橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

TOC\o"13"\h\z\u題型1橢圓定義辨析 3題型2求橢圓方程 8◆類(lèi)型1定義法 9◆類(lèi)型2標(biāo)準(zhǔn)方程法 11◆類(lèi)型3一般方程法 12◆類(lèi)型4同焦點(diǎn)方程 13題型3橢圓定義的應(yīng)用 14題型4焦點(diǎn)三角形 21◆類(lèi)型1周長(zhǎng) 21◆類(lèi)型2面積 23◆類(lèi)型3角度 29◆類(lèi)型4乘積與比值問(wèn)題 32◆類(lèi)型5其他問(wèn)題 37◆類(lèi)型6內(nèi)切圓相關(guān)問(wèn)題 38題型5和差最值問(wèn)題 42題型6軌跡方程問(wèn)題 49◆類(lèi)型1定義法 50◆類(lèi)型2方程法法 53◆類(lèi)型3相關(guān)點(diǎn)法 55知識(shí)點(diǎn)一．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．(2)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.(3)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．知識(shí)點(diǎn)二.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：1.怎樣建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1.2.橢圓可以看作是哪些點(diǎn)的集合？用坐標(biāo)如何表示？設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為（＞0）.焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，圖1又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù).圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因?yàn)?，所?.遇到根式怎么辦？?jī)蓚€(gè)根式在同一側(cè)能不能直接平方？即兩邊平方得整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有知識(shí)點(diǎn)三.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2題型1橢圓定義辨析【方法總結(jié)】橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視．定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件．【例題11】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的是（）A．已知F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段B．已知F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C．平面內(nèi)到點(diǎn)F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0）兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M（5，3）到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．平面內(nèi)到點(diǎn)F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0）距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】AC【分析】結(jié)合橢圓的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，∵|F1F2|＝8，∴平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段，故A正確，對(duì)于B，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6，小于|F1F2|，這樣的軌跡不存在，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，點(diǎn)M（5，3）到F1，F(xiàn)2的距離之和為(5+4)2對(duì)于D，軌跡為線段F1故選：AC【變式11】1.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列命題是真命題的是.(將所有真命題的序號(hào)都填上)①已知定點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0)，則滿(mǎn)足|PF②已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿(mǎn)足|PF1③到定點(diǎn)F1【答案】②【分析】根據(jù)橢圓的定義，以及垂直平分線的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】①中，因?yàn)镕1(-1,0),F2(1,0)，可得F②中，因?yàn)镻F1+③中，由定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)故答案為：②【變式11】2.（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A-3,0，B3,0，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，且A．當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在B．當(dāng)a=4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為3C．當(dāng)a=4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為6D．當(dāng)a=3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓【答案】AC【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離與到兩點(diǎn)間距離和滿(mǎn)足的條件，結(jié)合橢圓的定義逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)A，2a=4<AB對(duì)BC，2a=8>AB，故點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為AB對(duì)D，2a=6=AB故選：AC【變式11】3.（2022秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）下列命題正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）已知定點(diǎn)F1,F2滿(mǎn)足F1F2（2）已知定點(diǎn)F1,F2滿(mǎn)足F1F2（3）當(dāng)1<k<4時(shí)，曲線C：x2（4）曲線方程x2+(y+4)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由PF1+PF2【詳解】對(duì)于（1），PF1+PF2對(duì)于（2），MF1-M對(duì)于（3），當(dāng)k=52時(shí)，曲線C：x2對(duì)于（4），曲線方程x2+y+42+x2+y-42=10表示點(diǎn)x,y到點(diǎn)F10,-4、F故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解和圓錐曲線的定義，注意變形，理解圓錐曲線的定義是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.【變式11】4.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，下列方程表示的曲線是橢圓的有（

）A．xB．(x+1)C．2D．(x+2)【答案】BC【解析】根據(jù)橢圓定義，由AB選項(xiàng)中的式子，可判斷AB的正誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，將式子化簡(jiǎn)整理，即可判斷出CD的正誤.【詳解】A選項(xiàng)，x2+(y-2)2+x2+(y+2)2=4表示動(dòng)點(diǎn)Px,y到定點(diǎn)B選項(xiàng)，(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=4表示動(dòng)點(diǎn)Px,y到定點(diǎn)F1-1,0和C選項(xiàng)，由2(x-1)2+y2D選項(xiàng)，由(x+2)2+y2=2|2+x|故選：BC.【例題12】（2022秋·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)校考期中）若橢圓x29+y2=1上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)A．1 B．3 C．4 D．2【答案】C【分析】利用橢圓的定義有AF1+AF【詳解】由橢圓方程知：a=3.根據(jù)橢圓的定義有AF因?yàn)锳F1=2故選：C【變式12】1.（2022秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若橢圓x225+y24=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為【答案】7【分析】根據(jù)橢圓的方程算出橢圓的長(zhǎng)軸2a=10，再由點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，利用橢圓的定義即可算出點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)的距離.【詳解】∵橢圓方程為：x∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴a2=25可得a=5，b=2即2a=10又∵P由橢圓的定義：PF∴3+PF解得：P∴點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為故答案為：7.【變式12】2.（2020·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)P是橢圓x225+y216=1F【答案】10【分析】由橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為2a可得結(jié)果.【詳解】∵x∴a∴a=5∴由橢圓的定義知，PF故答案為：10.【變式12】3.（2023春·上海靜安·高二?？计谥校┰O(shè)P是橢圓x26+A．6 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】首先求出a，再根據(jù)橢圓的定義得解.【詳解】橢圓x26+y2因?yàn)镻是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為2a=26故選：D【變式12】4.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓x24+y22=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)A．12 B．22【答案】C【分析】利用橢圓的定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓x24+y22=1故選：C.題型2求橢圓方程【方法總結(jié)】求橢圓方程有兩種方法：1.用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．其中常用的關(guān)系有：①b2＝a2－c2；②橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a；③橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a.2.用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟注意：當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．◆類(lèi)型1定義法【例題21】（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A-2,0,B2,0A．x29C．y29【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義即可求出答案.【詳解】根據(jù)橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，2a=6，a=3，c=2，b即動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程為x2故選：D.【變式21】1.（2020·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦距是12A．x24+yC．x2+y2【答案】B【分析】根據(jù)焦距與橢圓的定義求出求c=1【詳解】因?yàn)闄E圓的焦距是12所以2c=12,2a=2因此b2故橢圓方程為x2+y故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.【變式21】2.（2022秋·廣東惠州·高二惠州市惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A-2,0，B2,0的距離之和為6，則點(diǎn)P的軌跡方程是【答案】x【分析】由橢圓的定義求解即可【詳解】因?yàn)镻A+由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是以A-2,0，B所以c=2,a=3，b2所以點(diǎn)P的軌跡方程是x2故答案為：x◆類(lèi)型2標(biāo)準(zhǔn)方程法【例題22】（2022秋·福建廈門(mén)·高二福建省廈門(mén)第六中學(xué)?？计谥校┮訤1-1,0，F(xiàn)2A．x23+y22【答案】B【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，c=1，且過(guò)點(diǎn)1,3【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以C不正確；又因?yàn)閏=1，故排除D；將1,32代入x2故選：B【變式22】1.（2021·全國(guó)·高二期中）橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，1)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3A．x24C．x23【答案】D【解析】根據(jù)焦點(diǎn)位置先確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后根據(jù)橢圓的定義以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解出a2【詳解】由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2所以2a＝|PF1|＋|PF2|=(32所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：D.【變式22】2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+A．x215C．x230【答案】D【詳解】因?yàn)镻F1+PF2=2a=10，所以a=5故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：D.◆類(lèi)型3一般方程法【例題23】（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)橢圓經(jīng)過(guò)M13,-(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P13,1（3）兩個(gè)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A3,-2和【答案】(1)y(2)y（3）x【分析】(1)可設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2＝1，采用待定系數(shù)法即可求解；(2)已知橢圓過(guò)兩點(diǎn)，設(shè)其方程為mx（3）設(shè)所求橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，代入【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2＝1，又由橢圓經(jīng)過(guò)M13，則有m9則要求橢圓的方程為5x2+4y2＝1，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為mx2+n又由橢圓經(jīng)過(guò)P(13,13)和Q(0,-1則要求的橢圓方程為5x即其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（3）設(shè)所求橢圓方程為mx由A3,-2和B-2即3m+4n=112m+n=1，解得m=故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2◆類(lèi)型4同焦點(diǎn)方程【例題24】過(guò)點(diǎn)P(-3,2)，且與橢圓x2【答案】x2【分析】根據(jù)題意，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b【詳解】由與橢圓x29+因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)P(-3,2)，所以有9a2+又因?yàn)閍2-b由①②解得：a2=15，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2【變式24】過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1【解析】方法一(定義法)：橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq\r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.方法二(待定系數(shù)法)：設(shè)所求橢圓方程為eq\f(y2,25－k)＋eq\f(x2,9－k)＝1(k<9)，將點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))的坐標(biāo)代入，可得eq\f(（－\r(5)）2,25－k)＋eq\f(（\r(3)）2,9－k)＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.方法三(待定系數(shù)法)：設(shè)所求橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,a2)＋\f(3,b2)＝1，,a2－b2＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝4.))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.題型3橢圓定義的應(yīng)用【方法總結(jié)】把方程寫(xiě)成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得到形式，要想表示：1.焦點(diǎn)在軸上的橢圓，必須要滿(mǎn)足，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．2.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，必須要滿(mǎn)足A>B>0，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【例題31】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）橢圓5x2-kA．-53或-1 B．53或-1 C．【答案】D【分析】先把橢圓5x2-ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)形式，分焦點(diǎn)在【詳解】由橢圓5xx2且橢圓5x2-k當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2=1，則由a2=b此時(shí)方程為：x2當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2=-5c2=a此時(shí)方程為：x2綜上所述，k的值為-1．故選：D．【變式31】1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）曲線x225+A．有相等的焦距，相同的焦點(diǎn) B．有不等的焦距，相同的焦點(diǎn)C．有不等的焦距，不同的焦點(diǎn) D．有相等的焦距，不同的焦點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)及焦距的定義即可求解.【詳解】由題意可知，橢圓x225+y2所以c=4，焦距為2c=2×4=8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為±4,0，橢圓x29-k+y2所以c=4，焦距為2c=2×4=8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±4，所以?xún)蓹E圓有相等的焦距，不同的焦點(diǎn).故選：D.【變式31】2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若方程x29-k+A．k∈1,9 B．橢圓C的焦距為C．若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈1,5 D．若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則【答案】C【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項(xiàng)分析、計(jì)算即可判斷作答.【詳解】因方程表示橢圓，則有9-k>0，k-1>0，且9-k≠k-1，即k∈1,5焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，9-k>k-1>0，解得k∈1,5焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則c2=9-k-k-1=10-2k，焦點(diǎn)在故選：C【變式31】3.（2019秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）下列命題正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）已知定點(diǎn)F1,F2滿(mǎn)足F1F2（2）已知定點(diǎn)F1,F2滿(mǎn)足F1F2（3）當(dāng)1<k<4時(shí)，曲線C：x2（4）曲線方程x2+(y+4)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由PF1+PF2【詳解】對(duì)于（1），PF1+PF2對(duì)于（2），MF1-M對(duì)于（3），當(dāng)k=52時(shí)，曲線C：x2對(duì)于（4），曲線方程x2+y+42+x2+y-42=10表示點(diǎn)x,y到點(diǎn)F10,-4、F故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解和圓錐曲線的定義，注意變形，理解圓錐曲線的定義是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.【變式31】4.（多選）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線C:mxA．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上C．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nD．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】AD【解析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，m>n>0時(shí)表示橢圓，m=n>0時(shí)表示圓，m=0,n>0時(shí)表示兩條直線.【詳解】對(duì)于A，若m>n>0，則mx2+ny2=1可化為x21m+對(duì)于C，若m=n>0，則mx2+ny2=1可化為對(duì)于D，若m=0,n>0，則mx2+ny2=1可化為y2故選：AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見(jiàn)曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例題32】（2021春·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“方程x2m+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)m>n>0時(shí)，x2若x2m+y2故答案為B．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了充分必要條件的判斷；其中考查了圓錐曲線的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．在充分必要條件判斷時(shí)，一般是以畫(huà)箭頭的形式，箭頭永遠(yuǎn)指向必要條件，從充分條件指向必要條件【變式32】1.（2020秋·山西運(yùn)城·高二臨猗縣臨晉中學(xué)校考階段練習(xí)）“α是第一象限角”是“關(guān)于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲線是橢圓”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】α=π若x2sinα+y2cosα=1表示的曲線是橢圓，則滿(mǎn)足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，必要性成立，則“α是第一象限角”是“關(guān)于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲線是橢圓”必要不充分條件，故選B【變式32】2.（2022秋·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）下列說(shuō)法中，正確的有（填序號(hào)）.①“-1<m<5”是“方程x2②若p：xx-2<0，則?p：③“?x≥1，x2+1≥2”的否定是“?x<1，④若命題“?p∧?q”為假命題，則命題?p一定是假命題；⑤m=-3是直線l1：mx+m+1y+1=0和直線l【答案】①【分析】根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱(chēng)命題的否定可判斷③；根據(jù)復(fù)合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當(dāng)m=2時(shí)，方程為x23+y23=1，表示圓，若方程x2m+1②中，xx-2<0?x(x-2)<0，故?p為：x(x-2)≥0，而xx-2③中，“?x≥1，x2+1≥2”的否定應(yīng)為“?x≥1，x2④中，若命題“?p∧?q”為假命題，有可能?p為真或?q為假，故④不正確；⑤中，l1⊥l2?2m+m(m+1)=0，解得m=0或m=-3，故m=-3是直線l1：mx+m+1故答案為：①【變式32】3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線C:x24aA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)已知曲線的方程和橢圓的方程特點(diǎn)，結(jié)合充分條件和必要條件的判定即可【詳解】若曲線C是橢圓，則有：4a>03a+2>0解得：a>0，且a≠2故“a>0”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C【變式32】4.（2019秋·天津靜?！じ叨？茧A段練習(xí)）命題“?m∈N，曲線x2A．?m∈N，曲線x2m+y2=1C．?m∈N*，曲線x2m+y【答案】B【分析】利用特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，所以命題“?m∈N，曲線x2m+y2故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查特稱(chēng)命題的否定，是基礎(chǔ)題.題型4焦點(diǎn)三角形【方法總結(jié)】求橢圓中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|+PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿(mǎn)足的關(guān)系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S◆類(lèi)型1周長(zhǎng)【例題41】（2022秋·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x225+y216=1的左?右焦點(diǎn)分別為A．14 B．16 C．18 D．10+2【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出橢圓中的a,b,c，利用橢圓的定義及三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由x225+y2所以c2=a由橢圓的定義知，PF所以△PF1F故選：B.【變式41】1.已知橢圓C:x23+y24=1的上焦點(diǎn)為F，直線x+y1=0和xy+1=0與橢圓分別相交于點(diǎn)A，BA．B．8C．4D．【答案】B【解析】橢圓的上焦點(diǎn)F(0,1)，下焦點(diǎn)為F1(0,1)，直線x+y1=0過(guò)上焦點(diǎn)，直線xy+1=0過(guò)下焦點(diǎn)且兩條直線平行，又|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AB|+|CF|+|DF|，因?yàn)闄E圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故|AB|+|CF|+|DF|=|CD|+|CF|+|DF|=|CF|+|CF1|+|DF|+|DF1|=4+4=8，故選B.【變式41】2.（2023春·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓y216+x29=1A．0,8 B．0,16 C．8,14 D．8,16【答案】D【分析】利用橢圓定義和橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可求得△MNF的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】直線x=m0<m<3橢圓y216+x29由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得F1則△MNF的周長(zhǎng)為FN+又MN∈0,8，則則△MNF的周長(zhǎng)的取值范圍是8,16故選：D◆類(lèi)型2面積【例題42】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1-1,0，F(xiàn)21,0，P為橢圓上一點(diǎn)，且2F【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，求出焦距，進(jìn)而求出長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，在△PF1F【詳解】依題意，F(xiàn)1F2=2，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=P所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2在△PFF1有4=P解得PF1P所以△PF1F【變式42】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知橢圓的方程為x24+y23=1【答案】3【分析】在△PF1F【詳解】由已知a=2,b=3，得c=則F1F2在△PF1F所以PF由PF1+所以4-PF1所以△PF1F【變式42】2.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2A．23 B．13 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出|AF1|【詳解】橢圓C:x29+y25因此△AF1F所以△AF1F故選：D【變式42】3.（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知橢圓E：x2a2+y2b(1)求△F(2)研究△PF1F【答案】(1)b(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）已知∠F（2）結(jié)合圖形，利用余弦定理、基本不等式及三角函數(shù)的單調(diào)性研究∠F【詳解】（1）如圖所示，F(xiàn)1F2=2c，設(shè)PF在△PF2c2=r所以S△PF1（2）方法一：在△F1P由于r1+r所以cosθ=r1當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2，即P為橢圓與y軸交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)方法二：利用（1）中結(jié)論探討，因?yàn)棣葹椤鱌F1F2的內(nèi)角，所以如圖，令點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛴牲c(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，則△PF1F2的邊從而tanθ2逐漸變大，由θ2由此可見(jiàn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值越大，θ也越大，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠F【變式42】4.(多選)（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）F1，F(xiàn)2是橢圓x225+A．9 B．36C．46 D．【答案】AB【分析】對(duì)△AF【詳解】由x225+y29=1得c=當(dāng)AFA①平方減去②得AF∴S△A當(dāng)AF1⊥F1令x=-4，則-4225+則AFS△A故選：AB.【變式42】5.（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:x26+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為【答案】2【分析】設(shè)PF1=m，PF2=n，利用三角形面積公式和余弦定理得S△【詳解】由題知F1F2=23,a=6由余弦定理得cos∠F1所以m+n2=12+3mn，又所以mn=4，所以S△所以12F1代入x26+故答案為：2.【變式42】6.（2023秋·甘肅天水·高二校考期末）（多選）設(shè)橢圓C:x225+yA．PB．P到F1C．△PFD．P到F1【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算分析即可.【詳解】由橢圓方程可得：a=5,b=3，則c=a對(duì)A：根據(jù)橢圓的定義可得PF對(duì)B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，P到F1最小值為a-c=1，B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，△PF最大值為12對(duì)D：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，P到F1最小值為a+c=9，D正確.故選：AD.【變式42】7.（2023秋·江西吉安·高二江西省萬(wàn)安中學(xué)?？计谀E圓x2m2+1+y2m2=1A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】首先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c=1，然后再根據(jù)橢圓的定義及等腰直角三角形的幾何性質(zhì)求出a的值，進(jìn)而求出參數(shù)m.【詳解】在橢圓x2m2+1+y2m2如圖，易知AF1=AF即AF1=22故選：A◆類(lèi)型3角度【例題43】（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））如圖，己知F1、F2是橢圓C:x2【答案】14##【分析】延長(zhǎng)MF1與橢圓交于點(diǎn)L，由橢圓對(duì)稱(chēng)性有F1L=F2N，設(shè)【詳解】【解析】延長(zhǎng)MF1與橢圓交于點(diǎn)L，又F1M//F2N，∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，F(xiàn)1L=F2N，設(shè)F2N=F1L=t，則【變式43】1.（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）橢圓C:x2100+y275=1的焦點(diǎn)為F1、FA．60° B．90° C．120【答案】C【分析】利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可求得△F【詳解】在橢圓C中，a=10，b=53，則c=由已知可得PF1-PF2=8所以，PF1>F1由余弦定理可得cos∠P∵0°<∠P故選：C.【變式43】2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若P是橢圓x24+y23=1【答案】π3##【分析】先根據(jù)橢圓的方程得到a,【詳解】【解析】根據(jù)橢圓的方程可知：x24+y23=1，方法1：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，∠F1PF2的最大時(shí)，P在短軸端點(diǎn)，此時(shí)F1P=方法2：在△F1P所以令F1P=x，則PF2=4-x，所以4=x2+4-x2-2x【變式43】3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知F1,F2分別是橢圓C:x29+y【答案】12/【分析】由橢圓方程可得a,b,c的值，利用勾股定理和橢圓定義可構(gòu)造方程求得PF1,【詳解】由橢圓方程得：a=3，b=2，∴c=a2-設(shè)PF1=x∵PF1⊥PF2解得：x=2或x=4；∵P為橢圓C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，∴PF1>PF2∴tan故答案為：12【變式43】4.（多選）（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校┤鬚是橢圓x2k+4+y2k=1上一點(diǎn)，F(xiàn)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)∠F【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)∠F若∠F1PF2則cos12∠又焦點(diǎn)在x軸上k+4>k，解得k≥4，所以實(shí)數(shù)k的值可以是4，5，故選：CD◆類(lèi)型4乘積與比值問(wèn)題【例題44】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x216+y24=1的左，右兩焦點(diǎn)為FA．8 B．12 C．16 D．64【答案】A【分析】根據(jù)題干數(shù)據(jù)先分析出△PF【詳解】

由題意得，a=4,b=2,c=a2-即O為△PF1F2的外心，以F1記PF1=x,于是PF故選：A【變式44】1.（2022秋·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)F1,F2為橢圓A．[3,4] B．2,3 C．1,4 D．1,7【答案】A【分析】利用三角換元的方法，結(jié)合三角函數(shù)的值域求得正確答案.【詳解】橢圓C:x24設(shè)P2P=cos所以PF由于0≤cos2所以PF1?故選：A【變式44】2.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2①M(fèi)F②MF③∠F1M④若動(dòng)直線l垂直y軸，交此橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為l上滿(mǎn)足|PA|?|PB|=2的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為x22+以上結(jié)論正確的序號(hào)為．【答案】②③④【詳解】對(duì)于①中，由橢圓x24+y23=1得a=2,c=1，∴MF2的最大值為a+c=3，∴是錯(cuò)誤的，對(duì)于②中，由MF1+MF2=4，∴MF1?MF2≤(MF1+【變式44】3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）橢圓x212+y23=1A．17 B．4 C．7 D．【答案】C【分析】根據(jù)線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，推出PF2⊥x軸，由此可設(shè)P(3，b)，代入橢圓方程求出b2，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出【詳解】由x212+y2所以c2所以F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，且原點(diǎn)O為線段F1所以PF2//MO∴可設(shè)P(3,m)，把P(3,m)代入橢圓x212+∴|PF1|＝36+34=∴|PF故選：C【變式44】4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)F1,F2是橢圓x29+A．52或2 B．72或32 C．52或【答案】D【分析】由題設(shè)可知PF2⊥x軸或PF1【詳解】因?yàn)镕1,F所以a=3,b=2，c=9-4則.F1(-因?yàn)镻F1>P故當(dāng)PF2⊥x軸時(shí)，P的橫坐標(biāo)為5則|PF2|=故|PF當(dāng)PF1⊥PF2時(shí)，設(shè)P由勾股定理可得4c2=解得m=2或m=4（舍去），故|PF綜上，|PF1||PF故選：D【變式44】5.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓C:x2a+y22=1的離心率為22，F(xiàn)1,F2分別為C【答案】3【分析】根據(jù)離心率得到橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)和勾股定理得到AF1=【詳解】e=ca=a-2a=2連接BF則AF1+AF則∠BF1F故BF22解得BF1=故答案為：3【變式44】6.（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C:x216+y212=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，則【答案】121【分析】根據(jù)橢圓定義可得PF1+PF2=2a=8【詳解】橢圓中a=4,b=23,c=2，a-c≤P因?yàn)镻F1+PF又2≤PF2≤6，所以又1P當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF故答案為：12;◆類(lèi)型5其他問(wèn)題【例題45】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x216+y212=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，∠A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可求|PH|.【詳解】如圖，根據(jù)題意，有F1(-2,0),F由角平分線定理和橢圓的定義，有P因此△PF1F進(jìn)而可得△PF2Q≌△PHQ【變式45】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1【答案】2【分析】確定PF1+【詳解】由橢圓方程可得a=2，b=3，則c=1，P在△PF1F即PF12故答案為：2◆類(lèi)型6內(nèi)切圓相關(guān)問(wèn)題【例題46】（2022·北京·高三）如圖，過(guò)橢圓x24+y2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用等積法可求△F【詳解】記△F1AB由于12lr=S，故設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓面積為S于是選項(xiàng)A符合題意．故選：A.【變式46】1.（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x216+y212=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，PA．43 B．3 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由橢圓x216+y212如圖，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與三邊分別相切與A，G，I分別為△PF則PB=PC，F(xiàn)1所以PB=所以PI==故選：D【變式46】2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)離心率為12，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P，使得∠A．36 B．23 C．2【答案】D【分析】在△PF1F2中，利用余弦定理求得【詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為12所以a=2,c=1，在△PF1F=P解得PF所以S△P12解得r=3故選：D【變式46】3.（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，則△PF【答案】33【分析】第一個(gè)空：根據(jù)面積關(guān)系列式可求出結(jié)果；第二個(gè)空：分三種情況討論，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列式可求出結(jié)果.【詳解】a2=4，b2=3，所以c2=a設(shè)P(x0,y0S△PF1S△P所以3r≤3，r≤33，即△PF1若△POF2為等腰三角形，則|PO|=|PF2|當(dāng)|PO|=|PF2|時(shí)，x02+y02當(dāng)|PO|=|OF2|時(shí)，x02+y02當(dāng)|PF2|=|OF2|時(shí)，(x解得x0=2或若x0=2，則y0若x0=6，則綜上所述：P(1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一個(gè)空，根據(jù)三角形面積關(guān)系，利用橢圓的定義求解是關(guān)鍵，第二個(gè)空，分類(lèi)討論等腰三角形的腰是解題關(guān)鍵題型5和差最值問(wèn)題【方法總結(jié)】總體理論依據(jù)：1.線段公理——兩點(diǎn)之間，線段最短。2.對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等。②對(duì)稱(chēng)軸是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線段最短【例題5】（多選）（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)F為橢圓C：x24+y2A．PA+PFB．PA+C．PF-PAD．PF-【答案】ABD【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線、橢圓的定義等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，a=2,b=3,c=1，所以PA+PF的最小值，即是AF的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P在所以PA+PF的最小值為設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，所以PA則當(dāng)點(diǎn)P在P″所以PA+PF的最大值為PF-PA的最小值當(dāng)P在即PF-PA的最小值為由PF-則當(dāng)點(diǎn)P在P''''位置時(shí)取到最大值，所以PF-PA的最大值為故選:ABD【變式51】1.（2018·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x25+A．22 B．C．25【答案】C【分析】利用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)可求最小值.【詳解】點(diǎn)P(x,y)是橢圓C:x25記題中代數(shù)式為M，則M=|PA|+|PF|=|PA|+25等號(hào)當(dāng)點(diǎn)E，A，P依次共線時(shí)取得．因此所求最小值為25故選：C.【變式51】2.（2023春·廣東汕頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓方程x24+y23=1,F是其左焦點(diǎn)，點(diǎn)A1,1是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，若A．43 B．4 C．8 D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為PA-【詳解】由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'(1,0)，連接則PA+如圖：當(dāng)點(diǎn)P在位置M時(shí)，PA-PF當(dāng)點(diǎn)P在位置N時(shí)，PA-PF所以PA-PF'的取值范圍是所以|PA|+|PF|的最大值Dmax=5，|PA|+|PF|最小值Dmin所以Dmax故選：C.【變式51】3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為FA．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得AB+AF1=【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為c，則F22,0，如圖，連接AF2，則而AB-AF2≤BF故AB+AF故選：A.【變式51】4.（2022秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知A(4,0)?B(2,2)是橢圓x225+y29=1內(nèi)的點(diǎn)，M【答案】10+210/210+10【分析】由題意可得A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為F(-4,0)，B在橢圓內(nèi)，根據(jù)橢圓的定義得|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|，由圖可知當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，|MA|+|MB|取得最值.【詳解】由題意可得A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為F(-4,0)，B在橢圓內(nèi)，則由橢圓定義|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|.當(dāng)M不在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M?F?B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是|MB|-|MF|<|BF|，而當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|.顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最小值，其最小值為MA+當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)，|MA|+|MB|有最大值，其最大值為|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+(2+4)故答案為：10+210，10-2【變式51】5.（2023秋·四川達(dá)州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，【答案】22-5【分析】根據(jù)橢圓定義可將MN-MF1轉(zhuǎn)化為|MN|+|MF2|-4【詳解】由題意橢圓C：x2N為圓E：x-32故|MF1|+|M故|MN|-|M≥|ME|+|MF當(dāng)且僅當(dāng)M,N,E,F而F21,即MN-MF故答案為：2【變式51】6.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)P是橢圓x29+y25=1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：x+2【答案】4，8【分析】由題可得兩個(gè)圓心恰好是橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定值，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到圓心距離減去半徑，最大值為點(diǎn)到圓心距離加上半徑，即可求解.【詳解】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1且恰好為兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)圓的半徑相等都等于1，則由橢圓的定義可得P故橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線與圓相交于M、N時(shí)，|PM|+|PN|最小，所以|PM|+|PN|min|PM|+|PN|max故答案為：4，8.【變式51】7.（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)P是橢圓x225+y216=1上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x+3)【答案】8【分析】由題意得圓(x+3)2+y2=1的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，MF2【詳解】如圖,由x225+y2則圓(x+3)2+y2=1由橢圓的定義得PF所以PQ≤又MF所以PQ-=11-P故答案為：8題型6軌跡方程問(wèn)題【方法總結(jié)】解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法：（1）定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．（2）方程法：直接根據(jù)條件列方程化簡(jiǎn)即可。（3）相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法．◆類(lèi)型1定義法【例題61】（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)A-3,0，并且在圓B：(x-3)A．x216+y27【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓B:x-32+y2設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，半徑為r，由圓C在圓B的內(nèi)部與其相切，則R-r=CB，由圓C過(guò)點(diǎn)A，則R-CA=CB，即10=CA+CB，所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，則a=5，c=ABb=a2-故選：D.【變式61】1.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知定圓C1:x2+y2【答案】x【分析】由橢圓的定義直接求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程即可.【詳解】圓C1:因?yàn)閳AM與圓C1外切，所以M因?yàn)閳AM與圓C2內(nèi)切，所以，M兩式相加得MC所以M的軌跡是以C1,C【變式61】2.（2023秋·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且AB=2A．面積為π的圓 B．面積為2π的圓 C．離心率為14的橢圓 D．離心率為【答案】D【分析】連接BQ，由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合圓的性質(zhì)可得AQ+【詳解】連接BQ，因?yàn)榫€段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，所以BQ=因?yàn)锳Q+所以AQ+所以點(diǎn)Q的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距為2的橢圓，所以橢圓的離心率為e=c故選：D【變