甘肅省隴南市2024年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省隴南市2024年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A． B． C． D．2．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．34．函數(shù)滿足對(duì)任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．15．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．6．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長(zhǎng)為的正方形模型內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．7．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．29．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．10．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．32011．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺12．已知集合，，則為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）14．己知函數(shù)，若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝_______．16．設(shè)常數(shù)，如果的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為-80，那么______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．18．（12分）2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時(shí)，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后，才能進(jìn)行第二次檢測(cè)．第一次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），，，．19．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和．若，求．20．（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63521．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為求a，b的值；證明：．22．（10分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若函數(shù)，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．2、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)．解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．3、B【解析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡(jiǎn)得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可得為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?，所?因?yàn)?，故，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以當(dāng)時(shí)，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率，是基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，10、C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12、C【解析】

分別求解出集合的具體范圍，由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)榧希?，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計(jì)算即可。【詳解】“任取兩個(gè)數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個(gè)，所以任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。14、【解析】

首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式對(duì)任意的恒成立，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而建立不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，顯然此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，不等式即為，在上恒成立，，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規(guī)題目．15、【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解析】

利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：，令，解得.∴，解得.故答案為：-2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡(jiǎn)可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數(shù)列,可得而,即,展開化簡(jiǎn)得,因?yàn)?故①又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得（負(fù)的舍去）,可得銳角；由可得,由為銳角,解得,因?yàn)闉殇J角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比中項(xiàng)的運(yùn)用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時(shí)也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.18、（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關(guān)系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來確定結(jié)果；（2）求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測(cè)后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過兩次檢測(cè)后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測(cè)后合格的概率分別為，，，由題意，，.【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解，考查二項(xiàng)分布的期望，是中檔題.19、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，或.（2）時(shí)，，解得；時(shí)，，無正整數(shù)解；綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)無關(guān)；(2)，.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得.因?yàn)?.030<3.841，所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X～B(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝21、（1）；（2）見解析【解析】分析：第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線上也在函數(shù)圖像上，從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果，二是利用中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.詳解：（1）解：，由題意有，解得（2）證明：（方法一）由（1）知，.設(shè)則只需證明，設(shè)則，在上單調(diào)遞增，，使得且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由，得，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，因此（方法二）先證當(dāng)時(shí)，，即證設(shè)，則，且，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，（也可直接分析顯然成立）再證設(shè)，則，令，得且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，即又，點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題，在求