華羅庚數(shù)學(xué)課本六年級(jí)

第一章分?jǐn)?shù)的簡便計(jì)算在分?jǐn)?shù)計(jì)算咩，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)類似下面的題目：如果不去觀察、嘗試，找出其中的奧秘，將很難解決這樣的問題。同學(xué)們，你們能想出好的辦法嗎?本章將就這樣的問題，從約分法和分?jǐn)?shù)的拆分角度加以解決。只要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多研究、多嘗試、多思考，你還會(huì)想出更好、更奇妙的方法，試試吧!第一節(jié)巧用運(yùn)算定律和性質(zhì)探究目標(biāo)1.能夠根據(jù)四則運(yùn)算的定律及性質(zhì)使一些計(jì)算變得簡便。2.能利用和、差、積、商的變化規(guī)律進(jìn)行簡便運(yùn)算。3.進(jìn)一步提高分析、抽象、綜合、概括等能力。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!例用簡便方法計(jì)算建議：1.先觀察題目中數(shù)字的特點(diǎn)，找出能夠簡便的方法。2.要能夠合理應(yīng)用運(yùn)算定律。能夠運(yùn)用乘法分配率壹行簡便計(jì)算。能夠運(yùn)用乘法分配率過行簡便計(jì)算。證明：題中第一組和第三組的兩個(gè)乘式可以利用乘法分配律簡便計(jì)算，第二組和第四組的兩個(gè)乘式可以利用乘法分配咎簡便計(jì)算。所以，[完全解題]通過觀察發(fā)現(xiàn)看成這樣就可以運(yùn)用乘法的分配律達(dá)到簡算目的。通過觀察，還可以發(fā)現(xiàn)55加上1正好等于56,所以也可以這樣簡算：[技法點(diǎn)睛]本題關(guān)鍵是先要觀察題目的特點(diǎn)，可以將第一個(gè)因數(shù)變化，也可以將第二個(gè)因數(shù)進(jìn)行變化。[完全解題]題中的就是,即[技法點(diǎn)睛]本題中關(guān)鍵是將4改寫成再運(yùn)用乘法分配率進(jìn)行簡[完全解題]根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)可以把6改寫成36÷3.÷3.6.[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵是將算式中的某個(gè)整體看作一個(gè)數(shù)，再運(yùn)用有關(guān)定律進(jìn)行簡便0.65)×(0.23+0.34).[完全解題]仔細(xì)觀察，這組算式中的數(shù)就是1,0.23,0.34,0.65,它們按某種規(guī)律排列，像這樣的題目可以將它的某一部分看作一個(gè)整體，用字母代替，這樣可簡化計(jì)算的過設(shè)A=0.23+0.34,B=0.23+0.34+0.65。原式=(1+A)×B-(1+B)×A=B+AB-A—AB(AB與BA一樣的結(jié)果，且可相互抵消)[技法點(diǎn)睛]本題從題目本身看是不能簡便計(jì)算的，所以要善于運(yùn)用拆數(shù)的方法。例5(2003·浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營)計(jì)算：[完全解題]利用乘法的分配律，可以將每組中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別與相乘，然后再利用乘法分配律將其重新整理。49、46、43、…、1是一組等差數(shù)列，一共(49-1)÷3+1=17個(gè)數(shù)，所以一共有17組這樣的和相加。[技法點(diǎn)睛]本題在利用乘法分配律之前，要運(yùn)用等差數(shù)列求和的方法求出這些數(shù)的和例6(2002·天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競賽)計(jì)算：[完全解題]對(duì)于這樣三組分?jǐn)?shù)乘整數(shù)中的三個(gè)分?jǐn)?shù)就變得相同了，利用乘法分配律將其簡便計(jì)算。[技法點(diǎn)晴]在整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘中，對(duì)于者.可以變式為或者等形式，這樣的變式有利于找出相同的因數(shù)，從而可以利用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算。例7(2002·四川省小學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營)計(jì)算：[完全解題]題目中每組兩個(gè)因數(shù)中的第一個(gè)因數(shù)接近一個(gè)整十?dāng)?shù)，并且這個(gè)整十?dāng)?shù)正好是第二個(gè)因數(shù)分母的倍數(shù)。利用約分的方法進(jìn)行簡便計(jì)算。[技法點(diǎn)睛]當(dāng)一個(gè)數(shù)接近整十、整百……時(shí)，可以先將其看作整十、整百數(shù)……,然后再利用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算。例8(2002·我愛數(shù)學(xué)少年夏令營)計(jì)算：然后利用[完全解題]然后利用,乘法的分配律進(jìn)行簡便計(jì)算。5[技法點(diǎn)睛]在運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以將若干個(gè)數(shù)的和看作一個(gè)整體，為使計(jì)算過程簡便，可以將相同的一組數(shù)用字母代替。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.(2003·小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽)3.51×49+35.1×5.1+49×51的結(jié)果是()。A.2853.(2003·浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營)99×43+98×42+97×41的結(jié)果是()。二、填空題。(每題5分，共20分)1.(2003·廣東省小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)競賽)2.(2003·天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競賽)1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17 3.(2004·小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽)(4.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)85.42×7903.29-286.5×790.329+79032.9×4.323二。三、解答題探究目標(biāo)1.能夠利用約分的方法直接將分子、分母中公有因式進(jìn)行月份從而達(dá)到簡便計(jì)算的目的。2.能夠靈活地根據(jù)四則運(yùn)算的性質(zhì)將分子、分母轉(zhuǎn)化、改寫、變形等，找出其公有的因式，達(dá)到用約分法簡便計(jì)算的目的。3.進(jìn)一步提高分析、抽象、概括的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!,例有2000個(gè)桃子，猴王分給一批猴子吃，第一天吃了總數(shù)的,第三天吃了第二天余下的以后每天都吃前一天余下的、第二天吃了余下的最后還剩下多少個(gè)桃子?建議：1.先找出每天吃的相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾。2.通過列式探索其中的規(guī)律。討論：1.每天吃的都是前一天余下的幾分之幾，所以，可以依次進(jìn)行乘法計(jì)算剩余的2.前一天分?jǐn)?shù)的分母與后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子正好能約掉。證明：第一天吃了以后還余下,第二天吃了以后還余下2000×(1-,依此類推，一直到吃去前一天的后還余下2000×=1(個(gè))所以最后還剩下1個(gè)桃子。[完全解題]題中的分子部分每一個(gè)加數(shù)都是分母中每一個(gè)相應(yīng)加數(shù)縮小10倍的結(jié)果，可將分母部分處理成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)×10,而分子部分可寫成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)×1這樣就可將公有的(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)約去。[技法點(diǎn)睛]本題中的分子與分母只是小數(shù)位數(shù)的不同，可以利用乘法分配率將其整理。[完全解題]利用這樣分子分母中就有相同的因式[技法點(diǎn)睛]本題中的被除數(shù)與除數(shù)中分?jǐn)?shù)部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率將其寫成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位和的形式。[完全解題]1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8這樣可與分母部分的888888×888888約分。[技法點(diǎn)睛]本題中的分子具有一定的規(guī)律，正好是8個(gè)8的和，所以分子與分母可以[完全解題]分子分母中沒有公有的因式可以直接約。但通過觀察分子分母中數(shù)的特征，可以轉(zhuǎn)化為兩種：一是將分子變化，1993+1992×1994=1994-1+1992×1994=1994×1993一1;二是將分母變化，1993×1994-1=(1992+1)×1994-1=1992×1994+1993.或[技法點(diǎn)睛]本題中的分子與分母要進(jìn)行變式，可以將分子變的與分母一樣，也可以將分母變的與分子一樣。[完全解題]1+3+5+7+…+199=(1+199)×100這樣分子和分母中都有100÷2?？捎眉s分法進(jìn)行簡算。[技法點(diǎn)晴]本題中的分子與分母都是等差數(shù)列，可以利用數(shù)列求和的方法進(jìn)行約分。[完全解題]將5×6×7×8×9看作A,1×2×3×4×5看作B,則原式變?yōu)閇技法點(diǎn)睛]本題中的分子有一部分與分母相同，為了解題方便，可以將每個(gè)乘式看作一個(gè)整體。[完全解題]12345678912=1234567891=1234567891×123456789=1234567890×123456789這樣分母部分的差為1。AA[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵是利用乘法分配率將分母進(jìn)行變式。[完全解題]1×2=1×1×(1×2)2×4=2×2×(1×2)即1×2+2×4+3×6+4×8=1×2×(1×1+2×2[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵是將分子與分母進(jìn)行變式，將相同的因數(shù)進(jìn)行分類整理，再根據(jù)乘法分配率進(jìn)行約分。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.(2004·我愛數(shù)學(xué)少年夏令營)等于()。2.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)等于()3.(吉林省第十屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)等于()。4.(2004·四川省小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)二、填空題。(每題5分，共20分)1.(2004·四川省小學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營)2.(2004·我愛數(shù)學(xué)少年夏令營)3.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)4.(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)三、解答題。(每題20分，共60分)探究目標(biāo)1.能靈活運(yùn)用分?jǐn)?shù)拆分的方法使一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)數(shù)列求和的計(jì)算簡便。2.進(jìn)一步提高分析、綜合、抽象、概括等能力。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!例(2001·我愛數(shù)學(xué)少年夏令營)計(jì)算：建議：1.仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn)，找出解題的方法。2.想辦法將分?jǐn)?shù)變化形式。討論：1.分?jǐn)?shù)的分母依次是等差數(shù)列的和，可以用求和的公式進(jìn)行整理。2.將分?jǐn)?shù)的分母變成等差數(shù)列求和的形式，然后根據(jù)1除以一個(gè)數(shù)的特點(diǎn)改寫成倒數(shù)的形式，最后將分?jǐn)?shù)的分母變換成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘的形式，這樣就可以利用分?jǐn)?shù)拆分的方法進(jìn)行簡便計(jì)算了。證明：每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，可以將分母用等差數(shù)列求和的形式表示出來，再根據(jù)1除以一個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行簡便計(jì)算。[完全解題],,…[技法點(diǎn)睛]本題是直接利用拆項(xiàng)的方法，將每個(gè)分?jǐn)?shù)拆成相應(yīng)的減法形式。[完全解題][技法點(diǎn)睛]本題分母中的兩個(gè)因數(shù)相差3,故是分?jǐn)?shù)的拆分和乘法分配率的綜合應(yīng)用。[完全解題],[技法點(diǎn)睛]本題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，直接利用拆分的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。[完全解題]這道題中各分?jǐn)?shù)的分子都是1,分母依次是等差數(shù)列，可將其變形為[技法點(diǎn)睛]本題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，可以將分母用等差數(shù)列求和的形式表示出來，再根據(jù)1除以一個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行簡便計(jì)算。例5(2002·第十二屆《祖沖之杯》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽)計(jì)算：[完全解題]觀察每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母，可以發(fā)現(xiàn)，它們都是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的積。所以可以利用分?jǐn)?shù)拆分的方法進(jìn)行計(jì)算。[技法點(diǎn)睛]本題巧用分?jǐn)?shù)拆分的方法，分?jǐn)?shù)的分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，分子正好是這兩個(gè)自然數(shù)的和，所以可拆成這兩個(gè)自然數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)單位的和。例6(2003·浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課冬令營)計(jì)算：[完全解題]對(duì)于這四個(gè)分?jǐn)?shù)，可以拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和，對(duì)這三個(gè)分?jǐn)?shù)，可以拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，然后再根據(jù)題中的相關(guān)分?jǐn)?shù)合并。、[技法點(diǎn)睛]根據(jù)題目的特點(diǎn)巧妙地將一些分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和或者兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，然后再根據(jù)加減法的性質(zhì)進(jìn)行簡便計(jì)算。例7(2002·我愛數(shù)學(xué)少年夏令營)計(jì)算：A[完全解題]先將題目中分母相同的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起相加，再利用乘法的分配律進(jìn)行簡A[技法點(diǎn)睛]題目中所有的分?jǐn)?shù)分母為n(2≤n≤60),利用求和公式：創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)B2.(2004·浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營)二、填空題。(每題5分，共20分)2.(2002·天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競賽)3.(2002·天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競賽)解答題。(每題20分，共60分)本章測試卷(滿分100分)一、直接寫出結(jié)果。(每題3分，共30分)二、計(jì)算題。(每題4分.共40分)三、解答題。(每題10分，共30分)1.求分母是63的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和。2.求小于1000的既能被3整除，又有約數(shù)5的所有自然數(shù)的和。3.王師傅5月1日開始加工零件，第一天加工10個(gè)，以后每天都比前一天多加工2個(gè)，那么到5月31日加工多少個(gè)零件?這一個(gè)月一共加工了多少個(gè)零件?第二章分?jǐn)?shù)應(yīng)用題永豐小學(xué)開展“獻(xiàn)愛心”活動(dòng)，號(hào)召每位同學(xué)向希望小學(xué)捐出自己的零花錢。六(1)班小明捐出零用錢的,小亮也捐出零用錢的你能知道，他們倆誰捐的錢多嗎?肯定有同學(xué)認(rèn)為兩人捐的錢一樣多。實(shí)際上，這一題有三種可能：第一種，如果小明的零用錢比小亮的多，那么小明的捐款多；第二種，如果小明的零用錢比小亮的少，那么小明的捐款少；第三種，如果小明的零用錢和小亮的一樣多，那么兩人的捐款一樣多。上面這個(gè)問題之所以在在三河做，效標(biāo)上是出分?jǐn)?shù)法用題的特點(diǎn)面依定的。是對(duì)于某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量而言的，也就是說，是“誰”的幾分之幾，這里“誰”就是單位“1”。那么小明零用錢和小亮零用錢的是相對(duì)不同的單位“1”而言的，由此造成兩人捐款的多少取決于兩人本身原有零花錢的多少。因此在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，明確單位“1”是非常關(guān)鍵的，否則就要出現(xiàn)錯(cuò)誤。在日常生活、生產(chǎn)勞動(dòng)中，我們會(huì)經(jīng)常需要利用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法解決實(shí)際問題。這一章，我們一起來探討一下分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題規(guī)律。第一節(jié)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本類型探究目標(biāo)1.理清分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路，明礴單位“1”,以及具體數(shù)量與分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.體驗(yàn)對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的探究過程，加深對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的認(rèn)識(shí)，總結(jié)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題規(guī)律。3.滲透靈活應(yīng)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題方法意識(shí)，提高解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般題型可以分為以下兩種類型：1.求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少?2.已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。討論：實(shí)際上，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本解題思路和我們所學(xué)的倍數(shù)應(yīng)用題的解題思路是一致的。我們可以用下面兩題為例說明：(1)梨樹20棵，桃樹棵數(shù)是梨樹的兩倍。桃樹多少棵?要求桃樹多少棵，就要求梨樹棵數(shù)的兩倍是多少，用“20×2”計(jì)算，這就是倍數(shù)應(yīng)用題。(2)梨樹20棵，桃樹棵數(shù)是梨樹的桃樹多少棵?要求桃樹多少棵，就是要求梨樹棵數(shù)的是多少，用計(jì)算，這就是分?jǐn)?shù)應(yīng)在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，首先要找出題目中的關(guān)鍵句進(jìn)行分析，通過分析關(guān)鍵句，確定把什么看作單位“1”,找出解題的數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義列式解答。如上面第(2)題中關(guān)鍵句是“桃樹棵樹是梨樹的,把梨樹棵數(shù)看作“1”,關(guān)系式是：“梨,要求梨樹棵數(shù)，就用“桃樹爆數(shù)÷分?jǐn)?shù)應(yīng)用題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛。這一類應(yīng)用題的變化很多，但只要抓住關(guān)鍵句進(jìn)行分析，弄清其中的單位“1”,明確數(shù)量關(guān)系式，認(rèn)真思考，也不難發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律。建議：在解答基本的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要抓住題目中的關(guān)鍵句進(jìn)行分析。首先明確“1”,如果單位“1”已知，用乘法計(jì)算：如果單位“1”未知，要先求出單位“1”,用除法或列方程計(jì)算；其次，在列式時(shí)要考慮具體數(shù)量和分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例1一桶油，第一次用去正好是4升，第二次又用去這桶油還剩多少升?[完全解題]由于其中的兩個(gè)分率和都是把這確礎(chǔ)的總數(shù)什為“”,我們要先求出這桶油一共多少升?根據(jù)題意可以知道，一桶油的正好是4升，可以求出這要求還剩多少升，我們可以先求出還剩這桶油的幾分之幾：則還剩多少升可以這樣計(jì)算：答：還剩5升。[技法點(diǎn)睛]該題關(guān)鍵在于找出“第一次用去4升”和幾分之幾對(duì)應(yīng)。求還剩多少升，就是求這桶油的幾分之幾是多少。請(qǐng)你想一想，你認(rèn)為求“還剩多少升?”還可以怎樣列式?例2某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一批零件，第一次完成計(jì)劃的丟第三次完成450個(gè)，結(jié)果超出計(jì)劃的計(jì)劃生產(chǎn)零件多少個(gè)?[完全解題]把“計(jì)劃生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)”當(dāng)作“1”,根據(jù)題意，我們首先要求出450個(gè)零件占計(jì)劃任務(wù)的幾分之幾。實(shí)際上“450個(gè)零件”可以分為兩部分：一是完成剩下的任;二是超出計(jì)劃的那么計(jì)劃生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)就是：答：計(jì)劃生產(chǎn)零件1400個(gè)。[技法點(diǎn)睛]我們?cè)诮獯饡r(shí)關(guān)鍵在于找出具體數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率。這道例題我們也可以設(shè)“計(jì)劃生產(chǎn)零件x個(gè)”,用方程的方法解答，你試試看!例3王師傅四天完成一批零件，第一天和第二天共做了54個(gè)，第二、第三和第四天共做了90個(gè)。已知第二天做的個(gè)數(shù)占這批零件的這批零件一共有多少個(gè)?.=120(個(gè))答：這批零件一共有120個(gè)。[技法點(diǎn)睛]把這批零件的總數(shù)看作單位“1”,而54+90=144(個(gè))對(duì)應(yīng)的分率應(yīng)為這批零件的總數(shù)單位“1”和第二天做的,因此，可以求出這批零件的總數(shù)。例4六(1)班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。六(1)班共有學(xué)生多少人?[完全解題]根據(jù)題意：生|生|加上“女生的)八也就是男生與女生和的即全班人數(shù)的是30人。“男生的“男生的“男生=40(人)答：六(1)班共有學(xué)生40人。[技法點(diǎn)晴]本題關(guān)鍵在于我們要理解：“男生的加上“女生的也就是男生與女即全班人數(shù)的是30人。如果能夠理解上面的推理過程，問題就迎刃而解了。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.一個(gè)糧食倉庫，原來存有一批糧食，運(yùn)；,又運(yùn)來5.6噸，這時(shí)現(xiàn)有存糧是原2.一種石英表，先漲價(jià)然后降價(jià),這時(shí)售價(jià)49.5元，原價(jià)()元。3.小紅讀一本書，第一天讀了全書第二天讀了余下的兩天共讀30頁，這4.車間有52名工人，后來又調(diào)進(jìn)4名女工，這時(shí)女工人數(shù)是男工人數(shù)這個(gè)車二、填空題。(每題5分，共20分)1.把甲班人數(shù)調(diào)入乙班后，兩班人數(shù)相等，原來乙班人數(shù)是甲班人數(shù)的2.一輛汽車從甲地開往乙地，行了全程的后，超過中點(diǎn)千米，甲、乙兩地全程3.兩袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果從甲袋倒入乙袋6千克，這時(shí)甲袋大米重量是乙袋大米的兩袋大米原來共有千4.兩桶油，甲桶油的重量是乙桶油的倍，甲桶油用去6千克，乙桶油用去1.5千克后，兩桶油剩下的一樣重。甲桶油原來有千克，乙桶油原來有千克。三、解答題。(每題20分，共60分)1.一輛汽車，從車站開出時(shí)坐滿了人，途中到達(dá)某站，有的乘客下車，又有21人上車，這時(shí)有6位乘客沒有座位，這時(shí)車內(nèi)有乘客多少人?,2.兩堆煤，從甲堆煤運(yùn)責(zé)乙堆煤運(yùn)走一部分后剩這時(shí)甲堆重量是乙堆重量,的甲堆原有120噸，乙堆原有多少噸?3.一條水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的這時(shí)剩下的與挖好的相等。這條水渠有多長?第二節(jié)單位“1”的轉(zhuǎn)化探究目標(biāo)1.根據(jù)題意，能夠轉(zhuǎn)化題中的單位“1”,統(tǒng)一單位“1”。2.根據(jù)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句，轉(zhuǎn)化出甲、乙兩數(shù)之比來解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。3.善于發(fā)現(xiàn)題中的不變量，抓住不變量進(jìn)行分析。利用“不變量”作為中間條件進(jìn)行解答；以不變量作為單位“1”,轉(zhuǎn)換題中的關(guān)鍵句，統(tǒng)一單位“1”,然后再進(jìn)行解答。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!有的時(shí)候在一些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題當(dāng)中，會(huì)出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定，為解題增加了難度；我們?cè)诮獯鸱謹(jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)也會(huì)發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句。諸如此類，我們?cè)诮忸}的時(shí)候，必須通過一定的轉(zhuǎn)化確定題目中的單位“1”。當(dāng)題目中出現(xiàn)變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定的時(shí)候，我們要善于發(fā)現(xiàn)其中的不變量，抓住不變量進(jìn)行分析。有的時(shí)候，可以先求出不變量，然后利用其作為中間條件進(jìn)行解答；有的時(shí)候，則應(yīng)以不變量作為單位“1”,轉(zhuǎn)換題中的關(guān)鍵句，統(tǒng)一單位“1”然后再進(jìn)行解答。當(dāng)發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句而無法確定單位“1”時(shí)，我們可以先根據(jù)關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化出甲、乙兩數(shù)之比來計(jì)算。,例1甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵，甲植樹的棵數(shù)是其余三人的,乙植樹的棵數(shù)是其余三人,丙植樹棵數(shù)是其余三人的丁植樹多少棵?,[完全解題]題目中出現(xiàn)三次“其余三人”,但“其余三人”所包含對(duì)象的不同，因此，三個(gè)單位“1”是不同的，這就是我們所說的單位“1”不統(tǒng)一。我可以把四人的總植樹棵數(shù)作為單位“1”,“甲植樹棵數(shù)是其余三人的可以理解為甲植樹棵數(shù)占1份，其余三:人占2份，那么甲植樹棵數(shù)占總棵數(shù)的同理，乙植樹棵數(shù)占總棵數(shù)的事事丙植樹棵數(shù)占總棵數(shù)的為“總棵數(shù)”。這些過程就是所謂的轉(zhuǎn)換單位“1”,使單位“1”統(tǒng)一那么,求丁植樹多少棵，就是求60棵數(shù)的=13(棵)答：丁植樹13棵。例2五(1)班原計(jì)劃抽調(diào)的人參加“義務(wù)勞動(dòng)”,臨時(shí)又有兩人主動(dòng)參加，使實(shí)際參加“義務(wù)勞動(dòng)”的人數(shù)是余下人數(shù)原計(jì)劃抽調(diào)多少人參加“義務(wù)勞動(dòng)”?[完全解題]=8(人)答：原計(jì)劃抽調(diào)8人參加“義務(wù)勞動(dòng)”。[技法點(diǎn)晴]題目中的是以全班人數(shù)為單位“1”,而“實(shí)際參加義務(wù)勞動(dòng)的人數(shù)是余下人數(shù)的是以余下人數(shù)為單位“1”。根據(jù)這句話，你能知道實(shí)際參加義務(wù)勞動(dòng)的人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾嗎?如果能夠理解得出實(shí)際參加義務(wù)勞動(dòng)的人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾，這題就能夠獨(dú)立解決了。例3玩具廠三個(gè)車間共同做一批玩具。第一車間做了總數(shù)的,第二車間做了1600個(gè)，第三車間做的個(gè)數(shù)是一、二車間總和的一半，這批玩具一共有多少個(gè)?[完全解題]解法一：第三車間是一、二車間總和的一半，那么第三車間的個(gè)數(shù)是三個(gè)車間總數(shù)的=4200(個(gè))答：這批玩具一共有4200個(gè)。加上第二車間I那么,我們可以理解為“第三車間做,又做了800個(gè)。”=4200(個(gè))答：這批玩具一共有4200個(gè)。[技法點(diǎn)睛]“第三車間做的個(gè)數(shù)是一、二車間總和的一半”,這一句話可以用上面兩種方法來轉(zhuǎn)換單位“1”,從而明確統(tǒng)一的“1”后進(jìn)行解答。例4五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和的多18,這五個(gè)偶數(shù)的和是多少?[完全解題]五個(gè)連續(xù)偶數(shù)：A、B、C、D、E,中間一個(gè)數(shù)C是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，也就是說“C是五個(gè)數(shù)之和的.還可以成“℃是A與民之.那么,“路三個(gè)數(shù)比]第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和的多18”,可轉(zhuǎn)換為“第三個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)的兩倍的多]18。”答：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是180。[技法點(diǎn)睛]如果我們以五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和作為單位“1”,那么第三個(gè)數(shù)占總和的幾分之幾，第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和占總和的幾分之幾?你能做出這道題嗎?相等，甲組比乙組少多少與乙組人數(shù)的例5甲、乙兩組共有54人，甲組人數(shù)的相等，甲組比乙組少多少與乙組人數(shù)的人?和乙組人數(shù)的相等?！边@句話，我們可以改寫成下面的等式：,:答：甲組比乙組少6人。[技法點(diǎn)睛]我們?cè)诮獯鸱謹(jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)也會(huì)發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句。一般情況下，我們可以先根據(jù)關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化出甲、乙兩數(shù)之比來和Z的例6一個(gè)長方形的周長是130厘米。如果長增加寬減!,得到新的長方形的,周長不變。求原來長方形的長、寬各是多少厘米?那么,6=35(厘米)=30(厘米)答：原來長方形的長是35厘米，寬是30厘米。例7學(xué)校圖書館原有文藝書和科技書共5400本，其中科技書比文藝書少,最近又買來一批科技書，這時(shí)科技書和文藝書本數(shù)的比是9:10。圖書館買來科技書多少本?[完全解題]根據(jù)題意，題目中的科技書的本數(shù)在變化，而文藝書的本數(shù)是不變量。我們可以先求出文藝書本數(shù)：=3000(本)根據(jù)“這時(shí)科技書和文藝書本數(shù)的比是9:10”,我們以“文藝書3000本”為條件求出現(xiàn)在科技書的本數(shù)。3000÷10×9=2700(本)最后用現(xiàn)在科技書2700本減去原來科技書本數(shù)，求出原來科技書多少本?答：圖書館買來科技書300本。[技法點(diǎn)睛]在一些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題當(dāng)中，會(huì)出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定，為解題增加了難度。這種情況，我們要善于發(fā)現(xiàn)其中的不變量，抓住不變量進(jìn)行分析。有的時(shí)候，可以先求出不變量，然后利用其作為中間條件進(jìn)行解答。例8甲、乙兩人原來的錢數(shù)的比是3:4,后來甲給乙50元，這時(shí)甲的錢數(shù)是乙的。甲、乙兩人原來各有多少元錢?[完全解題]根據(jù)題意：原來甲的錢數(shù)是乙,甲給乙50元后，甲的錢數(shù)是乙的,乙錢數(shù)和”這個(gè)不變量，把它作為單位“1”,那么“甲、乙原來錢數(shù)的比是3:4”,轉(zhuǎn)化為“甲原來的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的.“這時(shí)甲的戰(zhàn)數(shù)是Z.可轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)在甲的錢數(shù)占兩人錢數(shù)總和的在的錢少50元。那么,。根據(jù)題目所說“甲給乙50元”,可知甲原來的錢比現(xiàn)答：甲原來有225元，乙原來有300元。[技法點(diǎn)睛]在一些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題當(dāng)中，會(huì)出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定，這種情況下，我們可以以不變量作為單位“1”,轉(zhuǎn)換題中的關(guān)鍵句，統(tǒng)一單位“1”然后再進(jìn)行解答。想一想：如果以乙現(xiàn)在的錢比原來多50元，找出對(duì)應(yīng)分率來解答，你會(huì)列式嗎?例9兩種商品的價(jià)格比是7:3,如果它們的價(jià)格都上漲70元，那么他們的價(jià)格比是7:4。甲商品原來的價(jià)格是多少元?[完全解題]兩種商品的價(jià)格都上漲70元，發(fā)生了變化，而且它們的總價(jià)格也變化了。但是我們可以發(fā)現(xiàn)，由于兩種商品漲價(jià)幅度相同，所以漲價(jià)后兩種商品的價(jià)格差不變。我們可以把價(jià)格差這個(gè)不變量作為單位“1”。那么,“甲、乙兩種商品的價(jià)格比是7:3”,轉(zhuǎn)化為“原來甲的價(jià)格相當(dāng)于價(jià)格差的,“em價(jià)格之比是7:4“轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)在甲的價(jià)格相當(dāng)于價(jià)格差的=120(元)答：甲商品原來的價(jià)格是210元。[技法點(diǎn)睛]抓住不變的量作為單位“1”,這樣題目中就有了統(tǒng)一的單位“1”,就能夠順利地分析解答問題啦!例10一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子、分母之和為49,分子加上4,分母減去4后，得到新的分?jǐn)?shù)可以約簡為,求原來的分?jǐn)?shù)。[完全解題]根據(jù)題意，分子、分母之和不變，現(xiàn)在新分?jǐn)?shù)分子、分，母的和也是49,,原二、填空題。(每題5分，共20分)1.某圖書館有科技書和文藝書共630本，其中科技書占這時(shí)科技書占總數(shù)的又買來科技書本。2.有一堆糖果，其中奶糖占,再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。那么這堆糖果中奶糖塊。3.一堆煤，已燒的噸數(shù)和未燒的噸數(shù)比是1:5,如果再燒120噸，已燒的噸數(shù)是未。4.甲、乙兩個(gè)書架，甲書架存書的相當(dāng)于乙書架存書的甲書架比乙書架多存書120本，兩個(gè)書架共有存書本。三、解答題。(每題20分，共60分)1.某校男生人數(shù)比女生人數(shù)的多50人，男生人數(shù)的相當(dāng)于女生人數(shù)的2倍。該校男、女生各有多少人?2.三個(gè)分?jǐn)?shù)的和第一個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的第二數(shù)個(gè)是第三個(gè)數(shù)的分?jǐn)?shù)各是多少?3.甲、乙兩個(gè)書架共有書102本，從甲書架拿出24本放入乙書架，則乙書架本數(shù)的正好是甲書架的乙書架原有多少本書?第三節(jié)逆推問題及其解法探究目標(biāo)1.正確理解逆向思維的應(yīng)用題，學(xué)會(huì)反向思考。2.掌握解方程法、倒推法和表格法解決逆推問題。探究過程參與一下”做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!逆推也就是我們常說的倒推。我們?cè)诜治鰡栴}時(shí)帶需要反向思考。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，也經(jīng)常出現(xiàn)這種需用逆向思維解決的應(yīng)用題。一般情況下比較簡單的可采用方程解，特殊情況下，我們采用逆推法反而比較容易解答，有些還可以借助表格進(jìn)行逆推。例1甲、乙各存款若干元，甲拿了存款的給乙后，乙再拿出現(xiàn)有存款的給甲，這時(shí)他們各有180元。他們?cè)瓉砀饔写婵疃嗌僭?[完全解題](見下表中箭頭所示甲乙甲、乙的和現(xiàn)在甲、乙都是180元，和是360元。那么乙拿出后是180元，乙拿出之前有存款：這時(shí)甲有存款360-240=120(元),即甲拿出后剩下120元，那么甲拿出之前(即甲原有存款)存款為：360—150=210(元)答：甲原有存款150元，乙原有存款210元。[技法點(diǎn)晴]這道題利用了表格來進(jìn)行推斷，步驟比較清析。今后在解決類似問題時(shí)，大家可以借用表格來理清自己的思路。以后8天，分別偷了,當(dāng)天現(xiàn)有桃子。偷了9天，樹上只剩下10個(gè)桃子。樹上原有桃子多,少個(gè)?[完全解題]采用逆推法，根據(jù)第九天剩下10個(gè)桃子，可求出第八天后剩下的如此類推，可分別求出第七天后，第六天后，……,第一天后以及原來的桃子個(gè)數(shù)：答：樹上原有桃子100個(gè)。[技法點(diǎn)睛]想一想：設(shè)原有桃子x個(gè)，你會(huì)列方程解答嗎?例3一堆西瓜，第一次賣出總數(shù)的,第二次賣出余下的,第三次又賣出余下的,還剩2個(gè)，這堆西瓜共有多少個(gè)?[完全解題]根據(jù)第三次賣出余下的,還剩2個(gè)，可求出第二次賣出余下的個(gè)數(shù)：(如下圖)根據(jù)第二次賣出余下自又2個(gè)，還剩8個(gè)(上面所求的),可以求出第一次余下的個(gè)數(shù)：(如下圖)根據(jù)第一次賣出總數(shù)又4個(gè)，還剩20個(gè)(上一步所求出的),可以求出原有西瓜的個(gè)數(shù)：(如下圖)答：這堆西瓜共有32個(gè)。[技法點(diǎn)晴]本題是用典型的倒推法來解答的，在分步倒推時(shí)借助線段圖幫助理解，這樣能夠降低思維難度。想一想：如果這題用方程解，你能做出來嗎?比一比，哪種方法更好?還剩下88頁。這本書共有多少頁?[完全解題]根據(jù)題意，這本書的總頁數(shù)為單位“1”,我們可以設(shè)這本書共有x頁。那么第一天看的頁數(shù)為第二天看的頁數(shù)為根據(jù)“第一天看的頁數(shù)+第二天看的頁數(shù)+剩下的88頁=這本書總頁數(shù)”來列方程：答：這本書共有144頁。[技法點(diǎn)睛]我們?cè)诮獯饝?yīng)用題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到逆解的題目，我們可以選擇用方程解答，對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也不例外。在列方程解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：其一，我們一般設(shè)單位“1”為x;其二，找準(zhǔn)等量關(guān)系式來列方程。例5某校五年級(jí)共有學(xué)生152人，選出男生的和5名女生參加科技小組，剩下的男、女生人數(shù)剛好相等。五年級(jí)男、女生各有多少人?[完全解題]如下圖：由于題目中男生人數(shù)是單位“1”,那么可以設(shè)男生人數(shù)為x人，那么女生人數(shù)為(152根據(jù)“剩下男、女生人數(shù)相等”,我們可以列方程來解答：答：五年級(jí)男生有77人，女生有75人。[技法點(diǎn)睛]根據(jù)剩下的男、女生人數(shù)相等，我們可以推出，原來女生人數(shù)相當(dāng)于男生那么,如果男生有x人，則女生人數(shù)為根據(jù)“男生人數(shù)+女生人數(shù)-=152,”你能列方程解答嗎?例6甲、乙兩班共有62人參加科技小組活動(dòng)，甲班參加人數(shù)比乙班參加人數(shù)的少2人。甲、乙兩班各有多少人參加科技小組活動(dòng)?[完全解題]題目中存在甲、乙兩班人數(shù)兩個(gè)單位“1”,我們假設(shè)其中一個(gè)班的人數(shù)班人數(shù)的為x,另一個(gè)班的人數(shù)可以用(62-x)表示，并且根據(jù)“乙班人數(shù)的班人數(shù)的設(shè)甲班有x人參加科技小組活動(dòng)，乙班有(62-x)人參加科技小組活動(dòng)。62-30=32(人)答：甲班有30人參加科技小組活動(dòng)，乙班有32人參加科技小組活動(dòng).創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.小英三天看完一本故事書，第一天看了全書的還少4頁，第二天看了全書剩下的還多14頁，第三天看了90頁。這本故事書共有()頁。,3.甲、乙兩人各有錢若干，已知甲的錢數(shù)是乙的4倍，當(dāng)甲花：后，又如果這時(shí)甲給乙7元錢，甲、乙兩人的錢數(shù)正好相等。甲原來有()元錢。4.某工廠有工人135人，其中男工人數(shù)與女工人數(shù)的之和為98人，男工有()二、填空題。(每題5分，共20分)1.甲、乙兩堆煤共有44噸，從甲堆運(yùn)走它的乙堆運(yùn)來10噸后，兩堆現(xiàn)在一樣重，2.某個(gè)商店買進(jìn)兩筐蘋果共200千克，如果從第一筐中取出放到第二筐中，然后再從第二筐中取出放入第一筐中，這時(shí)兩筐一樣重，原來第一筐蘋果重千克。3.甲、乙兩人原有錢的比是3:4,后來甲又給乙50元，這時(shí)甲的錢數(shù)是乙的,原4.甲、乙兩堆煤共140噸，當(dāng)甲堆運(yùn)乙堆運(yùn)走10噸時(shí)，甲、乙兩堆煤的噸數(shù),比是6:5,原來甲堆煤有千克。三、解答題。(每題20分，共60分)1.小販把他所有的西瓜的又半個(gè)賣給第一位顧客，把余下西瓜的又半個(gè)賣給第二位顧客，這樣，他把所余西瓜的又半個(gè)賣給了以后的各位顧客，賣給第七個(gè)人以后，正好全部賣完，小販原有西瓜多少個(gè)?2.有A、B、C、D、E五筐蘋果，各筐蘋果的數(shù)量不等，如果把B筐蘋果的一半搬入最后五筐蘋果都是30千克，每筐蘋果原來各有多少千克?3.(《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》江蘇省首屆小學(xué)生探索與應(yīng)用能力競賽決賽試題)如圖1,線段將一張正方形紙分成面積相等的兩部分。這張正方形紙對(duì)折后，得到圖2;將圖案沿對(duì)稱軸對(duì)折，得到圖3。已知圖3所覆蓋桌面的面積占長方形紙面積的,陰影部分面積為6平方厘米。長方形的面積是多少平方厘米?第四節(jié)工程問題基本類型探究目標(biāo)理清工程問題的解題思路，掌握工程問題的特點(diǎn)，會(huì)根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式正確解答。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!工程應(yīng)用題屬于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的一種類型，它是研究工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間關(guān)系的應(yīng)用題。在工程問題中，常常把工作總量看作單位“1”,工作效率則用每天完成工作總量的幾分之幾來表示。例如，一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需20天完成，乙單獨(dú)做需25天完成。根據(jù)條件，我們可以把這項(xiàng)工程看作單位“1”,甲單獨(dú)做需20天完成，那么甲的工作效率就是每天完成這項(xiàng)工程的,同理，乙的工作效率就是工作效率×工作時(shí)間=工作總量工作總量÷工作效率=工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間=工作效率比如上例中，求甲、乙合做兩天完成幾分之幾?求甲、乙合做幾天可以完成?工程問題中講述的某項(xiàng)工程一般都未給出具體的數(shù)量，首先在解題時(shí)關(guān)鍵要把一項(xiàng)工程看作單位“1”,工作效率就用完成單位“1”所需工作時(shí)間的倒數(shù)來表示，并結(jié)合有關(guān)工程問題的三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系式來列式解答。例1一條公路，甲獨(dú)修需24天完成，乙獨(dú)修需30天完成。甲、乙兩隊(duì)先合修若干天后，乙隊(duì)停工休息，甲隊(duì)繼續(xù)修了6天完成。乙隊(duì)修了多少天?[完全解題]要求乙隊(duì)修了多少天，實(shí)際上就是要求甲作總量÷工作效率=工作時(shí)間”來解答。這里的工作量應(yīng)是單位“1”減去后來甲6天的工甲、乙兩隊(duì)先合修若干天的工作量：甲、乙合修的天數(shù)，即乙隊(duì)修的天數(shù)：答：乙隊(duì)修了10天。[技法點(diǎn)晴]我們也可以根據(jù)“甲、乙合修的工作量十甲隊(duì)修6天的工作量=1”用方設(shè)乙隊(duì)修了x天。例2修一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)修20天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)修30天可以完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合修，中途甲隊(duì)休息2.5天，乙隊(duì)休息若干天，這樣一共14天才修完。乙隊(duì)休息了幾天?[完全解題]我們把這條公路看作單位“1”,可以分成兩部分：一部分由甲隊(duì)修，另一部分由乙隊(duì)修。根據(jù)題意，甲隊(duì)休息2.5天，說明甲隊(duì)修了14-2.5—11.5(天),可以先求出甲隊(duì)11.5天修了這條公路的幾分之幾：剩下的就是乙隊(duì)修這條公路的幾分之幾：最后，我們根據(jù)“工作總量÷工作效率=工作時(shí)間”可以求出乙隊(duì)實(shí)際修的天數(shù)，也就求出乙隊(duì)休息的天數(shù)：答：乙隊(duì)休息[技法點(diǎn)睛]想一想：這題也可以用列方程來解答，你會(huì)做嗎?試一試。例3運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需12小時(shí)，丙需要15小時(shí)。有同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫，乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又去幫助乙搬運(yùn)，最后同時(shí)搬完兩個(gè)倉庫的貨物。丙幫助甲搬運(yùn)了幾小時(shí)?[完全解題]我們可以先不考慮具體是怎樣搬運(yùn)的，可以先從總體上看，甲、乙、丙三人同時(shí)搬這兩個(gè)倉庫的貨物，即兩個(gè)單位“1”,那么,我們可以先求出甲、乙、丙搬完貨=8(小時(shí))根據(jù)題意，甲、乙、丙都搬運(yùn)8小時(shí)，甲在A倉庫搬運(yùn)8小時(shí)，那么倉庫貨物中有一部分是甲搬8小時(shí)的工作量，另一部分則是丙幫助甲搬了幾分之幾：就可以求出丙幫助甲搬運(yùn)的小時(shí)數(shù)：,,答：丙幫助甲搬運(yùn)了3小時(shí)。例4一項(xiàng)工程，如果單獨(dú)做，甲需10天完工，乙需15天完工，丙需20天完工?，F(xiàn)在三人合做，中途甲先休息一天，乙再休息三天，而丙一直工作到完工為止。這樣一共用了幾天?[完全解題]根據(jù)“甲的工作量十乙的工作量十丙的工作量=1”我們可以用方程來解。設(shè)一共用了x天。答：這樣一共用了6天。[技法點(diǎn)晴]我們也可以用假設(shè)的思路來解決這個(gè)問題。假設(shè)甲、乙的工作天數(shù)都是和丙工作的天數(shù)一樣，那么,三人完成的工作量應(yīng)該是：用完成的工作量除以效率和，就能求出一共用的天數(shù)：例5某市舉辦花展，新建了一個(gè)噴水池。單開甲水管一小時(shí)可將噴水池注滿，單開乙水管40分鐘可以將噴水池注滿，兩管同時(shí)開分鐘后，注入水噸，噴水池能裝水多少噸?[完全解題]這道題中包含工程問題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題兩個(gè)方面的問題。要求能裝水多少噸，必須先求出噸對(duì)應(yīng)的分率是該水池的幾分之幾，這就應(yīng)該運(yùn)用工程問題的方法求出兩水管齊開分鐘注滿水池的幾分之幾：管齊開已注噴水池的噸，可以求出噴水池能裝水的噸數(shù)：已注噴水池的是答：噴水池能裝水10噸。例6加工一批零件，甲獨(dú)做需3天完成。乙獨(dú)做需4天完成。兩人同時(shí)加工，完成任務(wù)時(shí)，甲比乙多做24個(gè)，這批零件共有多少個(gè)?[完全解題]我們可以仿照例5,先求出甲比乙多做的24個(gè)占這批零件的幾分之幾：根據(jù)甲比乙多做了這批零件的;求出零件的總數(shù)：[技法點(diǎn)睛]根據(jù)題意，我們先求出甲、乙兩人的工作效率比：甲、乙工效比為4:3.二人共同完成這批零件，那么兩人的工作量之比為4:3,即這批零件共有7份，甲完成了其中的4份，乙完成其中的3份，可以得出，到完成任務(wù)時(shí)，甲做了這批零件的乙做了這批零件。那么,=168(個(gè))創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.一條公路，甲獨(dú)修需24天完成，乙獨(dú)修需30天完成。甲、乙兩隊(duì)合修若干天后，乙隊(duì)停工休息，甲隊(duì)繼續(xù)修了6天完成。甲隊(duì)修了()天。2.兩隊(duì)挖一條水渠。甲獨(dú)挖需8天完成，乙獨(dú)挖要12天完成。現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)挖了幾天后，乙隊(duì)調(diào)走，余下的甲隊(duì)在3天內(nèi)完成。乙隊(duì)挖了()天。3.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。中途甲請(qǐng)假2天，乙請(qǐng)假若干天，從開工到完成工程共用了16天。乙請(qǐng)假()天。4.一項(xiàng)工程，甲、乙合做6天完成等。乙的工作效率是()。.所需的時(shí)間相A二、填空題。(每題5分，共20分)1.兩列火車同時(shí)從兩地相對(duì)開出。快車行完全程需要20小時(shí)，慢車行完全程需要30小時(shí)，開出15小時(shí)后兩車相遇。已知快車中途停留4小時(shí)，慢車中途停留小時(shí)。2.某工程隊(duì)預(yù)計(jì)30天修完一條水渠，現(xiàn)有18人修12天后完成工程如果要提,前6天完工，還要再增加人。3.修一條公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)單獨(dú)做要用24天，現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這條公路長米。4.輪船以相同的速度航行，從A城到B城需要3天，從B城到A城需要4天。小木筏從A城飄流到B城，需要天。三、解答題。(每題20分，共60分)1.加工一批零件，甲獨(dú)做需3天完成，乙獨(dú)做需4天完成，兩人同時(shí)加工，完成任務(wù)時(shí)，甲比乙多做24個(gè)，這批零件共有多少個(gè)?2.加工一批零件，甲、乙合做2-1天可以完成。由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒有完成。已知甲每天比乙多加工3個(gè)零件，這批零件共有多少個(gè)?3.兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行。經(jīng)過4小時(shí)相遇后，甲車?yán)^續(xù)行駛3小時(shí)到達(dá)B地，乙車每小時(shí)行24千米。A、B兩地全長多少千米?第五節(jié)工程問題典型題例探究目標(biāo)1.體驗(yàn)一些典型的工程問題的探究過程，加深對(duì)互程問題的認(rèn)識(shí)，抓住本質(zhì)特點(diǎn)，總結(jié)出工程應(yīng)用題的解題規(guī)律。2.引導(dǎo)探討和工程問題相對(duì)應(yīng)的綜合性問題，滲透靈活應(yīng)用工程問題的解題規(guī)律的意識(shí)，提高解答工程二奶題的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!要學(xué)會(huì)運(yùn)用常見的數(shù)學(xué)思想方法，如假設(shè)、轉(zhuǎn)化、替換法等來幫助自己解題。比如說，有的題目中講述的是兩人合做，我們可以假設(shè)成獨(dú)做的形式來解題，有時(shí)候甲做的工作可以替換成乙做。為了解題的方便，工作的先后順序、工作方式可以改變，這種改變，不會(huì)影響問題的實(shí)質(zhì)和解題的結(jié)果。有些稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如行程問題，其實(shí)質(zhì)也是工程問題，我們要善于抓住問題的本質(zhì)特征，把它們看做工程問題來解；有些稍復(fù)雜的應(yīng)用題是包含行程問題、分?jǐn)?shù)問題與工程問題的綜合性題目，需要我們能認(rèn)真分析，綜合運(yùn)用各種方法來進(jìn)行解答，有時(shí)也可以借助比和比例的方法來幫助解答。例1甲、乙兩隊(duì)合做工程，24天完成。如果甲隊(duì)做6天，乙隊(duì)做4天，只能完成工程的兩隊(duì)單獨(dú)完成工程各需要多少天?事[完全解題]題目中甲隊(duì)單獨(dú)做6天，乙隊(duì)單獨(dú)做4天，而各自的工作效率不知，無法解答，我們可以把他們倆獨(dú)做變成合做，如右圖：甲、乙兩隊(duì)合做4天，甲隊(duì)再做2天，一共完成由于效率和已知，這樣我們就可以先求出合作4天的工作量：那么甲隊(duì)做2天的工作量為：答：甲隊(duì)單獨(dú)完成工程需60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成工程需40天。例1一項(xiàng)工程，甲先單獨(dú)做2天，然后與乙合做7天，這樣才完成全部工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是2:3。如果由乙單獨(dú)做，需要多少天才能完成?[完全解題]如下圖，根據(jù)題意，我們可以得出甲工作(2+7)=9(天),乙工作7天一。根據(jù)甲、乙工效的比2:3,可以知道，完成同樣的工作量，甲、乙所用的時(shí)間比是3:2,也可以理解成完成同樣的工作量，乙所用的時(shí)間相當(dāng)于甲的那么題目中甲9天的工作量可以替換乙工作的天數(shù)為：這樣，當(dāng)完成工程的一半時(shí)，就可以看成乙用7+6=13(天)一共做的，完成工程的一半要用13天，那么乙完成這項(xiàng)工程的天數(shù)也就能求出來了。13×2=26(天)答：需要26天才能完成。[技法點(diǎn)睛]想一想：根據(jù)完成同樣的工作量。乙所用的時(shí)間相當(dāng)于甲的乙做7天的工作量替換成甲工作，你利用這種思路再獨(dú)立解答一下。例3一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需12小時(shí)完成，乙獨(dú)做需15小時(shí)完成，丙獨(dú)做需18小時(shí)完成。如果先由甲工作1小時(shí)，然后由乙接替甲工作1小時(shí)，再由丙接替乙工作1小時(shí)，再由甲接替丙工作1小時(shí)……三人這樣交替工作，那么完成這項(xiàng)工程，一共需用多少小時(shí)?[完全解題]甲、乙、丙輪流工作1小時(shí)，也就是3小時(shí)，我們可以看做一個(gè)循環(huán)，先看看完成這項(xiàng)工程大約需幾次循環(huán)：可以得出，完成這項(xiàng)工程需4個(gè)多循環(huán)，我們可以先求出4個(gè)循環(huán)的工作量，剩下的工剩下的甲先工作1小時(shí)，還剩下：乙再工作1小時(shí)，還剩下：剩下的丙再完成，還需的時(shí)間為：因此，完成這項(xiàng)工程的總時(shí)間可以理解為4個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)3小對(duì)，再加上2.5小時(shí)：4×3+1+1+0.5=14.5(小時(shí))例4一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入的水量是例定的。打開甲管，8小時(shí)可以將滿池水放空，打開丙管，12小時(shí)可將滿池水放空。如果打開甲、乙兩根水管，4小時(shí)可以將水放空。如果打開乙、丙兩根水管，要幾小時(shí)方能把滿池水放空?水量為a,那么甲管每小時(shí)排水量為：,兩管每小時(shí)排水量為：其中“a”可以把每小時(shí)滲水量排出，即幾小時(shí)滲入的水和幾小時(shí)排出的水正好相等。因此，只要求單位“1”里有幾個(gè)即可求出幾小時(shí)把水排答：要4詈小時(shí)方能把滿池水放空。例5客車從甲站開往乙站需要8小時(shí)，貨車從乙站開往甲站需要12小時(shí)一兩鱗車同時(shí)從兩站相對(duì)開出，據(jù)中心點(diǎn)39千米處相遇。甲、乙兩站相距多少千米?[完全解題]這道題是有關(guān)行程方面的問題，但它實(shí)際上需用工程問題的方法來解答。=390(千米)答：甲、乙兩站相距390千米。[技法點(diǎn)睛]本題也可以用兩車速度比的方法來解答，你自己試一試。例6兩枝粗細(xì)、長短都不同的蠟燭，長的一枝可以點(diǎn)4小時(shí)，短的可以點(diǎn)6小時(shí)，將幾分之幾?作單位“1”,每小時(shí)各自燃燒自己的、那么兩小時(shí)后，長蠟燭剩下自己的,短蠟,由此，根據(jù)兩枝蠟燭所余下的長度正好相等得出：那么長蠟燭和短蠟燭之比：答：原來短蠟燭的長度是長蠟燭的a創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.一項(xiàng)工程，兩隊(duì)合做每天能完成全部工程的甲隊(duì)單獨(dú)做3天，乙隊(duì)再單獨(dú)做5天后，可以完成全部工程的如果全改成乙隊(duì)獨(dú)做，()天可以完成。2.某項(xiàng)工程由甲先單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成。如果兩人合做，需48天完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙單獨(dú)完成，那么還需要()天。3.一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需30天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需40天完成。甲隊(duì)先做若干天后，由乙隊(duì)接著做，共用35天完成了任務(wù)。甲隊(duì)做了()天。4.一輛客車和一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開出，經(jīng)過6小時(shí)相遇。相遇后兩車以原速度繼續(xù)前進(jìn)，客車又用4小時(shí)才到達(dá)乙地。貨車還要行()小時(shí)才能到達(dá)甲地。二、填空題。(每題5分，共20分)1.一項(xiàng)工作，如果單獨(dú)做，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙要超過規(guī)定時(shí)間3天才能完成?，F(xiàn)在合做2天后，剩下的由乙繼續(xù)單獨(dú)做，剛好在規(guī)定的時(shí)間完成。若合做，完成這項(xiàng)工程需要天。2.甲、乙兩隊(duì)合做一項(xiàng)工程，20天可以完成?，F(xiàn)在甲隊(duì)做6天，乙隊(duì)做8天后，完成這項(xiàng)工程的兩隊(duì)單獨(dú)做完全工程各需要天。3.一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需12小時(shí)，乙獨(dú)做需18小時(shí)，如果甲先做1小時(shí)，然后乙再做1小時(shí)，再由甲接替做1小時(shí)……兩人如此交替工作，完成任務(wù)時(shí)共用小時(shí)。4.一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)單獨(dú)做6天可以完成。甲隊(duì)3天的工作量，乙隊(duì)要4天完成。兩隊(duì)合做了2天后由乙隊(duì)獨(dú)做，乙隊(duì)還需天才能完成。三、解答題。(每題20分，共60分),1.甲、乙、丙合修一段圍墻。甲、乙合修6天修好圍墻的,乙、丙合修2天修好余,下的剩下的三人又合修5天才完工。共得到報(bào)酬180元，按個(gè)人完成的工作量的多少來合理分配，每人應(yīng)得多少元?2.蓄水池有甲、丙兩根進(jìn)水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)；要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)?，F(xiàn)在池內(nèi)有池水，如果按照甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序，輪流各開1小時(shí)，多少時(shí)間后水開始溢出水池?3.(第八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽小學(xué)組復(fù)賽試題)甲、乙兩人從A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小時(shí)，中間三分之一路程的行走速度是4.5千米/小時(shí)，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小時(shí)；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小時(shí)，后二分之一路程的行走速度是4千米/小時(shí)。已知甲比乙早到30秒，A地到B地路程是多少千米?本章測試卷(滿分100分)一、填空題。(每題4分，共24分),倍，甲數(shù)是丙數(shù)的:2.某班男生人數(shù)的等于女生人數(shù)的,男生人數(shù)占全班人數(shù)的3.一個(gè)長方形的長減要使它的面積不變，寬應(yīng)增加5.把一個(gè)正方形的一邊減,另一邊增加2米，得到一個(gè)長方形，它與原來正方形面積相等。原來正方形面積是6.有甲、乙兩桶水，把甲中的倒入乙后，這時(shí)兩桶的重量之比是1:2,那么原來兩桶水重量之比是二、選擇題。(每題4分，共16分)1.一件大衣如賣140元，可賺40%,如賣120元，可賺()。2.一水池有3根進(jìn)水管，要灌滿一池水，單開A管需5小時(shí)，單開B管需6小時(shí)，單開C管需10小時(shí)。現(xiàn)在空池，按A、B、C、A……的順序各打開1小時(shí)注水。水池注滿3.甲、乙兩車從A、B兩地相向而行，4小時(shí)后相遇，繼續(xù)前進(jìn)，甲車又用3小時(shí)到4.某人上班時(shí)步行，回家時(shí)乘車，在路上一共用1.5小時(shí)，如果上、下班全部乘車，全程只需0.5小時(shí)，如果上、下班都步行，全程需()小時(shí)。三、解答題。(每題12分，共60分)1.一批零件，師傅單獨(dú)做，13天可完成，現(xiàn)在由師徒合做完成，徒弟每天加工25個(gè)，2.一項(xiàng)工程，由甲、乙合做12天可以完成。現(xiàn)在由甲、乙合做4天后，余下的先由甲獨(dú)做10天，再由乙獨(dú)做5天，正好完成這項(xiàng)工程。求甲、乙單獨(dú)做各需多少天才能完成?3.甲、乙兩人原有錢的比是3:4,后來甲給乙60元，這時(shí)甲的錢是乙的求甲、.乙原來共有多少錢?4.甲、乙兩個(gè)容器共有藥水2000克，從甲中取出,從乙中取出結(jié)果兩個(gè)容器共剩下1400克藥水，兩容器原來各有藥水多少克?5.有甲、乙、丙、丁四桶酒，現(xiàn)將乙中的并入甲，再把丙中的并入乙，把丁中的并入丙，這時(shí)四桶中的酒都是30升，求每桶原來各裝酒多少升?第三章比有這樣一個(gè)故事，有一位老人要把17只羊分給他的三個(gè)兒子，大兒子分得總數(shù)的一半，二兒子分得總數(shù)的小兒子分得總數(shù)的該怎樣分呢?如果按照我們所學(xué)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用。題的方法，將會(huì)出現(xiàn)只的情況。于是聰明的老人借來一只羊，這樣總數(shù)是18總數(shù)：9+6+2=17(只)老人又把多出的1只還給了人家。這是古代有名的算術(shù)題。其實(shí)現(xiàn)在我們可以用比的方法加以解決。三個(gè)兒子分得羊的只數(shù)比為：因此大兒子分得9份，二兒子分得6份，小兒子分得2份，一共是9+6+2=17(份),共17只羊，所以每份為17÷17=1(只)。大兒子分得9×1=9(只),二兒子分得6×1=6(只),小兒子分得2×1=2(只)。本章就是利用這種比的意義及按比例分配的方法解決生活中的實(shí)際問題。在解題過程中，要能積極動(dòng)腦，找準(zhǔn)題中各數(shù)量的比，求出各部分量占總數(shù)的幾分之幾。只要善于觀察和實(shí)踐，你將有新的收獲。第一節(jié)比的意義和性質(zhì)探究目標(biāo)1.掌握比的意義和比的基本性質(zhì)，知道比同除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。2.能靈活運(yùn)用比的意義及比的基本性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問題。3.提高學(xué)生的分析、綜合、概括的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!例一個(gè)容器內(nèi)已注滿水?，F(xiàn)有大、中、小三個(gè)球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中?，F(xiàn)在知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的第三次是第一次的2.5倍。求三個(gè)球建議：1.找出三個(gè)球的體積，根據(jù)各自的體積寫出三個(gè)球的體積比。2.分清每次溢出的水的體積與球的體積之間的關(guān)系。3.寫出的比要化成最簡單的整數(shù)比。討論：1.設(shè)小球的體積為1份，這樣就可以根據(jù)第二次、第三次溢出的水的情況分別得出中球和大球的體積。2.第二次溢出的水是小球的3倍，在溢出水之前，容器中的水空了1份，所以中球的體積是3+1=4(份)。同樣，第三次的大球和小球也如此。證明：設(shè)小球的體積為1份，第一次把小球沉入水中，容器將溢出1份的水。第一次溢出的水是第二次的,所以第二次溢出的水是3份。第二次是把小球取出，把中球沉入水中的，所以中球的體積是3+1=4(份)。第三次溢出的水是第一次的2.5倍，所以第三次溢出的是2.5份，第三次是取出中球，把小球和大球一起沉入水中的，那么小球和大球的體積一共是2.5+4=6.5(份),大球的體積就是6.5-1=5.5(份)。所以，大、中、小三個(gè)球的體積比是：5.5:4:1=112822。例1兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是3:1,而另一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是4:1。若把兩瓶酒精溶液混合，求混合液中酒精與水的體積之比是多少?[完全解題]求混合液中酒精與水的體積之比是多少，只要求混合液中酒精與水分別是多少即可。因?yàn)閮蓚€(gè)瓶子相同，所以設(shè)每瓶中酒精溶液為1,則一個(gè)瓶子中的酒精占水占;另一個(gè)瓶子中酒精,水占。兩瓶酒精溶液混合后，酒精,水為所以混合液中酒精與水的體積之比為：:答：混合液中酒精與水的體積之比是31:9。[技法點(diǎn)睛]本題必須將兩個(gè)瓶子中的酒精溶液的數(shù)量看作相等才能進(jìn)行解答。解題時(shí)，不能將一個(gè)瓶子的酒精看作3,水看作“1”,另一個(gè)瓶子的酒精看作4,水看作“1”。例2小軍行走的路程比小紅,而小紅行走的時(shí)間卻比小軍多,求小軍與小紅的速度比。[完全解題]小軍行走的路程比小紅多即小紅走的路程是4份，小軍所走路程為1+4=5(份);小紅所用的時(shí)間比小軍多即小軍所用的時(shí)間為10份，小紅所用的時(shí)間為10+1=11(份)。而路程除以時(shí)間即為速度，可先求出兩人的速度，所以小軍和小紅的速度:答：小軍與小紅的速度比為11:8。[技法點(diǎn)睛]這是一道復(fù)比的題目，先要分別求出小軍和小紅的速度，再求出他們的速度比。為使解題方便，可以將比轉(zhuǎn)化成份數(shù)解答。例3甲、乙兩個(gè)長方形，它們的周長相等，甲的長與寬之比是3:2,乙的長與寬之比是7:5,求甲與乙的面積之比。[完全解題]甲、乙兩個(gè)長方形的周長相等，設(shè)每個(gè)長方形的周長為2。甲長方形的長..;乙長方形的長為,寬為根據(jù)長與寬即求出兩個(gè)長方形的面積，所以甲與乙的面積之比為：::答：甲與乙的面積之比為864:875。[技法點(diǎn)睛]與例1相類似，本題必須在兩個(gè)長方形周長相等的前提下才能解答，所以先假設(shè)了兩個(gè)長方形的周長都是2。例4有甲、乙、丙三只水杯和一只空水桶，用甲杯向桶內(nèi)舀水30次后，桶內(nèi)水的體積占水桶容量再用丙杯向桶內(nèi)舀30次，恰好使水桶裝滿。問甲、乙、丙三只水杯的容積之比是多少?;[完全解題]設(shè)水桶的容量為1,甲杯30次的容量占水桶容量,所以甲杯的容量乙杯舀10次后，水桶余下的容量縮小了乙杯舀10次后，水桶余下的容量縮小了乙杯的容量是乙、丙三只水杯的容積之比是：答：甲、乙、丙三只水杯的容積之比是4:9:3。[技法點(diǎn)睛]本題的基本思路是，設(shè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量為“1”,再根據(jù)每次舀水的情況算出每只水杯的體積，這種解決問題的思路，在比中經(jīng)常會(huì)用到。例5(2002·我愛數(shù)學(xué)少年夏令營)有一輛車子，其前輪周長為米，后輪周長為米，則前進(jìn)多少米，才能使前輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)比后輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)多99圈?[完全解題]根據(jù)題意，前輪周長與后輪周長的比是:76。即前輪轉(zhuǎn)76圈后輪轉(zhuǎn)65圈，前輪比后輪多轉(zhuǎn)了76—65=11(圈),要比后輪多轉(zhuǎn)99圈，需要前進(jìn)的[技法點(diǎn)睛]本題關(guān)鍵是找出前輪周長與后輪周長的比，得出相同時(shí)間內(nèi)前輪比后輪多例6(2000·南京市數(shù)學(xué)冬令營)有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙的長度之比是6:5。如果將甲釘子釘入墻內(nèi)，甲與丙釘入墻內(nèi)的長度比是5:4,而它們留在墻外的部分一樣長。問甲、乙、丙的長度比是多少?[完全解題]甲與乙的長度之比是6:5,可以設(shè)甲的長度是6,乙的長度就是5,甲釘子的釘入墻內(nèi)，那么墻內(nèi)部分長是墻外部分是6-4=2。甲與丙釘入墻內(nèi)的長度比是5:4,丙釘入墻內(nèi)的長度是以丙釘子的長度是2+3.2=5.2。而它們留在墻外的部分與甲一樣長，所甲、乙、丙的長度比是6:5:5.2=30225:26。[技法點(diǎn)睛]本題關(guān)鍵是先求出丙釘子的長度，為了便于考慮，可以將兩個(gè)數(shù)量的比，例7(2003·小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽)袋子里紅球與白球數(shù)量之比是19:13。放入若干個(gè)紅球后，紅球與白球數(shù)量之比是5:3;再放入若干個(gè)白球后，紅球與白球數(shù)量之比是13:11。已知放入的紅球比白球少80個(gè)，那么原先袋子里共有多少個(gè)球?[完全解題]放入紅球后，白球的數(shù)量不變19:13=57:39,5:3:65:39。設(shè)原來有紅球57x個(gè)，白球39x個(gè)，則第一次放入了(65—57)x=8x個(gè)紅球。因?yàn)?3:11=65:55,所以第二次放入了(55—39)x=16x個(gè)白球。已知放入的紅球比白球少80個(gè)，則原先袋子中共有球(39+57)×10=960(個(gè))。[技法點(diǎn)睛]本題主要是將兩個(gè)比分別擴(kuò)大一定的倍數(shù)，然后根據(jù)相同的份數(shù)，找出對(duì)應(yīng)關(guān)系。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.在一種鹽水中，鹽占鹽與水的比為()。2.青菜和芹菜的單價(jià)比是3:7,而質(zhì)量之比是5:4,那么它們的總價(jià)比是()。3.甲、乙兩人賽跑，甲跑的路程比乙,乙用的時(shí)間比甲,兩人的速度比是()。4.一個(gè)長方形與一個(gè)正方形的周長比是6:5,長方形的長是寬倍，長方形與正方形的面積比是()。二、填空題。(每題5分，共20分)1.把100克純酒精裝在一個(gè)玻璃瓶中，正好裝滿。用去10克后，加滿蒸餾水，又用去10克后，再加滿蒸餾水。這時(shí)瓶里蒸餾水與酒精之比是2.兩個(gè)長方形重疊部分的面積相當(dāng)于大長方形面積相當(dāng)于小長方形面積的這兩個(gè)長方形的面積比是3.參加課外活動(dòng)的男生人數(shù)的與女生人數(shù)的恰好相等，男生和女生人數(shù)的比4.有一個(gè)長方形與正方形的周長相等，長方形的寬是長的長方形面積與正方形面 三、解答題。(每題20分，共60分)1.(2003·河北省香河縣小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)競賽)有甲、乙、丙三個(gè)長方體，它們的長之比是2:2:3,寬之比是3:5:6,高之比是6:2:5。如果丙的體積是90立方厘米，那么,甲、乙兩個(gè)長方體的體積之和是多少立方厘米?2.(2002·重慶市沙坪壩區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽)三個(gè)容積相同的瓶子裝滿酒精溶液，酒精與水的比分別是3:2,3:1,4:1。當(dāng)把三瓶酒精混合時(shí)，酒精與水之比是多少?3.(2001·江蘇省吳江市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽)甲、乙兩個(gè)水果店梨的千克數(shù)之比是5:4,甲店賣出45千克，乙店運(yùn)進(jìn)45千克。那么這兩店梨的千克數(shù)之比為5:7,甲店原有多少?第二節(jié)按比例分配探究目標(biāo)1.掌握用按比例分配的方法解決有關(guān)比的應(yīng)用題。2.能靈活掌握應(yīng)用題中有關(guān)變量與不變量的關(guān)系，并能解決這類問題，初步形成辯證唯物主義思想。探究過程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過程，樂趣盡在其中哦!例某校六年級(jí)三個(gè)班人數(shù)如下表：(1)班(2)班(3)班45人50人48人現(xiàn)有429棵樹苗，如果按照各班人數(shù)進(jìn)行分配，每個(gè)班級(jí)各應(yīng)分得多少棵?建議：1.要仔細(xì)觀察表格，找出三個(gè)班級(jí)人數(shù)之間的關(guān)系。2.運(yùn)用按比例分配的思想，找出每個(gè)班分得的樹苗各應(yīng)該占總數(shù)的幾分之幾。討論：方法1:可以根據(jù)表中三個(gè)班的人數(shù)，求出人數(shù)比，再根據(jù)人數(shù)比按比例分配。方法2:可以根據(jù)表中三個(gè)班的人數(shù)，先求出1個(gè)人應(yīng)分得的樹苗，再算出一個(gè)班應(yīng)分得的樹苗。證明：(1)(2)(3)三個(gè)班人數(shù)的比是45:50:48,總份數(shù)為45+50+48=143,(1)班分得的樹苗占總數(shù)的;(2)班分得的樹苗占總數(shù)的;(3)班分得的樹苗占總數(shù)的(1)班分得的樹苗是(2)班分得的樹苗是(3)班分得的樹苗是例1一個(gè)長方體的棱長總和是216厘米，它的長、寬、高之比是4:3:2。長方體的表面積和體積各是多少?[完全解題]長方體的棱長可按長、寬、高分成三類，所以長、寬、高的和是216÷4—54(厘米),根據(jù)長、寬、高的比是4:3:2可知長方體的長是00=1872(平方厘米)24×18×12=5184(立方厘米)答：長方體的表面積和體積分別是1872平方厘米和5184立方厘米。[技法點(diǎn)睛]本題將長方體按長、寬、高分類時(shí)，一定要注意用216÷4,因?yàn)檫@是長方體12條棱的總長。例2育英小學(xué)六年級(jí)學(xué)生分三批去參觀科技館。第一批和第二批的人數(shù)比是5:4,第二批與第三批的比是3:2,已知第一批比第二、三批人數(shù)的總和少15人。求六年級(jí)參觀的有多少人?[完全解題]第一批和第二批人數(shù)的比是5:4,即(5×3):(4×3)=15:12。第二批和第三批人數(shù)比是3:2,即(3×4):(2×4)=12:8。由此可知，第一批、第二批、第三批的人數(shù)比是15:12:8。第一批占總?cè)藬?shù)的第二批、第三批的人數(shù)和占總?cè)藬?shù)的第一批比第二批、三批人數(shù)總和少總數(shù)|,正好少15人，所以六年級(jí)參觀的人數(shù)是：答：六年級(jí)參觀的有105人。[技法點(diǎn)睛]這是一道連比的實(shí)際應(yīng)用題，要能根據(jù)其中一個(gè)中間量(第二批)找出這三批參觀人數(shù)的比。例3小明讀一本故事書，已讀的頁數(shù)和未讀的頁數(shù)之比是1:5,如果再讀30頁，則已讀的和未讀的頁數(shù)比是3:5,這本書一共有多少頁?[完全解題]一本書，已讀的頁數(shù)和未讀的頁數(shù)之比是1:5,可知已讀的頁數(shù)占總頁數(shù)的如果再讀30頁，則已讀的頁數(shù)占總頁數(shù)的,比原來多了總頁數(shù)的正好是30頁，所以這本書的總頁數(shù)是：答：這本書一共有144頁。[技法點(diǎn)睛]由于讀的頁數(shù)在變化，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)在不斷變化，但是全書總頁數(shù)不會(huì)變化，所以，本題關(guān)鍵是確定總頁數(shù)為單位“1”。例4甲、乙兩桶油共130千克，從甲桶倒出給乙桶后，甲桶與乙桶油的比為7:6,原來甲、乙兩桶分別有油多少千克?[完全解題]從甲桶倒出給乙桶后，甲、乙兩桶油仍然共是130千克，這時(shí)甲、乙兩桶油的比是7:6,所以，這時(shí)甲桶油為甲桶這時(shí)的油相當(dāng)于原來油的所以甲桶原有的油為：故,130-98=32(千克)答：原來甲、乙兩桶分別有油98千克、32千克。[技法點(diǎn)睛]因?yàn)槭菑募淄暗谷胍彝?，所以兩桶油得總量不變，可以倒過來，先求出兩桶油得數(shù)量比是7:6時(shí)甲桶油得重量，再求出原來兩桶油各是多少。例5某團(tuán)體有100名會(huì)員，男會(huì)員與女會(huì)員的人數(shù)之比是14:11,會(huì)員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男會(huì)員與女會(huì)員人數(shù)之比是甲：12:13、乙：5:3、丙：2:1,那么丙組有多少名男會(huì)員?[完全解題]因?yàn)榧捉M人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，所以甲組人數(shù)為100÷2=50(人),根據(jù)題意可知：全體男會(huì)員人數(shù)是：乙、丙兩組男會(huì)員人數(shù)是：56-24=32乙組男會(huì)員占全組人數(shù)的丙組男會(huì)員占全組人數(shù)的如果丙組男會(huì)員也是則兩組男會(huì)員應(yīng)是,比兩組男會(huì)員實(shí)際人數(shù)少,因?yàn)楸M男會(huì)員比原來少,所以丙組總?cè)藬?shù)為：丙組男會(huì)員人數(shù)則為：答：丙組有12名男會(huì)員。[技法點(diǎn)睛]本題條件比較多，可以先理清思路，再逐層求出相應(yīng)的條件。例6一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1:2:3。某人走這三段路所用的時(shí)間比依次是4:5:6。已知他上坡速度是每小時(shí)3千米，路程全長是50千米，問此人走完全程用了多少小時(shí)?[完全解題]路程全長是50千米，上坡、平路、下坡各段路程長的比依次是1:2:3,由此可知，上坡的路程是(千米),由他上坡每小時(shí)行3千米可知，他上坡用的時(shí)間是(小時(shí)),而上坡用的時(shí)間占總時(shí)間的,所以此人走完全程用的時(shí)間為：[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵先求出上坡的路程，再根據(jù)上坡的速度求出上坡所需的時(shí)間。例7(2001·“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水4噸以下，每噸1.8元(包括4噸)。當(dāng)超過4噸時(shí)，超過部分每噸3元。某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)26.4元，用水量之比是5:3,甲、乙兩戶各應(yīng)交水費(fèi)多少元?[完全解題]如果兩戶居民用水均不超過4噸，則最多交水費(fèi)1.8×8=14.4(元),而實(shí)際交水費(fèi)是26.4元，超過部分的水費(fèi)是26.4-14.4=12(元),即超過的水量是12÷3=4(噸),那么兩戶的用水量一共是4+4+4=12(噸)。甲戶應(yīng)交的水費(fèi)是4×1.8+(7.5-4)×3=17.7(元)乙戶應(yīng)交的水費(fèi)是26.4-17.7=8.7(元)答：甲戶應(yīng)交水費(fèi)17.7元，乙戶應(yīng)交水費(fèi)8.7元。再用按比例分配的方式分別求出每戶的用水量。例8(2000·小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)集訓(xùn)題)甲、乙兩倉共存糧240噸，其中甲倉存糧|倉存糧的相等。甲、乙兩倉各存糧多少噸?相等，可以列出,乙倉存糧是240-90=150(噸)。答：甲倉存糧90破，乙倉存糧