高數(shù)答案下習(xí)題冊(cè)答案-第六版-下冊(cè)-同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系-編

高數(shù)答案下習(xí)題冊(cè)答案第六版下冊(cè)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編高數(shù)答案下習(xí)題冊(cè)答案第六版下冊(cè)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編/高數(shù)答案下習(xí)題冊(cè)答案第六版下冊(cè)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編第八章多元函數(shù)的微分法與其應(yīng)用§1多元函數(shù)概念一、設(shè).二、求下列函數(shù)的定義域：1、2、三、求下列極限：1、（0）2、()四、證明極限不存在.證明：當(dāng)沿著x軸趨于（0，0）時(shí)，極限為零，當(dāng)沿著趨于（0，0）時(shí)，極限為,二者不相等，所以極限不存在五、證明函數(shù)在整個(gè)xoy面上連續(xù)。證明：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，0）也連續(xù)。所以函數(shù)在整個(gè)xoy面上連續(xù)。六、設(shè)且當(dāng)y=0時(shí)，求f(x)與z的表達(dá)式.解：f(x)=，z§2偏導(dǎo)數(shù)1、設(shè)z=,驗(yàn)證證明：，2、求空間曲線在點(diǎn)（）處切線與y軸正向夾角()3、設(shè),求(1)4、設(shè),求，，解：，5、設(shè)，證明:6、判斷下面的函數(shù)在(0,0)處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說明理由連續(xù)；不存在，7、設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求（2fx(a,b)）§3全微分1、單選題（1）二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)是它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在的__________(A)必要條件而非充分條件（B）充分條件而非必要條件（C）充分必要條件（D）既非充分又非必要條件（2）對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)，下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是___(A)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在（B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在（C）全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)（D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2、求下列函數(shù)的全微分：1）2）解：3）解：3、設(shè)，求解：=4、設(shè)求：5、討論函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、可微性解：所以在（0，0）點(diǎn)處連續(xù)。，所以可微?！?多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)，求解：=設(shè)，求設(shè)，可微，證明設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，，解：,,=,設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解：，設(shè)，，，求解：。7、設(shè)，且變換可把方程=0化為，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù)的值證明：得：a=38、設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，f(1,1)=1,,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)§5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)，求解：令，設(shè)由方程確定，其中可微，證明設(shè)由方程所確定，其中可微，求設(shè)，求，(，)設(shè)由方程所確定，可微，求解：令，則6、設(shè)由方程所確定，求()7、設(shè)z=z(x,y)由方程所確定，求,,,§6微分法在幾何中的應(yīng)用求螺旋線在對(duì)應(yīng)于處的切線與法平面方程解：切線方程為法平面方程求曲線在（3，4，5）處的切線與法平面方程解：切線方程為，法平面方程： 求曲面在（1，-1，2）處的切平面與法線方程解：切平面方程為與法線方程設(shè)可微，證明由方程所確定的曲面在任一點(diǎn)處的切平面與一定向量平行證明：令，則，所以在（）處的切平面與定向量（）平行。證明曲面）上任意一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明：令，則在任一點(diǎn)處的切平面方程為在在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)7、設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t,總有k為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點(diǎn)的切平面都相交于一定點(diǎn)證明：兩邊對(duì)t求導(dǎo)，并令t=1設(shè)是曲面上任意一點(diǎn)，則過這點(diǎn)的切平面為：++=0此平面過原點(diǎn)（0，0，0）§7方向?qū)?shù)與梯度設(shè)函數(shù)，1）求該函數(shù)在點(diǎn)（1，3）處的梯度。2）在點(diǎn)（1，3）處沿著方向的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向解：梯度為,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向?yàn)?，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值的方向?yàn)椤Ｇ蠛瘮?shù)在（1，2，-1）處沿方向角為的方向?qū)?shù)，并求在該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向與最大方向?qū)?shù)的值。解：：方向?qū)?shù)為，該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向，此時(shí)最大值為求函數(shù)在（1，1，-1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。解：：，，該函數(shù)在點(diǎn)（1，1，-1）處的方向?qū)?shù)為，4、求函數(shù)在（1，1，-1）處的梯度。解：：，§8多元函數(shù)的極值與求法1、求函數(shù)的極值。答案：（，）極小值點(diǎn)2．求函數(shù)的極值答案：極小值3.函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處取得極值，求常數(shù)a(-5)求函數(shù)在條件下的條件極值解：，極小值為欲造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，已知底部造價(jià)為3元/平方，側(cè)面造價(jià)均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個(gè)容積最大的容器，求它的尺寸。（長(zhǎng)和寬2米，高3米）在球面（）上求一點(diǎn)，使函數(shù)達(dá)到極大值，并求此時(shí)的極大值。利用此極大值證明有證明：令令，解得駐點(diǎn)。所以函數(shù)在處達(dá)到極大值。極大值為。即，令得。7、求橢球面被平面x+y+z=0截得的橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的長(zhǎng)度解：，，長(zhǎng)半軸，短半軸第八章自測(cè)題一、選擇題：（每題2分，共14分）1、設(shè)有二元函數(shù)則[]A、存在；B、不存在；C、存在，且在(0,0)處不連續(xù)；D、存在，且在(0,0)處連續(xù)。2、函數(shù)在各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是在連續(xù)的[]A、必要條件；B、充分條件；C、充要條件；D、既非必要也非充分條件。3、函數(shù)在(0,0)點(diǎn)處[]A、極限值為1；B、極限值為-1；C、連續(xù)；D、無極限。4、在處，存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的[]（A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件；（D）既非必要亦非充分條件。5、點(diǎn)是函數(shù)的[]（A）極小值點(diǎn)；（B）駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；（C）極大值點(diǎn)；（D）最大值點(diǎn)。6、曲面在點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程是[]（A）；（B）；（C）；（D）7、(A);(B);(C);(D)二、填空題：（每題３分，共18分）1、（0）２、設(shè)，則（）３、設(shè)則(0)４、設(shè)，則在點(diǎn)處的全微分.５、曲線在點(diǎn)處的切線方程為()６、曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程為()三、計(jì)算題（每題6分）1、設(shè)，求的一階偏導(dǎo)數(shù)，。2、設(shè)，求此函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。并求該函數(shù)在該點(diǎn)處沿著從P到方向的方向?qū)?shù)(，)３、設(shè)具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：４、設(shè)求和。不存在，故不存在，同理，也不存在。當(dāng)時(shí)，有５、設(shè)由方程所確定，求()６、設(shè)，具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，求７、設(shè)確定函數(shù)，求。８、設(shè)，式中二階可導(dǎo)，求解：記，則，類似地，有四、（１０分）試分解正數(shù)為三個(gè)正數(shù)之和，而使它們的倒數(shù)和為最小。設(shè)三個(gè)正數(shù)為，則，記，令則由解出。五、證明題：（１０分）試證：曲面上任一點(diǎn)處的切平面都平行于一條直線，式中連續(xù)可導(dǎo)。證明：曲面在任一點(diǎn)處的切平面的法向量為定直線L的方向向量若為，則，即則曲面上任一點(diǎn)的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。重積分§1二重積分的概念與性質(zhì)由二重積分的幾何意義求二重積分的值其中D為：(=)設(shè)D為圓域若積分=，求a的值。解：=設(shè)D由圓求解：由于D的面積為,故=4、設(shè)D：，，比較,與的大小關(guān)系解：在D上，,故5、設(shè)f(t)連續(xù)，則由平面z=0，柱面和曲面所圍的立體的體積，可用二重積分表示為6、根據(jù)二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值()7、設(shè)f(x,y)為有界閉區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，求解：利用積分中值定理與連續(xù)性有§2二重積分的計(jì)算法1、設(shè)，其中D是由拋物線與直線y=2x，x=0所圍成的區(qū)域，則I=（）A：B：C：D：2、設(shè)D是由不等式所確定的有界區(qū)域，則二重積分為（）A：0B：C：D：13、設(shè)D是由曲線xy=1與直線x=1,x=2與y=2所圍成的區(qū)域，則二重積分為（）A：B：C：D：4、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分為（）ABCD5、設(shè)有界閉域D1、D2關(guān)于oy軸對(duì)稱，f是域D=D1+D2上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分為（）ABCD6、設(shè)D1是由ox軸、oy軸與直線x+y=1所圍成的有界閉域，f是域D:|x|+|y|≤1上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分為（）ABCD7、.設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則為()ABCD8、求，其中由x=2,y=x,xy=1所圍成.()9、設(shè)I=,交換積分次序后I為：I==10、改變二次積分的次序：=11、設(shè)D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},求的值解：=12設(shè)I=,其中D是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域，求I()13、計(jì)算二重積分，其中D是圓域解：=14、計(jì)算二重積分，其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}解：=15、計(jì)算二重積分，D：解：=§3三重積分1、設(shè)是由x=0，y=0，z=0與x+2y+z=1所圍成的空間有界域，則為()ABCD2、設(shè)是由曲面x2+y2=2z,與z=2所圍成的空間有界域，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分表示為累次積分，I=（）ABCD3、設(shè)是由所確定的有界閉域，求三重積分解：==24、設(shè)是由曲面z=xy,y=x,x=1與z=0所圍成的空間區(qū)域，求(1/364)5、設(shè)是球域：，求(0)6、計(jì)算其中為：平面z=2與曲面所圍成的區(qū)域()7、計(jì)算其中是由平面z=0,z=y,y=1以與y=x2所圍成的閉區(qū)域(2/27))8、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,求解：=§4重積分的應(yīng)用1、(1)、由面積=2x,=4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積為（）ABCD(2)、位于兩圓與之間，質(zhì)量分布均勻的薄板重心坐標(biāo)是()A(0,)B(0,)C(0,)D(0,)(3)、由拋物面和平面x=2所圍成的質(zhì)量分布均勻的物體的重心坐標(biāo)是（）A()B()C()D()(4)、質(zhì)量分布均勻(密度為)的立方體所占有空間區(qū)域:,該立方體到oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IZ=()ABCD2、求均勻上半球體(半徑為R)的質(zhì)心解：顯然質(zhì)心在z軸上，故x=y=0,z=故質(zhì)心為(0,0,)4、曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記這三部分曲面的面積為s1,s2,s3,求s1:s2:s3解：5、求曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積解：6、求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立體的體積解：第九章自測(cè)題一、選擇題:（40分）1、=()ABCD.2、設(shè)為,當(dāng)()時(shí),.A1BCD3、設(shè),其中由所圍成,則=(B).AB;CD.4、設(shè)是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面=1所圍成的空間區(qū)域,則=().ABCD.5、設(shè)是錐面與平面所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的部分,則=().ABCD.6、計(jì)算,圍成的立體,則正確的為()和（）ABCD.7、曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積()ABCD.8、由直線所圍成的質(zhì)量分布均勻(設(shè)面密度為)的平面薄板,關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=().ABCD二、計(jì)算下列二重積分:（20分）1、,其中是閉區(qū)域:()2、,其中是由直線與圓周,所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.()3、,其中是閉區(qū)域:()4、,其中:.()三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序:（15分）1、()2、()3、()四、計(jì)算下列三重積分:（15分）1、:拋物柱面所圍成的區(qū)域()2、其中是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面所圍()五、（5分）求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積.()六、（5分）設(shè)在上連續(xù),試證:==第十章曲線積分與曲面積分§1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)，A.0B.C.D.ABC都不對(duì)2、設(shè)是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形邊界,則=A.4B.2C.D.3、有物質(zhì)沿曲線：分布，其線密度為，則它的質(zhì)量A.B.C.D.4．求其中L為由所圍區(qū)域的整個(gè)邊界解：5．其中L為雙紐線解：原積分=6．其中L為原積分=7．其中L為球面與平面的交線解：將代入方程得于是L的參數(shù)方程：，又原積分=8、求均勻弧的重心坐標(biāo)，，§2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題1.設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)，A.0B.C.D.ABC都不對(duì)2．設(shè)為的正向，則A.0B.4C.2D.-23．為的正向，A.2B.-2C.0D.二、計(jì)算1．，其中由曲線從到方向解：2．其中是正向圓周曲線解：由奇偶對(duì)稱性，：3．其中為從點(diǎn)到的有向線段解：方程：，三、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。最小，此時(shí)四、空間每一點(diǎn)處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周從點(diǎn)到時(shí)，力所作的功解：由已知五、將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,其中L沿上半圓周解：，于是§3格林公式與其應(yīng)用一、選擇題1.若是上半橢圓取順時(shí)針方向,則=A.0B.C..D2.設(shè)為的正向，則A．2B.-2C.0D.3.設(shè)為曲線的正向，則A．9B.-18C.-9D.0二、計(jì)算題1.設(shè)是圓取逆時(shí)針方向，則解：將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得2．其中為點(diǎn)到的拋物線的弧段解：因故積分與路徑無關(guān)，取3．求，為(1)(2)正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0(2)設(shè)為圓周：取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程原積分為所以4、驗(yàn)證在面上是某函數(shù)的全微分，求出解：，，5、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，計(jì)算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或§4對(duì)面積的曲面積分1、計(jì)算曲面積分，其中是平面在第一卦限的部分解：2、求曲面積分，其中是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面解：=23、求曲面積分，其中是錐面被柱面所截得的有限部分解：==§5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、選擇題1.設(shè)關(guān)于面對(duì)稱反向，是在面的前側(cè)部分，若關(guān)于為偶函數(shù)，則（） A.0B.C.D.ABC都不對(duì)2.設(shè)取上側(cè),則下述積分不等于零的是（）ABCD3.設(shè)為球面取外側(cè),為其上半球面,則有（）A.B.C.D.0二、計(jì)算1．其中由與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成閉曲面的外側(cè)2．其中為錐面被平面所截部分的外側(cè)3.其中為被平面所截部分，其法向量與z軸成銳角三、用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算求其中是柱面在部分，是的外法線的方向余弦2．其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè)=四、試求向量穿過由與與所圍成圓臺(tái)外側(cè)面（不含上下底）的流量§6高斯公式1.設(shè)是拋物面介于與之間部分的下側(cè)，求2．設(shè)為取外側(cè),求3.設(shè)為平面在第一卦限部分的上側(cè)，則=4.求矢量場(chǎng)穿過曲面所圍成的閉曲面外側(cè)的通量5.求，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是所圍立體的外側(cè)6.求，其中是與所圍曲面的外側(cè)7.，其中為取外側(cè)§7斯托克斯公式1、設(shè)為依參數(shù)增大方向的橢圓：，求（0）2．設(shè)為平面與坐標(biāo)面交線，從z軸看去為逆時(shí)針方向，求（2）3.設(shè)為圓周若從軸正向看依逆時(shí)針方向，則（）4、其中為圓周若從軸正向看依逆時(shí)針方向。5．,其中為曲線從軸正向看依逆時(shí)針方向。6．,其中為橢圓若從x軸正向看，此橢圓依逆時(shí)針方向。第十章自測(cè)題一、填空（每題4分，共20分）1、設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分（）2、設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)為,則(12)3、設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）4、設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則5、設(shè)為球面外側(cè)，則曲面積分（0）二、選擇題（每題5分，共15分）1、設(shè)是在第一卦限部分.則有A．B.C.D.2、設(shè)取上側(cè)，則下述積分不正確的是A．B.C.D.3、設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)沿折線、y=1-|x-1|至點(diǎn)A(2,0)的折線段，則曲線積分為（）A0B-1C2D–2三、計(jì)算（每題8分）1．計(jì)算曲面積分，其中為錐面在柱體內(nèi)的部分2、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。最小，此時(shí)3、計(jì)算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時(shí)針方向）解：設(shè)為圓周：取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程原積分為4、計(jì)算其中L是平面與柱面的交線，從z軸正向看上去為逆時(shí)針方向.（-24）5．計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè)。（-）6．計(jì)算曲面積分其中S是由曲面與兩平面圍成立體表面的外側(cè)（）7．設(shè)S是橢球面的上半部分，點(diǎn),為S在點(diǎn)P處切平面,為點(diǎn)到切平面的距離,求（）四、（9分）在變力作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面第一卦限的點(diǎn)，問取何值時(shí)，力所作的功最大？求出的最大值。（第十一章無窮級(jí)數(shù)§1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1、設(shè)級(jí)數(shù)，則其和為（）A BCD2、若，則級(jí)數(shù)（）A收斂且和為0B收斂但和不一定為0C發(fā)散D可能收斂也可能發(fā)散3、若級(jí)數(shù)收斂于S，則級(jí)數(shù)（）A收斂于2SB收斂于2S+C收斂于2S-D發(fā)散4、若，,求的值解：所以5、若級(jí)數(shù)收斂，問數(shù)列{}是否有界解：由于，故收斂數(shù)列必有界。6、若，求級(jí)數(shù)的值解：故7、求的值解：故=8、求的和(§2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性判定級(jí)數(shù)的斂散性解：由于<,而收斂，故收斂判定斂散性解：=故>,而級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散判定斂散性收斂;1,發(fā)散判定斂散性(收斂);二、用比值或根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性判定級(jí)數(shù)的斂散性解：>1,所以發(fā)散判定級(jí)數(shù)的斂散性解：，所以收斂7、收斂8、，收斂三、判別下列級(jí)數(shù)是否收斂。如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？（絕對(duì)收斂）10、（條件收斂）四、判定是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂解：||，用比值判別法知,所以絕對(duì)收斂§3冪級(jí)數(shù)1、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=3處收斂，則該級(jí)數(shù)在x=-1點(diǎn)處（）A絕對(duì)收斂B條件收斂C發(fā)散D可能收斂也可能發(fā)散2、級(jí)數(shù)的收斂域（0，4]3、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（）4、若級(jí)數(shù)在x=-2處收斂，則此級(jí)數(shù)在x=5處是否收斂，若收斂，是否絕對(duì)收斂（絕對(duì)收斂）5、求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：首先判斷其收斂區(qū)間為（-7，-3），當(dāng)x=-7、-3時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?7，-3）6、求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：首先求得收斂區(qū)間為（-3，3），而級(jí)數(shù)在x=-3處發(fā)散，在x=3處收斂，所以收斂域?yàn)椋?3，3]7、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（-1<x<1）8、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：=（-1<x<-1）§4函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)解：f(x)=由展開式可得f(x)=x將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)解：而=x兩邊積分得x3、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)解：f(x)=4、將函數(shù)f(x)=展開成x-5的冪級(jí)數(shù)解：f(x)==x5、解：=x§5函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用計(jì)算ln2的進(jìn)似值（要求誤差不超過0.0001）解：在lnx的冪級(jí)數(shù)展開式中令x=2ln2=1-考慮誤差范圍可求得ln2計(jì)算定積分的進(jìn)似值（要求誤差不超過0.0001）解：==再考慮誤差范圍可求得計(jì)算積分的進(jìn)似值，（要求誤差不超過0.0001）再考慮誤差范圍可求得§7傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(x)是周期為的周期函數(shù)，它在[-上的表達(dá)式為f(x)=試將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)解：b=再將所求得的系數(shù)代入傅立葉級(jí)數(shù)可得傅立葉級(jí)數(shù)展開式將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)§8一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)將f(x)=2+|x|(-1展開成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)后求的值解：展開f(x)=代x=0得=+得將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的余弦級(jí)數(shù)解：f(x)=(0)將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、設(shè)f(x)=，S(x)=,其中=2求S(解：S(=S(==第十一章自測(cè)題一選擇題:（40分）1、下列級(jí)數(shù)中,收斂的是().(A)；(B)；(C)；(D).2、下列級(jí)數(shù)中,收斂的是().(A)；(B)；(C)；(D).3、下列級(jí)數(shù)中,收斂的是()(A)；(B)；(C)；(D).4、部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的()(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充要條件；(D)既非充分又非必要條件5、設(shè)為非零常數(shù),則當(dāng)()時(shí),級(jí)數(shù)收斂.(A)；(B)；(C)；(D)6、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是().(A)；(B)；(C)（0,2）(D)[0,2]7、是級(jí)數(shù)收斂的()(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充要條件；(D)既非充分又非必要條件.8、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是()(A)；(B)；(C)；(D).（8分）判別下列級(jí)數(shù)的收斂性1、；2、三、（6分）判別級(jí)數(shù)的斂散性.四、（6分）求極限.五（8分）求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:1、；2、.六（6分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).七（6分）求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.八（6分）試將函數(shù)展開成.九（6分）設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為將展開成傅立葉級(jí)數(shù).十（8分）將函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).自測(cè)題答案一、1、B；2、B；3、C；4、C；5、D；6、A；7、B；8、B.二、1、發(fā)散；2、收斂.三、條件收斂.四、.(提示:化成)五、1、；2、.六、.七、.八、九、().十、.第十二章微分方程§1微分方程的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所確定的函數(shù)是方程（）的解。A.(x-2y)y=2-xyB.(x-2y)y=2x-yC.(x-2)dx=(2-xy)dyD.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲線族y=Cx+C2(C為任意常數(shù))所滿足的微分方程（）A.y=xy+y2B.y=Cx+y2C.xy+y2=CD.y=xy+y3如函數(shù)滿足初始條件：y=(C1+C2x)e2x,y|x=0=0,y|x==1，則C1,C2的值為（）A.C1=0,C2=1B.C1=1,C2=0C.C1=,C2=0D.C1=0,C2=4.微分方程y=寫成以y為自變量，x為函數(shù)的形式為（）A.B.C.x=2x-yD.y=2x-y5.已知某初值問題的解為y=C1sin(x-C2)y|x==1,y|x==0,確定C1,C2解：y=C1sin(x-C2),y=C1cos(x-C2)代入y|x==1,y|x==0得C1=1,C2=2k+6.設(shè)物體A從點(diǎn)(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運(yùn)動(dòng)。物體B從點(diǎn)(-1,0)與A同時(shí)出發(fā)，其速度大小為2v,方向始終指向A，試建立物體B的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足的微分方程，并寫出初始條件。解：設(shè)在時(shí)刻t，物體B位于(x,y)處，則整理可得：eq\o\ac(○,1)而有eq\o\ac(○,2)其中s表示B的運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線的弧長(zhǎng)。將eq\o\ac(○,2)代入eq\o\ac(○,1)得：初始條件：y(-1)=0,y(-1)=1§2可分離變量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（）A.可分離變量的微分方程B.一階微分方程的對(duì)稱形式。C.不是微分方程D.不能變成2、方程xy-ylny=0的通解為（）Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C3、方程滿足初始條件：y=e2x-y,y|x=0=0的特解為（）A.ey=e2x+1B.C.y=lne2x+1-ln2D.ey=e2x+C4、已知y=y(x)在任一點(diǎn)x處的增量，且當(dāng)x0時(shí)，是x的高階無窮小，y(0)=,則y(1)=()A.2B.C.D.5、求特解cosxsinydy=cosysinxdx，y|x=0=解：分離變量為tanydy=tanxdx即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCcosy=ccosx代入初始條件：y|x=0=得：特解為：cosy=cosx6、求微分方程滿足y(0)=的特解。解：由得：積分得：代入初始條件：y(0)=，得C=-27、求微分方程滿足y(0)=0的特解8、子彈以速度v0=400m/s打進(jìn)厚度為h=20cm的墻壁，穿透墻壁后速度為100m/s飛出。假定墻壁對(duì)于子彈的阻力和子彈運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，求子彈穿透墻壁所用的時(shí)間。解：設(shè)在時(shí)間t=0時(shí)，子彈打進(jìn)墻壁v(t)表示子彈在t時(shí)刻速度。子彈在墻壁中的運(yùn)動(dòng)所受阻力kv2(k為常數(shù))由牛頓第二定律得：又v(0)=v0=400.解得C=可設(shè)子彈穿透墻壁所用時(shí)間為T，且墻壁后h=20cm,知即：e0.2k=400kT+1(*)由題設(shè)知：子彈在時(shí)刻T時(shí)，飛出墻壁，且速度為100m/s，即，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即§3齊次方程1.(x2+y2)dx-xydy=0，其通解為（）A.y2=x2(2ln|x|+C)B.y=x(2ln|x|+C)C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C2.,y|x=1=2，則特解為（）A.y2=2x2(lnx+C)B.y2=2x2(lnx+2)C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+23.的通解為（）A.x=2y+CB.C.D.以上都不對(duì)4、求yx2+xy=y2滿足y|x=1=1的特解。解：，則解得：5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0滿足初始條件y|x=1=1的特解解：可得解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始條件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y6、求初值問題的解解：原方程化為令y=xu這里可得：將y|x=1=0代入的特解為或7、求曲線，使其上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)的切線在x軸上的截距解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(x,y)，曲線：y=y(x)，則由題意知：Y-y=y(X-x)又得整理得：解得：得通解六、求的解。解：令u=x+2y，則u=1+2y'2u-lnu=4x+C2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C§4一階線性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（）A.B.C.D.2、微分方程xy+2y=xlnx滿足y(1)=的解為（）A.B.C.D.3、y+y=y2(cosx-sinx)的通解為（）A.y=Cex-sinxB.=Cex-sinxC.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C4、求通解解：，令得即2.xdy-ydx=y2eydy解：整理得5、求通解xdy-ydx=y2eydy解：整理得6、求初值問題的解y(x)，其中a是常數(shù)，f(x)是連續(xù)函數(shù)解：7、求微分方程ycosy-cosxsin2y=siny的解。（提示令z=siny）解：設(shè)z=siny，則方程化為z-z=z2cosx，是伯努利方程令u=z-1得u+u=-cosx從而得8、設(shè)環(huán)境保持恒定溫度20C，有一個(gè)物體在10秒內(nèi)從溫度100C降到60C，問此物體從100C解：設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為u(t)，則u+ku=20k解得,需40秒。9、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程，求f(x)解：原方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)f(x)=3f(x)+2e2xf(x)-3f(x)=2e2x解得：f(x)=Ce3x-2e2x又f(0)=1，所以C=3f(x)=3e3x-2e2x§5全微分方程1.下面方程中不是全微分方程的是（）A.(3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0B.eydx+(xey-2y)dy=0C.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0D.y(x-2y)dx-x2dy=02、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)等于()A.B.C.D.3、設(shè)函數(shù)(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(0)=(0)=0，并已知y(x)dx+(sinx-(x))dy=0是一個(gè)全微分方程，則(x)=()A.B.C.x2exD.4、若(x)是連續(xù)函數(shù)，且(0)=1，并設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，則A=()A.B.C.D.5、判別下列方程的類型并求其通解（1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程通解為（2）(1+e2)d+2e2d=0解：是全微分方程d(+e2)=0通解為+e2=C6、若f(x)可導(dǎo)，f(0)=1，對(duì)任意簡(jiǎn)單閉曲線L,，求解：對(duì)任意閉曲線L有，知由此得f(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始條件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-27、若(x)是連續(xù)函數(shù)，且(0)=1，并設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，求A解：曲線積分與路徑無關(guān)，得(x)=-(x)tanx解得(x)=Ccosx,又因?yàn)?0)=1得C=1所以(x)=cosx§6可降階的高階微分方程1、yy+y2=0滿足初始條件y|x=0=1，y|x=0=的特解為（）A.y2=x+CB.C.D.y2=C1x+C22、方程xy=ylny的通解為（）A.B.C.D.以上都不對(duì)3、(1)求y=y+x的通解解：令y=p得p-p=xp=-x-1+C1ex(2)求xy+y=0的通解解：令y=p，則xp+p=0得y=C1lnx+C24、求下列方程所滿足初始條件的特解(1)yy+(y)2=0,y(0)=1,y'(0)=解：由yy+(y)2=0得(yy)=0,yy=C1又y(0)=1,y'(0)=得C1=y2=x+C2代入初始條件得C2=1，y2=x+1(2)y3y+y=0解：令y=p，則xp+p=0解得y=C1lnx+C25、求y2y+1=0的積分曲線方程，使其通過點(diǎn)且在該點(diǎn)處切線的斜率為2解:y2y+1=0,y|x=0=,y|x=0=2令y=p，，方程化為解得：，由y|x=0=,y|x=0=2得C1=0解得6、設(shè)在x>-1時(shí)所定義的可微函數(shù)y(x)滿足，與y(0)=1，求y(x)解：原方程化為(x+1)(y(x)+y(x))=令y(x)=p則有解得：ln|p|=-(x+ln|x+1|)+C由y(0)=-y(0)=-1,p|x=0=-1得C=0§7高階線性微分方程1、證明：是方程y-3y+2y=e5x的通解2、已知二階線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解為y1=x,y2=ex,y3=e2x,試求方程滿足初始條件y(0)=1,y(0)=3的特解。解：由線性微分方程解的理論，非齊次微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)任兩解之差是對(duì)應(yīng)齊次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解。得齊次方程的兩個(gè)解：ex-x,e2x-x，且線性無關(guān)。于是齊次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).非齊次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).由y(0)=1，y(0)=3代入得：C1=-1,C2=2所以特解為y=2e2x-ex§8常系數(shù)齊次線性微分方程設(shè)y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，則該方程為（）A.y+2y+y=0B.y-2y+2y=0C.y-2y=0D.y+y=02、設(shè)y1=excos2x,y2=exsin2x都是方程y+py+qy=0的解，則（）A.p=2,q=5,B.p=-2,q=5C.p=-3,q=2D.p=2,q=23、設(shè)常系數(shù)線性齊次方程特征方程根r1,2=-1,r3,4=i，則此方程通解為（）A.y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinxB.y=C1e-x+C2cosx+C3sinxC.y=C1e-x+C2cosx+C3xsinxD.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx4、求下列微分方程的通解(1)y-4y+13y=0解：r2-4r+13=0r1,2=23iy=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(2)y+25y=0解：r2+25=0r=5iy=C1cos5x+C2sin5x(3)解：r2+2r+1=0r1,2=-1y=(C1+C2t)e-t(4)y(4)-2y+5y=0解：r4-2r3+5r2=0r1,2=0,r3,4=12iy=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)5、求下列初值問題的特解y+(1+2)y+12y=0(12且為實(shí)數(shù))滿足y(0)=0,y(0)=1解：r2+(1+2)r+12=0r1=1r2=2通解為由y(0)=0,y(0)=1得：6、一單位質(zhì)點(diǎn)受一力的作用沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，該力與M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離成正比（比例系數(shù)為4），介質(zhì)的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比（比例系數(shù)為3），求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止并且距原點(diǎn)1cm§9常系數(shù)非齊次線性微分方程1.、方程y+16y=sin(4x+a)(a為常數(shù)）的特解形式為y*=()A.Acos4x+Bsin4xB.x(Acos4x+Bsin4x)C.Acos4x-Bsin4xD.x2(Acos4x-Bsin4x)2.、設(shè)函數(shù)y1,y2,y3都是線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)=f(x)的特解，則函數(shù)y=(1-C1-C2)y1+C1y2+C2y3()（C1,C2為任意常數(shù)）A.是所給方程通解B.不是方程的解C.是所給方程的特解D.可能是方程的通解，但一定不是其特解。3、方程y-2y=xe2x的特解具有形式（）A.y*=Axe2xB.y*=(Ax+B)e2xC.y*=x(Ax+B)e2xD.y*=x2(Ax+B)e2x4.求解微分方程y+2y+2y=e-xsinx解：對(duì)應(yīng)的齊次方程：y+2y+2y=0特征方程r2+2r+2=0r1,2=-1i齊次方程通解為：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)由于i=-1i是特征方程的根，設(shè)y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=,B=0即y*=xe-xcosx原方程通解為y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx)xe-xcosx5.求解初值問題y+9y=cosx,解：由y+9y=0得：r1,2=3i所以齊次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x由于i=i不是特征方程的根，設(shè)y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=,B=0，即Y=cosx通解為y=C1cos3x+C2sin3x+cosx由初始條件得特解6.求特解：y-y=4xex，y|x=0=0,y|x=0=1解：r2-1=0r1,2=1，所以y-y=0的通解為Y=C1ex+C2e-x因=1是特征方程的單根，設(shè)y*=xex(Ax+B)是原方程的一個(gè)特解，代入原方程得：A=1,B=-1即y*=ex(x2-x)原方程的通解為：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x)代入初始條件得：C1=1,C2=-1所求特解為：y=ex(x2-x+1)-e-x7.求y-4y=e2x的通解8、證明：是方程y-9y=9的解，但不是其通解，C1,C2為任意常數(shù)證明：代入方程使方程成立，是方程的解。又因?yàn)橹挥幸粋€(gè)常數(shù)。所以不是方程的通解。9、證明方程y+y=f(x)(其中f(x)連續(xù))的通解為y=C1cosx+C2sinx+,C1,C2為常數(shù)證明：有2+1=0=1.故齊方程通解為Y=C1cosx+C2sinx記則所以y*+y*=f(x)，即y*是其一個(gè)特解。由解的結(jié)構(gòu)定理：y==Y+y*=C1cosx+C2sinx+10、設(shè)，其中f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足：，試求函數(shù)f(x)(f(x)=)第十二章自測(cè)題一、選擇題(36=18分)1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是()A.線性非齊次方程B.可分離變量方程C.線性齊次方程D.伯努利方程2.微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解為()A.y=x(C-ex)B.y=x(C+ex)C.x=y(C+ey)D.x=y(C-ey)3.由x2-xy+y2=C確定的隱函數(shù)滿足的微分方程是()A.(x-2y)y=2x-yB.(x-2y)y=2xC.-2yy=2x-yD.xy=2x-y4.微分方程y-2y=xe2xA.y*=(Ax+B)e2xB.y*=Axe2xC.y*=Ax2e2xD.y*=x(Ax+b)e2x5.已知y1,y2,y3為方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無關(guān)的特解，C1,C2,C3均為任意常數(shù)，則該方程的通解為()A.C1y1+C2y2