高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專項(xiàng)突破-易錯(cuò)點(diǎn)12函數(shù)的單調(diào)性極值和最值問題含解析

PAGE13PAGE易錯(cuò)點(diǎn)12函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題一、單選題函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+xA.?32,?1和?12,+∞

B.?32,?3?54f(x)=x(x?c)2在x=2處有極小值,A.2 B.6 C.2或6 D.1函數(shù)f(x)=ln?x+ax有小于1的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.0,1 B.?∞,?1

C.?1,0 D.(?∞,?1)∪(0,+∞)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x?1),函數(shù)g(x)=mx?m(m>0),若對(duì)任意的xA.[1e2,13] B.下列說法正確的是A.若p：?x≥0,sinx≤1,則?p:?x0<0,sinx0>1．

B.命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題．

C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(二、單空題已知f(x)=13x3+m2x2已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex+1+ax(a∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若有且僅有3個(gè)負(fù)整數(shù)x1,x2,x3,使得f(x1)≤0,已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?4在x=12處取得極值,若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇?1,5],部分對(duì)應(yīng)值如下表,f(x)

的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)

的圖象如圖所示.下列關(guān)于

f(x)

的命題：

x?1045f(x)1221①函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為0,4；

②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈[?1,t]時(shí),f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4；④函數(shù)y=f(x)與y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是____________________．三、解答題已知函數(shù)fx=13x3+mx2+nx+3(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m,n的值；(Ⅱ)若函數(shù)y=fx?λ的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)λ已知函數(shù)f(x)=13x3+2ax2+bx(1)求曲線y=f(x)在(0,0)處的切線方程；(2)求f(x)在[?3,6]上的最大值和最小值．如圖,在四棱錐S?ABCD中,底面菱形ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)為O,AC=4,BD=2,且SB=SD,SA=SO=2,E為AO的中點(diǎn)．

(1)證明：SE⊥AB；

(2)設(shè)P為截面SAC上的動(dòng)點(diǎn),滿足AP=2tπAC?tsint?AS(0≤t≤π2).設(shè)F,G分別為已知函數(shù)f(x)=ln(ax)?x?a(1)求f(x)的解析式；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?12x?m有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x一、單選題函數(shù)f(x)=lnA.?32,?1和?12,+∞

B.?32,?3?54【答案】A【解析】解：函數(shù)fx的定義域?yàn)?32,+∞,

又f'x=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3,

令f'x>0,即4x2+6x+2>0,

化簡(jiǎn)得2x2+3x+1>0,f(x)=x(x?c)2在x=2處有極小值A(chǔ).2 B.6 C.2或6 D.1【答案】A【解析】解：∵函數(shù)f(x)=x(x?c)2,

∴f'(x)=3x2?4cx+c2,

又f(x)=x(x?c)2在x=2處有極值,

∴f'(2)=12?8c+c2=0,

解得c=2或6,

又由函數(shù)在x=2處有極小值,故c=2,

c=6函數(shù)f(x)=ln?x+ax有小于1的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)A.0,1 B.?∞,?1

C.?1,0 D.(?∞,?1)∪(0,+∞)【答案】B【解析】解：因?yàn)閒(x)=ln?x+ax,

所以函數(shù)定義域?yàn)閧x|x>0},

由f'(x)=1x+a=0得,a≠0,x=?1a,

又函數(shù)f(x)=ln?x+ax有小于1的極值點(diǎn),

所以?1設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x?1),函數(shù)g(x)=mx?m(m>0),A.[1e2,13] B.【答案】D【解析】解：要對(duì)任意的x1∈[?2,2],總存在x2∈[?2,2],使得f(x1)=g(x2),

則f(x)的值域是g(x)的值域的子集,

,

所以fx在?∞,0上單調(diào)遞減,在0,+∞上單調(diào)遞增,

即fx在[?2,0)上單調(diào)遞減,在(0,2]上單調(diào)遞增,

,f2=e2,f(0)=?1,

所以fx∈?1,e2,

因?yàn)楹瘮?shù)gx下列說法正確的是A.若p：?x≥0,sinx≤1,則?p:?x0<0,sinx0>1．

B.命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題．

C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(【答案】B【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,若：,sinx≤1,則：,.所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)B,命題“已知,若,則或”的逆否命題為“若且,則”,由于逆否命題是真命題,所以原命題是真命題,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C,“在上恒成立”不等價(jià)于“在上恒成立”,因?yàn)椴坏仁絻蛇叺淖宰兞慷际恰啊?它只表示兩邊函數(shù)取相同的自變量時(shí),左邊的函數(shù)值不小于右邊的函數(shù)值,所以不等價(jià)于“在上恒成立”.所以該命題不正確；對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)的最小值不是2.設(shè),所以因?yàn)?所以函數(shù)在單調(diào)遞增,所以函數(shù)的最小值為,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．二、單空題已知f(x)=13x3+m2【答案】?5,5【解析】解：由題可得f'(x)=x2+mx?6,

而f(x)在?1,1上單調(diào)遞減,

則f'(x)=x2+mx?6≤0對(duì)x∈?1,1恒成立,

因此有f'(?1)=?m?5?0f'(1)=m?5?0,

解得m≥?5m≤5已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex+1+ax(a∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若有且僅有3個(gè)負(fù)整數(shù)x1,x2,x3,使得f(x1【答案】?【解析】解：由f(x)≤0可得(2x+1)ex+1≤?ax．

令g(x)=(2x+1)ex+1,?(x)=?ax,

則g'(x)=(2x+3)ex+1,

當(dāng)x<?32,g'(x)<0,當(dāng)x>?32,g'(x)>0,故x=?32是極小值點(diǎn),

且g(?12)=0,故g(x)的圖象如圖所示．

顯然,當(dāng)a≥0時(shí)滿足f(x)≤0的負(fù)整數(shù)x有無數(shù)個(gè),

因此a<0．

此時(shí)必須滿足g(?3)≤?(?3)g(?4)>?(?4)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?4在x=12處取得極值【答案】【解析】解：f(x)=lnx+ax2?4,則f'(x)=1x+2ax．

依題意可得f'(12)=2+a=0,可得a=?2．

所以f(x)=lnx?2x2?4,f'(x)=1x?4x．

當(dāng)m∈[14,12)f'(m)=已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇?1,5],部分對(duì)應(yīng)值如下表,f(x)

的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)

的圖象如圖所示.下列關(guān)于

f(x)

的命題：

x?1045f(x)1221①函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為0,4；

②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈[?1,t]時(shí),f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4；④函數(shù)y=f(x)與y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是____________________．【答案】①②④．【解析】解：∵由導(dǎo)函數(shù)的圖象知,函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)為0與4,故①正確；

由已知中y=f'(x)的圖象可得在[0,2]上f'(x)<0,

即f(x)在[0,2]是減函數(shù),即②正確；

由已知中y=f'(x)的圖象,及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時(shí),函數(shù)取最大值2,

若x∈[?1,t]時(shí),f(x)的最大值是2,那么0≤t≤5,故t的最大值為5,即③錯(cuò)誤；∵函數(shù)f(x)在定義域?yàn)閇?1,5]共有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間,兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間,故函數(shù)y=f(x)?a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè),即函數(shù)y=fx與y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè),因④正確,綜上可得正確命題的序號(hào)是①②④．

故答案是①②④三、解答題已知函數(shù)fx=13x3+mx2+nx+3(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m,n的值；(Ⅱ)若函數(shù)y=fx?λ的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)【答案】解：(Ⅰ)f'(x)=x2+2mx+n.∵函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴m=0．

又f(1)=13+n+3=?23,解得n=?4.∴m=0,n=?4．

(Ⅱ)問題等價(jià)于方程f(x)=λ有三個(gè)不相等的實(shí)根時(shí),求λ的取值范圍．

由(Ⅰ),得f(x)=13x3?4x+3.∴f'(x)=x2?4.令f'(x)=0,解得x=±2．

∵當(dāng)x<?2或x>2時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在(?∞,?2),(2,+∞)上分別單調(diào)遞增．

又當(dāng)?2<x<2時(shí),f'(x)<0已知函數(shù)f(x)=13x3+2ax2+bx(1)求曲線y=f(x)在(0,0)處的切線方程；(2)求f(x)在[?3,6]上的最大值和最小值．【答案】解：(1)f'(x)=x2+4ax+b得a=1,b=?21,所以f'(x)=因?yàn)閒'(0)=?21,所以曲線y=f(x)在(0,0)處的切線方程為21x+y=0．(2)由(1)知f'(x)=x2+4x?21=(x+7)(x?3)令f'(x)<0,得?3≤x<3；令f'(x)>0,得3<x≤6．所以f(x)在[?3,3)上單調(diào)遞減,在(3,6]上單調(diào)遞增,

故f(x)因?yàn)閒(?3)=72,f(6)=18,所以f(x)如圖,在四棱錐S?ABCD中,底面菱形ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)為O,AC=4,BD=2,且SB=SD,SA=SO=2,E為AO的中點(diǎn)．

(1)證明：SE⊥AB；

(2)設(shè)P為截面SAC上的動(dòng)點(diǎn),滿足AP=2tπAC?tsint?AS(0≤t≤π2).設(shè)F,【答案】解：(1)證明：在菱形ABCD中,BD⊥AC.又SB=SG,所以,BD⊥SO,

又因?yàn)锳C,SO?平面SAC,AC∩SO=O,

所以,BD⊥平面SAC,因?yàn)镾E?平面SAC,

從而,BD⊥SE．

因E為AO的中點(diǎn),且SA=SO,所以,SE⊥AC,

因?yàn)锽D,AC?平面ABCD,BD∩AC=O,

所以,SE⊥平面ABCD,

因?yàn)锳B?平面ABCD,

所以SE⊥AB．

(2)A為坐標(biāo)原點(diǎn),過A平行BD的直線為x軸,AC所在直線為y軸,過A垂直平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系．AE=1,SA=2,

故則A(0,0,0),E(0,1,0)C(0,4,0),S(0,1,1),F(12,1,0),G(12,3,0)．

設(shè)平面SFG的法向量為m=(x,y,z),FG=(0,2,0),FS=(?12,0,1),

由m·FG=0m·FS=0得2y=0?12x+z=0令x=2,則m