專題6.1數(shù)列的概念-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)寶典（新高考專用）

第六章數(shù)列專題6.1數(shù)列的概念了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式考點(diǎn)二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)知識(shí)梳理1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定次序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用an＝f(n)來表示，其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的關(guān)系式，則稱上述關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式遞推公式如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個(gè)公式來表示，則稱這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和一般地，給定數(shù)列{an}，稱Sn＝a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N+遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列數(shù)列{an}可以看成定義域?yàn)檎麛?shù)集的子集的函數(shù)，數(shù)列中的數(shù)就是自變量從小到大依次取正整數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．第一部分核心典例題型一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．9 C．11 D．25【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A．30 B．39 C．51 D．66【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，所以，所以.故選：C.3．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則（

）A．5 B．7 C．9 D．12【答案】A【詳解】由得，，所以．故選：A.4．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，由得，兩式相減可得，即．因?yàn)?，所以，，…，，可得，所?故選：C5．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，滿足，則（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有，即，故為常數(shù)列，因此，進(jìn)而．故選：C.題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式6．已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以，故選：B7．已知數(shù)列對(duì)任意滿足，則（

）A．4040 B．4043 C．4046 D．4049【答案】B【詳解】由可得；兩式相減可得；即相鄰的奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為4，所以可得，即；當(dāng)時(shí)，，因此.故選：B8．設(shè)數(shù)列滿足，且，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】因?yàn)?，即，則數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，所以，即，又因?yàn)?，即，則是單調(diào)遞減數(shù)列，且若，則，故的最小值為5.故選：D.9．已知數(shù)列滿足=，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）.A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?設(shè),可得,所以，即,所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以.故選:A.10．已知數(shù)列，，，若，則正整數(shù)的值為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】A【詳解】因?yàn)?，令，所以，所以，所以，所以?shù)列為首項(xiàng)是2，公差為2的等差數(shù)列，所以，，，所以，所以，所以，所以或，故選：A.題型三數(shù)列的性質(zhì)11．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，已知其為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以在恒成立，所以，即可.令，，則，由一次函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為,即.所以的取值范圍為.故選：B.12．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式．設(shè)為前項(xiàng)的和，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，，當(dāng)時(shí)，，因此，若，則的最小值為.故選：A.13．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（

）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【詳解】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．14．已知數(shù)列，若，，且（為正整數(shù)），則數(shù)列的第項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，又，，，，，.故選：D.15．已知數(shù)列滿足．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，，，，…故數(shù)列周期為4，則.故選：B第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．?dāng)?shù)列4，7，10，13，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由符號(hào)來看，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是，數(shù)值4，7，10，13，…滿足，所以通項(xiàng)公式可以是．故選：B．2．已知數(shù)列滿足，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以；所以的周期?，所以.故選：A.3．已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋?，解得，所以．故選：B.4．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，則.故選：A.5．圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，第五層有15個(gè)球，…，則該“三角垛”第十層的小球個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】C【詳解】設(shè)每一層的小球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，方法1：觀察歸納發(fā)現(xiàn)：，，，…，所以.方法2：，，，…，所以，，所以.故選：C.6．?dāng)?shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知?shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，則，且，所以.故選：C.7．《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，在這本書的第10卷中給出了“窮竭法”的基本命題.所謂“窮竭”指的是一個(gè)變量，它可以小于任意給定的量.根據(jù)窮竭法的基本命題，設(shè)數(shù)列滿足，，，…，，…，若，則m可能取到的最大值為（

）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，所以，，而，故可能大于1，所以m可能取到的最大值為7.故選：C8．圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為（

）A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【詳解】解：第一代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為2，第二代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為3，第三代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為4，…第n代“勾股數(shù)”中正方形的個(gè)數(shù)為，面積和為，故選：D二、多選題9．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由，，得，，故A正確；又，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故D正確．故選：ABD．10．已知數(shù)列滿足：（），且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】BC【詳解】因?yàn)椋?，是遞增數(shù)列，所以必有，即：，解得：.故選：BC.三、填空題11．記為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.【答案】30【詳解】因?yàn)?，，，所以，，由，可得，所以，所?故答案為：30.是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為.【答案】3【詳解】根據(jù)“等和數(shù)列”的定義可知，數(shù)列的規(guī)律為即奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為.所以的值為.故答案為：.四、解答題13．（1）求數(shù)列，，，…的前項(xiàng)的和；（2）求數(shù)列5，55，555，…的前項(xiàng)的和．【詳解】（1）易得數(shù)列的前項(xiàng)的和；（2）觀察可知數(shù)列5，55，555，…的通項(xiàng)為：，故其前項(xiàng)的和為：14．已知數(shù)列，，且滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，，則，依次類推得，所以數(shù)