數(shù)字信號(hào)處理課件胡廣書(shū)第2章

Z變換的定義；Z變換的收斂域；Z變換的性質(zhì)；逆Z變換；離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)；離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)第2章 Z變換及離散系統(tǒng)分析復(fù)頻域：

時(shí)域：x(t)

x(t)e

stdtX

(s)

2

f2.1

Z變換的定義Laplace

變換s

j

s平面

j

0

0

x(t)e

j

tdtX

(

j

)

Fourier

變換頻域：s平面

j0

僅在虛軸上取所以，傅里葉變換是值的拉普拉斯變換。ss

j

因?yàn)樗詓

j

對(duì)離散信號(hào)，可否做拉普拉斯變換x(n)

x(t)

(t

nTs

)n

x(nTs

)

(t

nTs

)nx(n)e

dt

st

[

x(n)]

ssn

x(nT

)

(t

nT

)e

stdt

ssx(nT

)e

snT

X

(esTs

)

n

z

esTsL令z

re

j

e(

j

)Ts

e

Ts

e

j

Ts

n

nX

(

z)

x(n)z則：s得到：

Ts

與z對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào)對(duì)應(yīng)離散信號(hào)拉普拉斯變換z

變換re

j

e

Tsr

e

Ts

e

j

Ts離散信號(hào)的z

變換j

j

nz

re

j

|

e

j

r

1

Ts

2

f

fsX

(e

)

x(n)en

離散時(shí)間序列的傅里葉變換，DTFTz平面Re[z]Im[z]0z

平面Re[z]0Im[z]r

10

2

0

2

2

4

:0

2

fs

:

Ts

2

f

fsz

平面Re[z]Im[z]r

0s平面

02

fs

2

fs

4

fs0

s

s

2

sj

4

fs00000f

fs

fs

2fs

2fs

s

s

2

s

2

s

2

2

f

1

0.50.51kN2

kN

1

n

n

X

(

z)

x(n)z

n

[

x(n)r

n

]e

j

nr

1z

re

j

|

:

X

(e

j

)

x(n)e

j

nX

(

z)

n

:級(jí)數(shù)收斂2.2

Z變換的收斂域冪級(jí)數(shù)條件：除x(n)外，還取決于r

的取值Note:的模，所以ROC

具有“圓”，或“環(huán)”的形狀r

是zx(n)

anu(n)例1：1

n

0if

az

1

1,thenn

0that

is

z

a

ROCX

(

z)

X

(

z)

an

z

n

(az

1

)na11

az

1zX

(

z)

z

a例2：x(n)

anu(

n

1)0u(

n

1)

{

1

n

1,

,

其他ROC

:1

z

1

1

a

1z z

aa

1z

1,

z

a

1

X

(

z)

an

z

n

1

(a

1z)nn

n

0ROC:

z

ax(n)

anu(n)注意：zX

(

z)

z

ax(n)

anu(

n

1)zX

(

z)

z

az

az

ax(n)

:

n

N1

N

21.N1

0,

N2

0,

N2

N1|

z

|

0右邊有限長(zhǎng)序列1211N2z

N1z

N2

n

N1ROC：X

(z)

x(n)z

n

x(N

)

x(N

)z

02.N1

0,

N2

0x(n)

:

n

N1

N

2ROC: 0

|

z

|

雙邊有限長(zhǎng)序列z

0,

z

3.

x(n)

:

n

N1

|

z

|

R14.x(n)

:

n

N1|

z

|

R25.R1

|

z

|

R2ROC:右邊無(wú)限長(zhǎng)序列ROCx(n)

：

:

n左邊無(wú)限長(zhǎng)序列ROC:雙邊無(wú)限長(zhǎng)序列思考：什么信號(hào)的z變換的收斂域是整個(gè)z平面？1.線性:2.3 Z變換的性質(zhì)2rnx(n)

e

j

n

e

j

n

x1

(n)

x2

(n)

X1

(z)

X

2

(z)如何求

x(n)

rn

cos

n

X

(z)

X

(z)

x(n)z

n

n

2.移位:（1）雙邊Z變換x(n

k

)

z

k

X

(

z)x(n

k

)

zk

X

(z)x(n

1)

z

1

X

(

z)z

1

表示單位延遲（2）單邊Z變換

n

0X

(z)

x(n)z

n

1

kn

k

x(n)z

n

x(n

k

)

zX

(z)

x(n)zk

1

k

nn

0

x(n

k

)

zX

(z)

x(n)仍為雙邊序列（3）x(n)

為因果序列,

則x(n)zk

1

k

nn

0

x(n

k

)

zX

(z)

X

(z)

X

(z)因果序列的雙邊Z變換和其單邊Z

變換相同

1

k

n

k

x(n

k

)

zX

(z)

x(n)z

n

z

k

X

(z)

3.

k

y(n)

x(n)

h(n)

x(k

)h(n

k

)

Y

(

z)

X

(

z)

H

(

z)k

n

Y

(

z)

y(n)z

n

[

x(k

)h(n

k

)]z

nn

n

k

x(k

)

h(n

k

)z

n

x(k

)z

k

h(n

k

)z

(

n

k

)k n

X

(

z)

H

(

z)

cx(n)z

z

dz

m

1

n

m

1c

n

0X

(z)z dz

cx(n)x(n)

zm

n

1dzrm

n

1e

j

(

m

n

1)

dz

m

ne

j

(

m

n

)

d

x(n)r

j

n

0

n

n

z

re

j

dz

rje

j

d

2.4

逆Z變換X

(

z)

x(n)z

nn

0

d

ej

(

m

n

)

{02

m

nm

ncX

(

z)z

dz1j2

n

1x(n)

cn

m

1m

ne

j

(

m

n

)

d

X

(z)z dz

x(n)r

j

Z逆變換的基本公式1.長(zhǎng)除法01nX

(z)

B(z)

x

x

z

1

x

z

nA(z)2.部分分式法C1C2ABA(z)X

(z)

B(z)

z

a z

b

(z

c)

(z

c)2x(n)

Res[

X

(z)

zn

1

]3.

留數(shù)法x(n)

y(n)h(n)1.

y(n)

x(n)

h(n)

x(k

)h(n

k

)k

2.N

My(n)

ak

y(n

k

)

br

x(n

r)k

1

r

03.2.5離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)

H

(z)

Y

(z)

X

(z)

H

(z)

h(n)z

n

n

04.5.Mrkb

zB(

z)A(

z)

rk

1H

(

z)

r

0

N1

a

z

k以上

6個(gè)關(guān)系是離散時(shí)間系統(tǒng)中的基本關(guān)系，它們從不同的角度描述了系統(tǒng)的性質(zhì)，它們彼此之間可以互相轉(zhuǎn)換。

n

0z

ej

H

(e

j

)

h(n)e

j

n

H

(

z)

|6.MN

M

NB(

z)

b

b

z

1

b

z

20

1

2A(

z)

1

a

z

1

a

z

21

2ak

,

k

1,

,

N

,br

,

r

0,

,

M

,

N

M

b

z

a

z上述表達(dá)式貫穿全書(shū)！H

(z)

B(z)

A(z)NM

(

z

pk

)k

1

(

z

zr

)H

(

z)

G

r

1

kzr

,

r

1,p

,

k

1,

,

M

;

Zeros

,

N

;

Poles使分子多項(xiàng)式=0

的zrH

(z)的Zeros(零點(diǎn))使分母多項(xiàng)式=0

的pkH

(z)的Poles(極點(diǎn))MMrrNNb

zB(z)A(z)

r

kH

(z)

r

0

G

r

1

(z

z

)1

ak

zk

1

(z

pk

)k

1為了保證系統(tǒng)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)始終為實(shí)數(shù)，所以，如果系統(tǒng)有復(fù)數(shù)的極、零點(diǎn)，那么這些復(fù)數(shù)的極、零點(diǎn)一定共軛出現(xiàn)。即：rzr

a

jbz

a

jbkpk

c

jdp

c

jd系統(tǒng)分析的任務(wù)：統(tǒng)，可能是h(n)H

(z)給定一個(gè)系H

(e

j

)N

My(n)

ak

y(n

k

)

br

x(n

r)k

1

r

0判斷（或分析）線性？移不變？穩(wěn)定？因果？幅頻：低通？高通？帶通？…相頻：線性相位？最小相位？

1.穩(wěn)定性:判別條件1：

h(n)

n

0h(n)

l1穩(wěn)定性:判別條件2

：|

pk

|

1,

k

1,

,

N極零分析的應(yīng)用所有極點(diǎn)都必需在單位圓內(nèi)！N

k

c

zH

(z)

k

1

z

pk

證明：nknk

N

h(n)

ck

pn

0

n

0

k

1N

ck

pk

1

n

0Nnkk

1h(n)

ck

pMrNk|

H

(ej

k

1)

|

g

r

1

|

e

j

z

|

|

e

j

p

|2.幅頻特性：e

j

0rzr|

e

j

z

|MNH

(z)

G

r

1

(z

zr

)

(z

pk

)k

1MrNkk

1H

(e

j

)

ge

j

(

N

M)

r

1

(e

j

z

)

(e

j

p

)MrNj

|

H

(e

j

)

|

g

r

1

|

e

j

z

|

|

e

pk

|k

1觀察：1.當(dāng)

時(shí)，

pk

|最??；0e

j

kpk|

e

j

p

|

約接近于單位圓，|

e

j

2.

極點(diǎn)|

e

j

pk

|越??；pk如何影響幅頻3.注意，向量|

e

j

pk

|

在分母上。低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器

2

c

c02

H

(e

j

)

2

c

c02

2

c2

c1

0

c2

c12

2

c2

c1

0

c2

c12

3.相頻：NkMr

r

1

k

1arg[e

p

]j

arg[H

(e

j

)]

arg[e

j

z

]

RH

(e

j

)H

(e

j

)arg[H

(e

j

)]

arctan

I

例：

H

(

z)

z|

H

(e

j

)

|

1

(

)

0

2

相位的卷繞(wrapping)解卷繞則4.極--零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)幅頻的影響：|

H

(e

j

)

|

若在某一個(gè)

處,在單位圓上有一零點(diǎn),則|

H

(e

j

)

|

0若在某一個(gè)

處,

在接近單位圓有一極點(diǎn),低通濾波器在z

1

處一定沒(méi)有零點(diǎn)，在 其附近應(yīng)有一個(gè)極點(diǎn)；同理，高通濾波器在

z

1

處一定沒(méi)有零點(diǎn)，在其附近應(yīng)有一個(gè)極點(diǎn)；帶通、帶阻濾波器的極－零位置有何特點(diǎn)在處的極、零點(diǎn)不影響幅頻,只影響相頻。z

01

.1836+.7344z-1+1.1016z-2+.7374z-3+.1836z-4100

1-3.0544z-1+3.8291z-2-2.2925z-3+.55075z-4H(z)

例：給定系統(tǒng)求：頻率響應(yīng)單位抽樣響應(yīng)極－零圖-1.5-1-0.500.5110.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1RealPartImaginaryPart極－零圖0.10.20.30.40.5001.510.50.10.20.30.40.5-1000-2-4-6-8頻率響應(yīng)05101520253035400.250.20.150.10.050-0.05-0.1單位抽樣響應(yīng)濾波的基本概念目的：去除噪聲，或不需要的成分；原理：信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)輸入－輸出的關(guān)系。x(n)

y(n)h(n)y(n)

x(n)

y(n)Y

(z)

X

(z)H

(z)Y

(e

j

)

X

(e

j

)H

(e

j

)X

(e

j

)H

(e

j

)Y

(e

j

)

c

c

線性濾波的原理

11

z

1H0

(z)

a1

pz1

z

1H1

(z)

b1

pz

1

1(1

z

1

)(1

z

1

)H2

(z)

c(1

re

j

z

1

)(1

re

j

z

)例：給定三個(gè)系統(tǒng)，分析其幅頻相應(yīng)0102000.10.2-11-1010Real

P

artImaginaryPart00.5100.5101020-0.500.51-11-1010Real

P

artImaginaryPart00.5100.5101020-0.200.2-11-1010Real

P

artImaginaryPart00.5100.511.5h(n)極零圖H

(e

j

)極－零分析是數(shù)字信號(hào)處理的基本功，對(duì)不太復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)能從系統(tǒng)的極－零分布圖大致判斷出該系統(tǒng)的幅頻特性。N

Mk

1

r

0y(n)

ak

y(n

k

)

br

x(n

r)個(gè)延遲器。2.5系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及信號(hào)流圖觀察：實(shí)現(xiàn)本系統(tǒng)，需要一個(gè)加法器，N

M個(gè)乘法器，N

MMrkb

zY

(z)X

(z)

rk

1H

(z)

r

0

N1

a

z

k若將上圖作一改造，可大量節(jié)約延遲器NX

(

z)a

z

kW

(

z)

1

kk

1a

zb

zNM

r

kk

1

k

r1

Y

(

z)

r

0

X

(

z)Mrb

z

rr

0Y

(

z)

W

(

z)

NMw(n)

ak

w(n

k

)

x(n)k

1y(n)

br

w(n

r)r

0則：及直接實(shí)現(xiàn)：

1

N

/

2

k

1kNk

1

k

kM

r

0

r

rH

(

z)a

zb

zH

(

z)

y(n)

(

((

x

h1

)

h2

)

hN

/

2

)x(n)

H1

(z)HN

/

2

(

z)

y(n)

級(jí)聯(lián)實(shí)2N

1

21

z

1

z

2k

,1

k

,2現(xiàn)：Hk

(z)

1

ak

,1

z

ak

,2

z,

k

1,

,y(n)

x(n)

h1

(n)

x(n)

h2

(n)

x(n)

hN

/

2

(n)N/

2H

(z)

Hk

(z)k

1H1

(z)H2

(z)

HN

/

2(z)

x(n)

y(n)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)：在數(shù)字信號(hào)處理中，由于表示“數(shù)”的字長(zhǎng)總是有限的，這就必然帶來(lái)誤差。對(duì)一個(gè)離散系統(tǒng)，這些誤差包括如下幾個(gè)方面：模擬信號(hào)抽樣時(shí)的量化誤差，相當(dāng)于引人一個(gè)誤差序列e(n)；e(n)在系統(tǒng)中傳遞，最后出現(xiàn)在輸出端；系統(tǒng)的系數(shù)也要量化，量化就必然產(chǎn)生誤差，該誤 差一定會(huì)影響系統(tǒng)的性能；系統(tǒng)中加、減和乘法運(yùn)算將產(chǎn)生舍入誤差。