高三數(shù)學一輪復習講義離散型隨機變量及其分布教師

課題：離散型隨機變量及其分布知識點一、離散型隨機變量的分布列1.隨機變量如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2.離散型隨機變量對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若是隨機變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機變量.013.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為其中，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布．其中稱為成功概率．(2)超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率為，，其中，且，稱分布列為超幾何分布列.01…m…(3)設離散型隨機變量可能取得值為，，…，，…，取每一個值()的概率為，則稱表…………為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列．有時為了表達簡單，也用等式，表示的分布列．分布列的兩個性質(zhì)①，；②.【典型例題】例1.將一顆骰子均勻擲兩次，隨機變量為(C)A．第一次出現(xiàn)的點數(shù)B．第二次出現(xiàn)的點數(shù)C．兩次出現(xiàn)點數(shù)之和D．兩次出現(xiàn)相同點的種數(shù)例2.設X是一個離散型隨機變量，其分布列為則q等于(c)X－101P1－2qq2A．1B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．1＋eq\f(\r(2),2)例3.受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)123將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列．例4.已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和．求X的分布列．【舉一反三】1.袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，任意抽取2個球，設2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為()A．25B．10C．7D．62.設隨機變量X的概率分布為則P(|X－3|＝1)＝________．X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)3．甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學期望)．【課堂鞏固】1．下列4個表格中，可以作為離散型隨機變量分布列的一個是()X012Peq\a\vs4\al(A.)X012Peq\a\vs4\al(B.)X1234P0eq\a\vs4\al(C.)X012Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(3,7)eq\a\vs4\al(D.)解析：利用離散型隨機變量分布列的性質(zhì)檢驗即可．答案：C2．帶活動門的小盒子里有來自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，現(xiàn)隨機地放出5只做實驗，X表示放出的蜂中工蜂的只數(shù)，則X＝2時的概率是()A.eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(4,10),C\o\al(5,30)) B.eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30))C.eq\f(C\o\al(3,20)C\o\al(2,10),C\o\al(5,30)) D.eq\f(C\o\al(4,20)C\o\al(1,10),C\o\al(5,30))解析：依題意，X服從超幾何分布，∴P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30)).答案：B3．已知離散型隨機變量ξ的分布列為ξ123…nPeq\f(k,n)eq\f(k,n)eq\f(k,n)…eq\f(k,n)則k的值為()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：由eq\f(k,n)＋eq\f(k,n)＋…＋eq\f(k,n)＝1，∴k＝1.答案：B4．若離散型隨機變量X的分布列為：X01P9c2－c3－8c則常數(shù)c的值為()A.eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．1解析：由分布列的性質(zhì)得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c＋3－8c＝1,9c2－c≥0,3－8c≥0))，解得c＝eq\f(1,3).答案：C5．設隨機變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝________.6．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為________．解析：依題意η的取值可為0,1,2.∴P(η＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)7.某學院為了調(diào)查本校學生2013年9月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機抽取了40名本校學生作為樣本，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組；[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列．所以Y的分布列為：Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)8.口袋中有n(n∈N*)個白球，3個紅球，依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．記取球的次數(shù)為X.若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，求：(1)n的值；(2)X的分布列．【課后練習】正確率：1．如右圖所示，A、Bξ，則P(X≥8)的值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)2．離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)3．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，則P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)4．從4名男生和2名女生中選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是________．5．李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設各場比賽相互獨立)：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；(3)記x為表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比較EX與x的大小．(只需寫出結(jié)論)6.某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊參加市學校運動會，它們獲得冠軍的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3).(1)求該高中獲得冠軍個數(shù)X的分布列；(2)若球隊獲得冠軍，則給其所在學校加5分，否則加2分，求該高中得分η的分布列．解析：(1)∵X的可能取值為0,1,2,3，取相應值的概率分別為P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\