【數(shù)學】平面向量的概念 課件 2023-2024學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第六章平面向量及其應用向量這一概念是由物理學和工程技術抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學和工程技術的重要工具，向量之所以有用，關鍵是它具有一套良好的運算性質，通過向量可把空間圖形的性質轉化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關問題。向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運算法則，包括加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運算法則等。之后，又將向量與坐標聯(lián)系起來，把關于向量的代數(shù)運算與數(shù)量(向量的坐標)的代數(shù)運算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關幾何問題又提供了兩種方法——向量法和坐標法。本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。本節(jié)從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。6.1平面向量的概念一、向量的實際背景向量，最初被應用于物理學。很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到?！跋蛄俊币辉~來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。

OBA湖面上有三個景點O,A,B,一游艇將游客從景點O送至景點A,半小時后,游艇再將游客送至景點B.1.在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？向量的實際背景與概念2.物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力,被拉長或壓縮的彈簧的彈力…力是常見的物理量，也是既有大小又有方向的量.

創(chuàng)設情境老鼠為什么認為貓是“傻貓”?

貓的速度再快也沒用，因為方向錯了。

50m/s10m/s傻貓故事：南轅北轍——《戰(zhàn)國策》戰(zhàn)國后期，魏國國力漸衰,可是魏王想出兵攻伐趙國.謀臣季梁前來勸阻伐趙。季梁為了打動魏王，來了個現(xiàn)身說法。季梁說：“今天我在來此的路上，遇見一個人坐車朝北而行，告訴臣說‘我想要去楚國。’臣說‘楚國在南方，為什么要朝北走？’那人的回答是：‘我的馬好，跑得快?！业穆焚M多著呢。’‘我的馬夫最會趕車。’結果：那人離楚國越來越遠。結果怎么樣了？以上兩則故事，告訴我們什么道理？找準方向+看到差距+努力=成功這兩件事告訴我們，不管是治理國家，還是抓一只小老鼠，做任何事，都要首先看準方向，才能充分發(fā)揮自己的有利條件；如果方向錯了，那么有利條件只會起到相反的作用。導入新知一、向量的概念①向量的要素是什么?②向量就是數(shù)量嗎?向量之間能否比較大小?大小方向數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、能比較大小；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.想一想位移和距離這兩個量有什么不同？位移既有大小又有方向距離只有大小沒有方向向量數(shù)量一條小船從A地出發(fā)，向西北方向航行15km到達B地，可以用什么方式表示小船的位移？北東AB由于數(shù)量可以用實數(shù)表示，而實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，所以數(shù)量可用數(shù)軸上的點表示，那么，向量該如何表示呢？探索新知二、向量的表示方法：(1)幾何表示法：有向線段.有向線段——具有一定方向的線段.以A為起點、B為終點的有向線段，記為

A（起點）B(終點)向量:與起點無關.用有向線段表示向量時,起點可以取任意位置.數(shù)學中的向量也叫自由向量.向量的模向量的大小，就是向量的長度，稱為向量的模，記作.1.向量的模；2.向量不能比大小，但是可以比大??；3.兩個特殊向量：

、

有向線段的三個要素：起點、方向、長度如圖：有向線段AB與有向線段CD是否能代表同一條有向線段嗎?1.若有向線段的起點不同,則有向線段不同2.有向線段與向量是兩個不同的概念BADC(2）字母表示法：用a、b、c等小寫字母表示；或用表示有向線段的起點和終點字母表示,如a.思考：向量與向量是不是同一向量?為什么?(3)模的概念：向量的大小即向量的長度稱為向量的模.記作：

零向量---長度(模)為0的向量叫做零向量，記作。單位向量---長度（模）等于1個單位長度的向量叫作單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點P，那么它們的終點的集合組成什么圖形？方向任意向量就是有向線段嗎？（1）有向線段——>三要素：起點、大小、方向（2）向量——>兩要素：大小、方向（2）相等向量：長度相等且方向相同向量.A1B1A3B3A4B4A2B22.零向量與零向量相等3.任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。1.若向量與相等，則記為（1）平行向量：①方向相同或相反的非零向量.向量與平行，記作②規(guī)定：零向量與任一向量平行，即(為任意向量)（2）共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。一切向量都可以在不改變它大小和方向的前提下，將它平移到任何位置。（3）相反向量：長度相等且方向相反的向量.的相反向量記作（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量.向量與向量相等判斷下列向量的概念是否正確(1)若向量a和向量b都是單位向量，則a=b（）(2)零向量和任何向量平行（）(3)相反向量一定共線（）(4)共線向量一定相等（）(5)若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是平行向量（）(6)零向量沒有相反向量（）(7)平行于同一個向量的兩個向量是平行向量（)(8)若向量a和向量b不共線，則兩個向量不平行（）×××√×√√×例1．如圖，設O

是正六邊形ABCDEF

的中心，分別寫出圖中與向量相等的向量．（1）向量與相等嗎?（2）與向量長度相等的向量有多少個？（3）與向量共線的向量有哪幾個？不相等11（3）向量的表示方法：一般可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如

若表示向量的有向線段沒有標注起點和終點字母，向量也可用黑體字母a，b，c，…（書寫時用注意用表示）.

AB

已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（）A.向量可以用表示B.向量的方向是由M指向NC.向量的起點是MD.向量的終點是MMN例題講解D向量的大小，就是向量的長度（或稱模）,記作，或者記作.（4）向量的模思考：向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？零向量：長度為0的向量，記作.單位向量：長度等于1個單位的向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，

不確定方向.故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.注意：向量是不能比較大小的,但向量的模（是正數(shù)或零）是可以進行大小比較的.有意義沒有意義模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考1：向量由其模和方向所確定.對于兩個向量，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？三.相等向量與共線向量規(guī)定：零向量與任一向量平行（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量與

平行，記作探究一向量的有關概念例1

下列說法正確的有

。（填序號）①若，則或；②若向量與是共線向量，則A,B,C,D四點必在同一條直線上；③向量與是平行向量；④任何兩個單位向量都是相等向量。③例題講解O北探究二平面向量的表示例2

如圖所示，在坐標紙上（每個小方格的邊長均為1），用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使，點A在點O北偏東方向；（2），使，點B在點A正東方向；（3），使，點C在點B北偏東方向。例題講解某人從點A出發(fā)向東走了5米到達點B，然后改變方向按東北方向走了米到達點C，到達點C后又改變方向向西走了10米到達點D。（1）作出向量；（2）求的模。

O北變式訓練探究三相等向量與共線向量例3如圖，四邊形ABCD為邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作向量，則與平行且長度為的向量有

個。8ABCD例題講解2、本例中的條件不變，如圖，與相等的向量有多少個？

延伸探究1、本例中的條