【三年級(jí)】數(shù)學(xué)奧林匹克小學(xué)教材

通用數(shù)學(xué)奧林匹克小學(xué)教材三年級(jí)第一學(xué)期一、圖形中的變化規(guī)律在這一講內(nèi)容中，我們主要向同學(xué)們介紹如何觀察圖形的變化規(guī)律。觀察圖形的變化，可以從圖形的形狀、位置、方向、顏色、例1順序觀察給出圖形的變化，按照這種變化規(guī)律，在空格中填上應(yīng)有的圖形。分析與解本題目所給出的八個(gè)圖，其形狀都是箭。所以可以肯定空格處的圖形也是箭；在方向上，每一行圖從左至右都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90w21464X為下一個(gè)圖形的方向。依照這樣的每旋轉(zhuǎn)90%u65292X箭尾上的“羽毛”將減少一對(duì)，依照這個(gè)規(guī)律，空格中的箭，其尾部的“羽毛”沒(méi)有了，成了光禿禿的一支箭。如圖2。1例2依照下面圖3中所給圖形的變化規(guī)律，在空格中填圖。圖3分析與解我們按花盆、花莖、花葉、花朵四部分逐步觀察。(1)花盆花盆的形狀每一行都是由三種形狀組成，所以第三行中所缺的形狀便是應(yīng)填的圖案中的花盆的形狀；花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、畫(huà)有斜線(xiàn)的三類(lèi)組成，圖中已有白、畫(huà)有斜線(xiàn)的二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色。見(jiàn)圖4中的(1)。(2)花莖花莖的形狀為魚(yú)鉤狀。每一行中花莖的方向都是由兩個(gè)向右的和一個(gè)向左的組成，第三行中已有一個(gè)向右的和一個(gè)向左的，所以應(yīng)填的花莖的方向?yàn)橄蛴业摹?3)花葉先觀察花葉的數(shù)量，每一行中都是有兩個(gè)有花葉、一個(gè)沒(méi)有花葉，第三方向，每一行中花葉的方向有兩種，即向上和右平展，所以所填圖案的花葉的方向?yàn)?(4)花朵前面兩行中每一行的花朵分別為圓、正方形和心形三種形狀，所以第三行中所填圖案的花朵應(yīng)為圓形。見(jiàn)圖4中的(4)。經(jīng)過(guò)對(duì)圖形四部分的分析，空格中應(yīng)填的圖形應(yīng)為圖4中的(4)。分析與解先找出第一行中圖形的變化規(guī)律，然后再依照此規(guī)律，在空白處填畫(huà)所缺的那么變成?從圖5的第一行可以看到：當(dāng)左邊的圖形變化成右邊的圖形時(shí)，圖形外部的圓變?yōu)閳D形的下半部，且圓變成半圓，白色變成畫(huà)有斜線(xiàn)的。也就是說(shuō)，在變化過(guò)程中，原來(lái)圖形的外部有形狀、位置、顏色這三個(gè)方面的變化，所以，第二行左邊圖形的外部的正方形應(yīng)變?yōu)榭瞻滋幩顖D形的下半部，為半個(gè)正方形，且畫(huà)有斜線(xiàn)。3再看第一行中原圖形的內(nèi)部，正方形的大小沒(méi)有變化，位置發(fā)生了變化，變成斜為白色正著放的正方形。根據(jù)上面的分析，空白處所填圖形如圖6。例4按照下列圖形的變化規(guī)律，空白處應(yīng)是什么樣的圖形??分析與解先看圖中不變的部分。在整個(gè)變化過(guò)程中，圖形中大小兩個(gè)正方形沒(méi)有變化，因此可以肯定空白處的圖形一定是大小兩個(gè)正方形，位置是一里一外。變化的部分可以分為兩部分：(1)圖形中的直線(xiàn)段部分，其變化規(guī)律是每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90%u65292X因此空白處圖中的直線(xiàn)段應(yīng)是圖8的形狀。4(2)圖中的陰影部分，是在小正方形的對(duì)角線(xiàn)的左右兩邊交替出現(xiàn)的，因此空白處圖中的陰影部分應(yīng)在小正方形對(duì)角線(xiàn)的右邊。根據(jù)上面的分析，可畫(huà)出空白處的圖形，如圖9所示。例5在下面圖形中找出一個(gè)與眾不同的。而且三角形與圓的顏色互換了一下。(4)的形狀相同，只是位置和顏色不5(2)和(5)是一組圖形，圖形的形狀相同，位置和顏色發(fā)生了變化。根據(jù)上面的分析，(2)與(5)配對(duì)，(1)與(3)配對(duì)，因此與眾不同的圖形例6下圖中，哪個(gè)圖形與眾不同?圖12分析與解這五輛汽車(chē)的車(chē)窗一致，車(chē)輪一致，車(chē)底一致，差別在車(chē)頭與車(chē)身上。從車(chē)頭看，(1)與(3)相同，由兩條直線(xiàn)段組成；(4)與(5)相同，由一條曲線(xiàn)段構(gòu)成。只有(2)與眾不同。從車(chē)身看，(1)與(2)相同，由兩條直線(xiàn)段和一條曲線(xiàn)段構(gòu)成；(4)與(5)相同，由三條直線(xiàn)段構(gòu)成。只有(3)由一條直線(xiàn)段和一條曲線(xiàn)段構(gòu)成。6從車(chē)頭、車(chē)身這些特征比較出來(lái)的圖形，理由不足以說(shuō)服人，我們把車(chē)頭、車(chē)身綜合起來(lái)考慮，發(fā)現(xiàn)(1)由四條直線(xiàn)段和一條曲線(xiàn)段組成，而(2)、(3)、(4)、(5)由三條直線(xiàn)段和一條曲線(xiàn)段組成。因此，與眾不同的汽車(chē)是圖12中的(1)。練習(xí)一1.觀察下圖13中所給出圖形的變化規(guī)律，然后在空白處填畫(huà)上所缺的圖形。2.觀察圖14中所給出圖形的變化規(guī)律，然后在空白處填畫(huà)上所缺的圖形。3.在題目后面給出的四個(gè)圖形中，哪一個(gè)圖形填在空白處能符合圖形的變化規(guī)律?選擇答案74.在圖16中，按變化規(guī)律填圖。變成5.在下圖中，找出與眾不同的圖形。二、分析數(shù)之間的規(guī)律在上一講的內(nèi)容里，我們向同學(xué)們介紹了如何觀察與分析圖形之間的變化規(guī)律，在這一講中，主要介紹如何分析數(shù)之間的變化規(guī)律。例1觀察分析下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后填空。8分析與解分析一列數(shù)的變化規(guī)律，一般是順序?qū)@列數(shù)中相鄰的幾個(gè)數(shù)進(jìn)行相同的四則運(yùn)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，從中找到規(guī)律。(1)依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，差都是4,所以應(yīng)填21;(2)依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，它們的差依次為：2,4,6,那么下一個(gè)差便應(yīng)該是8,所以應(yīng)填30;(3)由于1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)為5×5,填(4)因?yàn)?=2,4=2×2,8=2×2×2,16=2×2×2×2,因此下一個(gè)數(shù)應(yīng)為5個(gè)2相乘，填32。也可以這樣分析：從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是相鄰前面數(shù)的2倍，所以空白處填16×2=32。(5)由于5-4=1,7-5=2,11-7=4,19-11=8,觀察1,2,4,8一個(gè)數(shù)的2倍便是它后面的數(shù)，所以8后面應(yīng)是16,而19+16=35,所以應(yīng)填35。對(duì)于一列數(shù)的變化規(guī)律的分析，經(jīng)常是對(duì)這列數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算，然后依次將運(yùn)算結(jié)果寫(xiě)下來(lái)，組成新的一列數(shù)，轉(zhuǎn)而考察新的這列數(shù)的變化規(guī)律，從而得出原來(lái)那列數(shù)的變化規(guī)律。例2觀察下面各數(shù)列的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空：9 。 。分析與解(1)表面上看這列數(shù)規(guī)律不明顯，那是因?yàn)槲覀兊难酃庵痪窒抻凇跋噜彽膬蓚€(gè)數(shù)”之間，僅對(duì)這兩個(gè)數(shù)依次進(jìn)行計(jì)算、比較結(jié)果?，F(xiàn)在我們隔著看，將這列數(shù)分成兩列數(shù)，即第一列數(shù)7,10,14,19,它們相鄰兩數(shù)之差依次為3,4,5,所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)為：19+6=25;而第二列數(shù)14,12,9,5,相鄰兩個(gè)數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù))依次為2,3,4,所以第二列數(shù)中下一個(gè)數(shù)應(yīng)為：5-5=0。因此，兩個(gè)空格中的數(shù)依次為25、0;(2)“空項(xiàng)”出現(xiàn)在一列數(shù)的中間比出現(xiàn)在這列數(shù)的最后分析規(guī)律要困難一些，因?yàn)檫@列數(shù)在“空項(xiàng)”處斷開(kāi)，則我們分析這列數(shù)的變化規(guī)律時(shí)，往往也在此斷開(kāi)，然后再在“空項(xiàng)”處試驗(yàn)填數(shù)，看看此數(shù)填進(jìn)去后，能否使前后兩邊數(shù)的規(guī)律統(tǒng)一起在這列數(shù)中，前面三個(gè)數(shù)中相鄰的兩數(shù)之差為1,2,后面的兩數(shù)之差為16,如果插進(jìn)去一個(gè)數(shù)，將會(huì)又產(chǎn)生兩個(gè)差，即1,2,,,16,不難看出這兩個(gè)空分別填4,8,就使差所構(gòu)成的這列數(shù)1,2,4,8,16規(guī)律統(tǒng)一，而10+4=14,14+8=22,所以應(yīng)填14;(3)觀察相鄰兩數(shù)，發(fā)現(xiàn)5×3-1=14,14×3-1=41,41×3-1=122,也就是說(shuō)前一個(gè)數(shù)的3倍比后一個(gè)數(shù)多1。所以應(yīng)填365;(4)前面兩個(gè)數(shù)之和等于相鄰后面的數(shù)，如1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,8+13=21,所以應(yīng)填34;(5)前面兩個(gè)數(shù)之積等于相鄰后面的數(shù)，如1×2=2,2×2=4,2×4=8,4×8=32,所以應(yīng)填256。例3觀察下面各題中數(shù)的變化規(guī)律，然后填出各題中所缺的數(shù)：1分析與解(1)填這種題中所缺的數(shù)，要注意聯(lián)系行與行、列與列之間數(shù)的規(guī)律。觀察這三行數(shù)，發(fā)現(xiàn)第三行的2倍正好等于第一行與第二行的和。因此，空格處填5×2(2)觀察這四列數(shù)之間數(shù)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一列，第三列，第四列數(shù)的和等于第二列。因此，空格處應(yīng)填4+3+1=8。(1)如圖1:(2)如圖2:(3)如圖3:(4)如圖4:分析與解(1)作這種題一般先看一個(gè)圖形中各數(shù)之間的關(guān)系，然后再看其他圖形中的數(shù)是否也有這個(gè)關(guān)系，最后使幾個(gè)圖形中的關(guān)系統(tǒng)一，便找到了規(guī)律。注意到圓中上面兩個(gè)數(shù)的和等于下面兩個(gè)數(shù)的積，因此第一個(gè)空白處應(yīng)填(13+8)÷3=7,第二個(gè)空白處應(yīng)填7×2-5=9;(2)用外邊三個(gè)三角形內(nèi)的數(shù)去湊中心三角形內(nèi)的數(shù)，實(shí)際上，外邊三個(gè)三角形內(nèi)的數(shù)的積等于中心三角形內(nèi)的數(shù)的2倍，因此，空白處應(yīng)填4×3×6÷2=36;個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，設(shè)法使結(jié)果等于“后輪”中的數(shù)數(shù)減小數(shù))與正方形中的數(shù)相乘，結(jié)果應(yīng)等于圓內(nèi)的數(shù)。所以空白處應(yīng)填(5-4)×3(4)設(shè)法用三個(gè)小圓內(nèi)的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，使結(jié)果等于大圓的數(shù)。規(guī)律是：三個(gè)小圓內(nèi)數(shù)的和等于大圓內(nèi)數(shù)的一半。所以空白處應(yīng)填(5+6+9)×2=40。進(jìn)行同樣的某種四則運(yùn)算，將它們的運(yùn)算結(jié)果依次寫(xiě)下來(lái)組成新的一列數(shù)(通常這列數(shù)的變化規(guī)律是比較明顯的),通過(guò)對(duì)這列數(shù)變化規(guī)律的分析，從而了解原來(lái)那列數(shù)3.對(duì)于幾列數(shù)組成一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要同學(xué)們靈活地思考，規(guī)律沒(méi)有一4.對(duì)于找到的規(guī)律，那么它應(yīng)該適合這列數(shù)中的所有數(shù)，不能只適用于前面幾個(gè)練習(xí)二1.觀察下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空：。(1)如圖5:(2)如圖6:(3)如圖7:(4)如圖8:(5)如圖9:三、填空格(一)這星期的《數(shù)學(xué)園地》輪到小華出題了，她剛把算式(見(jiàn)下式，其中的空格表示需要填的數(shù)字)寫(xiě)出來(lái)，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明就跑了過(guò)來(lái)，想了想笑著說(shuō)：“我能猜出空格中的數(shù)字表示什么!”講一講這種有空格的題應(yīng)該怎樣填。李老師說(shuō)：“同學(xué)們先坐下，這種題叫做填空格，填空格是有一定方法的：第一步：審題和解其他數(shù)學(xué)題一樣，填空格也要審題，即通過(guò)對(duì)題目的分析，找出算式中數(shù)量之間的關(guān)系與特征，它們是確定各個(gè)空格應(yīng)填什么數(shù)字的主要依據(jù)。的空格，作為解題的突破口。這一步驟是填空格的關(guān)鍵。第三步：確定各空格所填數(shù)字從突破口開(kāi)始，依據(jù)算式的已知條件，逐個(gè)填出各個(gè)空格中的數(shù)字。有了以上三個(gè)步驟，我們才能正確迅速地填出算式。”同學(xué)們，你們知道空格中的數(shù)字是什么嗎?現(xiàn)在我們一起來(lái)分析，把空格中的數(shù)例1在右面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解(1)審題這是一個(gè)加法算式，兩個(gè)加數(shù)均是三位數(shù)，兩個(gè)加數(shù)與和的十位(2)選擇解題突破口由算式中十位上的三個(gè)數(shù)字8、5、4可以分析出，個(gè)位向十(3)確定各個(gè)空格中應(yīng)填的數(shù)字①填個(gè)位因?yàn)閭€(gè)位上數(shù)字相加的和必須向十位上進(jìn)1,而1與9相加才能向十位進(jìn)1,所以第二個(gè)加數(shù)的個(gè)位只能填9,而和的個(gè)位應(yīng)填0。此時(shí)的算式為：②填千位因?yàn)楹褪且粋€(gè)四位數(shù)，所以百位上的數(shù)字相加之后必須向千位進(jìn)1,因此這個(gè)算式中和的千位數(shù)字應(yīng)為1。③填百位百位上的兩個(gè)數(shù)字之和，加上由十位進(jìn)上的1,和應(yīng)該是19。所以百位上的兩個(gè)空格只能都填9。這樣，所有的空格就都填出來(lái)了。例2在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。1分析與解我們?nèi)园辞懊嫠f(shuō)的三個(gè)步驟進(jìn)行分析。(1)審題這是一個(gè)兩位數(shù)加三位數(shù)，和為四位數(shù)的加法算式。在算式中，個(gè)位上已經(jīng)給出了兩個(gè)數(shù)字，并且個(gè)位上的數(shù)字相加后向十位進(jìn)了1,百位上數(shù)字之和又向千位進(jìn)了1。(2)選擇解題突破口由上面的分析，顯然選擇個(gè)位上的空格作為突破口。(3)確定各空格中的數(shù)字①填個(gè)位因+3=12,所以個(gè)位上的空格應(yīng)填9。②填千位千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進(jìn)的數(shù)，因此只能是1。③填百位第二個(gè)加數(shù)的百位上的數(shù)字最大是9,而和是四位數(shù)，因此算式中十位上數(shù)字之和必須向百位進(jìn)1,所以第二個(gè)加數(shù)的百位上填9,和的百位上填0。④填十位由于算式中個(gè)位上數(shù)字之和向十位進(jìn)了1,十位上的數(shù)字相加后又向百位進(jìn)1,所以第二個(gè)加數(shù)的十位上的空格，可以填8或9。此題有兩個(gè)解：例3在右面減法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解(1)審題這是道三位數(shù)減三位數(shù)差為三位數(shù)的減法題。在算式中，個(gè)位與十位上分別給出了兩個(gè)數(shù)字，而且個(gè)位要向十位借1,十位又要向百位借1。(2)選擇解題突破口根據(jù)前面的分析，選擇被減數(shù)的個(gè)位作為解題的突破口，然后按照從低位向高位的順序依次填寫(xiě)。(3)確定各空格中的數(shù)字①填個(gè)位在算式中可以看到，減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是7,差的個(gè)位數(shù)字是4,我們知道，在減法中有下面的關(guān)系：差+減數(shù)=被減數(shù)而4+7=11,所以被減數(shù)的個(gè)位應(yīng)填1,并且向被減數(shù)的十位上借了1,這樣算式就變成了下面的形式：②填十位算式中被減數(shù)十位上的數(shù)字被個(gè)位借去1,因此剩5,而差的十位數(shù)字為9,所以被減數(shù)的十位不夠減，向百位借了1,即15-□=9,可以看出空格中應(yīng)填6。這樣算式變成了下面的形式：③填百位由上面的算式可以看到，因差的百位不能為0,被減數(shù)的百位剩4,所以減數(shù)的百位必須小于4,即可以是1、2、3,這樣差的百位數(shù)字也就確定了。此題有以下三個(gè)解：例4在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解(1)審題這是一道加減法混合運(yùn)算的填空格題，我們把加法、減法分開(kāi)考(2)選擇解題突破口在加法部分，因?yàn)槭簧嫌袃蓚€(gè)數(shù)字已經(jīng)給出，所以十位數(shù)(3)確定各空格中的數(shù)字加法部分(如右式):①填十位由右面算式可以看出，第二個(gè)加數(shù)與和的十位上均是9,所以個(gè)位上的數(shù)字之和一定向十位進(jìn)了1,十位上的數(shù)字之和也向百位進(jìn)了1。所以算式中十位上應(yīng)是□+9+1=19,故第一個(gè)加數(shù)的十位填9。②填個(gè)位由于個(gè)位上1+□的和向十位進(jìn)1,所以□中只能填9,則和的個(gè)位就為③填百位和千位由于第一個(gè)加數(shù)是兩位數(shù)，第二個(gè)加數(shù)是三位數(shù)，而和是四位數(shù)，所以百位上數(shù)字相加后必須向千位進(jìn)1,這樣第二個(gè)加數(shù)的百位應(yīng)填9,和的千位應(yīng)填1,和的百位應(yīng)填0。這樣加法部分就變成：減法部分(如下式):①填個(gè)位由于被減數(shù)的個(gè)位是0,差的個(gè)位是5,而10-5=5,所以減數(shù)的個(gè)位應(yīng)該填5。這樣減法部分的算式變成：②填十位、百位由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位必須填9,同時(shí)十位相減時(shí)必須向百位借1,這樣減數(shù)與差的十位也只能是9。這樣減法部分的算式變?yōu)椋捍祟}的答案是：十5練習(xí)三1.在下面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：2.在下面減法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：3.在下列算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：四、填空格(二)在上一講中，我們向大家介紹了加法與減法豎式中有若干個(gè)空格，可以根據(jù)算式方法。這種填空格的方法，對(duì)于有空格的乘法與除法算式，也可以進(jìn)行類(lèi)似的分析與填寫(xiě)。例1在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解(1)審題這是一個(gè)乘法算式，被乘數(shù)是三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)字是9,乘數(shù)是一位數(shù)，積是一個(gè)四位數(shù)，積的千位數(shù)字為3,積的百位數(shù)字為0,積的個(gè)位數(shù)字為1。(2)選擇解題突破口因?yàn)槌藬?shù)是一位數(shù)，當(dāng)乘數(shù)知道以后，根據(jù)乘法法則，豎式中其他的空格就可以依次填出，因此乘數(shù)是關(guān)鍵，把它作為解題的突破口。(3)確定各空格中的數(shù)字由于乘積的個(gè)位數(shù)字為1,所以可以確定出乘數(shù)為9。又因?yàn)榉e的前兩位為30,所以被乘數(shù)的最高位(即百位)為3,于是被乘數(shù)的十位與乘數(shù)9相乘后應(yīng)向百位進(jìn)3,這樣被乘數(shù)的十位應(yīng)填3。得到此題的解為：例2在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解(1)審題這是一個(gè)乘法算式，被乘數(shù)是三位數(shù)，百位上數(shù)字是3,個(gè)位上數(shù)字是7;乘數(shù)是一位數(shù)，積是一個(gè)四位數(shù)，積的千位數(shù)字為2,積的十位數(shù)字為9。(2)選擇解題突破口因?yàn)槌藬?shù)是一位數(shù)，當(dāng)乘數(shù)知道以后，根據(jù)乘法法則，豎式中其他的空格就可以依次填出，因此乘數(shù)是關(guān)鍵，把它作為解題的突破口。(3)確定各空格中的數(shù)字由于乘積的個(gè)位也是空格，所以不能從乘積的個(gè)位與被乘數(shù)的個(gè)位來(lái)分析乘數(shù)是什么數(shù)，從算式中可以看到被乘數(shù)與乘積的最高位都是已知數(shù)，因此我們從乘積的最高位進(jìn)行分析。乘積的最高兩位是2□,被乘數(shù)的最高位是3,于是：(被乘數(shù)百位)(乘數(shù))(進(jìn)位)(乘積的最高兩位)這樣我們可以確定出乘數(shù)的取值范圍，即乘數(shù)可能是6,7,8,9,下面我們進(jìn)行①如果乘數(shù)是6,根據(jù)乘法法則，得出積的個(gè)位應(yīng)填2,并向十位進(jìn)4;這樣乘數(shù)6與被乘數(shù)的十位相乘的積應(yīng)為5(加上進(jìn)上的4后為9),這樣被乘數(shù)的十位就無(wú)數(shù)可填，這說(shuō)明乘數(shù)不可能為6。②如果乘數(shù)是7,這樣乘積的個(gè)位應(yīng)填9,并向十位進(jìn)4,為使乘積的十位為9,被乘數(shù)的十位數(shù)字與乘數(shù)7相乘后積的個(gè)位應(yīng)為5,這樣被乘數(shù)的十位應(yīng)填5。接著分析乘積的百位，乘積的百位應(yīng)填4,這樣得到一個(gè)解，算式變成：③如果乘數(shù)填8,乘積的個(gè)位應(yīng)填6,并向十位進(jìn)5。為使乘積的十位為9,被乘數(shù)的十位能填3或8。當(dāng)被乘數(shù)的十位填3時(shí)，積的百位填6,得到一個(gè)解，算式變成：當(dāng)被乘數(shù)的十位填8時(shí)，算式變成下面的形式：因?yàn)榉e的千位數(shù)字為3,所以上面的算式不是本題的解。④如果乘數(shù)是9,算式變成下面的形式：因?yàn)槌朔e的千位數(shù)字為3,所以上面的算式不是本題的解。此題有下面兩個(gè)解：通過(guò)前面的例題可以看出，填乘法算式與填加法算式的分析方法相同。只是在確已給出數(shù)字的特征及相互之間的關(guān)系，應(yīng)進(jìn)行細(xì)致的分析。例3在下面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。7分析與解(1)審題這是一個(gè)除數(shù)是一位數(shù)并且有余數(shù)的除法算式。(2)選擇解題突破口因?yàn)槌龜?shù)是一位數(shù)，當(dāng)除數(shù)知道后，豎式中其他空格可依次填出，因此，除數(shù)是關(guān)鍵，把它作為解題突破口。(3)確定各空格中的數(shù)字由于余數(shù)為7,根據(jù)余數(shù)要比除數(shù)小這個(gè)原則，可以確定除數(shù)為8或9,現(xiàn)在逐一試驗(yàn)。①如果除數(shù)為8,見(jiàn)右式： ……第一行……第二行 7觀察算式可知：商的個(gè)位與除數(shù)8相乘應(yīng)得3□,所以商的個(gè)位應(yīng)填4。為了使余數(shù)得7,則算式中第二行的兩空格應(yīng)依次填3與9,這樣被除數(shù)的個(gè)位也應(yīng)填9(見(jiàn)下 □□……第一行③回……第二行 7繼續(xù)觀察算式，被除數(shù)的百位上為4,被除數(shù)的前兩位減去第一行后又余3,可以求出商的十位數(shù)字為5,這樣其他空格也就填出來(lái)了。見(jiàn)下面的算式： 回 7②如果除數(shù)填9,那么商的個(gè)位應(yīng)填4,算式中第二行空格依次填4與3,被除數(shù)的個(gè)位也填3。見(jiàn)下面算式：7因被除數(shù)的百位為4,除數(shù)是9,所以商的十位數(shù)字為4或5。若商的十位填4,則第一行空格內(nèi)應(yīng)依次填3與6,被除數(shù)十位填0,符合要求。若商的十位數(shù)字為5,則第一行空格內(nèi)應(yīng)依次填4與5,被除數(shù)十位填9,也符合07 3回⑨定，因此，在除法算式中，一般選擇除數(shù)與商作為解題的突破口。例4在下面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解(1)審題這是一個(gè)四位數(shù)除以一個(gè)一位數(shù)，商是三位數(shù)，而且商的十位數(shù)(2)選擇解題突破口由于商的十位數(shù)字已經(jīng)給出，而且商的十位數(shù)字與除數(shù)相乘的積為2□,由此可確定出除數(shù)的取值范圍為3、4。(3)確定空格中的數(shù)字①若除數(shù)為3:因?yàn)樗闶街杏鄶?shù)為0,所以除數(shù)3與商的個(gè)位相乘的積不可能等于□,因此，除數(shù)不可能為3。②若除數(shù)為4:為了敘述方便，我們先在算式中的一些空格中填入字母，并將可以直接確定的空格填上數(shù)，如下式：④……第一行0字依次為3與0。575×4=2300或675×4=2700于是得到此題的兩個(gè)解為：練習(xí)四1.在下面乘法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：五、數(shù)字謎(一)數(shù)字謎與我們前面學(xué)習(xí)的填豎式一樣，也是一種鍛煉我們思維的體操，它對(duì)于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高分析問(wèn)題的能力是非常有益的。數(shù)字謎的分析思考方法和填豎式的致范圍，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，確定各漢字或字母所代表的數(shù)字。例1下邊加法算式中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?奧林匹克林匹克 克分析與解在這個(gè)加法算式中，加數(shù)個(gè)位上的數(shù)字均相同，并且它們和的個(gè)位為0,所以選擇個(gè)位作為解題的突破口。(1)填個(gè)位在算式的個(gè)位上克+克+克+克的個(gè)位為0,所以克的取值為0或5。如果克=0,那么在算式的十位上匹+匹+匹的個(gè)位也是0,這樣匹只能取0,而不同的漢字應(yīng)代表不同的數(shù)字，所以克=5。此時(shí)算式中和的個(gè)位向十位進(jìn)2(見(jiàn)下式)。奧林匹5.(2)填十位在上面算式的十位上，匹+匹+匹的個(gè)位應(yīng)是8,而只有6+6+6=18,所以匹=6,并且十位上數(shù)字之和向百位進(jìn)2。(3)填百位在算式的百位上，林+林的個(gè)位應(yīng)為8,而4+4=8,9+9+=18,所以如果林=4,百位相加后向千位進(jìn)1,這樣奧=1。如果林=9,百位相加后向千位進(jìn)2,這樣奧=0,但是一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字不能為0,因此，得到本題的一個(gè)解為：例2下面算式中的每個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)算式成立?位借1,這樣好比學(xué)大1,這就成為解題的突破口。(1)如果個(gè)位不向十位借1,那么由十位可求出生的值為9,而個(gè)位上9-5=4,5與4相鄰，且5比4大1。得到一個(gè)解為：(2)如果個(gè)位向十位借1,那么由十位可求出生=8,而18不能拆成兩個(gè)相鄰自然數(shù)的和，因此，這種情況不可能。于是，此題只有唯一解：的字母代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?分析與解在這個(gè)加法算式中，個(gè)位與十位上都有相同的字母，所以我們選擇個(gè)位與十(1)個(gè)位與十位因?yàn)樵谒闶降膫€(gè)位上Y+N+N所得的和的個(gè)位是Y,這說(shuō)明N為0如果N=5,則個(gè)位上Y+N+N的和必向十位進(jìn)1,這樣十位上T+E+E+1的和的個(gè)位就不可能為T(mén),因?yàn)镋+E+1的和不可能為10,也就是E+E的和不可能為9。因已經(jīng)為0,所以E取5。 (2)萬(wàn)位由算式可以看出，千位肯定向萬(wàn)位進(jìn)了1,所以F與S是兩個(gè)相鄰的數(shù)，(3)千位因?yàn)榘傥豢隙ㄏ蚯贿M(jìn)了位，而百位上是三個(gè)數(shù)字相加，所以百位向千位進(jìn)1或2,而千位又要向萬(wàn)位進(jìn)1,所以千位上的字母O可能為8或9。若字母O為8,為了保證千位向萬(wàn)位進(jìn)1,則百位必須向千位進(jìn)2,這樣I=0與N=0這時(shí)百位上也不能向千位進(jìn)1,否則千位上9+1=10,I取0與N=0矛盾，所以百位向千位進(jìn)2。9+2=11,I取1。這時(shí)算式變?yōu)椋?(4)百位因?yàn)榘傥槐仨毾蚯贿M(jìn)2,并且百位上R+T+T+1,其中R最大取8(因?yàn)镺=9),所以T≥6,也就是說(shuō)T可能取6,7,8。下面進(jìn)行試驗(yàn)：還剩下2,3,4,7,8五個(gè)數(shù)字中的哪一個(gè)，所得到的X的值都不在另外四個(gè)數(shù)字中，所以T≠6。②若T=7,此時(shí)算式為：這時(shí)還剩下2,3,4,6,8這五個(gè)數(shù)字，而百位上R+7+7+1=20+X,R=8,X=3滿(mǎn)足此式，這時(shí)還剩下2,4,6這三個(gè)數(shù)字。這樣S與F就無(wú)法可取(因?yàn)?,4,6沒(méi)有兩個(gè)相鄰),所以T≠7。③若T=8,此時(shí)算式為： 這時(shí)還剩下2,3,4,6,7這五個(gè)數(shù)字，百位上若R=6,X=3,這時(shí)還剩下2,4,7,沒(méi)有相鄰的數(shù)，所以求不出F與S的值，因因而Y=6。此題的解為：例4下面算式中的每個(gè)字母都代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?分析與解這是一個(gè)五位數(shù)減四位數(shù)差為四位數(shù)的減法豎式，所以被減數(shù)的萬(wàn)位數(shù)字是關(guān)鍵。(1)填萬(wàn)位因被減數(shù)的萬(wàn)位是C,而減數(shù)與差都沒(méi)有萬(wàn)位數(shù)字，所以C=1。于是算式變成：(2)填個(gè)位由算式可以看出，個(gè)位上只有減數(shù)的個(gè)位D沒(méi)有確定，其余都是1,而1-0=1,所以D=0。這樣算式變成：(3)填千位從算式中可以看出，百位肯定沒(méi)有向千位借1,否則9-A不可能等于A。這樣10-A=A,即10=A+A,所以A=5。這時(shí)算式變?yōu)椋?4)填十位在算式十位上B-1=5,所以B=6。于是百位上E-6=1,所以E=7。同學(xué)們通過(guò)上面例題的分析不難看出：找到合適的解題突破口是解數(shù)字謎題的關(guān)鍵。在確定各數(shù)位上的數(shù)字時(shí)，我們對(duì)漢字或字母所表示的數(shù)進(jìn)行了估算，如例3中可能取6,7,8。通過(guò)估算可以縮小漢字或字母的取值范圍，減少試驗(yàn)的次數(shù)，提高解題的速度。然后對(duì)漢字或字母可能取值的每種情況，逐一枚舉試驗(yàn)，淘汰不是解答的值，最后得到所要的解答。在解許多數(shù)字謎的過(guò)程中，都需要對(duì)漢字或字母進(jìn)行類(lèi)似的分析，分析的是否合理、全面，這需要同學(xué)們?cè)诓粩嗟慕忸}過(guò)程中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，提高分析判斷問(wèn)題的能力。這也正是向同學(xué)們介紹數(shù)字謎題的一個(gè)目的。練習(xí)五1.下面各題中的字母都代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。問(wèn)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?2.下面各題中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。問(wèn)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?亞運(yùn)會(huì)+亞運(yùn)會(huì)到數(shù)學(xué)竟寒+數(shù)學(xué)比賽比賽競(jìng)數(shù)賽六、數(shù)字謎(二)在上一講里，我們學(xué)習(xí)了加法和減法算式的數(shù)字謎，這一講我們來(lái)學(xué)習(xí)乘法和除法算式的數(shù)字謎。這些題目的分析思考方法與加減法算式的分析思考方法相同，請(qǐng)同例1下面算式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?百×分析與解通過(guò)觀察，我們能很快發(fā)現(xiàn)：乘積與被乘數(shù)同為六位數(shù)，各數(shù)位上數(shù)字的順序也有一定的特征，請(qǐng)同學(xué)們自己觀察。正因?yàn)槌朔e與被乘數(shù)的位數(shù)相同，那么被乘數(shù)的最高位上的數(shù)春與乘數(shù)夏的范圍就被限制了，這正是我們解答此題的突破口。取1,乘積將超過(guò)六位數(shù)。春的范圍因?yàn)橄牡姆秶?,3,4,5,6,要保證乘積是六位數(shù)，春可以取1,2,因?yàn)橄脑谒闶街谐霈F(xiàn)三次，所以我們對(duì)夏的取值進(jìn)行試驗(yàn)。(1)夏=2,此時(shí)算式為：春2秋冬四季因?yàn)槌藬?shù)是2,所以算式中各位上運(yùn)算結(jié)果的進(jìn)位不超過(guò)1,這樣被乘數(shù)百位上的冬只能取1或6。①若冬=1,因?yàn)槌朔e的個(gè)位是冬，所以季無(wú)值可取，因此冬≠1;(2)夏=3,此時(shí)算式變?yōu)椋?此時(shí)，春只能取1,2。①若春=1,則四=4,季=0,冬=0,出現(xiàn)重復(fù)，所以春≠1。②若春=2,則乘積中的季只能為9,0,1。季取9,則乘積的個(gè)位冬=7,被乘數(shù)千位上的秋只能取0,乘積的首位數(shù)字四=6,季取0,則乘積個(gè)位上的冬=0,出現(xiàn)重復(fù)，所以季≠0;季取1,則乘積中個(gè)位上的冬=3,與夏=3重復(fù)，所以季≠1。(3)夏=4,此時(shí)算式為：春4秋冬四季四季春4秋冬此時(shí)春只能取1,2。①若春=1,則四=5,冬=8,季=7,秋=2,得到另一個(gè)解：②若春=2,則四=9,這樣十位要向百位進(jìn)3,那么被乘數(shù)百位上的冬與4相乘的積的個(gè)位就為1,則冬無(wú)值可取，所以春≠2。(4)若夏=5,此時(shí)算式為：春5秋冬四季四季春5秋冬此時(shí)，春只能取1,乘積個(gè)位上的冬必為0,那么百位上冬與5相乘的積再加上十位的進(jìn)位不可能等于5,因此夏≠5。(5)若夏=6,此時(shí)算式為：X春6秋冬四季6四季春6秋冬此時(shí)，春只能為1,則四=9,這樣被乘數(shù)的十位9與6相乘后向百位進(jìn)5,被乘數(shù)的百位冬與6相乘的積的個(gè)位就應(yīng)為1,因此冬無(wú)值可取，故夏≠6。么數(shù)時(shí)，算式成立?的式子改寫(xiě)成：因?yàn)闄M式中數(shù)字之間的關(guān)系不如豎式明顯，所以還可以進(jìn)一步改寫(xiě)成：盼盼盼盼盼盼這樣就變成我們比較熟悉的形式了。在這個(gè)算式中，因?yàn)槌朔e的六位數(shù)字均相同，并且算式中被乘數(shù)的個(gè)位與乘數(shù)是相同的兩個(gè)字母，所以我們由此進(jìn)行分析。因?yàn)闅w×歸的個(gè)位不能與歸相同，所以歸只能取2,3,4,7,8,9。(1)歸=2,則盼=4,這時(shí)算式為：則香=港=已=經(jīng)=回=2,出現(xiàn)重復(fù)，所以歸≠2。(2)歸=3,則盼=9,乘積為999999,因?yàn)?99999÷3=333333,所以有香=港=已=經(jīng)=回=3,出現(xiàn)重復(fù)，所以歸≠3。(3)歸=4,則盼=6,乘積為666666,因?yàn)?66666÷4有余數(shù)，所以歸≠4。(4)歸=7,則盼=9,乘積為999999,因?yàn)?99999÷7=142857,所以香=1,港=4,已=2,經(jīng)=8,回=5,得到一個(gè)解：(5)歸=8,則盼=4,乘積為444444,因?yàn)?44444÷8(6)歸=9,則盼=1,乘積為111111,這顯然是不可能的，因此歸≠9。說(shuō)明：從例2的分析與解答過(guò)程中我們可以看到，靈活地利用乘法與除法是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，有時(shí)可以很巧妙地解題。例3下面算式中不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。當(dāng)算式中各字母分別代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?乘積各位上的數(shù)字的排列順序，恰恰與被乘數(shù)各位上的數(shù)字的排列順序相反。因?yàn)槌藬?shù)是9,而乘積與被乘數(shù)同是四位數(shù)，所以被乘數(shù)的千位數(shù)字A便成為解(1)確定A的值由上面的分析可知，A=1,這時(shí)算式變成下面的形式：(2)確定D的值在豎式的個(gè)位上，已有兩個(gè)數(shù)字9與1,只剩下一個(gè)字母D,而D×9的個(gè)位應(yīng)是1,只有9×9=81,所以D=9。(3)確定B的取值因?yàn)樗闶街谐朔e的百位不能向千位進(jìn)位，否則乘積就為五位數(shù)，的個(gè)位應(yīng)取2,而只有8×9=72,所以說(shuō)明：在解有關(guān)數(shù)字謎的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1.要注意算式中各漢字、字母或其他符號(hào)都只能取0至9中的某一個(gè)數(shù)字。數(shù)量關(guān)系去正確選擇解決問(wèn)題的突破口。3.突破口的選擇，往往是從確定的一個(gè)數(shù)(比如加數(shù)、和、乘數(shù)、被乘數(shù)、積、某一部分積、商或某一個(gè)余數(shù))的個(gè)位、首位或其他數(shù)位上的數(shù)字入手。4.試驗(yàn)法在數(shù)字謎題的分析解答過(guò)程中是必不可少的一種方法。在試驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)先進(jìn)行估算和分析，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，從而減少試驗(yàn)次數(shù)，加快解題的速度，并在其中積累一些經(jīng)驗(yàn)，逐步養(yǎng)成良好的分析思考的習(xí)慣。練習(xí)六1.下面各題中的每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，以下各算式都成立?科(3)春夏秋冬四季÷\u26149X=四季春夏秋冬2.下面算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字，那么;奧+林+匹+克+學(xué)+校+招+生3.下面算式中的每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。問(wèn)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?4.一個(gè)六位數(shù)ABCDEF,各位上的數(shù)字均不相等，它乘以3、乘以5分別是：這個(gè)六位數(shù)是。七、三階幻方在3×3(三行三列)的正方形方格中，既不重復(fù)又不遺漏地填上1～9這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)自然數(shù)的和均相等，通常這樣的圖形叫做三階幻方。如果是在4×4(四行四列)的方格中進(jìn)行填數(shù)，就要不重不漏地在4×4方格中填上16個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，并且使方格的每行、每列及每條對(duì)角線(xiàn)上的四個(gè)自然數(shù)之和均相等，這樣填出的圖形就叫做四階幻方。幻方實(shí)際上就是一種填數(shù)游戲，它不僅限于三階、四階，還有五階，六階，……,直到任意階。一般地，在nxn(n行n列)的方格里，既不重復(fù)也不遺漏地填上nxn個(gè)連續(xù)的自然數(shù)(注意，這n×n個(gè)連續(xù)自然數(shù)不一定非要從1開(kāi)始),每個(gè)數(shù)占1格，并使排在每一行、每一列以及每條對(duì)角線(xiàn)上的n個(gè)自然數(shù)的和都相等，我們把這個(gè)相等的和叫做幻和，n叫做階，這樣排成的數(shù)的圖形叫做n階幻方。這里我們主要學(xué)習(xí)三階幻方。例1用1～9這九個(gè)數(shù)編排一個(gè)三階幻方。bcdef6h圖1圖2分析與解先用a,b,c,..,i分別填入圖1的九個(gè)空格內(nèi)，以代表應(yīng)填的數(shù)，如圖(1)審題首先我們應(yīng)知道幻和是多少才好進(jìn)行填數(shù)。同時(shí)我們可以看到圖2中e是一個(gè)很關(guān)鍵的數(shù)，因?yàn)樗謩e要與第二行、第二列以及兩條對(duì)角線(xiàn)上的另外兩個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算，結(jié)果都等于幻和；其次是三階幻方中四個(gè)角上的數(shù)：a,c,g,i,它們各自都要參加一行、一列及一條對(duì)角線(xiàn)的求和運(yùn)算。如果e以及四個(gè)角上的數(shù)被確定之后，其他的數(shù)字便可以根據(jù)幻和是多少填寫(xiě)出來(lái)了。(2)求幻和幻和=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3(3)選擇解題突破口突破口顯然是e,在圖2中，因?yàn)閍+e+i=b+e+h=c+e+g=d+e+f=15,因?yàn)閍+b+c+d+e+f+g+h+i=45,所以45+3×e=60所以3×e=60-45也就是說(shuō)，圖1中的中心方格中應(yīng)填5,請(qǐng)注意，這個(gè)數(shù)正好是1～9這九個(gè)數(shù)中正中間的數(shù)。(4)四個(gè)角上的數(shù)a,c,g,i的特點(diǎn)先從a開(kāi)始討論：a是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果a為奇數(shù)，因?yàn)閍+i=10,所以i也是奇數(shù)。因?yàn)閍+d+g=15,所以d與g以f,h也只能是奇數(shù)。這樣在圖1中應(yīng)填的數(shù)有a,d,e,f,g,h,i而1～9這九個(gè)數(shù)中只有五個(gè)奇數(shù)，矛盾。說(shuō)明d,g不可能為奇數(shù)。②當(dāng)d,g為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)閐+f=10,g+h+i=15,c+g=10,因?yàn)閕為奇數(shù)，所以f,h,c只能是偶數(shù)，這樣就有c,d,f,g,h五個(gè)偶數(shù)，而1～9這九個(gè)數(shù)中只有四個(gè)偶數(shù)，矛盾。說(shuō)明d,g用同樣的方法可以得到c,g也只能是偶數(shù)。也就是說(shuō)，圖1中四個(gè)角上的數(shù)都應(yīng)(5)試驗(yàn)填數(shù)排出幻方因?yàn)閑=5,a,c,g,i是偶數(shù)，所以a的范圍有2,4,6,8四個(gè)數(shù)，根據(jù)幻和等可填4,6。若c=4,則有g(shù)=6,b=9,d=7,f=3,h=1;則有g(shù)=4,b=7,d=9,f=1,h=3,這樣填出兩個(gè)三階幻方。當(dāng)a=4,6,8時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們自己用上面的方法進(jìn)行試驗(yàn)填數(shù)，作為練習(xí)。用1～9這九個(gè)數(shù)編排的三階幻方有八個(gè)，如圖3所示。4923574923576436951276294753618818357492672159834834158672276951438618753294圖3說(shuō)明：在上面圖形中給出的用1～9這九個(gè)數(shù)編排的八個(gè)三階幻方中的任何一個(gè)，都可以對(duì)它上面的數(shù)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?duì)調(diào)與旋轉(zhuǎn)，從而得到其余七個(gè)圖形。因此，我們把這八個(gè)圖形給出的八個(gè)幻方算作是同一種三階幻方。例2如下圖的3×3的陣列中填入了1～9的自然數(shù)，構(gòu)成了大家熟知的三階幻方?，F(xiàn)在另有一個(gè)3×3的陣列，請(qǐng)選擇九個(gè)不同的自然數(shù)填入九個(gè)方格中，使得其中最大者為20,最小者大于5,且每一橫行、每一豎行及每條對(duì)角線(xiàn)上三個(gè)數(shù)的和都相等。492357816圖5分析與解所給的三階幻方中填入的是1～9這九個(gè)不同的自然數(shù)，其中最大的為9,最小的為1,要使新編制的幻方中最大數(shù)為20,而9+11=20,因此，如果在所給幻方中各數(shù)都增加11,就能構(gòu)成一個(gè)新幻方，并且滿(mǎn)足最大數(shù)為20,最小數(shù)大于5。圖6例3請(qǐng)編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為24。分析與解根據(jù)題意，要使三階幻方的幻和為24,所以中心數(shù)必為24÷3=8。那么與8在一條直線(xiàn)上的各個(gè)組的其余兩個(gè)數(shù)的和為16。按上述條件填出并調(diào)整可得到一個(gè)三階幻方，其幻和為24(如圖7)。788459圖7處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使其成為一個(gè)三階幻方。A7DBC8分析與解從第一行和對(duì)角線(xiàn)可得，這樣幻和=9+15+6=30從第一行中可求出從第二行中可求出B=30-(10+15)=5;從第三行中可求出C=30-(11+6)=13。例5在3×3的陣列中，第一行第三列的位置上填5,第二行第一列的位置上填6,如圖9。請(qǐng)你在其他方格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個(gè)方向的三個(gè)數(shù)之和均AB56CDEFG分析與解為了敘述方便，我們將其余格內(nèi)的數(shù)用字母表示，如圖10。因?yàn)榛煤蜑?6,所以可求出中心數(shù)為：36÷3=12,即C=12。從第二行中可求出D=36-(6+12)=18;從對(duì)角線(xiàn)中可求出E=36-(5+12)=19;從第一列中可求出A=36-(6+19)=11;從第一行中可求出B=36-(11+5)=20;從第二列中可求出F=36-(20+12)=4;從第三列中可求出G=36-(5+18)=13。得到的三階幻方如圖11。564從上面的例題我們不難看出：要填出一個(gè)三階幻方，中心數(shù)起著至關(guān)重要的作用。利用幻和=中心數(shù)×3這個(gè)關(guān)系式，在已知幻和的情況下，可先求出中心數(shù)；在已知中心數(shù)的情況下，可求出幻和，以便其他數(shù)的求出。練習(xí)七1.用1～9這九個(gè)數(shù)字補(bǔ)全圖12中的幻方，并求出幻和。圖122.用3～11這九個(gè)數(shù)補(bǔ)全圖13中的幻方，并求出幻和。4853.在圖14的空格中填入不大于15且互不相同的自然數(shù)(其中已填好一個(gè)數(shù)),使每一橫行、豎列和對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和都等于30。重曲重曲重,,圖14的圓內(nèi)，使每一橫行、每一豎行、兩條對(duì)角線(xiàn)中三個(gè)數(shù)的和都相等。圖155.將九個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入3行3列的九個(gè)空格中，使每一橫行、每一豎列及每一條對(duì)角線(xiàn)上三個(gè)數(shù)的和都等于45。6.將從1開(kāi)始的九個(gè)連續(xù)奇數(shù)填入3行3列的九個(gè)空格中，使每一橫行、每一豎列及兩條對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和都相等。八、邏輯推理在有些問(wèn)題中，條件和結(jié)論中不出現(xiàn)任何數(shù)和數(shù)字，也不出現(xiàn)任何圖形，因而，它既不是一個(gè)算術(shù)問(wèn)題，也不是一個(gè)幾何問(wèn)題。所有這些問(wèn)題的解決，需要我們深入地理解條件和結(jié)論，分析關(guān)鍵所在，找到突類(lèi)問(wèn)題我們稱(chēng)它為邏輯推理。例1在一樁謀殺案中，有兩個(gè)嫌疑犯甲和乙。另有四個(gè)證人正在受到訊問(wèn)。第一個(gè)證人說(shuō)：“我只知道甲是無(wú)罪的?！钡诙€(gè)證人說(shuō)：“我只知道乙是無(wú)罪的。”第三個(gè)證人說(shuō)：“前面兩個(gè)證詞中至少有一個(gè)是真的?！钡谒膫€(gè)證人說(shuō)：“我可以肯定第三個(gè)證人的證詞是假的?！蓖ㄟ^(guò)調(diào)查研究，已證實(shí)第四個(gè)證人說(shuō)了實(shí)話(huà)，請(qǐng)你分析一下，兇手是誰(shuí)?分析與解題目中條件較多，且四個(gè)人的證詞有真有假，在這種情況下，要善于抓住關(guān)鍵，由此入手進(jìn)行有根有據(jù)的逐步推理。本題的關(guān)鍵是：第四個(gè)人說(shuō)了實(shí)話(huà)。因?yàn)榈谒膫€(gè)人說(shuō)了實(shí)話(huà)，所以第三個(gè)人的證詞是偽證，也就是說(shuō)“前兩個(gè)證詞中而判斷出甲和乙都是兇手。注意：像上面的例題，從眾多的條件中抽取關(guān)鍵的條件，往往是進(jìn)行分析和推理例2某車(chē)間新調(diào)來(lái)三名青年工人，車(chē)間趙主任問(wèn)他們?nèi)说哪挲g。小劉說(shuō)：“我22歲，比小陳小2歲，比小李大1歲?！毙￡愓f(shuō)：“我不是年齡最小的，小李和我差3歲，小李是25歲?！毙±钫f(shuō)：“我比小劉年歲小，小劉23歲，小陳比小劉大3歲?！边@三位青年工人在他們每人說(shuō)的三句話(huà)中，都有一句是錯(cuò)的。請(qǐng)你幫助趙主任分析出他們?nèi)烁魇嵌嗌贇q?分析與解本題類(lèi)似于例1,首先應(yīng)找到解決問(wèn)題的突破口。但本題又不完全同于例1,經(jīng)過(guò)審題，仔細(xì)分析這九句話(huà)，不難發(fā)現(xiàn)有兩句話(huà)是相互矛盾的。一句話(huà)是小劉說(shuō)的第一句話(huà)：“我22歲”,另一句話(huà)是小李說(shuō)的第二句話(huà)：“小劉23歲”。這兩句話(huà)不能都真，必有一句是假的。為了確定這兩句話(huà)的真假性?？梢韵燃僭O(shè)某一句為真，如果推不出矛盾，本題就獲得了解決；如果推出矛盾，就說(shuō)明這句話(huà)是假的，從而也就找到了突破口。就為假，因此小李的另外兩句話(huà)就應(yīng)該是真話(huà)，從“小陳比小劉大3歲”就推出小陳是25歲；又從“我比小劉年歲小”推出小李小于22歲?？墒沁@樣一來(lái)，小陳說(shuō)的三句話(huà)中，“小李和我差3歲”和“小李25歲”這兩句話(huà)都不能成立，這與本題中的要由于小劉說(shuō)的第一句話(huà)是假的，所以后兩句話(huà)就是真的。因此，小李說(shuō)的第三句于是就可以推出：小李22歲，小陳25歲，小劉23歲。注意：這道題我們采用的解題方法是：先假設(shè)，然后根據(jù)已知條件，進(jìn)行正確的推理。如果推出矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不合理，由此得到與假設(shè)相反的結(jié)果。如果由假設(shè)出發(fā)，沒(méi)有推出矛盾的結(jié)果，則說(shuō)明假設(shè)合理。這種方法就叫假設(shè)法，是我們解題中常用的一種方法，希望同學(xué)們能夠掌握。例3四個(gè)人打橋牌，某人手中有13張牌，四種花色樣樣都有，四種花色的張數(shù)互不相同。紅桃和方塊共5張，紅桃與黑桃共6張，有兩張將牌(主牌)。試問(wèn)這副牌以什么花色的牌為主牌?分析與解這副牌的主牌不外乎就是紅桃、黑桃、方塊、草花這四種花色中的一種。(1)假設(shè)紅桃為主牌，那么紅桃為2張，方塊有3張，黑桃有4張，因?yàn)楣灿?3張牌，所以草花有4張，這樣，黑桃與草花的張數(shù)相同。與已知條件“四種花色的(2)假設(shè)方塊為主牌，那么方塊為2張，紅桃有3張，黑桃也有3張，與已知條(3)假設(shè)草花為主牌，那么草花有2張，并且推得紅桃+黑桃+方塊共有11張牌，而已知“紅桃和方塊共5張”,“紅桃與黑桃共6張”,即得紅桃+方塊+紅桃+黑桃共11張牌。由此得到紅桃的張數(shù)應(yīng)為0。與已知條件“四種花色樣都有”相矛盾。說(shuō)明草花不是主牌。由以上推理得知：黑桃必為主牌。即黑桃有2張，可求出紅桃有4張，方塊有1張，那么草花有6張。注意：本題所用的方法，是把所有不滿(mǎn)足要求的都排除掉，剩下的就是滿(mǎn)足要求的。這種解決問(wèn)題的方法在數(shù)學(xué)中也是常見(jiàn)的，有時(shí)人們把它叫做篩法。在解決例3的過(guò)程中還用到了前面提到的假設(shè)法。例4有三個(gè)盒子，甲盒裝了兩個(gè)1克的砝碼，乙盒裝了兩個(gè)2克的砝碼，丙盒裝了一的小明只從一個(gè)盒子里取出一個(gè)砝碼，放到天平上稱(chēng)了一下，就把所有標(biāo)簽都改正過(guò)來(lái)了。你知道這是為什么嗎?分析與解解決本題的關(guān)鍵是確定打開(kāi)哪只盒子。(1)若打開(kāi)的是標(biāo)有“兩個(gè)1克砝碼”的盒子。取出一個(gè)砝碼放在天平上稱(chēng)一下，它可能是1克的，也可能是2克的。①若是1克的砝碼，那么甲盒的真實(shí)內(nèi)容為“一個(gè)1克砝碼、一個(gè)2克砝碼”,那么乙盒的真實(shí)內(nèi)容為“兩個(gè)1克砝碼”,兩盒的真實(shí)內(nèi)容為“兩個(gè)2克砝碼”。一個(gè)2克砝碼”,無(wú)法對(duì)其真實(shí)內(nèi)容作出準(zhǔn)確的判斷。(2)若打開(kāi)的是標(biāo)有“兩個(gè)2克砝碼”的盒子。放到天平上稱(chēng)過(guò)以后，它可能是1克的，也可能是2克的。一個(gè)2克砝碼”,無(wú)法對(duì)其真實(shí)內(nèi)容作出準(zhǔn)確的判斷。后可能是1克砝碼，也可能是2克砝碼。①若是1克砝碼，那么丙盒的真實(shí)內(nèi)容為“兩個(gè)1克砝碼”,乙盒的真實(shí)內(nèi)容為②若是2克砝碼，那么丙盒的真實(shí)內(nèi)容為“兩個(gè)2克砝碼”,甲盒的真實(shí)內(nèi)容為說(shuō)明：在我們解邏輯推理題時(shí)，假設(shè)法和篩法是兩種常用的方法，而且這兩種方練習(xí)八1.小王、小張和小李原來(lái)是鄰居，后來(lái)當(dāng)了醫(yī)生、教師和戰(zhàn)士。只知道：小李比誰(shuí)是教師，誰(shuí)是戰(zhàn)士?乙說(shuō)：“我沒(méi)有做案，是丙偷的?！北f(shuō)：“在甲和丁中間有一人是罪犯?！苯?jīng)過(guò)充分的調(diào)查，證實(shí)這四人中有兩人說(shuō)了真話(huà)，另外兩人說(shuō)的是假話(huà)。同學(xué)們，請(qǐng)你做一名公正的法官，對(duì)此案進(jìn)行裁決，確認(rèn)誰(shuí)是罪犯?丙判斷：不是錫，而是鐵。經(jīng)化驗(yàn)證明：有一個(gè)人的判斷完全正確，有一個(gè)人說(shuō)對(duì)了一半，而另一個(gè)人完全說(shuō)錯(cuò)了。你知道三人中誰(shuí)是對(duì)的，誰(shuí)是錯(cuò)的，誰(shuí)是只對(duì)一半的嗎?4.有一個(gè)正方體，每個(gè)面分別寫(xiě)有漢字?jǐn)?shù)、學(xué)、奧、林、匹、克。有三名同學(xué)從不同角度觀察的結(jié)果如圖1所示。問(wèn)這個(gè)正方體的每一個(gè)漢字的對(duì)面各是什么字?圖1老師只猜對(duì)了一個(gè)，那么誰(shuí)得金牌，誰(shuí)得銀牌，誰(shuí)得銅牌?同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行整數(shù)四則計(jì)算時(shí)，用的都是十進(jìn)制，即“滿(mǎn)10進(jìn)一”,對(duì)于其他進(jìn)制則感到陌生。實(shí)際上，你只要留心一下，在我們的日常生活中，不僅使用十進(jìn)制，還使用其他許多進(jìn)制呢!你不信?我舉一些例子。兩只襪子為一雙，兩只水桶為一對(duì)，這里使用的是二進(jìn)制；十二支鉛筆為一打，十二個(gè)月算一年，這里使用的是十二進(jìn)制；六十秒是一分，六十分是一時(shí)，這里使用的是六十進(jìn)制；二十四時(shí)為一天，這里使用的是二十四進(jìn)制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，這里使用的是一百進(jìn)制；1000米等于一千米，怎么樣?實(shí)際上還可以發(fā)現(xiàn)更多的這樣的例子。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的使用日益普遍，每位同學(xué)可能都使用過(guò)電子計(jì)算器吧?可是你們要知道，計(jì)算器內(nèi)部進(jìn)行的計(jì)算就使用的是二進(jìn)制數(shù)。我們經(jīng)常和計(jì)算器打交道，應(yīng)該懂一些二進(jìn)制數(shù)方面的知識(shí)。1.什么叫二進(jìn)制所謂二進(jìn)制，就是只用0與1兩個(gè)數(shù)字，在計(jì)數(shù)與計(jì)算時(shí)必須是“滿(mǎn)二進(jìn)一”。即每?jī)蓚€(gè)相同的單位組成一個(gè)和它相鄰的較高的單位(所以任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)只需用在二進(jìn)制中是10;3寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)是11;4寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)便是100,那么5呢?應(yīng)該是101。同學(xué)們按照“逢二進(jìn)一”(或“滿(mǎn)二進(jìn)一”)的法則，很容易得到以下兩種進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)照表：十進(jìn)制二進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制112345678二進(jìn)制的最大優(yōu)點(diǎn)是：每個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上只有兩種狀態(tài)——0或1。這樣，我們便可以通過(guò)簡(jiǎn)單的方法，例如白與黑、虛與實(shí)、負(fù)與正、點(diǎn)與劃、小與大、暗與亮(在計(jì)算機(jī)中主要用電壓的高與低)等等手段加以表示。下面表2中列出了在二進(jìn)制中13的幾種不同表示方法。白與黑虛與實(shí)負(fù)與正點(diǎn)與劃小與大當(dāng)然，二進(jìn)制也有不足，正如大家看到的那樣，同一個(gè)數(shù)在二進(jìn)制中要比在十進(jìn)制中位數(shù)多得多。2.十進(jìn)制與二進(jìn)制的互相轉(zhuǎn)化今天，當(dāng)我們寫(xiě)上一個(gè)數(shù)目1997時(shí)，實(shí)際上意味著我們使用了“十進(jìn)制”數(shù)，即也就是說(shuō)：1997中含有一個(gè)1000,九個(gè)100,九個(gè)10與七個(gè)1。在表1中可以看到：二進(jìn)制數(shù)10表示十進(jìn)制數(shù)2;二進(jìn)制數(shù)100,表示十進(jìn)制數(shù)4;二進(jìn)制數(shù)1000,表示十進(jìn)制數(shù)8;二進(jìn)制數(shù)10000表示十進(jìn)制數(shù)16;…;可以看出規(guī)律：二進(jìn)制數(shù)100000應(yīng)該表示十進(jìn)制數(shù)32,…。那么我們寫(xiě)下一個(gè)二進(jìn)制數(shù)10110,則應(yīng)表示它含有一個(gè)16,一個(gè)4與一個(gè)2,也就是敘述的方便，我們約定：用()表示括號(hào)內(nèi)寫(xiě)的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，如(1011);用()0表示括號(hào)中寫(xiě)的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如(37)例1把(10110),改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。例2把(1110101),改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。分析：因?yàn)槲粩?shù)太多，我們先從低位寫(xiě)起。從上面兩道例題可以看到：將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)的第一步驟是：將二進(jìn)低一位數(shù)的2倍。一個(gè)二進(jìn)制數(shù)的各個(gè)數(shù)位(由低位到高位)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)的規(guī)律是：第二個(gè)步驟是將各數(shù)位上對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)求和，所得結(jié)果便是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例3將(110100111)改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。下面我們介紹如何將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)改寫(xiě)成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。例4把(60)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。例5把(45)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。分析：(45)不足64,所以它對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的最高位是32,即45=32+13,剩下的13不足16,則向下一位考慮。45=32+0×16+(8+5),剩下的5中包含一個(gè)4,即45=32+0×16+8+4+1,最后一位數(shù)是1,又不足2,所以對(duì)應(yīng)的二進(jìn)位數(shù)(1)將(31)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)；(2)將(78)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。如要將(71)寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)，參見(jiàn)下式。我們將71除以2,余數(shù)1相應(yīng)寫(xiě)在右邊(如相應(yīng)寫(xiě)在右邊；再將這步的商17除以2,重復(fù)上述過(guò)程，直到商等于1那一列的最下面。最后將這列余數(shù)由下到上寫(xiě)成一行數(shù)，這行數(shù)便是(71)的二進(jìn)制數(shù)表示法。即例6用除二倒取余法將(38)寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)?！?用兩種方法將(107)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。解方法一方法二∵練習(xí)九2.把下面的十進(jìn)制數(shù)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。3.現(xiàn)有1克、2克、4克、8克的砝碼各一枚，在天平上能稱(chēng)出多少種不同重量的物體?想一想這是為什么?與二進(jìn)制有關(guān)嗎?十、二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算同學(xué)們一定記得，剛上一年級(jí)學(xué)習(xí)加法運(yùn)算時(shí)有加法口訣到了學(xué)習(xí)乘法的時(shí)候，所以它的四則運(yùn)算法則不可能太簡(jiǎn)單。現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了二進(jìn)制數(shù)，而二進(jìn)制數(shù)中只有利用這一規(guī)則，可以很容易地實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算。只是對(duì)于減法，當(dāng)需要向上一位借數(shù)時(shí)，必須把上一位的1看成下一位的(2)10。下面是一些例子，右邊列的是十進(jìn)制下的對(duì)照：1+1=10,本位記0,并向高位進(jìn)1(即“滿(mǎn)二進(jìn)一”)減法運(yùn)算：被減數(shù)不夠減，向高位借1當(dāng)2,2-1得1。乘法運(yùn)算：除法運(yùn)算：我們通過(guò)上面的四個(gè)例子向大家講述了二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算法則的運(yùn)用。下面再看一些例題。驗(yàn)算：驗(yàn)算是用和減去其中一個(gè)加數(shù)，它們的差應(yīng)該等于另一個(gè)加數(shù)。驗(yàn)算：驗(yàn)算時(shí)如同十進(jìn)制數(shù)中一樣，用差與減數(shù)相加，其和應(yīng)該等于被減數(shù)。例3(10110)2×\u65288X101)2=(1驗(yàn)算時(shí)，是用乘積除以被乘數(shù)(乘數(shù)),其商應(yīng)該等于乘數(shù)(被乘數(shù))。驗(yàn)算時(shí)，用商乘以除數(shù)，乘積應(yīng)該等于被除數(shù)；也可以用被除數(shù)除以商，看這時(shí)的商是否等于除數(shù)?！爱?dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)相除有余數(shù)時(shí)(余數(shù)也必須小于被除數(shù)),驗(yàn)算仍然與十進(jìn)制數(shù)時(shí)一樣，可以用商和除數(shù)相乘，再加上余數(shù)，結(jié)果應(yīng)該得被除數(shù)。練一練：(4)(100011)2÷\u65288X111)2通過(guò)以上的例題和練習(xí)，同學(xué)們可以清楚地看到：①二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算法則較十進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算法則少得多。這樣，它的四則運(yùn)算就很簡(jiǎn)單也容易掌握(注意出錯(cuò)往往在減法中的借位時(shí)發(fā)生);②由于在二進(jìn)制中只有兩個(gè)獨(dú)立的符號(hào)“1”與“0”,這就很容易根據(jù)通電和斷電，或電位的高與低來(lái)分別表示“1”與“0”,從而表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)并進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)這兩個(gè)原因(當(dāng)然還有其他原因),使得大多數(shù)電子計(jì)算機(jī)廣泛采用二進(jìn)位制，至于一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)部是怎樣表示以及計(jì)算的，這將在同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)中學(xué)到，在這里我們只是初步地了解一下。其中第10題在連加時(shí)進(jìn)位特別要注意，有三次進(jìn)位是進(jìn)2。豎式如下：練習(xí)十十一、火柴棍中的數(shù)學(xué)與游戲火柴差不多家家都有。要說(shuō)火柴與火的關(guān)系，每個(gè)同學(xué)都知道，而用火柴棍來(lái)做訓(xùn)練同學(xué)們的思維，增長(zhǎng)智慧，卻不是每個(gè)同學(xué)所熟悉的了。這一講就讓我們共同了解火柴棍中的數(shù)學(xué)與游戲，去探索變化無(wú)窮的數(shù)學(xué)世界，了解數(shù)學(xué)的奇妙，同時(shí)使大家在有趣的數(shù)學(xué)與游戲中變得更聰明。(1)移動(dòng)一根火柴，使下列等式成立。(2)添一根或去一根火柴，使等式成立。②ZX444+/Z=Z(3)移動(dòng)每個(gè)式子中的一根或兩根火柴，使下列每個(gè)算式成為一個(gè)等式。分析與解思考由火柴棍組成的算式謎的變化時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：一是在考慮使等式成立的數(shù)時(shí)，不要忽略數(shù)字只限于1、2、4、7,這就縮小了數(shù)的思考范圍。二是要掌握這些由火柴棍組成的數(shù)字。運(yùn)算符號(hào)因火柴的移、去、添而引起的變化規(guī)律。動(dòng)一根火柴的變化規(guī)律一般為：移要做到保持算式中火柴總根數(shù)不變，如，變“2”為“4”(或相反，以下相同),②把444中間的“4”變?yōu)椤?”(即去一根)。(3)①把1144②把444例2用6根火柴可以組成哪些三位數(shù)?其中最大、最小的三位數(shù)各是多少?擺一擺。分析與解先要看看組成每一個(gè)數(shù)字用幾根火柴，再算算哪三個(gè)數(shù)字結(jié)合正好用6根火用6根火柴可分別組成1、2、7與1、4、7兩組數(shù)字。用這兩組數(shù)字一共可組成12個(gè)三位數(shù)(請(qǐng)你自己擺一擺),其中最大的是741,最小的是127。例3請(qǐng)你用火柴擺一擺圖1中的三個(gè)圖形，算一算，要用72根火柴擺十個(gè)這樣的圖形，每種圖形能各擺幾個(gè)?分析與解先算一算，如果十個(gè)圖形都擺成所用火柴最少的圖形，要比應(yīng)該用的火柴少用了多少根。再數(shù)一數(shù)，如果換成另外兩種圖形，每換一個(gè)要多用幾根火柴，就可以算出要各用幾個(gè)另外的兩種圖形來(lái)?yè)Q，正好把少用的火柴數(shù)補(bǔ)齊，也就得出每種圖形能各擺幾個(gè)。如果十個(gè)都擺成如圖1(a)所示的圖形，只用火柴(6×10=)60根，比72根少用(72-60=)12根。用一個(gè)圖1(a)所示的圖形換成一個(gè)圖1(b)所示的圖形，要多用2根；用圖1(a)所示的圖形換成圖1(c)所示的圖形，要多用3根。所示的圖形去換圖1(a)所示的圖形，還剩下火柴(12-(2+3)×2=)2根。這時(shí)，只要再用一個(gè)圖1(b)去換圖1(a)就行了。72根火柴可擺圖1(a):10-2×2-1=5(個(gè))例4用24根火柴擺成(擺時(shí)火柴的首尾緊挨)的“回”字形方環(huán)，見(jiàn)圖2。(1)請(qǐng)移動(dòng)其中4根火柴，使這兩個(gè)大小不等的正方形變成兩個(gè)大小相等的正方形，應(yīng)該怎么移?(2)求移動(dòng)后所得圖形的周長(zhǎng)(已知每根火柴長(zhǎng)4厘米)。分析與解(1)移動(dòng)大正方形對(duì)角的4根火柴，成為圖3的形狀。(2)移動(dòng)后所得圖形的周長(zhǎng)：方法1:4×16=64(厘米)方法2:4×4×4=64(厘米)方法3:4×\u65288X3×4+4)=64(厘米)方法4:4×3×4+4×4=64(厘米)我們還可以用火柴來(lái)做圖形的游戲。例5用10根火柴，擺了兩只倒扣著的杯子(兩杯口之間相距1根火柴長(zhǎng)),見(jiàn)圖4,請(qǐng)你只動(dòng)4根火柴，把杯口正過(guò)來(lái)。圖4分析與解照?qǐng)D5移動(dòng)，杯口就可正過(guò)來(lái)。圖5例6下面是由火柴棍組成的十個(gè)數(shù)字和三個(gè)運(yùn)算符號(hào)：(1)移動(dòng)一根火柴，使下列公元年份相等。(2)添上一根火柴，使下列等式成立。分析與解(1)移動(dòng)一根火柴，使左右兩個(gè)公元年份數(shù)相等，就是在一個(gè)數(shù)字上拿走一根火柴，放在另一個(gè)數(shù)字上。②/3-7=/己也可以移動(dòng)原式中等號(hào)左邊“8”里的一根，使8變?yōu)?;放在等號(hào)右邊的“5”里，使5變成6,就是②移動(dòng)原式中等號(hào)右邊“6”里的一根，使6變成5;放在等號(hào)左邊靠近5的“9”里，使9變?yōu)?,就是(2)添上一根火柴，就是在原式中的某一個(gè)數(shù)字上加上一根火變成8,就是變?yōu)?,就是變?yōu)?9,就是練習(xí)十一Z7×Z+Z=4Z4.請(qǐng)你用火柴擺成三角形、正方形和五邊形三種圖形。算一算，用35根火柴擺10個(gè)圖形，每種圖形應(yīng)擺幾個(gè)?5.圖6中是一個(gè)用火柴擺成的缺了一條腿的翻倒的椅子。請(qǐng)移動(dòng)2根火柴，使椅6.火柴十四根，擺成房一間。(見(jiàn)圖7)你看怎么動(dòng)?請(qǐng)來(lái)試試看。8.有兩堆數(shù)目不同的火柴，由兩人輪流從其中任意一堆火柴中取出一根或幾根火柴，每次至少要取出一根，而且不能同時(shí)從兩堆里都拿。誰(shuí)能拿到最后的一根或幾根，誰(shuí)就獲勝。如果由你先取，你怎樣巧取火柴來(lái)保證取勝?什么樣的圖形能一筆畫(huà)成呢?這就是一筆畫(huà)問(wèn)題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲。所按照上面的要求，同學(xué)們先看圖1中的三個(gè)圖形哪個(gè)能夠一筆畫(huà)出?哪個(gè)不能一筆畫(huà)出?相連接的部分組成的，這樣的圖形當(dāng)然不能一筆畫(huà)。連成一體的圖形，我們把它叫做連通圖。連通圖是否都能一筆畫(huà)呢?在什么條件下能夠一筆畫(huà)?有沒(méi)有規(guī)律呢?這就是本講要探求的。請(qǐng)同學(xué)們觀察圖2中的三個(gè)圖形(以下所考慮的圖形都是連通圖),我們逐個(gè)地來(lái)看它們誰(shuí)能一筆畫(huà)，并分析一下畫(huà)圖的過(guò)程，從而找出一筆畫(huà)的規(guī)律。析一下，從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn)時(shí)，都有畫(huà)進(jìn)這個(gè)點(diǎn)的一條線(xiàn)，和從這點(diǎn)畫(huà)出的一條線(xiàn)，也就是說(shuō)這些中間點(diǎn)都和兩條線(xiàn)連接著。而A點(diǎn)呢?它既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)。從它出發(fā)時(shí)畫(huà)出一條線(xiàn)，最后回到它時(shí)又畫(huà)進(jìn)一條線(xiàn)，即它也是和兩條線(xiàn)連接著。這個(gè)現(xiàn)象說(shuō)明了什么呢?你是否能回答：如果一個(gè)圖形中的每個(gè)點(diǎn)都像圖2(a)中的每個(gè)點(diǎn)那樣，全與兩條線(xiàn)連接，那么這個(gè)圖形能夠一筆畫(huà)嗎?如果圖形中的每個(gè)點(diǎn)都與偶數(shù)條線(xiàn)相連接呢?其結(jié)論改變嗎?可以告訴大家，這樣的圖形一定能夠一筆畫(huà)。我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線(xiàn)相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)。相應(yīng)的把與奇數(shù)條線(xiàn)相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。這樣我們就可以說(shuō)：凡是全由偶點(diǎn)組成的圖形，一定可以一筆畫(huà)出，畫(huà)時(shí)可以以任何一點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)?，F(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看圖2(b),經(jīng)過(guò)試驗(yàn)后可以發(fā)現(xiàn)，它也能夠一筆畫(huà)。它的一個(gè)畫(huà)法是：B→C→D→B→A→D。這個(gè)圖中的四個(gè)點(diǎn)又有什么特征呢?A、C兩點(diǎn)分別與兩條線(xiàn)相連接是偶點(diǎn)，B、D兩點(diǎn)分別與三條線(xiàn)相連接是奇點(diǎn)，同時(shí)B、D兩點(diǎn)又分別是一筆畫(huà)時(shí)的起點(diǎn)與終點(diǎn)。想一想，A點(diǎn)或C點(diǎn)可以作為一筆畫(huà)的起、終點(diǎn)嗎?試一試，說(shuō)說(shuō)為什么?再考慮一下：凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的圖形是否能一筆畫(huà)?若能，畫(huà)時(shí)應(yīng)該怎樣選擇起點(diǎn)呢?結(jié)論是這樣的：凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的圖形，一定可以一筆畫(huà)出，畫(huà)時(shí)必須以其中的一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)。最后，我們?cè)賮?lái)考慮：如果一個(gè)圖形奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)(可以證明，任何一個(gè)連通圖，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)),它還能夠一筆畫(huà)嗎?根據(jù)前面的分析，我們已經(jīng)知道，一筆畫(huà)一個(gè)圖形時(shí)，它的中間點(diǎn)必須是偶點(diǎn)，只有起、終點(diǎn)可以是奇點(diǎn)。所以，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形不能一筆畫(huà)。在圖2(c)中，A、B、C、D是奇點(diǎn)，奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)，所以不能一筆畫(huà)。到此，你可能會(huì)說(shuō)，已經(jīng)找到了判斷一個(gè)圖形究竟能否一筆畫(huà)的條件。不錯(cuò)，我們是有了非常圓滿(mǎn)的結(jié)論，但它僅僅是靠觀察、試驗(yàn)、想象得到的，所以它還不能作為一個(gè)數(shù)學(xué)的結(jié)論，那么還需要做些什么呢?必須用數(shù)學(xué)的方法對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。這個(gè)工作我們目前還無(wú)法進(jìn)行，留待將來(lái)去完成吧!這里，我們主要來(lái)學(xué)習(xí)如何運(yùn)用這個(gè)結(jié)論?，F(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)，想想開(kāi)始我們提出的最后一豎筆的起、終點(diǎn)，所以，“串”字能一筆畫(huà)，請(qǐng)你試一試。例1判斷圖3中的三個(gè)圖形，哪個(gè)圖形能一筆畫(huà)?為什么?請(qǐng)把能一筆畫(huà)出的圖形的畫(huà)法用字母和箭頭表示出來(lái)。分析與解(1)圖3(a)能一筆畫(huà)，因?yàn)樵搱D中所有的點(diǎn)全是偶點(diǎn)。它的一個(gè)畫(huà)法是：A(2)圖3(b)能一筆畫(huà)，因?yàn)樵搱D中只有兩個(gè)奇點(diǎn)。它的一個(gè)畫(huà)法是：C→D→E→F(3)圖3(c)不能一筆畫(huà)，因?yàn)樵搱D中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)。例2圖4是一個(gè)公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路且不重復(fù)，問(wèn)出、入口應(yīng)設(shè)在哪里?分析與解依據(jù)題意可知，此題實(shí)際是一筆畫(huà)問(wèn)題。由于要設(shè)出口和入口，所以首先應(yīng)確定有沒(méi)有奇點(diǎn)，若有，有幾個(gè)。因?yàn)閳D4中只有E、I兩個(gè)奇點(diǎn)，所以該道路圖可以一筆畫(huà)，只要將出、入口分別設(shè)在這兩個(gè)點(diǎn)，游客就可以從入口處進(jìn)入公園，不重復(fù)地走遍所有道路，而且從出口處離開(kāi)公園。例3圖5中的每一個(gè)圖形，最少需要幾筆畫(huà)出?請(qǐng)你按所得的結(jié)論一一畫(huà)出。圖5分析與解依據(jù)前面所得到的結(jié)論，“凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的圖形，一定可以一筆畫(huà)出”。因?yàn)閳D5(a)中只有2個(gè)奇點(diǎn)，所以它最少需要一筆畫(huà)出。圖5(b)中有4個(gè)奇點(diǎn)，它不能一筆畫(huà)。把圖5中的(b)和(a)比較，可知(b)比(a)多了一條線(xiàn)段AB,所以，可先一筆畫(huà)出(a),再畫(huà)一條線(xiàn)段AB,就可畫(huà)出圖5中的(b),因此可知圖5(b)最少需要2筆畫(huà)出。圖5(c)中有6個(gè)奇點(diǎn)，它可在圖5(b)的基礎(chǔ)上再畫(huà)一筆，所以，圖5(c)最少需要3筆畫(huà)出。圖5(d)中有8個(gè)奇點(diǎn)，它可在圖5(c)的基礎(chǔ)上再畫(huà)一筆，所以，圖5(d)最少需要4筆畫(huà)出。具體畫(huà)法見(jiàn)圖6:最少1筆畫(huà)出最少2筆畫(huà)出最少3筆畫(huà)出最少4筆畫(huà)出圖6(2)通過(guò)例3我們知道，一個(gè)連通圖如果只有2個(gè)奇點(diǎn)，至少要1筆畫(huà)出；如果有4個(gè)奇點(diǎn)，至少要2筆畫(huà)出；如果有6個(gè)奇點(diǎn)，至少要3筆畫(huà)出；如果有8個(gè)奇點(diǎn)，至少要4筆畫(huà)出。這樣可以得出一個(gè)結(jié)論：有K個(gè)奇點(diǎn)的連通圖，至少要(K÷2)筆畫(huà)出(這個(gè)結(jié)論的證明有待于今后去完成，但同學(xué)們可應(yīng)用它去解決問(wèn)題)。逐步學(xué)到。(4)不能一筆畫(huà)的圖形可以改成一筆畫(huà)，關(guān)鍵是把奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)減少到2個(gè)，辦法是在兩個(gè)奇點(diǎn)之間加一條線(xiàn)。加線(xiàn)的方法是比較多的，只要是在兩個(gè)奇點(diǎn)之間加線(xiàn)，斜線(xiàn)、折線(xiàn)都可以。請(qǐng)你把圖5(b)、(c)、(d)改成一筆畫(huà)。練習(xí)十二1.圖7是國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的會(huì)標(biāo)，你能一筆把它畫(huà)出來(lái)嗎?請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?.請(qǐng)一筆畫(huà)出下列圖形(圖8)。3.圖9的圖形能否用剪刀一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形?4.圖10是一個(gè)大型花池中小路的平面圖，你能否不重復(fù)地一次走完所有的小路?進(jìn)、出口應(yīng)設(shè)在什么地方?5.圖11中的四個(gè)圖形，各至少需要畫(huà)幾筆?請(qǐng)分別畫(huà)出來(lái)。圖116.請(qǐng)你把上題圖11中，不能一筆畫(huà)的圖形改變成能一筆畫(huà)出的圖形。一、填空題(每空6分，共60分):1.觀察圖1的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空；…:…十×2圖12.在下面的括號(hào)內(nèi)填入所缺的數(shù)：4.在下面加法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：6.下面算式中的每一個(gè)字母都代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請(qǐng)問(wèn)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?7.下面算式中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立?X寒地好好好好好好/Z/=/79.圖3能一筆畫(huà)出來(lái)嗎?如果不能，請(qǐng)你添上一根線(xiàn)段使它能一筆畫(huà)出來(lái)。二、解答題(每題10分，共40分):1.請(qǐng)編排一個(gè)幻和為30的三階幻方。2.計(jì)算下面二進(jìn)制的乘法，并驗(yàn)算：3.王琳、李彤、趙冉三名同學(xué)中，有一名同學(xué)在同學(xué)們都不在的時(shí)候，為班里做了一件好事。事后老師問(wèn)他們?nèi)耸钦l(shuí)干的?知道他們?nèi)酥杏袃扇苏f(shuō)了假話(huà)，有一人說(shuō)了真話(huà)。你能判斷出是誰(shuí)干的嗎?4.一個(gè)花店有1000支花，分放在10個(gè)桶內(nèi)，只要告訴賣(mài)花人1000以?xún)?nèi)的任何支數(shù)，她都可以拿出若干個(gè)桶，湊出所需要的花，而不必去數(shù)花。問(wèn)：10個(gè)桶內(nèi)分別放多少花?第二學(xué)期同學(xué)們，你們一定希望自己在計(jì)算時(shí)算得又正確又迅速，方法上既合理又靈活，那么怎樣才能做到這些呢?靈活的計(jì)算方法。下面我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)巧算的方法。1.加法交換律兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。一般的2.加法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再同第一個(gè)數(shù)相加，它們的和不變。一般的，有a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。這里應(yīng)注意：如果推廣到多個(gè)數(shù)相加，任意交換加數(shù)的位置，它們的和不變；或者先把其中的幾個(gè)數(shù)結(jié)合成一組相加，再把所得的和同其余的數(shù)相加，它們的和不變。把加法的交換律和結(jié)合律聯(lián)系起來(lái)使用，先把加在一起是整十、整百、整千、……的加數(shù)加起來(lái)，然后再與其他加數(shù)相加，可進(jìn)行巧算。解(1)32+81+23+19+68同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用以上定律進(jìn)行巧算時(shí)，有些題目乍看起來(lái)不具備巧算的條件，那怎么辦呢?我們說(shuō)辦法還是有的!這就是利用轉(zhuǎn)化的思考方法，把其中的一個(gè)加數(shù)拆成兩部分，用一部分與另一個(gè)加數(shù)相加，再用和與另一部分相加。如：計(jì)算673+288。德國(guó)有一位世界著名的數(shù)學(xué)家叫高斯(公元1777年-1855年)。他上小學(xué)的時(shí)候，老師出了一個(gè)題目，1+2+…+99+100=?小高斯看了看，又想了想，很快說(shuō)出結(jié)果是5050。同學(xué)們，你們知道他是怎么算出來(lái)的嗎?原來(lái)小高斯在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題目的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了這樣的關(guān)系：1+100=101,2+99=101,3+98=101,…,50+51=101。一共有多少個(gè)101呢?100個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)數(shù)是一對(duì)，共有50個(gè)101。所以即(100+1)×(100÷2)=101×50=5050像高斯的老師所出的題目那樣，按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的數(shù)差數(shù)列。后項(xiàng)與前項(xiàng)的差叫做這個(gè)數(shù)列的公差。如：1,2,3,4,…是等差數(shù)列，公差為1;2,4,6,8,…是等差數(shù)列，公差為2;5,10,15,20,…是等差數(shù)列，公差為5。由高斯的巧算可知：要善于觀察，認(rèn)真審題，注意發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn)。解(1)這是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)是2,末項(xiàng)是100,項(xiàng)數(shù)為50。所以(2)這是一個(gè)公差為3,首項(xiàng)為2,末項(xiàng)為29,項(xiàng)數(shù)是10的等差數(shù)列。所以(1)一個(gè)數(shù)減去幾個(gè)數(shù)的和，等于從這個(gè)數(shù)里依次減去和中的每個(gè)加數(shù)。一般的，有a-(b+c