高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第七講拋物線學(xué)案含解析新人教版

PAGE第七講拋物線知識梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)知識點一拋物線的定義拋物線需要滿足以下三個條件：(1)在平面內(nèi)；(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離__相等__；(3)定點F與定直線l的關(guān)系為__點F?l__．知識點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點F__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))__F__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))__F__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))__F__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))__離心率e＝__1__準(zhǔn)線方程__x＝－eq\f(p,2)____x＝eq\f(p,2)____y＝－eq\f(p,2)____y＝eq\f(p,2)__范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝__x0＋eq\f(p,2)__|PF|＝__－x0＋eq\f(p,2)__|PF|＝__y0＋eq\f(p,2)__|PF|＝__－y0＋eq\f(p,2)__eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)拋物線焦點弦的處理規(guī)律直線AB過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如圖．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)．(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即當(dāng)x1＝x2時，弦長最短為2p．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)．(4)弦長AB＝eq\f(2p,sin2α)(α為AB的傾斜角)．(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(6)焦點F對A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°．(7)A、O、D三點共線；B、O、C三點共線．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4)．(×)(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(×)(4)AB為拋物線y2＝2px(p＞0)的過焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p．(√)(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a＞0)的通徑長為2a．(√題組二走進教材2．(必修2P69例4)(2021·甘肅張掖診斷)過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(B)A．9 B．8C．7 D．6[解析]拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1．根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．3．(2021·河南鄭州名校調(diào)研)拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(B)A．－eq\f(17,16) B．－eq\f(15,16)C．eq\f(7,16) D．eq\f(15,16)[解析]由拋物線的方程y＝－4x2，可得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(1,4)y，則焦點坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,16)))，準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(1,16)，設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的定義可得－y0＋eq\f(1,16)＝1，解得y0＝－eq\f(15,16)．故選B．題組三走向高考4．(2019·課標(biāo)全國Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點，則p＝(D)A．2 B．3C．4 D．8[解析]∵拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴3p－p＝eq\f(p2,4)，∴p＝8．故選D．5．(2020·新課標(biāo)Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝(C)A．2 B．3C．6 D．9[解析]A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，因為拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，故有：9＋eq\f(p,2)＝12?p＝6；故選C．考點突破·互動探究考點一拋物線的定義及應(yīng)用——多維探究角度1軌跡問題例1(1)動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是(D)A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[解析]設(shè)動圓的圓心為C，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓到直線x＝2距離為r＋1，即動圓圓心到定點(－2,0)和定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線的定義知，動圓的圓心軌跡為拋物線，所以答案為D．角度2到焦點與到定點距離之和最小問題(2)①(2021·河北保定七校聯(lián)考)已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西運城聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝8y的焦點為F，O為原點，點P是拋物線C的準(zhǔn)線上的一動點，點A在拋物線C上，且|AF|＝4，則|PA|＋|PO|的最小值為(B)A．4eq\r(2) B．2eq\r(13)C．3eq\r(13) D．4eq\r(6)[解析]①設(shè)拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標(biāo)為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識可知，當(dāng)C，M，E在一條直線上時，此時CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為|CE|＝2－(－1)＝3，故選B．②由拋物線的定義知|AF|＝y(tǒng)A＋eq\f(p,2)＝y(tǒng)A＋2＝4，∴yA＝2，代入x2＝8y，得xA＝±4，不妨取A(4,2)，又O關(guān)于準(zhǔn)線y＝－2的對稱點為O′(0，－4)，∴|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝eq\r(－4－22＋0－42)＝2eq\r(13)，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、O′共線時取等號，故選B．[引申]本例(2)①中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值為__eq\r(2)__；最小值為__－eq\r(2)__；(ⅱ)若N為⊙C上任一點，則|MF|＋|MN|的最小值為__2__．角度3到準(zhǔn)線與到定點距離之和最小問題(3)已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d＋|PC|的最小值為(A)A．eq\r(41) B．7C．6 D．9[解析]由題意得圓的方程為(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圓心C的坐標(biāo)為(－3，－4)．由拋物線定義知，當(dāng)d＋|PC|最小時為圓心與拋物線焦點間的距離，即d＋|PC|＝eq\r(－3－22＋－42)＝eq\r(41)．角度4到兩定直線的距離之和最小問題(4)(2021·北京人大附中測試)點P在曲線y2＝4x上，過P分別作直線x＝－1及y＝x＋3的垂線，垂足分別為G，H，則|PG|＋|PH|的最小值為(B)A．eq\f(3\r(2),2) B．2eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2)＋1 D．eq\r(2)＋2[解析]由題可知x＝－1是拋物線的準(zhǔn)線，焦點F(1,0)，由拋物線的性質(zhì)可知|PG|＝|PF|，∴|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|≤|FH|＝eq\f(|1－0＋3|,\r(2))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)H、P、F三點共線時取等號，∴|PG|＋|PH|的最小值為2eq\r(2)．故選B．名師點撥利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．(2)距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化．(3)看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)到定點A(0,2)的距離比到定直線l：y＝－1大1的動點P的軌跡方程為__x2＝8y__．(2)(角度1)(2021·吉林省吉林市調(diào)研)已知拋物線y2＝4x的焦點F，點A(4,3)，P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長取最小值時，線段PF的長為(B)A．1 B．eq\f(13,4)C．5 D．eq\f(21,4)(3)(角度2)(2021·山西大學(xué)附中模擬)已知點Q(2eq\r(2)，0)及拋物線y＝eq\f(x2,4)上一動點P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口區(qū)二模)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和l2的距離之和的最小值為(C)A．eq\f(37,16) B．eq\f(11,5)C．2 D．eq\f(7,4)[解析](1)由題意知P到A的距離等于其到直線y＝－2的距離，故P的軌跡是以A為焦點，直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為x2＝8y．(2)求△PAF周長的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|＋|PD|最小，此時Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))，且|PF|＝eq\f(9,4)＋1＝eq\f(13,4)，故選B．(3)拋物線y＝eq\f(x2,4)即x2＝4y，其焦點坐標(biāo)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1．因為點Q的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3．過點P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2．(4)直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，則點P到直線l2：x＝－1的距離等于PF，過點F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點就是點P，所以點P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和到直線l2：x＝－1的距離之和的最小值就是點F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故選C．考點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程——自主練透例2(1)過點P(－3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y__．(2)焦點在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__y2＝16x或x2＝－8y__，準(zhǔn)線方程為__x＝－4或y＝2__．(3)如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(B)A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝9x[解析](1)設(shè)所求拋物線的方程為y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)．∵過點(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2．∴p＝eq\f(2,3)或p＝eq\f(9,4)．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y．(2)令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4．∴拋物線的焦點為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點為(4,0)時，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此時拋物線方程為y2＝16x；當(dāng)焦點為(0，－2)時，eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，此時拋物線方程為x2＝－8y．∴所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x＝－4，y＝2．(3)如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD在直角三角形ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC∴3＋3a＝6，從而得a∵BD∥FG，∴eq\f(|BD|,|FG|)＝eq\f(|BC|,|FC|)，即eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，求得p＝eq\f(3,2)，因此拋物線的方程為y2＝3x．名師點撥求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，若焦點位置確定，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可．(2)因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．一般焦點在x軸上的拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)；焦點在y軸上的拋物線的方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2021·重慶沙坪壩區(qū)模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過點(p,0)且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點為A，若|AF|＝1，則拋物線C的方程為(A)A．y2＝eq\f(4,3)x B．y2＝2xC．y2＝3x D．y2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點P(m，－3)到焦點的距離為5，則拋物線方程為(D)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8y[解析](1)由題意知xA＝p，又|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝eq\f(3p,2)＝1，∴p＝eq\f(2,3)，∴拋物線C的方程為y2＝eq\f(4,3)x，故選A．(2)由題意可知拋物線的焦點在y軸負半軸上，故設(shè)其方程為x2＝－2py(p＞0)，所以3＋eq\f(p,2)＝5，即p＝4，所以所求拋物線方程為x2＝－8y，故選D．考點三,拋物線的幾何性質(zhì)——師生共研例3(1)(2021·廣西四校聯(lián)考)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上橫坐標(biāo)為4的點到此拋物線焦點的距離為9，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為(C)A．4 B．9C．10 D．18(2)(理)(2021·四川眉山模擬)點F為拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(點A在第一象限)，過A、B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，則直線AB的斜率為(D)A．1 B．eq\f(7,24)C．2 D．eq\f(24,7)(文)(2021·四川師大附中期中)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線上的兩點，A，B的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，△ABO的重心為F，則p＝(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)拋物線y2＝2px的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)．由題意可得4＋eq\f(p,2)＝9，解得p＝10，所以該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為10．故選C．(2)(理)由拋物線定義知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，∴∠AFM＋∠BFM＝eq\f(360°－∠MAF－∠NBF,2)＝90°，∴∠MFN＝90°，又|MF|＝4，|NF|＝3，∴|MN|＝5，∴p＝|KF|＝eq\f(|MF|·|NF|,|MN|)＝eq\f(12,5)，又∠AFM＝∠AMF＝∠MFK，∴kAB＝tan(180°－2∠MFK)＝－eq\f(2tan∠MFK,1－tan2∠MFK)＝－eq\f(\f(8,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝eq\f(24,7)．故選D．(文)eq\f(x1＋x2,2)＋eq\f(p,2)＝5，eq\f(x1＋x2＋0,3)＝eq\f(p,2)，∴10－p＝eq\f(3p,2)，所以p＝4．故選D．名師點撥在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2021·廣東茂名五校聯(lián)考)設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F(1,0)，過焦點的直線交拋物線于A、B兩點，若|AF|＝4|BF|，則|AB|＝__eq\f(25,4)__．(2)(2021·湖北荊州模擬)從拋物線y2＝4x在第一象限內(nèi)的一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝9，設(shè)拋物線的焦點為F，則直線PF的斜率為(C)A．eq\f(6\r(2),7) B．eq\f(18\r(2),7)C．eq\f(4\r(2),7) D．eq\f(2\r(2),7)[解析](1)∵eq\f(p,2)＝1，∴p＝2，不妨設(shè)直線AB方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,x＝my＋1))，得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，又|AF|＝4|BF|，∴y1＝－4y2，∴y2＝－1，從而x2＝eq\f(1,4)，∴|BF|＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，∴|AB|＝5|BF|＝eq\f(25,4)．(2)設(shè)P(x0，y0)，由拋物線y2＝4x，可知其焦點F的坐標(biāo)為(1,0)，故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P點坐標(biāo)為(8,4eq\r(2))，所以kPF＝eq\f(0－4\r(2),1－8)＝eq\f(4\r(2),7)．故選C．考點四,直線與拋物線的綜合問題——師生共研例4(1)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F與雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的一個焦點重合，直線y＝x－4與拋物線交于A，B兩點，則|AB|等于(B)A．28 B．32C．20 D．40(2)(2021·陜西師大附中期中)已知拋物線y2＝4x的一條弦AB恰好以P(1,1)為中點，則弦AB所在直線的方程是(B)A．y＝x－1 B．y＝2x－1C．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋3(3)(2021·湖南五市十校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，直線y＝x－1與C相交所得的長為8．①求p的值；②過原點O的直線l與拋物線C交于M點，與直線x＝－1交于H點，過點H作y軸的垂線交拋物線C于N點，求證：直線MN過定點．[解析](1)雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的焦點坐標(biāo)為(±4,0)，故拋物線的焦點F的坐標(biāo)為(4,0)．因此p＝8，故拋物線方程為y2＝16x，易知直線y＝x－4過拋物線的焦點．設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝x－4，))可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24．故|AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32．故選B．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1,y\o\al(2,2)＝4x2))，知kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝2，∴AB的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故選B．(3)①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px,y＝x－1))，消x可得y2－2py－2p＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，∴弦長為eq\r(1＋12)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(2)·eq\r(4p2＋8p)＝8，解得p＝2或p＝－4(舍去)，∴p＝2，②由①可得y2＝4x，設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y\o\al(2,0)，y0))，∴直線OM的方程y＝eq\f(4,y0)x，當(dāng)x＝－1時，∴yH＝－eq\f(4,y0)，代入拋物線方程y2＝4x，可得xN＝eq\f(4,y\o\al(2,0))，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y\o\al(2,0))，－\f(4,y0)))，∴直線MN的斜率k＝eq\f(y0＋\f(4,y0),\f(y\o\al(2,0),4)－\f(4,y\o\al(2,0)))＝eq\f(4y0,y\o\al(2,0)－4)，直線MN的方程為y－y0＝eq\f(4y0,y\o\al(2,0)－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)y\o\al(2,0)))，整理可得y＝eq\f(4y0,y\o\al(2,0)－4)(x－1)，故直線MN過點(1,0)．名師點撥(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程聯(lián)立，消元，用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點(設(shè)焦點在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率問題一般用“點差法”求解．〔變式訓(xùn)練4〕(1)(2021·甘肅診斷)直線l過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，且交拋物線于A，B兩點，交其準(zhǔn)線于C點，已知|AF|＝4，eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(BF,\s\up6(→))，則p＝(C)A．2 B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,3) D．4(2)(2021·安徽皖南八校模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F到直線x－y＋1＝0的距離為eq\r(2)．①求拋物線C的方程；②過點F的直線l與C交于A，B兩點，交y軸于點P．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3|eq\o(BP,\s\up6(→))|，求直線l的方程．[解析](1)過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于E，D兩點，設(shè)|BF|＝a，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，|BD|＝a，|AE|＝4，根據(jù)平行線段比例可知eq\f(|BD|,|AE|)＝eq\f(|CB|,|AC|)，即eq\f(a,4)＝eq\f(3a,3a＋a＋4)，解得a＝2，又eq\f(|BD|,|GF|)＝eq\f(|BC|,|CF|)，即eq\f(a,p)＝eq\f(3a,4a)，解得p＝eq\f(4,3)a＝eq\f(8,3)，故選C．(2)①由拋物線C：y2＝2px(p＞0)，可得焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因為焦點到x－y＋1＝0的距離為eq\r(2)，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋1)),\r(2))＝eq\r(2)，解得p＝2，所以拋物線C的方程y2＝4x．②由①知焦點F(1,0)，設(shè)直線l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，①x1x2＝1，②又由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3|eq\o(BP,\s\up6(→))|，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BP,\s\up6(→))，可得x1＝4x2，③由②③，可得x1＝2，x2＝eq\f(1,2)，代入①，可得2＋eq\f(4,k2)＝eq\f(5,2)，解得k＝±2eq\r(2)，所以直線l的方程為2eq\r(2)x－y－2eq\r(2)＝0或2eq\r(2)x＋y－2eq\r(2)＝0．名師講壇·素養(yǎng)提升巧解拋物線的切線問題例5(1)拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M．若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(D)A．eq\f(\r(3),16) B．eq\f(\r(3),8)C．eq\f(2\r(3),3) D．eq\f(4\r(3),3)(2)(2019·新課標(biāo)Ⅲ，節(jié)選)已知曲線C：y＝eq\f(x2,2)，D為直線y＝－eq\f(1,2)上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．證明：直線AB過定點．[解析](1)拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點坐標(biāo)為(2,0)，兩點連線的方程為y＝－eq\f(p,4)(x－2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,4)x－2，,y＝\f(1,2p)x2，))得2x2＋p2x－2p2＝0．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，易知在M點處切線的斜率存在，則在點M處切線的斜率為y′eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＝m＝