浙江省紹興市柯橋區(qū)2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題

2023學年第一學期期末教學質(zhì)量調(diào)測高二數(shù)學試題注意事項：1．本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題．2．答題前，請在答題卷的規(guī)定處用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫學校?班級?姓名和準考證號．3．試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，1.下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線方程化成斜截式得到直線斜率，由此確定直線的傾斜角是否符合.【詳解】對于A項，直線的斜率為2，故直線的傾斜角不是，故A項錯誤；對于B項，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故B項錯誤;對于C項，直線的斜率為1，故直線的傾斜角是，故C項正確；對于D項，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故D項錯誤.故選：C2.已知平面平面的法向量分別為，則實數(shù)（）A.3 B.3 C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】由平面互相垂直可知其對應的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】∵平面平面，∴平面的法向量也垂直，∴，即，解得：.故選：B.3.已知等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和為（）A.55 B.110 C.511 D.1023【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得公比，再利用等比數(shù)列前項和公式，即可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，前項和，則，故.故選：D.4.已知直線，圓，則直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】求出點到直線的距離即可求解.【詳解】因為圓，所以，半徑，因為點到直線的距離，所以直線與圓的位置關系是相離.故選：C.5.已知橢圓，過原點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題寫出直線的點斜式方程,與橢圓方程聯(lián)立，求出兩交點坐標，利用兩點距離公式計算即得.【詳解】依題意，可得直線的方程為：，代入中，整理解得：，當，；當時，，故有,則.故選：D.6.正方體中，分別是的中點，點是線段（含端點）上的動點，當由點運動到點時，三棱錐的體積（）A.先變大后變小 B.先變小后變大C.不變 D.無法判斷【答案】C【解析】【分析】，的面積不變，判斷點到平面的距離變化情況即可.【詳解】正方體中，，，四邊形為平行四邊形，有正方形中，分別是的中點，有，得，平面，平面，則平面，所以由點運動到點時，點到平面的距離保持不變，又三點為定點，的面積不變，所以三棱錐的體積不變，即三棱錐的體積不變.故選：C7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，，累加即可求得結果.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推公式，可得.故選：B.8.已知直線過點交拋物線于兩相異點，點關于軸的對稱點為，過原點作直線的垂線，垂足為，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得直線恒過的定點，結合圓的定義，即可容易求得結果.【詳解】設拋物線上兩點坐標為，若直線斜率存在，則，則直線方程為：，，又，故方程為：；若直線斜率不存在，則，此時直線方程為：，顯然也可表示這種情況；綜上所述：拋物線上兩點，若坐標分別為，則直線方程可表示為：.又過點，故；又，同理可得直線方程為：，也即，其恒過定點，記該點為；根據(jù)題意可得，，故點在以為直徑的圓上，且不與重合；容易得該圓圓心為，半徑，故點軌跡方程為：.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是能夠求得直線恒過的定點，本題采用表達直線方程，可簡化運算；屬綜合困難題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知曲線，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線是橢圓B.當或時，曲線是雙曲線C.若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D.若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則【答案】BC【解析】【分析】對的取值范圍進行分類討論，即可判斷和選擇.【詳解】對方程：若，表示焦點在軸上的橢圓，此時；若，表示圓，此時；若，表示焦點在軸上的橢圓，此時；若，表示焦點在軸上的雙曲線，此時；若，表示焦點在軸上的雙曲線，此時；根據(jù)上述討論，BC正確.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A. B.C.數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列 D.取得最大值時，【答案】BCD【解析】【分析】由已知條件求出等差數(shù)列的首項和公差，通過計算驗證各選項的結論即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，故A選項錯誤；，B選項正確；由，，等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，C選項正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，取得最大值時，，D選項正確.故選：BCD11.已知點，若過點的直線交圓于兩點，是圓上的動點，則（）A.的最大值為6 B.的最小值為4C.的最小值為1 D.的最大值為34【答案】ABD【解析】【分析】對于A，B，由圓的性質(zhì)可得當直線與垂直時，有最小值，當直線經(jīng)過圓心時，有最大值，求出即可判斷；設，從而可得，進而可求出其最小值和最大值可判斷C、D.【詳解】當直線與垂直時，圓心到直線的距離取最大值，此時的最小值為，當直線經(jīng)過圓心時，的最大值為6，故A，B正確；設，則，由，當時，，當時，，故C錯誤，D正確.故選：ABD12.在三棱錐中，分別是線段上的點，且滿足平面平面，則下列說法正確的是（）A.四邊形為矩形B.三棱錐的外接球的半徑為C.D.四邊形的面積最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由即可舉出反例；對于B，由補形法將其放入長方體中即可驗算；對于C，由截平行線段成比例即可驗算；對于D，由三角形面積公式結合基本不等式相關推論即可驗算.【詳解】對于A，平面,平面，又面，面面，所以，同理，而，所以與不垂直，從而與也不垂直，故A錯誤；對于B，把題設四棱錐放入長方體中，如圖所示，不妨設長方體的棱長分別為，且，三棱錐的外接球的半徑為，易知長方體的體對角線長度等于三棱錐的外接球的半徑的兩倍，所以，解得，故B正確；對于C，由A可知，且，所以由截平行線段成比例得，又，所以，故C正確；對于D，由A可知，所以，所以四邊形的面積，等號成立當且僅當，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：B選項的關鍵是把題設四棱錐放入長方體中，由此即可順利得解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，且，則__________．【答案】【解析】【分析】由向量平行，求得參數(shù)，再求的坐標以及模長即可.【詳解】，故可得，解得，故，則.故答案為：.14.拋物線的焦點為，準線為，點為拋物線上一點，滿足（為坐標原點），，垂足為，若，則__________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線定義，將已知條件轉(zhuǎn)化到中，求得，即的高，進而求得面積.【詳解】由已知，則軸，過作軸，垂足為，過作，垂足為，則，四邊形為平行四邊形，所以，且中以為底邊的高即為，在中，由拋物線的定義知，又，則，則.故答案為：.15.已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線分別交雙曲線的左，右兩支于兩點，若為正三角形，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】首先利用雙曲線的定義求出和，然后在中用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示：因為是正三角形，所以，，由雙曲線定義可知，即，再由可得在中，，即，整理得：，，所以故答案為：16.已知正項數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由的關系得，由等差數(shù)列求和公式結合對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，因為數(shù)列是正項數(shù)列，所以解得，當時，有，，兩式相減得，整理得，因為數(shù)列是正項數(shù)列，所以，即數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，，，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以當且僅當時，的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：關鍵是首先得出，，由此即可順利得解.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.如圖所示，在棱長均相等的平行六面體中分別為線段的中點．（1）設，請以向量表示；（2）求證：平面平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意直接分解向量即可.（2）由向量的數(shù)量積公式得，結合菱形性質(zhì)線面、面面垂直的判定定理即可得證.【小問1詳解】.【小問2詳解】∵∴，又∵，∴，即，∵底面菱形中，，且，平面.所以平面．又平面．∴平面平面．18.在數(shù)列中，已知，．（1）求證：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）通過湊配法證得是等比數(shù)列.（2）利用分組求和法求得.【小問1詳解】由，得，即，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得.所以.19.如圖，已知中，，是上一點，且，將沿翻折至，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用已知線面位置關系結合勾股定理，證明平面，可證；（2）以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】∵中，，由余弦定理，，而為三角形內(nèi)角，∴，，∵，，∴，即，又∵中，，，∴，平面，，∴平面，平面，∴.【小問2詳解】以為原點，分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：，，，，由正弦定理，，，平面，則點在平面內(nèi)，，，得，又，，∴，，設平面的法向量為，∴，∴，設，則，又∵，故直線與平面所成角的正弦值為20.已知雙曲線的焦距為，漸近線方程為：，雙曲線左，右兩個頂點分別為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線與雙曲線交于兩點．設的斜率分別為，若，求的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意，分別求出，即得雙曲線方程；（2）由題意，設出直線的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立消元得一元二次方程，求出的取值范圍，再將代入點的坐標進行等價轉(zhuǎn)化，得到，解此方程，并進行取舍即得直線的方程.【小問1詳解】雙曲線的焦距，；雙曲線的漸近線方程為，即，，又，，，雙曲線的標準方程為：．【小問2詳解】由（1）得：，，設，，如圖可知：直線的斜率一定存在，則可設，由得：，由解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，故，則直線的方程為：，即．21.已知等差數(shù)列的前項和為，滿足．（1）求的值；（2）設的前項和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列及其求和公式基本量的計算，依次得通項公式，代入求和公式即可得解；（2）由錯位相減法求和即可得證.【小問1詳解】∵，∴，得：，∴，∴，∴.【小問2詳解】由（1）得，①，②，①②得：，∴，.22.已知橢圓過點，且離心率．（1）求橢圓的標準方程；（2）圓的圓心為橢圓的右焦點，半徑為，過點的直線與橢圓及圓交于四點（如圖所示），若存在，求圓的半徑取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設條件列出關于的方程組，解