最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化

龍泉九中黃智艷教材分析《最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化》是北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章《實(shí)數(shù)》局部的內(nèi)容之一。教材中沒(méi)有直接給出最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化的概念，這樣的編排對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)這局部?jī)?nèi)容有一定困難?！蹲詈?jiǎn)二次根式及分母有理化》是二次根式運(yùn)算的重要組成局部，它在二次根式的運(yùn)算中起著承上啟下的作用，為此我區(qū)導(dǎo)學(xué)案就此內(nèi)容作了深入細(xì)致的研究。學(xué)案中將它放在《二次根式的化簡(jiǎn)》及《二次根式的乘除法》之后，為本課的學(xué)習(xí)提供了方法技能根底，同時(shí)它又是后面學(xué)習(xí)《二次根式的加減法》、《二次根式的混合運(yùn)算》的根本。從初中代數(shù)的學(xué)習(xí)來(lái)看，該局部是初中代數(shù)中進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的一個(gè)重要課題，也是提高學(xué)生運(yùn)算能力的好時(shí)機(jī)。這里培養(yǎng)起來(lái)的實(shí)數(shù)的運(yùn)算能力不光會(huì)影響學(xué)生代數(shù)局部的后繼學(xué)習(xí)，同時(shí)在幾何的學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用。從中考角度來(lái)看，歷屆中考幾乎從未錯(cuò)失過(guò)該考點(diǎn)。學(xué)情分析知識(shí)方面：學(xué)生會(huì)分解質(zhì)因數(shù)，能對(duì)、進(jìn)行化簡(jiǎn)，已經(jīng)掌握的《二次根式的乘除法》及二次根式的性質(zhì)都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作好了充分而必要的知識(shí)鋪墊。就知識(shí)掌握情況而言，仍有局部學(xué)生對(duì)公式感覺(jué)較抽象，運(yùn)用起來(lái)還不太熟練。能力方面：學(xué)習(xí)能力強(qiáng)一點(diǎn)的同學(xué)已經(jīng)擁有一定的知識(shí)遷移能力，歸納能力和較強(qiáng)的合作交流能力。心理方面：初二的學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的培養(yǎng)，對(duì)DJP教學(xué)模式已經(jīng)充分認(rèn)同和接受了，能夠有序地進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)。初二的學(xué)生好勝心較強(qiáng)，有較強(qiáng)的自主意識(shí)，能對(duì)知識(shí)是非進(jìn)行分辨。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：1.能判斷所給的二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式；2.能把所給的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；3.能進(jìn)行分母有理化。過(guò)程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷二次根式化簡(jiǎn)的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。通過(guò)一題多解使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的最優(yōu)、最簡(jiǎn)思想，感受數(shù)學(xué)計(jì)算的魅力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的信心。教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化。理由是：能把所給的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化既是學(xué)生前面所學(xué)過(guò)的二次根式的乘除運(yùn)算的具體應(yīng)用，又是后面學(xué)習(xí)二次根式的加減之根本；在實(shí)數(shù)的計(jì)算中起著至關(guān)重要的作用。教學(xué)難點(diǎn)：化二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式及分母為兩項(xiàng)式的分母有理化。理由是：化二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式難找完全平方因數(shù)或因式；分母有理化難就難在形式上較復(fù)雜，并且還要求學(xué)生運(yùn)用乘法公式及；這些都是學(xué)生知識(shí)不易過(guò)手的知識(shí)點(diǎn)。教學(xué)策略小組學(xué)習(xí)法采用理由：我區(qū)導(dǎo)學(xué)案非常適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)；在教學(xué)過(guò)程中有多處必須利用學(xué)習(xí)小組完成的學(xué)習(xí)。同時(shí)通過(guò)利用組內(nèi)“高手”的影響力和約束力可以使學(xué)困生多學(xué)一點(diǎn)，這也適合初二逐漸增多的不自覺(jué)學(xué)習(xí)的學(xué)生。練習(xí)法采用理由：本節(jié)內(nèi)容屬代數(shù)中的運(yùn)算，必要的練習(xí)一定少不了。在教學(xué)中，教師還可將學(xué)生的解題中出現(xiàn)的多種方法予以展示，這樣做不但可以拓寬學(xué)生的解題視野，也可以潛移默化的影響學(xué)生尋求最簡(jiǎn)、最優(yōu)解法的數(shù)學(xué)解題意識(shí)。自主閱讀法采用理由：初二學(xué)生已經(jīng)有足夠的理解力，能理解“最簡(jiǎn)二次根式”、“分母有理化”、“互為有理化因式”等概念。因此，在概念的學(xué)習(xí)時(shí)，我主要采用此法。談話法采用理由：課堂上，我通過(guò)設(shè)計(jì)一連串循序漸進(jìn)的問(wèn)題，給師、生搭建好交流的平臺(tái)，可以促使學(xué)生展開(kāi)充分的思考，使學(xué)生在談話的過(guò)程中獲取新知，這也可幫助我突破重、難點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)【候課朗讀】1.積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。修改依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖原學(xué)案侯課朗讀是：1.積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積；2.商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方鏟除以除式的算術(shù)平方根。修改的目的：想讓學(xué)生能更直觀的體會(huì)公式本身的含義?！緦W(xué)習(xí)準(zhǔn)備】1.填空：增加依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖原學(xué)案并沒(méi)有該局部?jī)?nèi)容，之所以想到增加目的是：既復(fù)習(xí)公式又檢測(cè)學(xué)生已有知識(shí)的掌握情況，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作知識(shí)鋪墊。教學(xué)流程：1、小組同學(xué)在課前將題目完成在黑板上；2、小組長(zhǎng)檢查組內(nèi)完成情況；教師上課后就板書(shū)作適當(dāng)?shù)膹?qiáng)調(diào)。2.學(xué)生活動(dòng)：先計(jì)算，再比擬左、右式子有何不同。被開(kāi)方數(shù)不同：左邊；右邊。結(jié)果不同：邊不能“甩掉”根號(hào)；邊可以“甩掉”根號(hào)，理由是：增加依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖增設(shè)此環(huán)節(jié)的目的是：為學(xué)生能將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式作方法上的鋪墊。教學(xué)流程：1、學(xué)生已經(jīng)在課前完成，上課時(shí)先在組內(nèi)核對(duì)結(jié)果；2、教師巡視并收集意見(jiàn)，待小組討論完成后教師可有傾向性的派學(xué)生講解。【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、解讀教材3.問(wèn)題情境學(xué)生活動(dòng)1：能“甩掉”根號(hào)嗎？8示成哪幾個(gè)數(shù)相乘的形式？這些因數(shù)中有沒(méi)有可以“甩掉”根號(hào)的？修改依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖原學(xué)案是：在中，，，求。因?yàn)椋?，說(shuō)明不是最簡(jiǎn)二次根式。那么，什么樣的根式是最簡(jiǎn)二次根式？我的修改是基于前面的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，根據(jù)我班的實(shí)際情況，基于學(xué)生對(duì)學(xué)案的預(yù)習(xí)，考慮到學(xué)生接受知識(shí)的能力，以問(wèn)題串的形式由淺入深，層層遞進(jìn)，圍繞將要給出的“最簡(jiǎn)二次根式”的概念及其本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生去思考，去探究……。通過(guò)師生、生生的交流使學(xué)生到達(dá)掌握知識(shí)的目的。學(xué)生活動(dòng)2：8還可以表示成“4+4”，4是完全平方數(shù)，可以“甩掉”根號(hào)。即：對(duì)嗎？為什么？修改依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生活動(dòng)1完成后，緊接著是學(xué)生活動(dòng)2。此處設(shè)計(jì)了一道判斷是非題，實(shí)踐說(shuō)明它是引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)知的一種有效方法。安排這一活動(dòng)我就是想暗示學(xué)生二次根式的化簡(jiǎn)和已學(xué)過(guò)的二次根式的乘除運(yùn)算是密切關(guān)聯(lián)的。只有學(xué)生把單個(gè)概念和方法納入到認(rèn)知系統(tǒng)中，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握才會(huì)更牢固、更長(zhǎng)久。這也可以化解學(xué)生心理的疑問(wèn)：化簡(jiǎn)二次根式時(shí)為什么是將被開(kāi)方數(shù)拆成幾個(gè)數(shù)相乘的形式。通過(guò)活動(dòng)1、2教師已經(jīng)拋出教學(xué)重點(diǎn)：“化簡(jiǎn)二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法”。教學(xué)流程1.學(xué)生先獨(dú)立思考后再小組交流；2.教師待巡視后，再請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)講解；方案一〔學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)因數(shù)4是完全平方數(shù)，可以直接開(kāi)方〕；方案二：〔學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)2×2是兩個(gè)相同的數(shù)相乘可以開(kāi)方〕。3.最后再方法小結(jié)〔師生合作〕：能從根號(hào)里開(kāi)出來(lái)的數(shù)有兩大類：①完全平方數(shù)，如：4、9、16等；②成對(duì)相乘出現(xiàn)的數(shù)，如：2×2；3×3等4.最簡(jiǎn)二次根式的概念：滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式：〔1〕被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；〔2〕被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。即時(shí)練習(xí)：判斷以下各式是否是最簡(jiǎn)二次根式修改依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖：我們都知道，只有讓學(xué)生清楚地知道知識(shí)的發(fā)生、生長(zhǎng)的過(guò)程，才更有利于學(xué)生掌握和運(yùn)用知識(shí)。經(jīng)過(guò)教師在前面的精心安排和學(xué)生的充分討論，教師就可以水到渠成的給出“最簡(jiǎn)二次根式”的概念了。原學(xué)案并沒(méi)有即時(shí)練習(xí)，增加的作用是：文字的表達(dá)配以具體的數(shù)字、式子可以幫助學(xué)生更好的理解概念。同時(shí)這又可為后面的習(xí)題教學(xué)作好必要的鋪墊。教學(xué)流程1．學(xué)生利用學(xué)案進(jìn)行閱讀“最簡(jiǎn)二次根式的概念”，并完成即時(shí)練習(xí)后；2．小組長(zhǎng)組織交流；3.全班交流：怎么理解“因數(shù)”，它出現(xiàn)在什么運(yùn)算中？怎樣才能知道被開(kāi)方數(shù)是否包含有開(kāi)得盡方的因數(shù)？〔分解質(zhì)因數(shù)〕〔這一點(diǎn)可視學(xué)生具體掌握情況適當(dāng)舉一例子介紹短除法?！?.最后教師讓全班齊讀概念，以讀促記。例1把以下各式化為最簡(jiǎn)二次根式越來(lái)越熟悉之后你有更快的方法嗎？越來(lái)越熟悉之后你有更快的方法嗎？即時(shí)練習(xí)1：把以下各式化為最簡(jiǎn)二次根式設(shè)計(jì)意圖通過(guò)練習(xí)促使學(xué)生掌握被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)〔整式〕的二次根式的化簡(jiǎn)方法。教學(xué)流程步驟：①步驟：①分〔被開(kāi)方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)〕②開(kāi)〔一對(duì)開(kāi)出是一個(gè)〕③留〔不成對(duì)就留下〕教師巡視全班在學(xué)生中收集到以下解法：〔生展示〕解法一：；〔成對(duì)相乘出現(xiàn)的數(shù)可開(kāi)出根號(hào)〕解法二：；〔完全平方數(shù)可開(kāi)出根號(hào)〕2、由.7.9組的4.5號(hào)依次上臺(tái)板演；3.學(xué)生板演完后，教師再派.8組的3號(hào)同學(xué)用彩色粉筆進(jìn)行修改〔教師監(jiān)督〕；4.待全班同學(xué)完成后，先自行核對(duì)，并可在組內(nèi)小聲交流，如有問(wèn)題的話教師就點(diǎn)評(píng)一下；5.教師組織學(xué)生閱讀云朵里的化簡(jiǎn)步驟?！矊?shí)踐說(shuō)明此處有些學(xué)生掌握起來(lái)有一定難度。我就想了個(gè)方法：將根號(hào)比作皇宮。里面的數(shù)要想逃跑就要化成積的形式，完全平方數(shù)膽子大，一個(gè)人就可以逃掉；非完全平方數(shù)膽子小，要結(jié)伴才敢逃，但是在“逃亡”中“死一個(gè)活一個(gè)”?！巢襟E：①分〔分母步驟：①分〔分母分解質(zhì)因數(shù)〕②補(bǔ)〔補(bǔ)隊(duì)〕③開(kāi)〔分母開(kāi)出是分母，分子開(kāi)出是分子〕即時(shí)練習(xí)2：把以下各式化為最簡(jiǎn)二次根式注意：〔1〕化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，往往需要先把被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)；〔2〕當(dāng)二次根式的被開(kāi)方數(shù)含有分母時(shí)，化簡(jiǎn)后要保證根號(hào)內(nèi)沒(méi)有分母。設(shè)計(jì)意圖掌握被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)〔分式〕的二次根式的化簡(jiǎn)方法。教學(xué)流程1.教師通過(guò)設(shè)計(jì)一連串循序漸進(jìn)的問(wèn)題，給師、生搭建好交流的平臺(tái)，促使學(xué)生展開(kāi)充分的思考，使學(xué)生在談話的過(guò)程中獲取新知：〔師：是最簡(jiǎn)二次根式嗎？生：不是。被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)師：分?jǐn)?shù)與整數(shù)有什么區(qū)別？生：分?jǐn)?shù)有分母師：能讓的分母“3”消失嗎？生：不能，改變了原數(shù)的大小師：能從根式里消失嗎？生：補(bǔ)對(duì)。2師：根號(hào)里的3開(kāi)出根號(hào)后要碰到2，“爭(zhēng)位子”要打架，怎么辦？教學(xué)中我會(huì)在此處讓學(xué)生盡情的發(fā)表意見(jiàn)，常見(jiàn)錯(cuò)誤有：,,。這個(gè)地方的教學(xué)不可怠慢，新知識(shí)不過(guò)關(guān)，學(xué)生在以后的計(jì)算中往往難以糾正。教學(xué)中可視學(xué)生的掌握情況再結(jié)合例子來(lái)說(shuō)明?！?.師生共同歸納：①?gòu)母?hào)里開(kāi)出來(lái)的數(shù)與根號(hào)外的數(shù)彼此間是相乘的關(guān)系；②由分母開(kāi)出的仍是分母，分子開(kāi)出的是分子。3.學(xué)生獨(dú)立解答例2，同時(shí)由.7.9組的4.5號(hào)依次上臺(tái)板演；4.學(xué)生板演完后，教師再派.8組的3號(hào)同學(xué)用彩色粉筆進(jìn)行修改〔教師監(jiān)督〕；同時(shí)教師巡視全班在學(xué)生中收集到以下解法：〔生展示〕解法一：〔4是完全平方數(shù)，可直接開(kāi)出根號(hào)；3非完全平方數(shù)，需補(bǔ)對(duì)才能開(kāi)出根號(hào)〕解法二：〔學(xué)生的常見(jiàn)解法〕5.教師可讓學(xué)生比照兩種方法的優(yōu)劣，找出最簡(jiǎn)解法。6.最后教師再組織學(xué)生閱讀學(xué)案上云朵中的內(nèi)容。二、拓展教材5.分母有理化：二次根式進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)不能恰好開(kāi)盡時(shí)，常采用分母有理化的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。如：像這樣把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化。分母有理化的依據(jù)：分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)和公式把以下各式中的分母有理化設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生掌握分母是單個(gè)帶根號(hào)的數(shù)的分母有理化的方法。該知識(shí)點(diǎn)與例2有很多相似之處，根本上能交給學(xué)生利用學(xué)習(xí)小組完成。只是學(xué)生對(duì)“分母有理化”這個(gè)概念還比擬陌生，可以通過(guò)學(xué)生自主閱讀及學(xué)生在小組間的交流中熟練掌握這個(gè)概念。教學(xué)流程1.學(xué)生先獨(dú)立閱讀學(xué)案19、20頁(yè)；2.學(xué)生分學(xué)習(xí)小組完成例3；缺啥補(bǔ)啥3.教師巡視后安排學(xué)生板演；4.較原學(xué)案我增加了一個(gè)小題我會(huì)安排學(xué)生將不同的解法寫(xiě)在黑板上：缺啥補(bǔ)啥解法一：解法二：〔湊成完全平方數(shù)〕解法三：〔先將分母分解質(zhì)因數(shù)〕〔這個(gè)環(huán)節(jié)應(yīng)視學(xué)生掌握情況安排在例3快結(jié)束時(shí)，可用于幫助學(xué)生提煉解題方法〕4.教師組織學(xué)生閱讀并理解學(xué)案中的”注意”。注意：〔1〕化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，往往需要先把被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)；〔2〕當(dāng)二次根式的被開(kāi)方數(shù)含有分母時(shí)，化簡(jiǎn)后要保證根號(hào)內(nèi)沒(méi)有分母。6.互為有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式，如果它們的積不含有二次根式，我們就把這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式。形如：與我們稱作互為有理化因式。例4先說(shuō)出以下各式中分母的有理化因式，再把以下各式中的分母有理化。即時(shí)練習(xí)3：把以下各式中的分母有理化修改依據(jù)與設(shè)計(jì)意圖原學(xué)案中只在例4之后注意中提到了“有理化因式”。我將這個(gè)概念的得來(lái)寫(xiě)在例4之前，這樣可以使學(xué)生明白該知識(shí)的“來(lái)龍去脈”，便于學(xué)生自學(xué)及小組討論，使學(xué)生做起題來(lái)有理可依；同時(shí)我在原學(xué)案例4的題干中多增加了一個(gè)任務(wù)：“先說(shuō)出以下各式中分母的有理化因式”。我的目的是：借以提示學(xué)生往“互為有理化因式”上思考，以降低學(xué)習(xí)難度；同時(shí)又可以考查學(xué)生是否掌握了該知識(shí)。我想利用此點(diǎn)來(lái)突破教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)分母不再是單個(gè)帶根號(hào)的數(shù)，而是一個(gè)式子〔有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的代數(shù)和〕的分母有理化。教學(xué)流程1、學(xué)生先獨(dú)立閱讀學(xué)案再分組完成任務(wù)：“說(shuō)出以下各式中分母的有理化因式”；2、教師安排學(xué)生上臺(tái)完成題目：；。3.教師利用學(xué)生的結(jié)果，讓學(xué)生自由發(fā)表意見(jiàn)：這兩個(gè)式子有何不同？師：為什么不能用公式將根號(hào)去掉？配成平方差公式才行哦！生：中括號(hào)內(nèi)沒(méi)有其它運(yùn)算，平方直接作用于根號(hào)；括號(hào)中還有加法運(yùn)算，平方是作用于和并非直接作用于根號(hào)。配成平方差公式才行哦！師生小結(jié)：分母有理化的方法當(dāng)分母是單個(gè)帶根號(hào)的數(shù)時(shí)，“缺啥補(bǔ)啥”；當(dāng)分母是二項(xiàng)式時(shí)，將分母配成平方差公式。4．學(xué)生完成例4并交流。三、反思與小結(jié)本節(jié)課你主要學(xué)到了些什么？你認(rèn)為有哪些地方應(yīng)特別注意？把它與大家分享。設(shè)計(jì)意圖學(xué)生對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容和易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行回憶與梳理，并比照學(xué)習(xí)目標(biāo)，檢測(cè)目標(biāo)是否達(dá)成。四、【星級(jí)達(dá)標(biāo)】﹡1.以下各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？并說(shuō)明理由。﹡2.把以下各式化為最簡(jiǎn)二次根式﹡﹡3.把以下各式分母有理化﹡﹡4.計(jì)算+++……+設(shè)計(jì)意圖1題是考查最簡(jiǎn)二次根式的概念2題是檢查學(xué)生化簡(jiǎn)二次根式掌握的情況3題是分母有理化，4題那么是供學(xué)有余力的學(xué)生完成。五、布置作業(yè)完成學(xué)案未完成局部并預(yù)習(xí)下一課時(shí)〔七〕教學(xué)評(píng)價(jià)1.診斷性評(píng)價(jià)：本課時(shí)教學(xué)開(kāi)始時(shí)，通過(guò)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，弄清學(xué)生對(duì)開(kāi)方運(yùn)算的掌握情況，同時(shí)，考慮不同學(xué)生的個(gè)體差異和開(kāi)展層次，對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教法進(jìn)行調(diào)整與優(yōu)化，表達(dá)因材施教。2.形成性評(píng)價(jià)：在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)巡視提問(wèn)、小組學(xué)習(xí)、練習(xí)反應(yīng)等方式對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握和能力開(kāi)展進(jìn)行即時(shí)的評(píng)價(jià)，根據(jù)獲得的反應(yīng)信息，調(diào)控教