高等數(shù)學(xué)第十二章《微分方程》

第十二章微分方程一、內(nèi)容提要（一）主要定義【定義12.1】微分方程表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程,叫做微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的叫做偏微分方程.【定義12.2】微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱(chēng)為微分方程的階.一般形式為：.標(biāo)準(zhǔn)形式為：.【定義12.3】微分方程的解若將函數(shù)代入微分方程使其變成恒等式即或者則稱(chēng)為該方程的解.根據(jù)是顯函數(shù)還是隱函數(shù),分別稱(chēng)之為顯式解與隱式解.若解中含有任意常數(shù),當(dāng)獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)正好與方程的階數(shù)相等時(shí)該解叫做通解(或一般解)；不含有任意常數(shù)的解叫特解.【定義12.4】定解條件用來(lái)確定通解中任意常數(shù)的條件稱(chēng)為定解條件,最常見(jiàn)的定解條件是初始條件.（二）主要定理與公式1可分離變量的方程一般形式或.解法：先分離變量,再兩邊積分,可得通解.2.齊次方程一般形式解法(變量替換):令,，于是，原方程分離變量?jī)蛇叿e分積分后再用回代，便得通解.3.一階線(xiàn)性微分方程一般形式解法：常數(shù)變易法先解出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；作變換將換成，令代入方程，求出，即得通解為 .4.伯努利方程解法:變量替換法令,化為一階線(xiàn)性微分方程.*****************************************************5.全微分方程當(dāng)時(shí)，是全微分方程.即解法:(1)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分;(2)公式法;(3)湊微分法.通解為.當(dāng)時(shí)，不是全微分方程.方程兩邊乘上積分因子（）后所得的方程是全微分方程.經(jīng)常用到的微分倒推公式有6.可降階的高階微分方程1)型解法:對(duì)方程兩邊連續(xù)積分次,便可得到其含有個(gè)任意常數(shù)的通解.2)型(無(wú)項(xiàng))解法:令,,代入原方程,則有,設(shè)其解為,則,得通解.3)型（無(wú)項(xiàng)）解法:令,則,有——自變量為,函數(shù)為的微分方程.設(shè)其解為代回原變量,變量分離得通解.7.線(xiàn)性微分方程解的理論1)設(shè)是二階齊次線(xiàn)性方程的解,則也是它的解.2)二階齊次線(xiàn)性方程一定有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,且這兩個(gè)解的線(xiàn)性組合是該方程的通解.3)設(shè)為的解,為的解,則為的解.4)設(shè)為的一個(gè)特解,為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則為的通解.8.二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程1)二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程.特征方程的兩個(gè)根方程的通解形式兩個(gè)不等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根2）階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程特征方程的根微分方程通解中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)單實(shí)根單復(fù)根重實(shí)根一對(duì)重復(fù)根3)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的通解通解為.其中為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,為該方程的一個(gè)特解.4)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特解形式1°型特征方程方程的特解形式不是特征方程的特征根是特征方程的單根是特征方程的重根2°型(其中)特征方程的特解形式不是特征方程的特征根是特征方程的特征根二、典型題解析填空題【例12.1】是階微分方程.解微分方程的階是方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，所以此方程是三階的微分方程.【例12.2】微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解為.解分離變量，得.兩邊積分，得.通解為.將初始條件代入，得所求特解為.【例12.3】若是全微分方程，則函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足.解函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足時(shí)，是全微分方程.【例12.4】微分方程的通解為.解設(shè)，所以所求微分方程的通解為.【例12.5】與積分方程等價(jià)的微分方程初值問(wèn)題是.解方程兩邊求導(dǎo)得當(dāng)時(shí).所以等價(jià)的初值問(wèn)題是.【例12.6】已知是某二階非齊次線(xiàn)性微分方程的三個(gè)解，則該方程的通解為.解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，所以原方程的通解為.【例12.7】微分方程的通解為.解原方程相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程為.其特征方程為.特征根為.故齊次方程的通解為.因，不是特征根，從而設(shè)其特解為，把它代入原方程，得，由此原方程的通解為.選擇題【例12.8】微分方程的通解為[]（A）（B）（C）（D）解分離變量得到：，積分得：，這里常數(shù)必須滿(mǎn)足，于是可以將方程同解寫(xiě)為：.則應(yīng)選C.【例12.9】設(shè)非齊次線(xiàn)性微分方程有兩個(gè)不同的解為任意常數(shù)，則該方程通解是[]（A）（B）（C）（D）解是齊次的方程的解，是齊次方程的通解.非齊次方程的通解為齊次方程的通解加非齊次方程的特解，所以是非齊次方程的通解.則應(yīng)選B.【例12.10】若方程的一個(gè)特解為,則該方程滿(mǎn)足初值條件的特解為[]（A）（B）（C）（D）.解一階線(xiàn)性齊次方程的通解為,任意兩個(gè)解只差一個(gè)常數(shù)因子，所以A,B,C三項(xiàng)都不是該方程的解.故應(yīng)選D.【例12.11】設(shè)在連續(xù)且不恒等于零，和是微分方程的兩個(gè)不同特解，則下列結(jié)論中不成立的是[]（A）常數(shù)；（假設(shè)其中）；（B）構(gòu)成方程的解.（C）常數(shù)；（D）在任何一點(diǎn)不等于零.解因?yàn)?，在不恒等于零的條件下，非零常數(shù)不可能是微分方程的解，如果和是兩個(gè)不同的解，那么也是這個(gè)方程的解，從而不能等于非零的常數(shù),故應(yīng)選C.【例12.12】微分方程的通解是[]（A）（B）（C）（D）.解直接看出是方程的一個(gè)特解，是相應(yīng)的齊次方程的通解,應(yīng)選A.【例12.13】微分方程的一個(gè)特解是[]（A）（B）（C）（D）.解微分方程的特解等于下列兩個(gè)微分方程,的特解之和.非齊次微分方程具有形如的特解；非齊次方程具有形如的特解，因此，非齊次微分方程具有形如的特解，于是應(yīng)當(dāng)選B.【例12.14】設(shè)是三階齊次線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的兩個(gè)解，則的值分別為[]（A）（B）（C）（D）.解該微分方程的特征方程為.由于該微分方程有特解，說(shuō)明是該方程的一個(gè)特征根；又由于該微分方程有特解，說(shuō)明是該方程的一個(gè)特征根，而且是重根.于是特征方程有一個(gè)單根和一個(gè)二重根，由此得到，從而選擇B.（三）非客觀題1.可分離變量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解.（1）.（2）.(3).解（1）將變量分離,,兩邊積分,得，解出.記則.（2）將右端分解因式，得，，分離變量，有.積分得即通解為.（3）直接可以看出,是方程的一個(gè)特解.當(dāng)時(shí),可以將方程寫(xiě)成,兩端積分得到.兩端取指數(shù)得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.記,上兩式又可寫(xiě)作.由于是方程的一個(gè)解,故上式中常數(shù)也可以為零,于是方程通解為.將代入通解得到,所求解為.【注】在(1)解題過(guò)程中，把任意常數(shù)改寫(xiě)為.適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行改寫(xiě)，使解的形式更為簡(jiǎn)便.2.可化為可分離變量的方程【例12.16】求滿(mǎn)足方程且過(guò)點(diǎn)的積分曲線(xiàn).解不能直接分離變量，令,則.原方程化為,即.積分得回代得方程的通解再代入.故所求積分曲線(xiàn)為【例12.17】求方程的通解.解不能直接分離變量，令，則,且,代入原方程，得分離變量，得，即.積分，得，將回代，即得通解.3.齊次方程或可化為齊次方程的微分方程【例12.18】求的通解.解方程變形為,此方程為齊次方程,令,方程化為,整理且分離變量得.積分得.即,,通解為.【例12.19】求的解.解此方程為可化為齊次的微分方程.因?yàn)?故作變換,則原方程化為.當(dāng),分離變量,得該方程的通解為(為任意常數(shù)).將代入上式得原方程的通解為(為任意常數(shù))另外,即是方程的特解.故原方程由特解為.【例12.20】求的解.解此方程為可化為齊次的微分方程，一般形式為.因?yàn)?作變換,則,代入原方程得,,解方程組得.令,原方程化為,令，則分離變量,得,原方程的通解為.4.一階線(xiàn)性微分方程【例12.21】解下列方程（1）.（2）.（3）（4）.解（1）（解法一）公式法在方程中，方程的通解為.（解法二）常數(shù)變易法對(duì)應(yīng)的齊次方程，得通解.令，并代入原方程得，,代入得原方程的通解為.（2）將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,這里，所以方程的通解為.即原方程的通解為.（3）將看作自變量,將看作的未知函數(shù),方程改寫(xiě)成，這是一階線(xiàn)性方程.對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是,然后用常數(shù)變異法得原方程的通解.（4）將看作自變量,將看作的未知函數(shù),方程變形為這是一階非齊次線(xiàn)性方程,它的通解是分部積分求出原方程的解為.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）；（2）.解（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形式，此方程是伯努利方程.兩邊除以，得.令，則方程變?yōu)?，這是一階線(xiàn)性微分方程.解得還原得原方程的通解.（2）方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，此方程是伯努利方程.以乘兩端，得.令，得，這是一階線(xiàn)性微分方程，解得.將代回，得原方程的通解為.********************************************************************6.全微分方程與可化為全微分方程的方程【例12.23】求下列方程的通解.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）解（1）方法一設(shè),因?yàn)樵谌矫孢B續(xù)可微,且,知原方程為全微分方程.由公式，得所以此方程的通解是.方法二設(shè),因?yàn)樵谌矫孢B續(xù)可微,且,知原方程為全微分方程.用不定積分求解.因?yàn)閷?duì)上式兩邊對(duì)積分，得.又因?yàn)?故從而所以此方程的通解是.（2）設(shè)所以此方程為全微分方程.方法一（用公式計(jì)算）設(shè)此方程的通解為,在平面上取一確定點(diǎn),則.因此方程的通解為.方法二（用分項(xiàng)組合法求解）將方程各項(xiàng)重新組合為,積分，得，故通解為.（3）在方程中，設(shè)，易知，此方程為全微分方程.現(xiàn)將方程寫(xiě)成，或.積分得通解或.（4）設(shè),因?yàn)?所以此方程不是全微分方程.原方程改寫(xiě)為(1),取為積分因子.方程(1)兩端同乘以,原方程變?yōu)榧?積分，得原方程的通解為.（5）本題不是全微分方程.需要尋找積分因子使其化為全微分方程,對(duì)于微分形式,乘以函數(shù)中的每一個(gè)都可成為一個(gè)全微分方程,如果同時(shí)使后面一項(xiàng)也成為全微分,可取積分因子,將原方程變成全微分方程,積分得到原方程通解7.可降階的高階微分方程（1）型【例12.24】求微分方程的通解.解兩邊積分，得兩邊再積分，得兩邊再積分，得通解（2）型【例12.25】解初值問(wèn)題.解令,,代入方程,則原方程化為,這是可分離變量方程,解出,于是原方程的通解為,由初值條件得到,再由初值條件又得到,于是.所求特解為.在解可降階的二階微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，一出現(xiàn)任意常數(shù)，就應(yīng)及時(shí)利用初值條件確定它，這樣可以簡(jiǎn)化后面的求解過(guò)程.（3）型【例12.26】求微分方程的通解.解令則,代入原方程，得是一階線(xiàn)性齊次微分方程.分離變量,積分得即,分離變量?jī)啥朔e分，得,化簡(jiǎn)得通解.8.二階和高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程【例12.27】設(shè)為實(shí)數(shù),求方程的通解.解此方程為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程.其特征方程為,可以分三種情況討論:(1),此時(shí)特征方程有一對(duì)復(fù)根,因此方程的通解為(2),此時(shí)特征方程有兩個(gè)相等的重根,于是方程的通解為.(3),此時(shí)特征方程有兩個(gè)單實(shí)根,于是方程的通解為,.【例12.28】求方程的通解.解這是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，且函數(shù)是型（其中）.與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為,它的特征方程為.有兩個(gè)實(shí)根,于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為.因?yàn)槭翘卣鞣匠痰囊粋€(gè)單根,所以應(yīng)設(shè)特解為.把它代入所給方程，得.比較兩端的同次冪的系數(shù),得,解此方程組，得.于是求得一個(gè)特解為.從而所求的通解為.【例12.29】求方程滿(mǎn)足初始條件的特解.解這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，且函數(shù)是型（其中）.與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為對(duì)應(yīng)齊次方程為.它的特征方程有兩個(gè)重根，于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為.由于是特征方程的重根,所以應(yīng)設(shè)方程的一個(gè)特解為.把它代入方程，比較等式兩端同次冪的系數(shù),得,因此求得一個(gè)特解為從而原方程的通解為.代入初始條件，得.原方程所求的特解為.【例12.30】求微分方程的通解.解這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，非齊次項(xiàng)為兩項(xiàng)之和.根據(jù)定理，它的特解是下面兩個(gè)方程的特解之和.（1）（2）所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程它的特征方程,特征根為,于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為:.設(shè)方程的特解,因?yàn)椴皇翘卣鞲栽摲匠叹哂行稳绲奶亟?，將其代入方程，比較等式兩端同次冪的系數(shù),得所以方程（1）的特解為設(shè)方程的特解為,因?yàn)槭翘卣鞲?所以該方程具有形如的特解,將其代入方程比較等式兩端同次冪的系數(shù),得所以方程（2）的特解為.從而原方程的通解為.【例12.31】求三階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的通解.解這是一個(gè)三階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，且函數(shù)是型（其中）.所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為.它的特征方程為特征根為，所以對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性微分方程的通解為.因?yàn)槭欠匠痰奶卣鞲?，所以其特解設(shè)為，代入方程，解得于是因此方程的通解為.9.微分方程的應(yīng)用【例12.32】設(shè)曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若求曲線(xiàn)的方程.解（1）列方程設(shè)曲線(xiàn)的方程為，則曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.故.由，有即（2）初值問(wèn)題由題意，曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，得初值問(wèn)題（1）（3）解方程方程（1）為齊次微分方程，令，（1）可化為變量分離的方程，解得代回，得通解由初值條件，得故所求曲線(xiàn)的方程為【例12.33】某湖泊的水量為,每年排入湖泊內(nèi)的含污染物的污水量為,流入湖泊內(nèi)不含污染物的水量為,流出湖泊的水量為,已知1999年底湖中的含量為,超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo)。為了治理污染,從2000年初起,限定排入湖中含的污水濃度不超過(guò),問(wèn)至多需要經(jīng)過(guò)多少年,湖泊中污染物的含量降至以?xún)?nèi)?(注:設(shè)湖水中的濃度是均勻的).解設(shè)從2000年初起(令時(shí))開(kāi)始,第年湖中污染物的總量,濃度為,這在時(shí)間間隔內(nèi)，排入湖中的量為，流出湖中污染物的量為.因此在時(shí)間間隔內(nèi)湖中污染物的改變量等于,用分離變量法解此方程得代入初始條于是,令,得即至多經(jīng)過(guò)年,湖泊中污染物的含量降至以?xún)?nèi).【例12.34】質(zhì)量為的物體在某介質(zhì)中由靜止下落，所受介質(zhì)的阻力與速度成正比，比例系數(shù)求物體的速度并證明當(dāng)比較大時(shí)，速度近似為常數(shù).解由牛頓第二定律的初值問(wèn)題為,分離變量可得積分，求得通解為代入初值條件，定出于是速度函數(shù)由于故當(dāng)比較大時(shí)，速度接近于常數(shù).（四）綜合題與雜例【例12.35】設(shè)函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),,并且使曲線(xiàn)積分在右半平面與路經(jīng)無(wú)關(guān),試求.解設(shè),由積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)得,,即或者.這是一個(gè)一階非齊次線(xiàn)性微分方程,通解為.利用初值條件,解出,于是所求特解為.【例12.36】求微分方程的解.解令，方程化為，分離變量并積分，得再積分，得，對(duì)上式積分，得.【例12.37】驗(yàn)證是二階微分方程的兩個(gè)特解，問(wèn)由的線(xiàn)性組合能否構(gòu)成該方程的通解.解不能!雖然兩個(gè)解線(xiàn)性無(wú)關(guān),但是由于這個(gè)方程不是線(xiàn)性方程,所以的線(xiàn)性組合不能構(gòu)成該方程的通解.【例12.38】設(shè)是某二階線(xiàn)性非齊次微分方程的三個(gè)解,求此微分方程.解由題目所給的非齊次微分方程的三個(gè)解可以求出對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的兩個(gè)解.于是特征方程兩個(gè)根為由此確定.于是所求微分方程為,將非齊次微分方程的解代入方程(用代入亦可)，得.所以所求微分方程為.【例12.39】求方程的通解.解令,則于是原方程化為.此方程的通解為所以原方程通解為.【例12.40】設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),并滿(mǎn)足方程,求.解方程兩端求導(dǎo)，得(1)對(duì)（1）求導(dǎo)，得(2)由(1)式得,代入(2)式，得.顯然.又在(1)式中令,得到.于是原方程化為二階微分方程的初值問(wèn)題.方程的通解為.由，可以得到.兩端求導(dǎo)得.再由可以得到.于是.【例12.41】設(shè)全微分方程,其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，求及全微分方程的通解.解設(shè).由題意可知,即(*)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,用待定系數(shù)法求得非齊次方程的一個(gè)特解,因此方程(*)的通解為.由初始條件可以得到于是原方程為.全微分方程為.其通解是.三、綜合測(cè)試題綜合測(cè)試題A卷一、填空題（每小題4分，共20分）方程的通解是方程的通解是以為特解的二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程為已知方程的積分曲線(xiàn)在點(diǎn)處與直線(xiàn)相切，則該積分曲線(xiàn)的方程為方程的一個(gè)只含有的積分因子為二、選擇題（每小題4分，共20分）1、若是方程的兩個(gè)特解，要使也是解，則與應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系是[]（A）（B）（C）（D）.2、下列方程中為全微分方程的是[]（A）；（B）；（C）；（D）.3、設(shè)為實(shí)常數(shù)，方程的通解是[]（A）（B）（C）（D）.4、方程的特解形式為[]（A）（B）（C）（D）5、已知，則函數(shù)的表達(dá)式為[]（A）（B）（C）（D）.三、解答題（共60分）1、（8分）求方程的通解.2、（6分）求方程的通解.3、（8分）求微分方程的通解.4、（10分）求解.5、（6分）求方程的通解.6、（10分）求方程的通解.7、（12分）求滿(mǎn)足條件且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，使方程是全微分方程.并求出全微分方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一條積分曲線(xiàn).綜合測(cè)試題A卷答案一、填空題1..2..3.4..5.二、選擇題1、B2、C3、D4、B5、D三、解答題1、解：令，則，代入原方程得即，兩邊積分得，代回原方程，得通解.2、解：方程改寫(xiě)為，則通解為3、解：設(shè)有，則原方程為全微分方程，于是故原方程的通解為4、解：此方程不含，令，則，原方程化為此方程為伯努利方程，令，上述方程化為則，即，由初始條件得，于是，方程化為，或,由初始條件應(yīng)取，即，積分得，再由初始條件得，所以原方程的特解為或.5、解：特征方程為，特征根為,方程的通解為.6、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為,特征根為，齊次方程的通解為.因是特征方程的單根，所以非齊次方程的特解形式為,代入原方程，比較系數(shù)得，于是得到一個(gè)特解,所求方程的通解為.7、解：由全微分方程的條件知：，即，對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為.齊次方程的通解為.因?yàn)椴皇翘卣鞲?，則方程的特解形式為，代入方程解得，故，方程的通解為，代入初始條件，得，因此，所求函數(shù)為,將其代入原方程中，得全微分方程再求其滿(mǎn)足的積分曲線(xiàn)。因方程為全微分方程，其通解為由條件得，故所求積分曲線(xiàn)為.綜合測(cè)試題B卷一、填空題（每小題5分，共25分）1、微分方程的通解是.2