高中數(shù)學湘教版2019選擇性必修第一冊課件第1章數(shù)列求和

培優(yōu)課數(shù)列求和第1章內容索引01重難探究?能力素養(yǎng)全提升02學以致用?隨堂檢測全達標課標要求1.掌握數(shù)列求和的方法;2.能夠根據(jù)給定的數(shù)列,選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠛?重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一公式法求和【例1】

(2022天津河東高二期末)已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn.(1)求{bn}的通項公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.分析

根據(jù)題意,判斷出數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,然后根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.規(guī)律方法

公式法求和主要是利用以下兩個基本公式:(1)等差數(shù)列的前n項和公式變式訓練1在等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項和為Sn,且a2a3=45,a1+a4=14.(1)求Sn;探究點二裂項相消法求和【例2】

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,2Sn=+an-2(n∈N+).(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)記,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.分析

(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2),即可證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)結合(1)中結論,利用裂項相消法即可求解.規(guī)律方法

裂項相消法求和裂項相消法求和的實質是將數(shù)列中的項分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的,其解題的關鍵就是準確裂項和消項.(1)裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項;前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.(3)常見的裂項方法

解

(1)因為Sn+1-Sn=an+1=an+2,所以an+1-an=2,即{an}是等差數(shù)列,且公差d=2.又a2+a4=2a1+4d=10,所以a1=1,所以an=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.探究點三分組求和法【例3】

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a8=1,S16=24.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若等比數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,且b1+b4=9,b2b3=8,求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+…+(a2n-1+b2n-1).分析

設數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)已知條件列關于a1和d的方程組,解方程組可得a1和d的值,即可得{an}的通項公式an;由等比數(shù)列的性質求得b1和b4的值,進而可得數(shù)列{bn}的公比和通項公式,最后分組求和.規(guī)律方法

分組求和法的解題策略當一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和,而這些項又構成等差數(shù)列或等比數(shù)列時,就可以用分組求和法,即原數(shù)列的前n項和等于拆分成的每個數(shù)列前n項和的和.變式訓練3在等差數(shù)列{an}中,a2+a6=-20,前10項和S10=-145.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{an+bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求{bn}的前8項和.

探究點四并項轉化法求和【例4】

已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項和Sn.分析

該數(shù)列中正負項交替出現(xiàn),且各項的絕對值構成等差數(shù)列,故可用并項轉化法求和.規(guī)律方法

并項轉化法求和的解題策略(1)一般地,當數(shù)列中的各項正負交替,且各項的絕對值成等差數(shù)列時,可以采用并項轉化法求和.(2)在利用并項轉化法求和時,因為數(shù)列的各項是正負交替的,所以一般需要對項數(shù)n進行分類討論,最終的結果往往可以用分段形式來表示.變式探究本例中,將條件改為“已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.探究點五分類討論法求解分段表示的數(shù)列的和分析

數(shù)列的通項公式為分段函數(shù)的形式,因此該數(shù)列的奇、偶項呈現(xiàn)不同的規(guī)律,奇數(shù)項是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項為首項為9,公比為9的等比數(shù)列,在求和時,應對奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和.規(guī)律方法

分段表示的數(shù)列的和的求法分段表示的數(shù)列求和的技巧性很強,一般是轉化為等差數(shù)列與等比數(shù)列求解.解題時需要對數(shù)列的項數(shù)進行分類討論.需要特別說明的是在分段表示的數(shù)列中,規(guī)律是隔項成等差數(shù)列或成等比數(shù)列,因此數(shù)列的公差或公比與平時的公差、公比有所不同,解題時要特別留意.變式訓練4已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=7a1,且a1,a2+2,a3成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;解

(1)設公比為q,因為S3=7a1,所以a1(1+q+q2)=7a1,又因為a1>0,所以1+q+q2=7,解得q=2或q=-3(舍).因為a1,a2+2,a3成等差數(shù)列,所以2(a2+2)=a1+a3,即2(2a1+2)=a1+4a1,解得a1=4.所以{an}的通項公式為an=4×2n-1=2n+1.學以致用?隨堂檢測全達標1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S27=(

)A.-13 B.13 C.14 D.-14答案

C解析

S27=1-2+3-4+5-6+…+25-26+27=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(25-26)+27=27-13=14.答案

B答案

C4.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項和S9等于

.

答案

27

5.(2022陜西西安閻良高二期末)在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=1,a