專題5 形形色色的切線問題 (講義) 2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題5形形色色的切線問題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是一個(gè)主要命題點(diǎn),內(nèi)容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,由確定切線滿足條件的切線是否存在或由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等.知識(shí)點(diǎn)(一)求曲線在某點(diǎn)處的切線求以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡(jiǎn)．知識(shí)點(diǎn)(二)求曲線過某點(diǎn)的切線求曲線過某點(diǎn)的切線,一般是設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程．知識(shí)點(diǎn)(三)求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題.知識(shí)點(diǎn)(四)曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn),寫出兩切線方程,然后再使這兩個(gè)方程表示同一條直線.知識(shí)點(diǎn)(五)取得滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍此類問題或判斷符合條件的切線是否存在,或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍,求解思路是把切線滿足條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù),再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解.重難點(diǎn)題型突破1在某點(diǎn)的切線方程（某點(diǎn)是切點(diǎn)）例1．（2022上·河南·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以切點(diǎn)為，又，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，故得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，即為．故選：B例2．（2019·廣東·校聯(lián)考一模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋郧芯€方程為，即．故選：D.例3．（2023·四川雅安·?？寄M預(yù)測(cè)）若，則在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的面積為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】易知，又，所以在處的切線方程為：，則切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，圍成的三角形面積為.故答案為：例4、（2024·浙江溫州·溫州中學(xué)?？家荒＃┮阎?(1)若過點(diǎn)作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)1(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可；（2）求導(dǎo)，可得在內(nèi)單調(diào)遞減，分類討論判斷在內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】（1）由題意可得：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，即，可得切線方程為，將，代入可得，整理得，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，可知關(guān)于的方程的根為1，即，所以.（2）因?yàn)?，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，（i）若，即時(shí)，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）若，即時(shí)，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；（ⅲ）若，即時(shí)，則在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知，可知在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，且，①當(dāng)，即時(shí)，則在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，則在內(nèi)沒有零點(diǎn)；綜上所述：若時(shí)，在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，在內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．【變式訓(xùn)練1】．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】確定曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，因?yàn)?，所以，所以，故選：C.【變式訓(xùn)練2】．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程寫出即可.【詳解】由，得，所以，又，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.故選：A.【變式訓(xùn)練3】．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為.【答案】/0.25【分析】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.【詳解】易知的定義域?yàn)?，而，故切點(diǎn)為，設(shè)切線斜率為，且，故，切線方程為，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，易知圍成的圖形是三角形，設(shè)面積為，故.故答案為：【變式訓(xùn)練4】．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在處的切線方程為.【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則求出切線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】由題意知，，則切點(diǎn)為，，所以切線的斜率為，故函數(shù)在處的切線方程為，即.故答案為：.【變式訓(xùn)練5】．（2023·陜西西安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，，所以所求切線的方程為，即.故答案為：.重難點(diǎn)題型突破2過某點(diǎn)的切線方程（某點(diǎn)不是切點(diǎn)）例5．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得切線方程為，把原點(diǎn)代入方程，得到，解得，即可求得切線方程.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得切線方程為，把原點(diǎn)代入方程，可得，即，解得，所以切線方程為，即.故選：A.例6．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作曲線的切線，請(qǐng)寫出切線的方程.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)并寫出切線方程，代入點(diǎn)求出值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，，化簡(jiǎn)可得或，則切點(diǎn)為或，則代入得切線方程為：或，故答案為：或.例7．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，，切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過原點(diǎn)，所以，即，解得，所以切線方程為.故答案為：例8．（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，切點(diǎn)為【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將原點(diǎn)代入即可求解.【詳解】（1）由，得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點(diǎn)為，由（1）得，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點(diǎn)為．【變式訓(xùn)練6】．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)為奇函數(shù) D．過坐標(biāo)原點(diǎn)有兩條直線與函數(shù)的圖象相切【答案】D【分析】直接利用導(dǎo)函數(shù)判斷A選項(xiàng)；令，求解判斷B選項(xiàng)；利用奇偶性定義判斷C選項(xiàng)；利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義判斷D選項(xiàng).【詳解】由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以A不正確；令，得，可知B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤．設(shè)切點(diǎn)為，可得切線方程為，又因?yàn)檫^坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，該方程有兩個(gè)解，所以D正確；故選：D．【變式訓(xùn)練7】．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）若曲線的一條切線為，則.【答案】【分析】由是曲線的切線，求導(dǎo)函數(shù)利用斜率出參數(shù)即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以在處的切線斜率為，則過該點(diǎn)的切線方程為：，即，又知切線為：，故得：，.故答案為:.【變式訓(xùn)練8】．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.【詳解】由可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率，又因?yàn)?，則切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或【變式訓(xùn)練9】．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若曲線有兩條過點(diǎn)的切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，切線方程為．∵直線過點(diǎn)，∴，化簡(jiǎn)得．∵切線有2條，∴，則的取值范圍是，故選：D重難點(diǎn)題型突破3切線的條數(shù)例9．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及幾何意義．【詳解】由題意知，因?yàn)榕c曲線相切，所以，整理得，同理，則，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以．故選：.例10．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線是曲線的一條切線，則b＝．【答案】2【分析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程即可得解.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，所以切點(diǎn)為，代入，得，所以.故答案為：2.例11．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系求解即得.【詳解】設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)得，依題意，，于是，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，因此在中，，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故選：B例12（2022屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù),.（1）討論的單調(diào)性；（2）若經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)恰好可作兩條直線與曲線相切,求a的取值范圍.【分析】（1）,,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增；時(shí),在上單減,在上單增；（2）設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則切線方程為,代入得,即,關(guān)于的方程在內(nèi)恰有兩個(gè)解,令,在上單增,在上單減,又,當(dāng)時(shí),,且,故當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)解,所以,故a的取值范圍為.【變式訓(xùn)練10】．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)出曲線上的切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，可得切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，整理得到關(guān)于一個(gè)坐標(biāo)變量的方程，借助于函數(shù)的最值及其圖象，即可得到a的范圍.【詳解】設(shè)曲線與其切線交于切線方程l：，由導(dǎo)數(shù)與切線方程斜率關(guān)系可得……①又切線過點(diǎn)要保證過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，可得不能在曲線上……②點(diǎn)A在曲線上，故……③由①②③式可得：，解得令則令，故故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；即在時(shí)取得極大值，故作出草圖如下：得僅在范圍內(nèi)由2個(gè)對(duì)應(yīng)的值即時(shí)，有2個(gè)解，此時(shí)存在2條切線方程綜上所述，的取值范圍為故選：B.【變式訓(xùn)練11】．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線有三條經(jīng)過點(diǎn)的切線，則的范圍為．【答案】【分析】求導(dǎo)后對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的凹凸性，再數(shù)形結(jié)合分析相切的臨界條件，從而可得.【詳解】由題意，令，則，令可得或.故當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，圖象往下凸；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，圖象往上凸.

又經(jīng)過的切線方程為，即，令可得，又經(jīng)過的切線方程為，故當(dāng)時(shí)有三條經(jīng)過點(diǎn)的切線.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求導(dǎo)分析函數(shù)切線的問題，需要根據(jù)題意求導(dǎo)，并求導(dǎo)數(shù)形結(jié)合分析切線斜率的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的凹凸性，從而分析切線可能的情況，屬于難題.【變式訓(xùn)練12】．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出過的切線方程，進(jìn)而有有三個(gè)不同值，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)研究的極值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以，過的切線方程為，綜上，，即，所以有三個(gè)不同值使方程成立，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，而，故、上，遞減，上，遞增；所以極小值為，極大值為，故時(shí)兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故答案為：【變式訓(xùn)練13】．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）若曲線與有一條斜率為2的公切線，則.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求解方法求解.【詳解】設(shè)公切線在曲線與上的切點(diǎn)分別為，由可得，所以，解得，所以,則，所以切線方程為，又由，可得，所以，即，所以，又因?yàn)榍悬c(diǎn)，也即在切線上，所以，解得，所以.故答案為:.重難點(diǎn)題型突破4公切線例13．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，則可得，消去，得，再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡(jiǎn)得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡(jiǎn)得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出公切線方程，考查計(jì)算能力，屬于較難題.例14．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與曲線和曲線均相切，則實(shí)數(shù)的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】C【分析】由題意可求得直線與曲線和曲線分別切于點(diǎn)，，則，化簡(jiǎn)后得，然后將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理可求得其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可得答案.【詳解】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，所以對(duì)于曲線，則，所以，所以切點(diǎn)，對(duì)于曲線，則，所以，切點(diǎn)，易知A,B不重合，因?yàn)楣芯€過兩點(diǎn)，所以，進(jìn)而可得，令，則，令，則所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖谑沟?，即，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在?nèi)存在，使得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以在?nèi)存在，使得，綜上所述，存在兩條斜率分別為，的直線與曲線和曲線都相切，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是求出兩切點(diǎn)的坐標(biāo)后，將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理解決，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.例15．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】【分析】先根據(jù)與相切，確定的值，再根據(jù)直線與相切，確定的值.【詳解】因?yàn)榕c相切.，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為.因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以：，故切點(diǎn)為，所以.對(duì)函數(shù)，，由，根據(jù)得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，根據(jù)得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，由，又由題可知.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先根據(jù)的切線過原點(diǎn)，求出的值；求時(shí)，要注意切點(diǎn)即在曲線上，也在切線上，根據(jù)縱坐標(biāo)相等列方程求解.例16．已知函數(shù)（1）若直線既是曲線的切線,也是曲線的切線,求直線l的方程；（2）證明：．（參考數(shù)據(jù)：）【分析】（1）,,函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：,即,函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：,即,因?yàn)橹本€既是曲線的切線,也是曲線的切線,所以,將代入得,即,所以或,若,則,此時(shí)直線l的方程為：；若,則,則此時(shí)直線l的方程為：,綜上得：或.（2）先證明,所以,設(shè),則,令,則,令,得,所以存在使得滿足在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,又因?yàn)?且,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以,所以,所以,即,即.【變式訓(xùn)練14】．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線和（且）存在一條過公共點(diǎn)的切線，則的值為．【答案】【分析】第一步：設(shè)函數(shù)，分別求出的導(dǎo)函數(shù)；第二步：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組；第三步：解方程組即可得解.【詳解】第一步：設(shè)函數(shù)，分別求出的導(dǎo)函數(shù)設(shè)函數(shù)，則．第二步：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得即第三步：解方程組即可得解由得，則，得，解得，故的值為．故答案為：【變式訓(xùn)練15】．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若直線與曲線和曲線都相切，則．【答案】/【分析】設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為和，根據(jù)公切線的斜率關(guān)系，及切點(diǎn)在切線上，故可得的值.【詳解】設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，又的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為所以切線斜率，又切點(diǎn)，均在切線上，所以，解得，所以，所以.故答案為：.【變式訓(xùn)練16】．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線是曲線與的公切線，則.【答案】/【分析】由求得切線方程，結(jié)合該切線也是的切線列方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，進(jìn)而求得直線，從而求得正確答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，則，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，切線斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，對(duì)于函數(shù)，則，根據(jù)斜率關(guān)系可得：，解得，可得，可知切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，即，可得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，此時(shí)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，切線方程為，故，；綜上所述：.故答案為：.【變式訓(xùn)練17】．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為．【答案】或【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案．【詳解】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．代入得或.故答案為：或.重難點(diǎn)題型突破5取得滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍例17．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線過曲線上兩點(diǎn)A，B分別作曲線的切線交于點(diǎn)P，．記A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,則．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象及垂直的斜率關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，；當(dāng)x<0時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象，不妨設(shè)，．因?yàn)榍€在點(diǎn)A，B處的兩條切線互相垂直，所以，整理得，所以是．故答案為：-1例18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若直線與函數(shù)的圖象都相切，則的最小值為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可列出不等式組，得，再根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】根據(jù)題意作出草圖如下：設(shè)直線與函數(shù)圖像分別相切與點(diǎn)和，，，，，則有和，解得：，，因?yàn)?，所以，，得，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).即的最小值為.故答案為：.例19．（2017·四川遂寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷出，寫出函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)兩直線重合列式，消去，得，換元得，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，不妨設(shè)，若且，則由曲線在兩點(diǎn)處的切線重合，得，得，與矛盾，若且，則由曲線在兩點(diǎn)處的切線重合，得，得，與矛盾，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由曲線在兩點(diǎn)處的切線重合，得且，所以，因?yàn)?，所以，令，因?yàn)?，所以，所以，令，，，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.故答案為：.例20、（2021屆北京人大附中高三考前熱身）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在,使得曲線在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線互相垂直？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：,）【分析】由（1）,,得切線方程為.（2）令,若存在,使得曲線在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線互相垂直,則存在,.,令,解得：.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,,故,所以存在,使得,例如.【變式訓(xùn)練18】．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別求出兩曲線的切線方程，則兩切線方程相同，據(jù)此求出a關(guān)于切點(diǎn)x的解析式，根據(jù)解析式的值域確定a的范圍.【詳解】設(shè)是曲線的切點(diǎn)，設(shè)是曲線的切點(diǎn)，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對(duì)照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴且當(dāng)x趨于時(shí)，，趨于；當(dāng)趨于時(shí)，趨于；∴，∴；