浙江省紹興市上虞區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

2023學(xué)年第一學(xué)期高三期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測試卷數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的值域化簡集合A，再利用交集的定義求解即得.【詳解】由，知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，而，所以.故選：C2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部定義進行求解即可.【詳解】因為，所以的虛部為，故選：D3.橢圓的離心率為，則（）A.2 B.1 C. D.2或【答案】D【解析】【分析】對?的值分類討論，進而求得，由橢圓的離心率建立等式，進而求出的值.【詳解】由于橢圓方程為，當(dāng)時，則，其離心率為：，解得，當(dāng)時，則，其離心率為：，解得，故選D.4.設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】A中，舉例說明選項A錯誤；B中，當(dāng)時，，但與不一定平行，可判斷選項B錯誤；C中，兩邊平方得出，可判斷與共線，從而判斷C正確；D中，兩邊平方得出，不能得出,可判斷D錯誤.【詳解】對于A，當(dāng)，時，滿足，但，選項A錯誤；對于B，當(dāng)時，，則與不一定平行，選項B錯誤；對于C，由，則，即，所以，所以與同向，即，選項C正確；對于D，若，則，所以，不能得出，選項D錯誤．故選：C5.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖分布形態(tài)中，分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直方圖矩形高低以及數(shù)據(jù)的分布趨勢，判斷即可得出結(jié)論.【詳解】眾數(shù)是最高矩形的中點橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二列的中點處.因為直方圖第一、二、三、四列高矩形較多，且在右邊拖尾低矩形有三列，所以平均數(shù)小于眾數(shù)，右邊拖尾的有三列，中位數(shù)大約在第三?四列的位置，中位數(shù)最大，因此有.故選：A.6.已知實數(shù)滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合特殊值判定大小即可.【詳解】由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知，，所以.故選：B7.設(shè)為是首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)前n項和定義可得，結(jié)合等比數(shù)列可得，進而判斷AB；再根據(jù)等比數(shù)列求和公式判斷C；舉反例判斷D.【詳解】因為，可得，即，且，則，可得，解得，故AB錯誤；由可知，可得，則，所以，故C正確；例如，符合題意，但，故D錯誤.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點、，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡得，然后列出方程組，從而可求解.【詳解】由題意得，其中，（取為銳角），由、為兩個零點，可得，解得，所以，故A正確.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，漏選得2分，錯選得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是B.線性回歸模型中，決定系數(shù)越接近于1，表示回歸擬合的效果越好．C.已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則D.用殘差進行回歸分析時，若殘差點比較均勻地落在寬度較窄的水平區(qū)域內(nèi)，則說明線性回歸模型的擬合精度較低【答案】BC【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A選項；利用回歸分析可判斷B選項；由正態(tài)分布的對稱性可判斷C選項；利用殘差進行回歸分析可判斷D選項.【詳解】對于A選項：樣本共8個數(shù)，則有，所以第80百分位數(shù)為第7個數(shù)字9，故A不正確；對于B選項：線性回歸模型中，決定系數(shù)越接近于1，表示回歸擬合的效果越好，故B正確；對于C選項：由正態(tài)分布對稱性可知，則，故C正確；對于D選項：用殘差進行回歸分析時，若殘差點比較均勻地落在寬度較窄的水平區(qū)域內(nèi)，則說明線性回歸模型的擬合精度較高，故D不正確；故選：BC10.直線：，圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線經(jīng)過定點且與圓恒有兩個公共點B.圓心到直線的最大距離是2C.存在一個值，使直線經(jīng)過圓心D.不存在使得圓與圓關(guān)于直線對稱【答案】AC【解析】【分析】利用直線過定點的求法，結(jié)合點圓位置關(guān)系判斷A；利用圓心到直線的最大距離判斷B；將圓心直接代入直線判斷C；利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，因為直線：，可化為，令，解得，故直線過定點，而，所以點在圓內(nèi)，所以直線經(jīng)過定點且與圓恒有兩個公共點，故A正確；對于B，因為圓：的圓心為，半徑為，所以圓心到定點的距離為，所以圓心到直線的最大距離是，故B錯誤；對于C，將圓心代入直線，得，解得，所以存在，使直線經(jīng)過圓心，故C正確；對于D，因為圓的圓心為，所以兩圓圓心所成線段的中點坐標(biāo)為，恰為直線所過定點，同時兩圓圓心所在直線的斜率為，要使兩圓關(guān)于直線對稱，則只需直線的斜率為，又直線：，所以，其斜率為，解得，顯然存在滿足題意，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，對于任意的，滿足，且，，則（）A.是周期為2的周期函數(shù) B.C.是偶函數(shù) D.【答案】BCD【解析】分析】應(yīng)用賦值法判斷A、B、C選項，通過構(gòu)造數(shù)列可求出再結(jié)合賦值法可得，從而得，即可對D判斷求解.【詳解】對B：令，得，又因為，所以，故B正確；對C：令，對于任意，則，所以，所以是偶函數(shù)，故C正確；對A：令，則，由，則，所以不是以為周期的函數(shù)，故A錯誤；對D：令，則，得，由，，易得，則且，，又，所以數(shù)列，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，其次令，得，則，，且，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.12.在邊長為的正方體中，為線段中點，為線段上的動點，則（）A.點到平面的距離為定值B.直線與直線所成角最小值為C.三棱錐的外接球的表面積最小值為D.若用一張正方形的紙把此正方體完全包住，不將紙撕開，則所需紙面積的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】選項A，應(yīng)用線面平行的判定定理，證明平面即可；選項B，將異面直線與直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，在三角形內(nèi)求角的正弦值即可；選項C，考慮到是直角，線段為外接球截面圓的直徑，顯然截面圓的直徑為球的直徑時，球的半徑最小表面積最??；選項D，只需考慮該正方體展開圖的形態(tài)即可.詳解】對于選項A，如圖所示，，平面，平面，故平面，且點，所以點到平面的距離為定值，A正確；取的中點為，連接，在正方體內(nèi)四邊形是平行四邊形，所以，則直線與直線所成角即為直線與直線的夾角，因為平面，由線面角的最小性可知直線與直線的夾角的最小時為與平面所成線面角，點在平面內(nèi)的射影恰為線段的靠近的四等分點，在中，，，，易求得該角的正弦值為，B錯誤；因為，所以線段恰為三棱錐外接球被平面所截形成截面圓的直徑，顯然外接球直徑，當(dāng)最小為即線段恰好為該外接球的直徑時，三棱錐外接球的表面積最小，此時，三棱錐表面積的最小值為，C正確；如下圖所示，可知外包裝正方形的對角線長為，該正方形面積的最小值為，D正確．故選：ACD.【點睛】方法點睛：正方體作為立體幾何中最基本的空間圖形，一直以來是高考考查學(xué)生空間想象能力的載體；譬如本題中學(xué)生需要思考動點變化帶來的空間位置關(guān)系和截面形狀的變化，思考夾角、長度、面積等度量值的變化.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共20分．13.已知角，角的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)為，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)余弦的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式進行求解即可.【詳解】因為角的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)為，所以，又因為，所以，所以，故答案為：14.已知，則_____________．【答案】【解析】【分析】先將變形為的形式，再應(yīng)用二項式定理求解即可.【詳解】，由二項式定理得：，所以.故答案是：.15.設(shè)函數(shù)在處取得極值，且，當(dāng)時，最大值記為，對于任意的的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合韋達定理求參數(shù)，再分類討論的范圍計算即可.【詳解】由已知得有兩個不同實數(shù)根，可得，則，可得，令，解得或；令，解得；易知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而，當(dāng)，即時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然對于，當(dāng)時，.故答案為：216.已知點是等軸雙曲線的左右頂點，且點是雙曲線上異于一點，，則_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線可得，據(jù)此可得關(guān)于的正切的方程，從而可求.【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線，故，故，設(shè)，則，，且，，即，，，，而，故即.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，三棱柱是所有棱長均為2的直三棱柱，分別為棱和棱的中點．（1）求證：面面；（2）求二面角的余弦值大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）方法一：根據(jù)二面角定義，結(jié)合（1）的結(jié)論、線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理進行求解即可；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】為棱中點，為正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；【小問2詳解】由（1）得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值為．方法二：以為原點，建立直角坐標(biāo)系如圖：則，，，設(shè)平面、平面的法向量分別為，，可以是可以是，二面角的余弦值為．18.已知正項數(shù)列，前項和記為，，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，．當(dāng)時，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系式，分類討論與兩種情況，得到是首項為的常數(shù)列，從而得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用裂項相消法求得，再分析的取值情況，利用等差數(shù)列的前項和公式即可得解.【小問1詳解】因為是正項數(shù)列，即，因為，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，所以，整理得，又，所以是首項為的常數(shù)列，則，所以，當(dāng)時，也符合上式，故.【小問2詳解】由（1）得，則，所以，則，易得，，當(dāng)時，，則，，解得.19.在①；②；③，這三個條件中任選一個，填在下面的橫線中，并完成解答.在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，且_______.（1）求邊長；（2）若邊上的高為，求角的最大值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）選①，利用向量數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理即可得解；選②，利用余弦定理的邊角變換即可得解；選③，利用三角恒等變換，結(jié)合正弦定理的邊角變換即可得解；（2）利用余弦定理與基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式得到，從而利用輔助角公式，結(jié)合角的范圍即可得解.【小問1詳解】選①，，，，；選②，，，，；選③，，，，，，由正弦定理得，.【小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，，又由于，，，，，即，又在銳角中，，則，，即，所以角的最大值為.20.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)圖象上一點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個零點（），求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線的點斜式方程運算求解；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分和時，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而只需要，即可求出答案.【小問1詳解】由，解得，所以，則，則，所以切線方程為，即．【小問2詳解】，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不合題意，舍去；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由時，，時，，則，令，則，在單調(diào)遞增．又，時，，時，，，所以.21.某校食堂為全體師生免費提供了、兩個新菜品，師生可自由選擇、菜品中的其中一個．若每位師生選擇菜品的概率是，選擇菜品的概率為，師生之間選擇意愿相互獨立．（1）從師生中隨機選取人，記人中選擇菜品的人數(shù)為，求的均值與方差；（2）現(xiàn)對師生逐個進行問卷調(diào)查并發(fā)放免費早餐券，若選擇菜品則送張，選擇菜品則送張，記累計贈送張免費早餐券的概率為，求證：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）法一：依題意可得，即可得到的分布列，從而求出期望與方差；法二：利用二項分布的期望與方差公式計算可得；（2）法一：依題意可得，從而得到，即可求出的通項，即可得證；法二：依題意可得，從而得到，再利用累加法求出的通項，即可得證.【小問1詳解】法一：由題可知，于是的分布列為所以，．法二：由題可知，，所以，．【小問2詳解】法一：由題可知，．當(dāng)時，，也即，∴為常數(shù)數(shù)列，且，∴，∴是以為首項、為公比的等比數(shù)列，∴，∴，當(dāng)為奇數(shù)時，又在定義域上單調(diào)遞增，但是，所以且，當(dāng)為偶數(shù)時，又在定義域上單調(diào)遞減，但是，所以且，又，，綜上可得．法二：由題可知，．當(dāng)時，也即，∴是以為首項、為公比的等比數(shù)列，∴，，，，相加可得，∴，又也滿足，所以．當(dāng)為奇數(shù)時，又在定義域上單調(diào)遞增，但是，所以且，當(dāng)為偶數(shù)時，又在定義域上單調(diào)遞減，但是，所以且，又，，綜上可得．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二小問解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到推遞式，從而得解.22.已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，斜率為的直線與拋物線交于兩點．（1）設(shè)中點為，若長度成等差數(shù)列，求直線的方程；（2）已知點，與拋物線交于點，過作的垂線，垂足為