【數(shù)學(xué)】空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系同步訓(xùn)練 024學(xué)年高一下人教A版（2019）必修第二冊

答案第=page1818頁，共=sectionpages1919頁答案第=page1919頁，共=sectionpages1919頁8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系同步訓(xùn)練一、單選題1．已知平面，直線，直線不在平面上，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（）A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M3．如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．如圖，空間四邊形的對角線，，，分別為，的中點，并且異面直線與所成的角為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．65．在長方體中，若分別為的中點，過點作長方體的一截面，則該截面的周長為（

）A． B． C． D．6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且，則下列說法正確的是（）①E，F(xiàn)，G，H四點共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7．如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題9．下面四個條件中，能確定一個平面的是（

）A．一條直線 B．一條直線和一個點C．兩條相交的直線 D．兩條平行的直線10．如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（

）A．M，N，A，B四點共面 B．直線與平面相交C．直線和所成的角為 D．平面和平面的夾角的正切值為211．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點，P為線段EF上的動點，則（

）A．線段DP長度的最小值為2B．三棱錐D-A1AP的體積為定值C．平面AEF截正方體所得截面為梯形D．直線DP與AA1所成角的大小可能為三、填空題12．空間中交于一點的四條直線最多可確定平面的個數(shù)為．13．如圖，在四面體中，，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點，則線段MN的長為．14．在棱長為2的正四面體中，點滿足，點滿足，則點與平面的位置關(guān)系是；當(dāng)最小且最小時，．四、解答題15．如圖，在長方體中，，截面．(1)求證：B、P、三點共線；(2)若，，，求DP的長．16．如圖，三棱錐中，面與面互相垂直，且.求：(1)所在直線和平面所成角的大??；(2)所在直線與直線所成角的大小；17．如圖所示，在矩形中，，，為的中點，沿將△翻折，使二面角為直二面角．(1)求證：；(2)求與平面所成角的大小；(3)求二面角的正切值．18．如圖，已知直三棱柱中，，，，，，分別為棱，的中點，為線段的中點（1）試在圖中畫出過，，三點的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出該多邊形的周長；（2）該截面分三棱柱成兩部分，求其中較小那部分幾何體的體積.參考答案1．B【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案．【詳解】因為，對于A，若，則與有可能異面，故A錯誤；對于B，若，則，又，則，故B正確；對于C，若，則有可能，故C錯誤；對于D，若，則與有可能相交，故D錯誤．故選：B．2．D【分析】根據(jù)平面的基本事實，結(jié)合圖形，即可判斷選項.【詳解】∵直線，過三點的平面記作，∴與的交線必通過點和點，故選：D．3．A【分析】分別取的中點，則，，所以與所成角的大小等于，不妨設(shè)，解三角形即可.【詳解】如下圖所示：

分別取的中點，連接，由題意有，，所以與所成角的大小等于，不妨設(shè)，則，所以，又因為且，所以，；由余弦定理可得，所以與所成角的余弦值為.故選：A.4．C【分析】先平移線段，再解三角形即可.【詳解】取的中點，連接，，如圖，則，，（或其補(bǔ)角）即異面直線與所成的角，，，，.故選：C.5．D【分析】根據(jù)題意，做出截面，然后分別計算各邊長即可得到結(jié)果.【詳解】連接，過點做交于點，連接，即可得到截面，因為為中點，，所以，因為，則，且，，所以截面的周長為故選:D6．B【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實推理，再逐一判斷各個命題作答.【詳解】在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，則，且，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且，則，且，因此，點E，F(xiàn)，G，H四點共面，①正確，②錯誤；因，，即四邊形是梯形，則EF與GH必相交，令交點為M，點M在EF上，而EF在平面ACB上，則點M在平面ACB上，同理點M在平面ACD上，則點M是平面ACB與平面ACD的公共點，而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點M一定在直線AC上，④正確，③錯誤，所以說法正確的命題序號是①④．故選：B7．C【分析】由題意，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長方體的長?寬?高的邊長a，b，c的方程組，求解得，進(jìn)而可得外接球的直徑即為長方體的體對角線長，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設(shè)長方體的長?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.8．B【詳解】分析：先判斷出點的位置，確定使得取得最大值和最小值時點的位置，然后再通過計算可求得線段長度的取值范圍．詳解：如下圖所示，分別取棱的中點M、N，連MN，，

∵分別為所在棱的中點，則，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面AEF，AE?平面AEF，∴∥平面AEF，又，∴平面∥平面AEF．∵P是側(cè)面內(nèi)一點，且∥平面AEF，∴點P必在線段MN上．在中，．同理，在中，可得，∴為等腰三角形．當(dāng)點P為MN中點O時，，此時最短；點P位于M、N處時，最長．∵，．∴線段長度的取值范圍是．故選B．點睛：本題難度較大，解題時要借助幾何圖形判斷得出使得取得最值時的點P的位置，然后再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算．9．CD【解析】逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】對于選項A：一條直線不能確定一個平面，故選項A不正確；對于選項B：一條直線和直線外的一個點可以確定一個平面，一條直線和直線上的一個點不能確定一個平面，故選項B不正確；對于選項C：兩條相交的直線可以確定一個平面，故選項C正確；對于選項D：兩條平行的直線可以確定一個平面，故選項D正確；故選：CD10．BCD【分析】A：連接，根據(jù)、、與面位置關(guān)系即可判斷；B：為中點，連接，易得，根據(jù)它們與面的位置關(guān)系即可判斷；C：若分別是中點，連接，易知直線和所成的角為，再證明△為等邊三角形即可得大?。籇：若分別是中點，求面和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可.【詳解】A：連接，如下圖面，而面，面，所以M，N，A，B四點不共面，錯誤；B：若為中點，連接，N為棱的中點，由長方體性質(zhì)知：，顯然面，若面，而面，顯然有矛盾，所以直線與平面相交，正確；C：若分別是中點，連接，由長方體性質(zhì)易知：，而，故，即直線和所成的角為，由題設(shè)，易知，即△為等邊三角形，所以為，正確；D：若分別是中點，顯然，易知共面，所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，而面面，長方體中，，如下圖，為和面夾角的平面角，，正確.故選：BCD11．BC【分析】對于A：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷DP的最小值位置，求得即可判斷；對于B：線面平行時，線上的點到面的距離相等，再根據(jù)三棱錐D-A1AP的體積等于三棱錐P-A1AD的體積可判斷；對于C：作出平面AEF截正方體所得截面即可判斷；對于D：作出直線DP與AA1所成的角，并求出對應(yīng)的正切的最小值即可判斷.【詳解】對于A：，當(dāng)點為的中點時，此時DP長度的最小，最小值為，A錯；對于B：平面，點到平面的距離等于到平面的距離，故三棱錐D-A1AP的體積等于三棱錐P-A1AD的體積也等于三棱錐E-A1AD的體積，為，B正確；對于C：如圖平面AEF截正方體所得截面為四邊形，因為，且，所以四邊形為梯形，C正確；對于D：過點作于點,連接,則平面，所以,則直線DP與AA1所成角的大小為或其補(bǔ)角，令則，令，，當(dāng)時，，當(dāng)，而在上單調(diào)遞增，所以，即，故直線DP與AA1所成角的大小不可能為，D錯.故選：BC12．6個【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，交于一點的四條直線，要使確定平面最多，則任意三條直線都不共面，列舉出所有可能平面，即可得答案.【詳解】空間中交于一點的四條直線，要使確定平面最多，則任意三條直線都不共面，任意兩條直線確定一個平面，若四條直線分別為，所以各確定一個平面，共有6個平面.故答案為：6個13．或【分析】取的中點，連接、，求出的值，利用余弦定理可求得線段的長.【詳解】取的中點，連接、，、分別為、的中點，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，則或.在中，.若，則為等邊三角形，此時，；若，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．14．平面【分析】由四點共面和三點共線的性質(zhì)（系數(shù)之和為1），由滿足可知與共面，由點滿足可知與共線.根據(jù)最小且最小時，確定出的具體位置，然后根據(jù)數(shù)量積進(jìn)行計算.【詳解】解：由四點共面定理及三點共線定理可知：平面，直線，當(dāng)最小且最小時，則是等邊的中心，是邊中點.所以，,又因為是邊中點，所以故.故答案為：平面，【點睛】本道題從空間四點共面和三點共線的常用結(jié)論，判斷出點的位置，然后又考查到向量加法的一個重要中線性質(zhì)，把數(shù)量積中一個向量用中線性質(zhì)表示出來，把數(shù)量積的求解變得簡單了許多，這是一道向量的綜合類題目，考查了向量的多個知識點.15．(1)見解析；(2).【分析】（1）證明出點在平面與平面的交線上即可；（2）由（1）推理出點為與交點，利用三角形重心的特點即可得到答案.【詳解】（1）平面，所以平面，又平面,平面平面，所以,即三點共線.（2）連接，再連接，交于點，由（1）及，則點為與交點，，四邊形為平行四邊形，是中點，又是的中點,所以點是的重心,所以,又因為,所以,所以.16．(1)(2)【分析】（1）過點作，證得平面，得到為直線與平面所成的角，直角中，求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，證得平面，得到，即可求解；【詳解】（1）解：過點作于點，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)且，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即直線與平面所成的角為.（2）解：由，且，平面，所以平面，因為平面，所以，所以直線所在直線與直線所成角為.17．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，即可證明直線面，再由線面垂直證明線線垂直即可；（2）過作垂直于,則即為所求，利用幾何關(guān)系即可求得角度；（3）根據(jù)（1）（2）所得，作出二面角的平面角，再利用幾何關(guān)系求解即可.【詳解】（1）在矩形中，因為為中點，故可得，在中，由勾股定理可得：；同理，在中，可得：，故在中，滿足，故可得：；又二面角為直二面角，且面面,又面，，故可得面；又面，故可得.（2）取中點為，連接，如下圖所示：因為為中點，故可得；又二面角為直二面角，且面面，面，且，故面，則即為所求與面所成角.在中，，故可得，又，故.即與平面所成角的