．赤道處的重力加速度變大考點(diǎn)9衛(wèi)星變軌問題1．人造衛(wèi)星沿圓軌道和橢圓軌道運(yùn)行的條件如圖所示，設(shè)衛(wèi)星的速度為v，衛(wèi)星到地心的距離為r，衛(wèi)星以速度v繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力為F向＝meq\f(v2,r)，衛(wèi)星所受地球的萬有引力F＝Geq\f(Mm,r2)。當(dāng)F＝F向時(shí)，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F<F向時(shí)，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F>F向時(shí)，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。2．人造衛(wèi)星的變軌衛(wèi)星由低軌道變到高軌道必須加速，由高軌道變到低軌道必須減速。如圖所示，衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，Geq\f(Mm,r\o\al(2,A))＝meq\f(v\o\al(2,A),rA)(rA為A點(diǎn)到地心的距離)。若要使衛(wèi)星變軌到橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行，則使衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到圓軌道Ⅰ上的A點(diǎn)時(shí)加速，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，變軌到橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)。若要使衛(wèi)星在圓軌道Ⅲ上運(yùn)行，則當(dāng)衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，必須在B點(diǎn)再次加速。反之，則需要減速。3．飛船對接問題(1)低軌道飛船與高軌道空間實(shí)驗(yàn)室對接時(shí)，如圖甲所示，讓低軌道飛船通過合理地加速，沿橢圓軌道追上高軌道空間實(shí)驗(yàn)室與其完成對接。(2)同一軌道飛船與空間實(shí)驗(yàn)室對接時(shí)，如圖乙所示，通常使后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當(dāng)控制，使飛船追上空間實(shí)驗(yàn)室時(shí)恰好具有相同的速度。【典例9】如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星的過程如下：先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后再次點(diǎn)火進(jìn)入橢圓形的過渡軌道2，最后將衛(wèi)星送入同步軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是()A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)的速度C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大于它在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度【變式訓(xùn)練9】(多選)如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確的是()A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度B．a(chǎn)加速可能會追上bC．c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的cD．a(chǎn)衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其線速度將變大考點(diǎn)10相對論時(shí)空觀在牛頓力學(xué)理論與電磁波理論的矛盾與沖突面前，一些物理學(xué)家仍堅(jiān)持原有理論的基礎(chǔ)觀念，進(jìn)行一些修補(bǔ)的工作，而愛因斯坦、龐加萊等人則主張徹底放棄某些與實(shí)驗(yàn)和觀測不符的觀念，如絕對時(shí)間的概念，提出能夠更好地解釋實(shí)驗(yàn)事實(shí)的假設(shè)。愛因斯坦假設(shè)：(1)在不同的慣性參考系中，物理規(guī)律的形式都是相同的。(2)真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是相同的。在愛因斯坦假設(shè)的基礎(chǔ)上，可得出“同時(shí)”的相對性、時(shí)間延緩效應(yīng)、長度收縮效應(yīng)等結(jié)論。1．“同時(shí)”的相對性假設(shè)一列火車沿平直軌道飛快地勻速行駛。車廂中央的光源發(fā)出了一個(gè)閃光，閃光照到了車廂的前壁和后壁。車上的觀察者以車廂為參考系，因?yàn)檐噹莻€(gè)慣性系，光向前、后傳播的速率相同，光源又在車廂的中央，閃光當(dāng)然會同時(shí)到達(dá)前后兩壁(圖甲)。對于車下的觀察者來說，他以地面為參考系，因閃光向前、后傳播的速率對地面也是相同的，在閃光飛向兩壁的過程中，車廂向前行進(jìn)了一段距離，所以向前的光傳播的路程長些。他觀測到的結(jié)果應(yīng)該是：閃光先到達(dá)后壁，后到達(dá)前壁(圖乙)。因此，這兩個(gè)事件不是同時(shí)發(fā)生的。2．對時(shí)間延緩、長度收縮效應(yīng)的理解(1)Δt＝eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2))表明Δt>Δτ，即時(shí)間間隔變長，時(shí)鐘變慢。非但如此，慣性系中的一切物理、化學(xué)和生命過程都變慢了。這種時(shí)間的變化是相對的，如果兩個(gè)觀察者做相對運(yùn)動(dòng)，他們都會認(rèn)為對方所在參考系的時(shí)間變慢了。(2)對于l＝l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2)，只適用于沿桿的運(yùn)動(dòng)方向上。在垂直于桿的運(yùn)動(dòng)方向上，桿的長度沒有變化。這種長度的變化是相對的，如果兩條平行的桿沿長度方向做相對運(yùn)動(dòng)，與它們一起運(yùn)動(dòng)的兩位觀測者都會認(rèn)為對方的桿縮短了。(3)時(shí)間間隔、長度的變化都是由于物體的相對運(yùn)動(dòng)引起的一種觀測效應(yīng)，它與所選的參考系有關(guān)，而物體本身的結(jié)構(gòu)并沒有變化。3．相對論時(shí)空觀經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為時(shí)間與空間都是獨(dú)立于物體及其運(yùn)動(dòng)而存在的，這種絕對時(shí)空觀，也叫牛頓力學(xué)時(shí)空觀。時(shí)間延緩效應(yīng)和長度收縮效應(yīng)表明：運(yùn)動(dòng)物體的長度(空間距離)和物理過程的快慢(時(shí)間進(jìn)程)都跟物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，這個(gè)結(jié)論具有革命性的意義，它所反映的時(shí)空觀稱作相對論時(shí)空觀。高速運(yùn)動(dòng)的μ子壽命變長這一現(xiàn)象，用經(jīng)典理論無法解釋，用相對論時(shí)空觀可得到很好的解釋。這一研究結(jié)果成了相對論時(shí)空觀的最早證據(jù)。相對論時(shí)空觀的第一次宏觀驗(yàn)證(銫原子鐘實(shí)驗(yàn))是在1971年進(jìn)行的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與相對論的理論預(yù)言符合得很好?！镜淅?0】在靜止系中的立方體每邊長L0，另一坐標(biāo)系以相對速度v平行于立方體的一邊運(yùn)動(dòng)。問在后一坐標(biāo)系中的觀察者測得的立方體體積是多少？【變式訓(xùn)練10】在量子力學(xué)中，π介子和質(zhì)子在特定條件發(fā)生碰撞，并發(fā)生反應(yīng)，能產(chǎn)生新粒子K0，而新粒子K0的固有壽命(即粒子相對慣性參考系靜止時(shí)的壽命)很短，當(dāng)新粒子K0在空氣中運(yùn)行的距離為d＝0.1m時(shí)，新粒子K0就發(fā)生衰變，生成兩個(gè)帶等量異號電荷的π介子。如果生成的新粒子K0的速度大小為v＝2.24×108m/s，求新粒子K0的固有壽命。(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)考點(diǎn)11牛頓力學(xué)的成就與局限性牛頓力學(xué)只適用于低速運(yùn)動(dòng)和宏觀世界，不能解釋高速運(yùn)動(dòng)和微觀粒子的運(yùn)動(dòng)。1．這里的低速是指遠(yuǎn)小于光速，通常所見物體的運(yùn)動(dòng)，如行駛的汽車、發(fā)射的導(dǎo)彈、人造地球衛(wèi)星及宇宙飛船等物體的運(yùn)動(dòng)皆為低速運(yùn)動(dòng)。有些微觀粒子在一定條件下其速度可以與光速相接近，這樣的速度稱為高速。對于低速運(yùn)動(dòng)問題，一般用牛頓力學(xué)來處理。對于高速運(yùn)動(dòng)問題，牛頓力學(xué)已不再適用，需要用相對論知識來處理。2．對于微觀粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，一般用量子力學(xué)描述。3．當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速c時(shí)(c＝3×108m/s)，相對論物理學(xué)與牛頓力學(xué)的結(jié)論沒有區(qū)別；當(dāng)另一個(gè)重要常數(shù)即普朗克常量h可以忽略不計(jì)時(shí)(h＝6.63×10－34J·s)，量子力學(xué)和牛頓力學(xué)的結(jié)論沒有區(qū)別。相對論與量子力學(xué)都沒有否定過去的科學(xué)，而只認(rèn)為過去的科學(xué)是自己在一定條件下的特殊情形?！镜淅?1】(多選)以下說法正確的是()A．牛頓力學(xué)普遍適用，大到天體，小到微觀粒子均適用B．牛頓力學(xué)的成立具有一定的局限性C．根據(jù)牛頓力學(xué)，物體的長度不隨物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變而改變D．相對論與量子力學(xué)否定了牛頓力學(xué)【變式訓(xùn)練11】(多選)20世紀(jì)以來，人們發(fā)現(xiàn)了一些新的事實(shí)，而牛頓力學(xué)卻無法解釋。牛頓力學(xué)只適用于解決物體的低速運(yùn)動(dòng)問題，不能用來處理高速運(yùn)動(dòng)問題，只適用于宏觀物體，一般不適用于微觀粒子。這說明()A．隨著認(rèn)識的發(fā)展，牛頓力學(xué)已成了過時(shí)的理論B．人們對客觀事物的具體認(rèn)識在廣度上是有局限性的C．不同領(lǐng)域的事物各有其本質(zhì)與規(guī)律D．人們應(yīng)當(dāng)不斷擴(kuò)展認(rèn)識，在更廣闊的領(lǐng)域內(nèi)掌握不同事物的本質(zhì)與規(guī)律第七章萬有引力與宇宙航行一、思維導(dǎo)圖二、考點(diǎn)通關(guān)考點(diǎn)1行星的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目定律內(nèi)容圖示意義開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上否定了行星圓形軌道的說法，建立了正確的軌道理論，給出了太陽準(zhǔn)確的位置開普勒第二定律(面積定律)對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等描述了行星在其軌道上運(yùn)行時(shí)，線速度的大小不斷變化。解決了行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的速度大小問題開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,T2)＝k))表明了行星公轉(zhuǎn)周期與軌道半長軸間的關(guān)系，橢圓軌道半長軸越長的行星，其公轉(zhuǎn)周期越長；反之，其公轉(zhuǎn)周期越短2．行星運(yùn)動(dòng)的近似處理實(shí)際上，行星的軌道與圓十分接近，在中學(xué)階段的研究中我們可按圓軌道處理。這樣就可以說：(1)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。注：處理行星繞太陽(恒星)的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，根據(jù)題意判斷行星軌道是需要按橢圓軌道處理，還是按圓軌道處理，當(dāng)題中說法是軌道半徑時(shí)，則可按圓軌道處理?！镜淅?】“墨子號”是由中國自主研制的世界上第一顆空間量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星，標(biāo)志著中國在量子通信技術(shù)方面走在了世界前列；其運(yùn)行軌道為如圖所示的繞地球E運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。軌道上標(biāo)記了墨子衛(wèi)星經(jīng)過相等時(shí)間間隔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δt＝\f(T,14)，T為軌道周期))的位置。則下列說法正確的是()A．面積S1>S2B．衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度小于其在B點(diǎn)的速度C．T2＝Ca3，其中C為常數(shù)，a為橢圓半長軸D．T2＝C′b3，其中C′為常數(shù)，b為橢圓半短軸【答案】C【解析】根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與地球的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，故面積S1＝S2，A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星在A點(diǎn)、B點(diǎn)經(jīng)過很短的時(shí)間Δt，衛(wèi)星與地球連線掃過的面積SA＝SB，由于時(shí)間Δt很短，則這兩個(gè)圖形均可看作扇形，則eq\f(1,2)vAΔt·rA＝eq\f(1,2)vBΔt·rB，且知rA<rB，則vA>vB，B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律：所有行星軌道半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等，即eq\f(a3,T2)＝k，整理可得T2＝eq\f(1,k)a3＝Ca3，其中C＝eq\f(1,k)，為常數(shù)，a為橢圓半長軸，故C正確，D錯(cuò)誤。規(guī)律點(diǎn)撥(1)行星繞太陽運(yùn)行的軌道嚴(yán)格來說不是圓而是橢圓，行星與太陽間的距離是不斷變化的。不同行星軌道半長軸不同，即各行星的橢圓軌道不同，但太陽是所有橢圓軌道的共同焦點(diǎn)。(2)同一行星，當(dāng)其離太陽較近的時(shí)候，運(yùn)行的速度較大，而離太陽較遠(yuǎn)的時(shí)候速度較小。近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)分別是行星距離太陽的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)，同一行星在近日點(diǎn)時(shí)速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)速度最小。(3)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，也適用于行星繞其他恒星的運(yùn)動(dòng)，還適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)。其中公式eq\f(a3,T2)＝k，對于同一中心天體，k的數(shù)值相同；對于不同的中心天體，k的數(shù)值不同?！咀兪接?xùn)練1】火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積【答案】C【解析】根據(jù)開普勒第一定律可知，太陽位于木星運(yùn)行的橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，可推知行星的運(yùn)行速度大小是變化的，B、D錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方，C正確?？键c(diǎn)2萬有引力定律1．萬有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)，式中G為引力常量，在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)的相互吸引力。引力常量由英國物理學(xué)家卡文迪什在實(shí)驗(yàn)室中比較準(zhǔn)確地測出。測定G值的意義：①引力常量的普適性成了萬有引力定律正確性的有力證據(jù)；②使萬有引力定律有了真正的實(shí)用價(jià)值。2．萬有引力的特點(diǎn)普適性萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個(gè)物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個(gè)物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，作用在彼此上宏觀性地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力的作用不可忽略3．應(yīng)用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的注意事項(xiàng)(1)求兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，或者當(dāng)兩物體間距離遠(yuǎn)大于物體本身大小時(shí)，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)公式中的r表示兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。(2)求兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力時(shí)，公式中的r為兩個(gè)球心間的距離。(3)求一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力時(shí)，r指質(zhì)點(diǎn)到球心的距離。(4)對于兩個(gè)不能看成質(zhì)點(diǎn)的物體間的萬有引力，不能直接用萬有引力公式求解，切不可依據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)得出r→0時(shí)F→∞的結(jié)論，違背公式的物理含義。【典例2】（多選）下列說法正確的是()A．萬有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的作用力計(jì)算B．據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)，當(dāng)r→0時(shí)，物體m1、m2間引力F趨于無窮大C．把質(zhì)量為m的小球放在質(zhì)量為M、半徑為R的大球球心處，則大球與小球間萬有引力F＝Geq\f(Mm,R2)D．兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的分離的球體之間的相互作用力也可以用F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算，r是兩球體球心間的距離【答案】AD【解析】萬有引力定律適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩球體質(zhì)量分布均勻時(shí)，可認(rèn)為球體質(zhì)量分布在球心，然后計(jì)算萬有引力，故A、D正確；當(dāng)r→0時(shí)，兩物體不能視為質(zhì)點(diǎn)，萬有引力公式不再適用，B錯(cuò)誤；若大小球質(zhì)量分布均勻，則大球M對處于球心的小球m的引力合力為零，故C錯(cuò)誤?！咀兪接?xùn)練2】如有兩艘輪船，質(zhì)量都是1.0×107kg，相距10km，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則它們之間的萬有引力的大小為()A．6.67×10－5N，相比于船自身的重力，該引力可忽略B．6.67×10－5N，相比于船自身的重力，該引力不能忽略C．6.67×106N，相比于船自身的重力，該引力可忽略D．6.67×106N，相比于船自身的重力，該引力不能忽略【答案】A【解析】根據(jù)萬有引力定律可得兩艘輪船之間的萬有引力F＝eq\f(GM2,r2)＝6.67×10－5N，相比于船自身重力G＝Mg＝1.0×107×9.8N＝9.8×107N，該引力可以忽略，A正確，B、C、D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)3萬有引力與重力的關(guān)系1．萬有引力和重力的關(guān)系如圖，地球?qū)ξ矬w的萬有引力F＝Geq\f(m地m,R2)可分解為F1、F2兩個(gè)分力，其中F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力Fn，F(xiàn)2就是物體的重力mg。所以重力是萬有引力的一個(gè)分力，重力的大小mg≤Geq\f(m地m,R2)，重力的方向可能偏離地心。2．重力與緯度的關(guān)系地面上物體的重力隨緯度的升高而變大。在南北兩極和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球兩極處重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一條直線上。(1)赤道上：重力和向心力在一條直線上，F(xiàn)＝Fn＋mg，即Geq\f(m地m,R2)＝mω2r＋mg，所以mg＝Geq\f(m地m,R2)－mω2r。地球上任何一點(diǎn)自轉(zhuǎn)的角速度都相等，同一物體赤道上的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑最大，需要的向心力最大，故物體在赤道上的重力是最小的。(2)兩極處：因?yàn)橄蛐牧榱?，所以mg＝F＝Geq\f(m地m,R2)，故物體在兩極處的重力是最大的。3．重力與高度的關(guān)系由于地球的自轉(zhuǎn)角速度很小，故地球自轉(zhuǎn)帶來的影響很小，一般情況下認(rèn)為在地面附近：mg＝Geq\f(m地m,R2)。若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(m地m,R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)，可得g′＝eq\f(Gm地,R＋h2)＝eq\f(R2,R＋h2)g，所以距地面越高，物體的重力加速度越小，則物體所受的重力也越小。【典例3】火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量大約是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，那么地球表面上質(zhì)量為50kg的宇航員(地球表面的重力加速度g取10m/s2)，(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航員在地球表面能跳1.5m高，那他在火星表面能跳多高？【答案】(1)222.2N；(2)3.375m【解析】(1)在地球表面有mg＝Geq\f(Mm,R2)在火星表面上有mg′＝Geq\f(M′m,R′2)代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得g′＝eq\f(40,9)m/s2則宇航員在火星表面上受到的重力G′＝mg′＝50×eq\f(40,9)N≈222.2N。(2)宇航員在地球表面能跳起的高度H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)宇航員在火星表面能跳起的高度h＝eq\f(v\o\al(2,0),2g′)聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得h＝eq\f(g,g′)H＝eq\f(10,\f(40,9))×1.5m＝3.375m。【變式訓(xùn)練3】某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為M?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A．eq\r(\f(GM,10R3)) B．eq\r(\f(GM,11R3))C．eq\r(\f(1.1GM,R3)) D．eq\r(\f(GM,R3))【答案】B【解析】由萬有引力定律得物體在“兩極”處有Geq\f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道處有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，聯(lián)立以上兩式解得，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。考點(diǎn)4天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．天體質(zhì)量的計(jì)算(1)重力加速度法若已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，根據(jù)在天體表面上物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天體的質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”。(2)環(huán)繞法借助環(huán)繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)計(jì)算中心天體的質(zhì)量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：萬有引力提供向心力中心天體的質(zhì)量說明Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)r為行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，v、ω、T為行星(或衛(wèi)星)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度和周期Geq\f(Mm,r2)＝mω2rM＝eq\f(ω2r3,G)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)rM＝eq\f(4π2r3,GT2)2．天體密度的計(jì)算方法一：若天體的半徑為R，由“重力加速度法”可知天體的質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，那么由ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3求得天體的密度ρ＝eq\f(3g,4πRG)。方法二：若中心天體的半徑為R，由“環(huán)繞法”可知中心天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)(r、T為環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期)，那么由ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3求得中心天體的密度ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)。當(dāng)行星(或衛(wèi)星)環(huán)繞中心天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2)。ρ＝eq\f(3π,GT2)給出了一種簡單地求中心天體密度的方法，但是要注意這里的T是環(huán)繞中心天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)對應(yīng)的周期，而不是在其他軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期，也不是隨中心天體自轉(zhuǎn)的周期。注意區(qū)分R、r、h的意義，一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離行星表面的高度，r＝R＋h?！镜淅?】土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1μm到10m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距離從7.3×104km延伸到1.4×105km。已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為14h，引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(估算時(shí)不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用)()A．9.0×1016kg B．6.4×1017kgC．9.0×1025kg D．6.4×1026kg【答案】BD【解析】土星“光環(huán)”的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。其中r為外緣顆粒的軌道半徑，大小為1.4×105km，T為外緣顆粒繞土星運(yùn)動(dòng)的周期，約為14h，代入數(shù)據(jù)得：M≈6.4×1026kg，D正確?！咀兪接?xùn)練4】(多選)2011年7月在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星，某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料(如圖所示)計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的式子中正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)()A．ρ＝eq\f(3g0,2πGd) B．ρ＝eq\f(g0T2,3πd)C．ρ＝eq\f(3π,GT2) D．ρ＝eq\f(6M,πd3)【答案】ACD【解析】由ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))3，得ρ＝eq\f(6M,πd3)，D正確；由Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2)＝mg0，ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))3，聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3g0,2πGd)，A正確；根據(jù)萬有引力定律得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得火星質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，又火星的體積V＝eq\f(4,3)πR3，故火星的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT2)，C正確。規(guī)律總結(jié)：利用環(huán)繞法只能求中心天體質(zhì)量，而不能求環(huán)繞中心天體運(yùn)行的衛(wèi)星(或行星)的質(zhì)量。考點(diǎn)5天體運(yùn)動(dòng)中各物理量與軌道半徑的關(guān)系1．天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算(1)基本思路：行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)和衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)一般情況可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由太陽或地球這樣的中心天體對它的萬有引力提供，即F引＝F向。(2)常用關(guān)系：①Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。②忽略自轉(zhuǎn)時(shí)，Geq\f(Mm,R2)＝mg(物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：GM＝gR2，該公式通常被稱為“黃金代換式”，即當(dāng)GM不知道時(shí)，可以用gR2來代換GM。2．天體運(yùn)動(dòng)中的各物理量與軌道半徑的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小。(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小。(3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大。(4)由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，r越大，a越小。以上結(jié)論可總結(jié)為：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越遠(yuǎn)越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。【典例5】人造地球衛(wèi)星在運(yùn)行中，由于受到稀薄大氣的阻力作用，其運(yùn)動(dòng)軌道半徑會逐漸減小，在此進(jìn)程中，以下說法中正確的是()A．衛(wèi)星的速率將變小B．衛(wèi)星的周期將增大C．衛(wèi)星的向心加速度將增大D．衛(wèi)星的角速度將變小【答案】C【解析】當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑逐漸變小時(shí)，在較短時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星仍可看作做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，有Fn＝Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mreq\f(4π2,T2)＝mrω2，解得v＝eq\r(\f(GM,r))、T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))、an＝eq\f(GM,r2)、ω＝eq\r(\f(GM,r3))。由此可知，當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑逐漸變小時(shí)，衛(wèi)星的速率將變大，周期將減小，向心加速度將增大，角速度將增大，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確?！咀兪接?xùn)練5】(多選)土星外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系，則下列判斷正確的是()A．若v2∝R，則外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群B．若v∝R，則外層的環(huán)是土星的一部分C．若v∝eq\f(1,R)，則外層的環(huán)是土星的一部分D．若v2∝eq\f(1,R)，則外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群【答案】BD【解析】若外層的環(huán)為土星的一部分，則它們各層轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正確，C錯(cuò)誤；若外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群，則由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v2∝eq\f(1,R)，故A錯(cuò)誤，D正確。規(guī)律總結(jié)：(1)由于某個(gè)因素的影響使衛(wèi)星的軌道半徑發(fā)生緩慢的變化時(shí)，因半徑變化緩慢，故衛(wèi)星每一周的運(yùn)動(dòng)仍可以看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)環(huán)繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)的線速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天體的質(zhì)量及行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑r確定。中心天體質(zhì)量給定時(shí)，已知v、ω、T、a、r中的一個(gè)，即可求解出其他四個(gè)量?？键c(diǎn)6雙星及多星問題1．雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)(1)兩顆星體各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供(如圖)，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。(2)兩顆星體的運(yùn)動(dòng)周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)兩顆星體的軌道半徑與它們之間距離的關(guān)系為：r1＋r2＝L。2．多星系統(tǒng)在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系統(tǒng)，在多星系統(tǒng)中：(1)各個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期、角速度相同。(2)某一星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由其他星體對它的萬有引力的合力提供的?！镜淅?】(多選)有科學(xué)家認(rèn)為，木星并非圍繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)，而是圍繞著木星和太陽之間的某個(gè)公轉(zhuǎn)點(diǎn)進(jìn)行公轉(zhuǎn)，因此可以認(rèn)為木星并非太陽的行星，它們更像是太陽系中的“雙星系統(tǒng)”。假設(shè)太陽的質(zhì)量為m1，木星的質(zhì)量為m2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是()A．太陽的軌道半徑為R＝eq\f(m1,m1＋m2)LB．木星的軌道半徑為r＝eq\f(m2,m1)LC．這個(gè)“雙星系統(tǒng)”運(yùn)行的周期為T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2))D．若認(rèn)為木星繞太陽中心做圓周運(yùn)動(dòng)，則木星的運(yùn)行周期為T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1))【答案】CD【解析】雙星角速度相等，運(yùn)動(dòng)周期相同，根據(jù)萬有引力提供向心力，對太陽有eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)R，對木星有eq\f(Gm1m2,L2)＝m2eq\f(4π2,T2)r，其中L＝R＋r，聯(lián)立解得R＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r＝eq\f(m1,m1＋m2)L，T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2))，故A、B錯(cuò)誤，C正確；若認(rèn)為木星繞太陽中心做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，有eq\f(Gm1m2,L2)＝m2eq\f(4π2,T2)L，解得T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1))，故D正確?！咀兪接?xùn)練6】雙星系統(tǒng)由兩顆質(zhì)量近似相等的恒星組成，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，該雙星系統(tǒng)周期的理論計(jì)算值是實(shí)際觀測周期的k倍(k>1)?？茖W(xué)家推測該現(xiàn)象是由兩恒星連線中點(diǎn)的一個(gè)黑洞造成的，則該黑洞的質(zhì)量與該雙星系統(tǒng)中一顆恒星質(zhì)量的比值為()A．eq\f(k2－1,4) B．eq\f(k＋1,2)C．eq\f(k2－1,8) D．eq\f(2k2－1,4)【答案】A【解析】設(shè)兩恒星的質(zhì)量均為m，兩恒星之間的距離為l，根據(jù)萬有引力提供向心力，則有eq\f(Gm2,l2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,理論))·eq\f(l,2)，解得T理論＝πl(wèi)eq\r(\f(2l,Gm))；設(shè)黑洞的質(zhì)量為m′，同理有eq\f(Gm2,l2)＋eq\f(Gmm′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,觀測))·eq\f(l,2)，解得T觀測＝πl(wèi)eq\r(\f(2l,Gm＋4m′))，又因?yàn)門理論＝kT觀測，聯(lián)立解得eq\f(m′,m)＝eq\f(k2－1,4)，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。規(guī)律總結(jié)：木星的質(zhì)量為M木＝1.8982×1027kg，木星與太陽的平均距離為d木＝7.78×108km，而太陽的質(zhì)量為M日＝1.9891×1030kg，半徑為R日＝6.955×105km，由此可算出木星與太陽組成的雙星系統(tǒng)中，太陽的軌道半徑為r日＝eq\f(M木,M木＋M日)d木＝7.4×105km≈R日?d木，木星的軌道半徑r木＝eq\f(M日,M木＋M日)d木＝7.77×108km≈d木，該雙星系統(tǒng)的環(huán)繞中心幾乎在太陽上，所以木星與太陽組成的系統(tǒng)可看成以太陽為中心的單星系統(tǒng)。由上述分析可知，雙星系統(tǒng)中質(zhì)量越大其軌道半徑越小，因?yàn)槟拘堑馁|(zhì)量是太陽系其他行星質(zhì)量之和的2.5倍，所以一般上可認(rèn)為太陽系是單星系統(tǒng)?？键c(diǎn)7宇宙速度1．對三種宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度：是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，其大小為7.9km/s。(2)第二宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠(yuǎn)離開地球的最小發(fā)射速度，其大小為11.2km/s。(3)第三宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使其掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度，其大小為16.7km/s。2．第一宇宙速度的推導(dǎo)已知地球的質(zhì)量為m地＝5.98×1024kg，近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于地球半徑R＝6.4×106m，重力加速度g＝9.8m/s2。思路一：萬有引力提供向心力，由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7.9km/s。思路二：由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝7.9km/s。說明：由第一宇宙速度的兩種表達(dá)式可知，第一宇宙速度的大小由地球決定。其他天體的第一宇宙速度可以用v＝eq\r(\f(GM,R))或v＝eq\r(g天體R)表示，式中G為引力常量，M為天體的質(zhì)量，g天體為天體表面的重力加速度，R為天體的半徑。3．發(fā)射速度與環(huán)繞速度(1)當(dāng)v發(fā)＝7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)當(dāng)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球在橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，且發(fā)射速度越大，衛(wèi)星的軌道半長軸越大，在近地點(diǎn)速度越大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度越小。(3)當(dāng)11.2km/s≤v發(fā)<16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)成為太陽系的一顆“小行星”，或繞太陽系內(nèi)其他星體運(yùn)動(dòng)。(4)當(dāng)v發(fā)≥16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星可以掙脫太陽引力的束縛到達(dá)太陽系以外的空間。【典例7】(多選)已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)。下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是()A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B．發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以C．發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D．火星探測器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球第一宇宙速度的eq\f(\r(2),3)【答案】CD【解析】火星探測器前往火星，脫離地球引力束縛，但還在太陽系內(nèi)，發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B錯(cuò)誤，C正確；繞火星運(yùn)行的最大速度即為火星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v＝eq\r(\f(GM,R))，已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，可得火星的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(M火,M地)·\f(R地,R火))＝eq\r(\f(1,9)×\f(2,1))＝eq\f(\r(2),3)，D正確?！咀兪接?xùn)練7】(多選)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法中正確的是()A．第一宇宙速度v1＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1，小于v2B．美國發(fā)射的“鳳凰號”火星探測衛(wèi)星，其發(fā)射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是在地面附近使物體可以掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度D．第一宇宙速度7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度【答案】CD【解析】根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))可知，衛(wèi)星的軌道半徑r越大，即距離地面越遠(yuǎn)，衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小，故衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度都小于等于第一宇宙速度，A錯(cuò)誤；美國發(fā)射的“鳳凰號”火星探測衛(wèi)星，仍在太陽系內(nèi)，所以其發(fā)射速度小于第三宇宙速度，B錯(cuò)誤；第二宇宙速度是使物體掙脫地球引力束縛的地面最小發(fā)射速度，C正確；7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度，D正確?？键c(diǎn)8人造地球衛(wèi)星1．人造地球衛(wèi)星(1)軌道形狀①橢圓軌道：地心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。②圓軌道：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星所需的向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供，由于萬有引力指向地心，所以衛(wèi)星的軌道圓心必然是地心，即衛(wèi)星在以地心為圓心的軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)軌道位置：過地心，與地心在同一平面。可以在赤道平面內(nèi)(赤道軌道)，可以通過兩極上空(極地軌道)，也可以和赤道平面成任意角度。(3)運(yùn)行規(guī)律人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3))、T＝2πeq\r(\f(r3,GM))、a＝eq\f(GM,r2)，所以衛(wèi)星的v、ω、a隨r的增大而減小，周期T隨r的增大而增大。2．地球同步衛(wèi)星(1)定義：周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同的衛(wèi)星。(2)同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：五個(gè)“一定”①周期一定：同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h。②角速度大小一定：同步衛(wèi)星繞行的角速度大小等于地球自轉(zhuǎn)的角速度大小。③高度一定：同步衛(wèi)星高度約為3.6×104km。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r知，r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))。由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，R為地球半徑，則h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R。又因GM＝gR2，代入數(shù)據(jù)T＝24h＝86400s，g取9.8m/s2，R＝6.4×106m，得h≈3.6×104km。④線速度大小一定：同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度大小為3.1×103m/s。設(shè)其運(yùn)行速度為v，由于Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，所以v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))＝3.1×103m/s。⑤向心加速度大小一定：同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌道處的重力加速度(0.23m/s2)。由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma得a＝Geq\f(M,R＋h2)＝gh＝0.23m/s2。注：一種特殊的地球同步衛(wèi)星——靜止衛(wèi)星，還具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：①繞行方向一定：靜止衛(wèi)星的繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致，即自西向東。②軌道平面一定：所有的靜止衛(wèi)星都在赤道的正上方，其軌道平面與赤道平面重合。3．衛(wèi)星的追及相遇問題的分析如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個(gè)不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb，某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面同一點(diǎn)正上方，相距最近，如圖甲所示；當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時(shí)，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如圖乙所示。兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)，相距最近的條件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2…)?！镜淅?】如圖所示，A為地面上的待發(fā)射衛(wèi)星，B為近地圓軌道衛(wèi)星，C為地球同步衛(wèi)星。三顆衛(wèi)星質(zhì)量相同，線速度大小分別為vA、vB、vC，角速度大小分別為ωA、ωB、ωC，周期分別為TA、TB、TC，向心加速度分別為aA、aB、aC，則()A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TC<TBC．vA＝vC<vB D．a(chǎn)A＝aC>aB【答案】A【解析】同步衛(wèi)星周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得vC>vA，aC>aA。同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TB<TC，aB>aC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA<vC<vB，aA<aC<aB，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。【變式訓(xùn)練8】由于月球與地球間潮汐力的影響，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3.7億年前一天大約22小時(shí)，而現(xiàn)在一天約23時(shí)56分，對于地球自轉(zhuǎn)變慢帶來的影響，下列說法正確的是()A．近地衛(wèi)星的周期變大B．近地衛(wèi)星的線速度變大C．同步衛(wèi)星的高度變低D．赤道處的重力加速度變大【答案】D【解析】由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，解得v＝eq\r(\f(Gm,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，因地球質(zhì)量不變，近地衛(wèi)星與地球間的距離不變，則近地衛(wèi)星的線速度、周期均不變，A、B錯(cuò)誤；地球自轉(zhuǎn)變慢，周期變大，則同步衛(wèi)星周期也應(yīng)變大，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，可知同步衛(wèi)星的軌道半徑變大，由r＝R＋h可知其高度h變高，C錯(cuò)誤；在赤道處有eq\f(GMm,R2)＝mg赤＋mω2R，由于地球自轉(zhuǎn)角速度ω變小，所以g赤變大，D正確。規(guī)律總結(jié)：同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)動(dòng)比較(1)同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星都是萬有引力提供向心力，即都滿足eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man。由上式比較各運(yùn)動(dòng)參量的大小關(guān)系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。(2)同步衛(wèi)星與赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的共同點(diǎn)是具有相同的角速度大小和周期。赤道上物體不是衛(wèi)星，赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力只是地球?qū)ξ矬w的萬有引力的一個(gè)分力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律v＝ωr，an＝ω2r，比較同步衛(wèi)星和赤道上物體的線速度大小和向心加速度大小。(3)當(dāng)比較近地衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往借助同步衛(wèi)星這一紐帶。考點(diǎn)9衛(wèi)星變軌問題1．人造衛(wèi)星沿圓軌道和橢圓軌道運(yùn)行的條件如圖所示，設(shè)衛(wèi)星的速度為v，衛(wèi)星到地心的距離為r，衛(wèi)星以速度v繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力為F向＝meq\f(v2,r)，衛(wèi)星所受地球的萬有引力F＝Geq\f(Mm,r2)。當(dāng)F＝F向時(shí)，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F<F向時(shí)，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F>F向時(shí)，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。2．人造衛(wèi)星的變軌衛(wèi)星由低軌道變到高軌道必須加速，由高軌道變到低軌道必須減速。如圖所示，衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，Geq\f(Mm,r\o\al(2,A))＝meq\f(v\o\al(2,A),rA)(rA為A點(diǎn)到地心的距離)。若要使衛(wèi)星變軌到橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行，則使衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到圓軌道Ⅰ上的A點(diǎn)時(shí)加速，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，變軌到橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)。若要使衛(wèi)星在圓軌道Ⅲ上運(yùn)行，則當(dāng)衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，必須在B點(diǎn)再次加速。反之，則需要減速。3．飛船對接問題(1)低軌道飛船與高軌道空間實(shí)驗(yàn)室對接時(shí)，如圖甲所示，讓低軌道飛船通過合理地加速，沿橢圓軌道追上高軌道空間實(shí)驗(yàn)室與其完成對接。(2)同一軌道飛船與空間實(shí)驗(yàn)室對接時(shí)，如圖乙所示，通常使后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當(dāng)控制，使飛船追上空間實(shí)驗(yàn)室時(shí)恰好具有相同的速度?！镜淅?】如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星的過程如下：先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后再次點(diǎn)火進(jìn)入橢圓形的過渡軌道2，最后將衛(wèi)星送入同步軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是()A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)的速度C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大于它在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度【答案】D【解析】由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得，v＝eq\r(\f(GM,r))，由于r1<r3，所以v1>v3，根據(jù)開普勒第二定律知，衛(wèi)星距地球較近時(shí)運(yùn)行速度較大，A、B錯(cuò)誤；軌道1上的Q點(diǎn)與軌道2上的Q點(diǎn)是同一點(diǎn)，到地心的距離相同，根據(jù)萬有引力定律及牛頓第二定律知，衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度，C錯(cuò)誤；衛(wèi)星在Q點(diǎn)從軌道1變軌到軌道2，做離心運(yùn)動(dòng)，速度增大，故D正確?！咀兪接?xùn)練9】(多選)如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確的是()A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度B．a(chǎn)加速可能會追上bC．c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的cD．a(chǎn)衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其線速度將變大【答案】BD【解析】因?yàn)閎、c在同一軌道上運(yùn)行，故其線速度大小、加速度大小均相等。又由b、c軌道半徑大于a軌道半徑，由v＝eq\r(\f(GM,r))，可知vb＝vc＜va，故A錯(cuò)誤；當(dāng)a加速后，會做離心運(yùn)動(dòng)，軌道會變成橢圓，若橢圓與b所在軌道相切(或相交)，且a、b同時(shí)來到切(或交)點(diǎn)時(shí)，a就追上了b，故B正確；當(dāng)c加速時(shí)，c受的萬有引力F＜meq\f(v\o\al(2,c),rc)，故它將偏離原軌道，做離心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)b減速時(shí)，b受的萬有引力F＞meq\f(v\o\al(2,b),rb)，它將偏離原軌道，做近心運(yùn)動(dòng)，所以c追不上b，b也等不到c，故C錯(cuò)誤；對a衛(wèi)星，當(dāng)它的軌道半徑緩慢減小時(shí)，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，v逐漸增大，故D正確。規(guī)律總結(jié)：衛(wèi)星變軌問題中速度、加速度大小變化的判斷方法(1)根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))(“越遠(yuǎn)越慢”)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道上運(yùn)行速度大小。(2)根據(jù)開普勒第二定律或一般曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力