華羅庚數(shù)學課本六年級

第一章分數(shù)的簡便計算在分數(shù)計算咩，經(jīng)常會出現(xiàn)類似下面的題目：如果不去觀察、嘗試，找出其中的奧秘，將很難解決這樣的問題。同學們，你們能想出好的辦法嗎?本章將就這樣的問題，從約分法和分數(shù)的拆分角度加以解決。只要在平時的學習中多研究、多嘗試、多思考，你還會想出更好、更奇妙的方法，試試吧!第一節(jié)巧用運算定律和性質探究目標1.能夠根據(jù)四則運算的定律及性質使一些計算變得簡便。2.能利用和、差、積、商的變化規(guī)律進行簡便運算。3.進一步提高分析、抽象、綜合、概括等能力。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!例用簡便方法計算建議：1.先觀察題目中數(shù)字的特點，找出能夠簡便的方法。2.要能夠合理應用運算定律。能夠運用乘法分配率壹行簡便計算。能夠運用乘法分配率過行簡便計算。證明：題中第一組和第三組的兩個乘式可以利用乘法分配律簡便計算，第二組和第四組的兩個乘式可以利用乘法分配咎簡便計算。所以，[完全解題]通過觀察發(fā)現(xiàn)看成這樣就可以運用乘法的分配律達到簡算目的。通過觀察，還可以發(fā)現(xiàn)55加上1正好等于56,所以也可以這樣簡算：[技法點睛]本題關鍵是先要觀察題目的特點，可以將第一個因數(shù)變化，也可以將第二個因數(shù)進行變化。[完全解題]題中的就是,即[技法點睛]本題中關鍵是將4改寫成再運用乘法分配率進行簡[完全解題]根據(jù)運算性質可以把6改寫成36÷3.÷3.6.[技法點睛]本題的關鍵是將算式中的某個整體看作一個數(shù)，再運用有關定律進行簡便0.65)×(0.23+0.34).[完全解題]仔細觀察，這組算式中的數(shù)就是1,0.23,0.34,0.65,它們按某種規(guī)律排列，像這樣的題目可以將它的某一部分看作一個整體，用字母代替，這樣可簡化計算的過設A=0.23+0.34,B=0.23+0.34+0.65。原式=(1+A)×B-(1+B)×A=B+AB-A—AB(AB與BA一樣的結果，且可相互抵消)[技法點睛]本題從題目本身看是不能簡便計算的，所以要善于運用拆數(shù)的方法。例5(2003·浙江省小學數(shù)學活動課夏令營)計算：[完全解題]利用乘法的分配律，可以將每組中的兩個分數(shù)分別與相乘，然后再利用乘法分配律將其重新整理。49、46、43、…、1是一組等差數(shù)列，一共(49-1)÷3+1=17個數(shù)，所以一共有17組這樣的和相加。[技法點睛]本題在利用乘法分配律之前，要運用等差數(shù)列求和的方法求出這些數(shù)的和例6(2002·天津市數(shù)學學科競賽)計算：[完全解題]對于這樣三組分數(shù)乘整數(shù)中的三個分數(shù)就變得相同了，利用乘法分配律將其簡便計算。[技法點晴]在整數(shù)與分數(shù)相乘中，對于者.可以變式為或者等形式，這樣的變式有利于找出相同的因數(shù)，從而可以利用乘法分配律進行簡便計算。例7(2002·四川省小學生數(shù)學夏令營)計算：[完全解題]題目中每組兩個因數(shù)中的第一個因數(shù)接近一個整十數(shù)，并且這個整十數(shù)正好是第二個因數(shù)分母的倍數(shù)。利用約分的方法進行簡便計算。[技法點睛]當一個數(shù)接近整十、整百……時，可以先將其看作整十、整百數(shù)……,然后再利用乘法分配律進行簡便計算。例8(2002·我愛數(shù)學少年夏令營)計算：然后利用[完全解題]然后利用,乘法的分配律進行簡便計算。5[技法點睛]在運用乘法分配律進行計算時，可以將若干個數(shù)的和看作一個整體，為使計算過程簡便，可以將相同的一組數(shù)用字母代替。創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.(2003·小學數(shù)學奧林匹克預賽)3.51×49+35.1×5.1+49×51的結果是()。A.2853.(2003·浙江省小學數(shù)學活動課夏令營)99×43+98×42+97×41的結果是()。二、填空題。(每題5分，共20分)1.(2003·廣東省小學六年級數(shù)學競賽)2.(2003·天津市數(shù)學學科競賽)1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17 3.(2004·小學數(shù)學奧林匹克預賽)(4.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學邀請賽)85.42×7903.29-286.5×790.329+79032.9×4.323二。三、解答題探究目標1.能夠利用約分的方法直接將分子、分母中公有因式進行月份從而達到簡便計算的目的。2.能夠靈活地根據(jù)四則運算的性質將分子、分母轉化、改寫、變形等，找出其公有的因式，達到用約分法簡便計算的目的。3.進一步提高分析、抽象、概括的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!,例有2000個桃子，猴王分給一批猴子吃，第一天吃了總數(shù)的,第三天吃了第二天余下的以后每天都吃前一天余下的、第二天吃了余下的最后還剩下多少個桃子?建議：1.先找出每天吃的相當于總數(shù)的幾分之幾。2.通過列式探索其中的規(guī)律。討論：1.每天吃的都是前一天余下的幾分之幾，所以，可以依次進行乘法計算剩余的2.前一天分數(shù)的分母與后一個分數(shù)的分子正好能約掉。證明：第一天吃了以后還余下,第二天吃了以后還余下2000×(1-,依此類推，一直到吃去前一天的后還余下2000×=1(個)所以最后還剩下1個桃子。[完全解題]題中的分子部分每一個加數(shù)都是分母中每一個相應加數(shù)縮小10倍的結果，可將分母部分處理成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)×10,而分子部分可寫成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)×1這樣就可將公有的(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)約去。[技法點睛]本題中的分子與分母只是小數(shù)位數(shù)的不同，可以利用乘法分配率將其整理。[完全解題]利用這樣分子分母中就有相同的因式[技法點睛]本題中的被除數(shù)與除數(shù)中分數(shù)部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率將其寫成若干個分數(shù)單位和的形式。[完全解題]1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8這樣可與分母部分的888888×888888約分。[技法點睛]本題中的分子具有一定的規(guī)律，正好是8個8的和，所以分子與分母可以[完全解題]分子分母中沒有公有的因式可以直接約。但通過觀察分子分母中數(shù)的特征，可以轉化為兩種：一是將分子變化，1993+1992×1994=1994-1+1992×1994=1994×1993一1;二是將分母變化，1993×1994-1=(1992+1)×1994-1=1992×1994+1993.或[技法點睛]本題中的分子與分母要進行變式，可以將分子變的與分母一樣，也可以將分母變的與分子一樣。[完全解題]1+3+5+7+…+199=(1+199)×100這樣分子和分母中都有100÷2?？捎眉s分法進行簡算。[技法點晴]本題中的分子與分母都是等差數(shù)列，可以利用數(shù)列求和的方法進行約分。[完全解題]將5×6×7×8×9看作A,1×2×3×4×5看作B,則原式變?yōu)閇技法點睛]本題中的分子有一部分與分母相同，為了解題方便，可以將每個乘式看作一個整體。[完全解題]12345678912=1234567891=1234567891×123456789=1234567890×123456789這樣分母部分的差為1。AA[技法點睛]本題的關鍵是利用乘法分配率將分母進行變式。[完全解題]1×2=1×1×(1×2)2×4=2×2×(1×2)即1×2+2×4+3×6+4×8=1×2×(1×1+2×2[技法點睛]本題的關鍵是將分子與分母進行變式，將相同的因數(shù)進行分類整理，再根據(jù)乘法分配率進行約分。創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.(2004·我愛數(shù)學少年夏令營)等于()。2.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學邀請賽)等于()3.(吉林省第十屆小學數(shù)學邀請賽)等于()。4.(2004·四川省小學數(shù)學邀請賽)二、填空題。(每題5分，共20分)1.(2004·四川省小學生數(shù)學夏令營)2.(2004·我愛數(shù)學少年夏令營)3.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學邀請賽)4.(吉林省第九屆小學數(shù)學邀請賽)三、解答題。(每題20分，共60分)探究目標1.能靈活運用分數(shù)拆分的方法使一些復雜的分數(shù)數(shù)列求和的計算簡便。2.進一步提高分析、綜合、抽象、概括等能力。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!例(2001·我愛數(shù)學少年夏令營)計算：建議：1.仔細觀察題目的特點，找出解題的方法。2.想辦法將分數(shù)變化形式。討論：1.分數(shù)的分母依次是等差數(shù)列的和，可以用求和的公式進行整理。2.將分數(shù)的分母變成等差數(shù)列求和的形式，然后根據(jù)1除以一個數(shù)的特點改寫成倒數(shù)的形式，最后將分數(shù)的分母變換成兩個連續(xù)自然數(shù)相乘的形式，這樣就可以利用分數(shù)拆分的方法進行簡便計算了。證明：每個分數(shù)的分母都是若干個連續(xù)自然數(shù)的和，可以將分母用等差數(shù)列求和的形式表示出來，再根據(jù)1除以一個數(shù)就是這個數(shù)的倒數(shù)的特點進行簡便計算。[完全解題],,…[技法點睛]本題是直接利用拆項的方法，將每個分數(shù)拆成相應的減法形式。[完全解題][技法點睛]本題分母中的兩個因數(shù)相差3,故是分數(shù)的拆分和乘法分配率的綜合應用。[完全解題],[技法點睛]本題中每個分數(shù)的分母是三個連續(xù)自然數(shù)的積，直接利用拆分的規(guī)律進行計算。[完全解題]這道題中各分數(shù)的分子都是1,分母依次是等差數(shù)列，可將其變形為[技法點睛]本題中每個分數(shù)的分母都是若干個連續(xù)自然數(shù)的和，可以將分母用等差數(shù)列求和的形式表示出來，再根據(jù)1除以一個數(shù)就是這個數(shù)的倒數(shù)的特點進行簡便計算。例5(2002·第十二屆《祖沖之杯》小學數(shù)學競賽)計算：[完全解題]觀察每個分數(shù)的分母，可以發(fā)現(xiàn)，它們都是兩個相鄰自然數(shù)的積。所以可以利用分數(shù)拆分的方法進行計算。[技法點睛]本題巧用分數(shù)拆分的方法，分數(shù)的分母是兩個連續(xù)自然數(shù)的積，分子正好是這兩個自然數(shù)的和，所以可拆成這兩個自然數(shù)作分母的分數(shù)單位的和。例6(2003·浙江省小學數(shù)學活動課冬令營)計算：[完全解題]對于這四個分數(shù)，可以拆成兩個分數(shù)的和，對這三個分數(shù)，可以拆成兩個分數(shù)的差，然后再根據(jù)題中的相關分數(shù)合并。、[技法點睛]根據(jù)題目的特點巧妙地將一些分數(shù)拆成兩個分數(shù)的和或者兩個分數(shù)的差，然后再根據(jù)加減法的性質進行簡便計算。例7(2002·我愛數(shù)學少年夏令營)計算：A[完全解題]先將題目中分母相同的分數(shù)結合在一起相加，再利用乘法的分配律進行簡A[技法點睛]題目中所有的分數(shù)分母為n(2≤n≤60),利用求和公式：創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.(吉林省第九屆小學數(shù)學邀請賽)B2.(2004·浙江省小學數(shù)學活動課夏令營)二、填空題。(每題5分，共20分)2.(2002·天津市數(shù)學學科競賽)3.(2002·天津市數(shù)學學科競賽)解答題。(每題20分，共60分)本章測試卷(滿分100分)一、直接寫出結果。(每題3分，共30分)二、計算題。(每題4分.共40分)三、解答題。(每題10分，共30分)1.求分母是63的所有最簡真分數(shù)的和。2.求小于1000的既能被3整除，又有約數(shù)5的所有自然數(shù)的和。3.王師傅5月1日開始加工零件，第一天加工10個，以后每天都比前一天多加工2個，那么到5月31日加工多少個零件?這一個月一共加工了多少個零件?第二章分數(shù)應用題永豐小學開展“獻愛心”活動，號召每位同學向希望小學捐出自己的零花錢。六(1)班小明捐出零用錢的,小亮也捐出零用錢的你能知道，他們倆誰捐的錢多嗎?肯定有同學認為兩人捐的錢一樣多。實際上，這一題有三種可能：第一種，如果小明的零用錢比小亮的多，那么小明的捐款多；第二種，如果小明的零用錢比小亮的少，那么小明的捐款少；第三種，如果小明的零用錢和小亮的一樣多，那么兩人的捐款一樣多。上面這個問題之所以在在三河做，效標上是出分數(shù)法用題的特點面依定的。是對于某個標準量而言的，也就是說，是“誰”的幾分之幾，這里“誰”就是單位“1”。那么小明零用錢和小亮零用錢的是相對不同的單位“1”而言的，由此造成兩人捐款的多少取決于兩人本身原有零花錢的多少。因此在解決分數(shù)應用題時，明確單位“1”是非常關鍵的，否則就要出現(xiàn)錯誤。在日常生活、生產(chǎn)勞動中，我們會經(jīng)常需要利用分數(shù)應用題的解題方法解決實際問題。這一章，我們一起來探討一下分數(shù)應用題的解題規(guī)律。第一節(jié)分數(shù)應用題的基本類型探究目標1.理清分數(shù)應用題的解題思路，明礴單位“1”,以及具體數(shù)量與分率的對應關系。2.體驗對分數(shù)應用題的探究過程，加深對分數(shù)應用題的認識，總結分數(shù)應用題的解題規(guī)律。3.滲透靈活應用分數(shù)應用題解題方法意識，提高解答分數(shù)應用題的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!分數(shù)應用題的一般題型可以分為以下兩種類型：1.求一個數(shù)的幾分之幾是多少?2.已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。討論：實際上，分數(shù)應用題的基本解題思路和我們所學的倍數(shù)應用題的解題思路是一致的。我們可以用下面兩題為例說明：(1)梨樹20棵，桃樹棵數(shù)是梨樹的兩倍。桃樹多少棵?要求桃樹多少棵，就要求梨樹棵數(shù)的兩倍是多少，用“20×2”計算，這就是倍數(shù)應用題。(2)梨樹20棵，桃樹棵數(shù)是梨樹的桃樹多少棵?要求桃樹多少棵，就是要求梨樹棵數(shù)的是多少，用計算，這就是分數(shù)應在解答分數(shù)應用題時，首先要找出題目中的關鍵句進行分析，通過分析關鍵句，確定把什么看作單位“1”,找出解題的數(shù)量關系式，再根據(jù)一個數(shù)乘以分數(shù)的意義列式解答。如上面第(2)題中關鍵句是“桃樹棵樹是梨樹的,把梨樹棵數(shù)看作“1”,關系式是：“梨,要求梨樹棵數(shù)，就用“桃樹爆數(shù)÷分數(shù)應用題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和實際生活中應用十分廣泛。這一類應用題的變化很多，但只要抓住關鍵句進行分析，弄清其中的單位“1”,明確數(shù)量關系式，認真思考，也不難發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律。建議：在解答基本的分數(shù)應用題時，要抓住題目中的關鍵句進行分析。首先明確“1”,如果單位“1”已知，用乘法計算：如果單位“1”未知，要先求出單位“1”,用除法或列方程計算；其次，在列式時要考慮具體數(shù)量和分率之間的對應關系。例1一桶油，第一次用去正好是4升，第二次又用去這桶油還剩多少升?[完全解題]由于其中的兩個分率和都是把這確礎的總數(shù)什為“”,我們要先求出這桶油一共多少升?根據(jù)題意可以知道，一桶油的正好是4升，可以求出這要求還剩多少升，我們可以先求出還剩這桶油的幾分之幾：則還剩多少升可以這樣計算：答：還剩5升。[技法點睛]該題關鍵在于找出“第一次用去4升”和幾分之幾對應。求還剩多少升，就是求這桶油的幾分之幾是多少。請你想一想，你認為求“還剩多少升?”還可以怎樣列式?例2某工廠計劃生產(chǎn)一批零件，第一次完成計劃的丟第三次完成450個，結果超出計劃的計劃生產(chǎn)零件多少個?[完全解題]把“計劃生產(chǎn)的零件個數(shù)”當作“1”,根據(jù)題意，我們首先要求出450個零件占計劃任務的幾分之幾。實際上“450個零件”可以分為兩部分：一是完成剩下的任;二是超出計劃的那么計劃生產(chǎn)零件的個數(shù)就是：答：計劃生產(chǎn)零件1400個。[技法點睛]我們在解答時關鍵在于找出具體數(shù)量的對應分率。這道例題我們也可以設“計劃生產(chǎn)零件x個”,用方程的方法解答，你試試看!例3王師傅四天完成一批零件，第一天和第二天共做了54個，第二、第三和第四天共做了90個。已知第二天做的個數(shù)占這批零件的這批零件一共有多少個?.=120(個)答：這批零件一共有120個。[技法點睛]把這批零件的總數(shù)看作單位“1”,而54+90=144(個)對應的分率應為這批零件的總數(shù)單位“1”和第二天做的,因此，可以求出這批零件的總數(shù)。例4六(1)班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。六(1)班共有學生多少人?[完全解題]根據(jù)題意：生|生|加上“女生的)八也就是男生與女生和的即全班人數(shù)的是30人。“男生的“男生的“男生=40(人)答：六(1)班共有學生40人。[技法點晴]本題關鍵在于我們要理解：“男生的加上“女生的也就是男生與女即全班人數(shù)的是30人。如果能夠理解上面的推理過程，問題就迎刃而解了。創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.一個糧食倉庫，原來存有一批糧食，運；,又運來5.6噸，這時現(xiàn)有存糧是原2.一種石英表，先漲價然后降價,這時售價49.5元，原價()元。3.小紅讀一本書，第一天讀了全書第二天讀了余下的兩天共讀30頁，這4.車間有52名工人，后來又調進4名女工，這時女工人數(shù)是男工人數(shù)這個車二、填空題。(每題5分，共20分)1.把甲班人數(shù)調入乙班后，兩班人數(shù)相等，原來乙班人數(shù)是甲班人數(shù)的2.一輛汽車從甲地開往乙地，行了全程的后，超過中點千米，甲、乙兩地全程3.兩袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果從甲袋倒入乙袋6千克，這時甲袋大米重量是乙袋大米的兩袋大米原來共有千4.兩桶油，甲桶油的重量是乙桶油的倍，甲桶油用去6千克，乙桶油用去1.5千克后，兩桶油剩下的一樣重。甲桶油原來有千克，乙桶油原來有千克。三、解答題。(每題20分，共60分)1.一輛汽車，從車站開出時坐滿了人，途中到達某站，有的乘客下車，又有21人上車，這時有6位乘客沒有座位，這時車內有乘客多少人?,2.兩堆煤，從甲堆煤運責乙堆煤運走一部分后剩這時甲堆重量是乙堆重量,的甲堆原有120噸，乙堆原有多少噸?3.一條水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的這時剩下的與挖好的相等。這條水渠有多長?第二節(jié)單位“1”的轉化探究目標1.根據(jù)題意，能夠轉化題中的單位“1”,統(tǒng)一單位“1”。2.根據(jù)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關鍵句，轉化出甲、乙兩數(shù)之比來解答分數(shù)應用題。3.善于發(fā)現(xiàn)題中的不變量，抓住不變量進行分析。利用“不變量”作為中間條件進行解答；以不變量作為單位“1”,轉換題中的關鍵句，統(tǒng)一單位“1”,然后再進行解答。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!有的時候在一些分數(shù)應用題當中，會出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定，為解題增加了難度；我們在解答分數(shù)應用題時，有時也會發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關鍵句。諸如此類，我們在解題的時候，必須通過一定的轉化確定題目中的單位“1”。當題目中出現(xiàn)變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定的時候，我們要善于發(fā)現(xiàn)其中的不變量，抓住不變量進行分析。有的時候，可以先求出不變量，然后利用其作為中間條件進行解答；有的時候，則應以不變量作為單位“1”,轉換題中的關鍵句，統(tǒng)一單位“1”然后再進行解答。當發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關鍵句而無法確定單位“1”時，我們可以先根據(jù)關鍵句轉化出甲、乙兩數(shù)之比來計算。,例1甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵，甲植樹的棵數(shù)是其余三人的,乙植樹的棵數(shù)是其余三人,丙植樹棵數(shù)是其余三人的丁植樹多少棵?,[完全解題]題目中出現(xiàn)三次“其余三人”,但“其余三人”所包含對象的不同，因此，三個單位“1”是不同的，這就是我們所說的單位“1”不統(tǒng)一。我可以把四人的總植樹棵數(shù)作為單位“1”,“甲植樹棵數(shù)是其余三人的可以理解為甲植樹棵數(shù)占1份，其余三:人占2份，那么甲植樹棵數(shù)占總棵數(shù)的同理，乙植樹棵數(shù)占總棵數(shù)的事事丙植樹棵數(shù)占總棵數(shù)的為“總棵數(shù)”。這些過程就是所謂的轉換單位“1”,使單位“1”統(tǒng)一那么,求丁植樹多少棵，就是求60棵數(shù)的=13(棵)答：丁植樹13棵。例2五(1)班原計劃抽調的人參加“義務勞動”,臨時又有兩人主動參加，使實際參加“義務勞動”的人數(shù)是余下人數(shù)原計劃抽調多少人參加“義務勞動”?[完全解題]=8(人)答：原計劃抽調8人參加“義務勞動”。[技法點晴]題目中的是以全班人數(shù)為單位“1”,而“實際參加義務勞動的人數(shù)是余下人數(shù)的是以余下人數(shù)為單位“1”。根據(jù)這句話，你能知道實際參加義務勞動的人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾嗎?如果能夠理解得出實際參加義務勞動的人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾，這題就能夠獨立解決了。例3玩具廠三個車間共同做一批玩具。第一車間做了總數(shù)的,第二車間做了1600個，第三車間做的個數(shù)是一、二車間總和的一半，這批玩具一共有多少個?[完全解題]解法一：第三車間是一、二車間總和的一半，那么第三車間的個數(shù)是三個車間總數(shù)的=4200(個)答：這批玩具一共有4200個。加上第二車間I那么,我們可以理解為“第三車間做,又做了800個?！?4200(個)答：這批玩具一共有4200個。[技法點睛]“第三車間做的個數(shù)是一、二車間總和的一半”,這一句話可以用上面兩種方法來轉換單位“1”,從而明確統(tǒng)一的“1”后進行解答。例4五個連續(xù)偶數(shù)，已知第三個數(shù)比第一個數(shù)與第五個數(shù)的和的多18,這五個偶數(shù)的和是多少?[完全解題]五個連續(xù)偶數(shù)：A、B、C、D、E,中間一個數(shù)C是這五個數(shù)的平均數(shù)，也就是說“C是五個數(shù)之和的.還可以成“℃是A與民之.那么,“路三個數(shù)比]第一個數(shù)與第五個數(shù)的和的多18”,可轉換為“第三個數(shù)比第三個數(shù)的兩倍的多]18?！贝穑何鍌€連續(xù)偶數(shù)的和是180。[技法點睛]如果我們以五個連續(xù)偶數(shù)的和作為單位“1”,那么第三個數(shù)占總和的幾分之幾，第一個數(shù)與第五個數(shù)的和占總和的幾分之幾?你能做出這道題嗎?相等，甲組比乙組少多少與乙組人數(shù)的例5甲、乙兩組共有54人，甲組人數(shù)的相等，甲組比乙組少多少與乙組人數(shù)的人?和乙組人數(shù)的相等。”這句話，我們可以改寫成下面的等式：,:答：甲組比乙組少6人。[技法點睛]我們在解答分數(shù)應用題時，有時也會發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關鍵句。一般情況下，我們可以先根據(jù)關鍵句轉化出甲、乙兩數(shù)之比來和Z的例6一個長方形的周長是130厘米。如果長增加寬減!,得到新的長方形的,周長不變。求原來長方形的長、寬各是多少厘米?那么,6=35(厘米)=30(厘米)答：原來長方形的長是35厘米，寬是30厘米。例7學校圖書館原有文藝書和科技書共5400本，其中科技書比文藝書少,最近又買來一批科技書，這時科技書和文藝書本數(shù)的比是9:10。圖書館買來科技書多少本?[完全解題]根據(jù)題意，題目中的科技書的本數(shù)在變化，而文藝書的本數(shù)是不變量。我們可以先求出文藝書本數(shù)：=3000(本)根據(jù)“這時科技書和文藝書本數(shù)的比是9:10”,我們以“文藝書3000本”為條件求出現(xiàn)在科技書的本數(shù)。3000÷10×9=2700(本)最后用現(xiàn)在科技書2700本減去原來科技書本數(shù)，求出原來科技書多少本?答：圖書館買來科技書300本。[技法點睛]在一些分數(shù)應用題當中，會出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定，為解題增加了難度。這種情況，我們要善于發(fā)現(xiàn)其中的不變量，抓住不變量進行分析。有的時候，可以先求出不變量，然后利用其作為中間條件進行解答。例8甲、乙兩人原來的錢數(shù)的比是3:4,后來甲給乙50元，這時甲的錢數(shù)是乙的。甲、乙兩人原來各有多少元錢?[完全解題]根據(jù)題意：原來甲的錢數(shù)是乙,甲給乙50元后，甲的錢數(shù)是乙的,乙錢數(shù)和”這個不變量，把它作為單位“1”,那么“甲、乙原來錢數(shù)的比是3:4”,轉化為“甲原來的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的.“這時甲的戰(zhàn)數(shù)是Z.可轉化為“現(xiàn)在甲的錢數(shù)占兩人錢數(shù)總和的在的錢少50元。那么,。根據(jù)題目所說“甲給乙50元”,可知甲原來的錢比現(xiàn)答：甲原來有225元，乙原來有300元。[技法點睛]在一些分數(shù)應用題當中，會出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無法確定，這種情況下，我們可以以不變量作為單位“1”,轉換題中的關鍵句，統(tǒng)一單位“1”然后再進行解答。想一想：如果以乙現(xiàn)在的錢比原來多50元，找出對應分率來解答，你會列式嗎?例9兩種商品的價格比是7:3,如果它們的價格都上漲70元，那么他們的價格比是7:4。甲商品原來的價格是多少元?[完全解題]兩種商品的價格都上漲70元，發(fā)生了變化，而且它們的總價格也變化了。但是我們可以發(fā)現(xiàn)，由于兩種商品漲價幅度相同，所以漲價后兩種商品的價格差不變。我們可以把價格差這個不變量作為單位“1”。那么,“甲、乙兩種商品的價格比是7:3”,轉化為“原來甲的價格相當于價格差的,“em價格之比是7:4“轉化為“現(xiàn)在甲的價格相當于價格差的=120(元)答：甲商品原來的價格是210元。[技法點睛]抓住不變的量作為單位“1”,這樣題目中就有了統(tǒng)一的單位“1”,就能夠順利地分析解答問題啦!例10一個最簡分數(shù)的分子、分母之和為49,分子加上4,分母減去4后，得到新的分數(shù)可以約簡為,求原來的分數(shù)。[完全解題]根據(jù)題意，分子、分母之和不變，現(xiàn)在新分數(shù)分子、分，母的和也是49,,原二、填空題。(每題5分，共20分)1.某圖書館有科技書和文藝書共630本，其中科技書占這時科技書占總數(shù)的又買來科技書本。2.有一堆糖果，其中奶糖占,再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。那么這堆糖果中奶糖塊。3.一堆煤，已燒的噸數(shù)和未燒的噸數(shù)比是1:5,如果再燒120噸，已燒的噸數(shù)是未。4.甲、乙兩個書架，甲書架存書的相當于乙書架存書的甲書架比乙書架多存書120本，兩個書架共有存書本。三、解答題。(每題20分，共60分)1.某校男生人數(shù)比女生人數(shù)的多50人，男生人數(shù)的相當于女生人數(shù)的2倍。該校男、女生各有多少人?2.三個分數(shù)的和第一個數(shù)是第二個數(shù)的第二數(shù)個是第三個數(shù)的分數(shù)各是多少?3.甲、乙兩個書架共有書102本，從甲書架拿出24本放入乙書架，則乙書架本數(shù)的正好是甲書架的乙書架原有多少本書?第三節(jié)逆推問題及其解法探究目標1.正確理解逆向思維的應用題，學會反向思考。2.掌握解方程法、倒推法和表格法解決逆推問題。探究過程參與一下”做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!逆推也就是我們常說的倒推。我們在分析問題時帶需要反向思考。在解答分數(shù)應用題時，也經(jīng)常出現(xiàn)這種需用逆向思維解決的應用題。一般情況下比較簡單的可采用方程解，特殊情況下，我們采用逆推法反而比較容易解答，有些還可以借助表格進行逆推。例1甲、乙各存款若干元，甲拿了存款的給乙后，乙再拿出現(xiàn)有存款的給甲，這時他們各有180元。他們原來各有存款多少元?[完全解題](見下表中箭頭所示甲乙甲、乙的和現(xiàn)在甲、乙都是180元，和是360元。那么乙拿出后是180元，乙拿出之前有存款：這時甲有存款360-240=120(元),即甲拿出后剩下120元，那么甲拿出之前(即甲原有存款)存款為：360—150=210(元)答：甲原有存款150元，乙原有存款210元。[技法點晴]這道題利用了表格來進行推斷，步驟比較清析。今后在解決類似問題時，大家可以借用表格來理清自己的思路。以后8天，分別偷了,當天現(xiàn)有桃子。偷了9天，樹上只剩下10個桃子。樹上原有桃子多,少個?[完全解題]采用逆推法，根據(jù)第九天剩下10個桃子，可求出第八天后剩下的如此類推，可分別求出第七天后，第六天后，……,第一天后以及原來的桃子個數(shù)：答：樹上原有桃子100個。[技法點睛]想一想：設原有桃子x個，你會列方程解答嗎?例3一堆西瓜，第一次賣出總數(shù)的,第二次賣出余下的,第三次又賣出余下的,還剩2個，這堆西瓜共有多少個?[完全解題]根據(jù)第三次賣出余下的,還剩2個，可求出第二次賣出余下的個數(shù)：(如下圖)根據(jù)第二次賣出余下自又2個，還剩8個(上面所求的),可以求出第一次余下的個數(shù)：(如下圖)根據(jù)第一次賣出總數(shù)又4個，還剩20個(上一步所求出的),可以求出原有西瓜的個數(shù)：(如下圖)答：這堆西瓜共有32個。[技法點晴]本題是用典型的倒推法來解答的，在分步倒推時借助線段圖幫助理解，這樣能夠降低思維難度。想一想：如果這題用方程解，你能做出來嗎?比一比，哪種方法更好?還剩下88頁。這本書共有多少頁?[完全解題]根據(jù)題意，這本書的總頁數(shù)為單位“1”,我們可以設這本書共有x頁。那么第一天看的頁數(shù)為第二天看的頁數(shù)為根據(jù)“第一天看的頁數(shù)+第二天看的頁數(shù)+剩下的88頁=這本書總頁數(shù)”來列方程：答：這本書共有144頁。[技法點睛]我們在解答應用題的時候，經(jīng)常會遇到逆解的題目，我們可以選擇用方程解答，對分數(shù)應用題也不例外。在列方程解分數(shù)應用題時，我們應當注意以下兩點：其一，我們一般設單位“1”為x;其二，找準等量關系式來列方程。例5某校五年級共有學生152人，選出男生的和5名女生參加科技小組，剩下的男、女生人數(shù)剛好相等。五年級男、女生各有多少人?[完全解題]如下圖：由于題目中男生人數(shù)是單位“1”,那么可以設男生人數(shù)為x人，那么女生人數(shù)為(152根據(jù)“剩下男、女生人數(shù)相等”,我們可以列方程來解答：答：五年級男生有77人，女生有75人。[技法點睛]根據(jù)剩下的男、女生人數(shù)相等，我們可以推出，原來女生人數(shù)相當于男生那么,如果男生有x人，則女生人數(shù)為根據(jù)“男生人數(shù)+女生人數(shù)-=152,”你能列方程解答嗎?例6甲、乙兩班共有62人參加科技小組活動，甲班參加人數(shù)比乙班參加人數(shù)的少2人。甲、乙兩班各有多少人參加科技小組活動?[完全解題]題目中存在甲、乙兩班人數(shù)兩個單位“1”,我們假設其中一個班的人數(shù)班人數(shù)的為x,另一個班的人數(shù)可以用(62-x)表示，并且根據(jù)“乙班人數(shù)的班人數(shù)的設甲班有x人參加科技小組活動，乙班有(62-x)人參加科技小組活動。62-30=32(人)答：甲班有30人參加科技小組活動，乙班有32人參加科技小組活動.創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.小英三天看完一本故事書，第一天看了全書的還少4頁，第二天看了全書剩下的還多14頁，第三天看了90頁。這本故事書共有()頁。,3.甲、乙兩人各有錢若干，已知甲的錢數(shù)是乙的4倍，當甲花：后，又如果這時甲給乙7元錢，甲、乙兩人的錢數(shù)正好相等。甲原來有()元錢。4.某工廠有工人135人，其中男工人數(shù)與女工人數(shù)的之和為98人，男工有()二、填空題。(每題5分，共20分)1.甲、乙兩堆煤共有44噸，從甲堆運走它的乙堆運來10噸后，兩堆現(xiàn)在一樣重，2.某個商店買進兩筐蘋果共200千克，如果從第一筐中取出放到第二筐中，然后再從第二筐中取出放入第一筐中，這時兩筐一樣重，原來第一筐蘋果重千克。3.甲、乙兩人原有錢的比是3:4,后來甲又給乙50元，這時甲的錢數(shù)是乙的,原4.甲、乙兩堆煤共140噸，當甲堆運乙堆運走10噸時，甲、乙兩堆煤的噸數(shù),比是6:5,原來甲堆煤有千克。三、解答題。(每題20分，共60分)1.小販把他所有的西瓜的又半個賣給第一位顧客，把余下西瓜的又半個賣給第二位顧客，這樣，他把所余西瓜的又半個賣給了以后的各位顧客，賣給第七個人以后，正好全部賣完，小販原有西瓜多少個?2.有A、B、C、D、E五筐蘋果，各筐蘋果的數(shù)量不等，如果把B筐蘋果的一半搬入最后五筐蘋果都是30千克，每筐蘋果原來各有多少千克?3.(《小學生數(shù)學報》江蘇省首屆小學生探索與應用能力競賽決賽試題)如圖1,線段將一張正方形紙分成面積相等的兩部分。這張正方形紙對折后，得到圖2;將圖案沿對稱軸對折，得到圖3。已知圖3所覆蓋桌面的面積占長方形紙面積的,陰影部分面積為6平方厘米。長方形的面積是多少平方厘米?第四節(jié)工程問題基本類型探究目標理清工程問題的解題思路，掌握工程問題的特點，會根據(jù)基本數(shù)量關系式正確解答。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!工程應用題屬于分數(shù)應用題中的一種類型，它是研究工作效率、工作時間和工作總量之間關系的應用題。在工程問題中，常常把工作總量看作單位“1”,工作效率則用每天完成工作總量的幾分之幾來表示。例如，一項工程，甲單獨做需20天完成，乙單獨做需25天完成。根據(jù)條件，我們可以把這項工程看作單位“1”,甲單獨做需20天完成，那么甲的工作效率就是每天完成這項工程的,同理，乙的工作效率就是工作效率×工作時間=工作總量工作總量÷工作效率=工作時間工作總量÷工作時間=工作效率比如上例中，求甲、乙合做兩天完成幾分之幾?求甲、乙合做幾天可以完成?工程問題中講述的某項工程一般都未給出具體的數(shù)量，首先在解題時關鍵要把一項工程看作單位“1”,工作效率就用完成單位“1”所需工作時間的倒數(shù)來表示，并結合有關工程問題的三個基本數(shù)量關系式來列式解答。例1一條公路，甲獨修需24天完成，乙獨修需30天完成。甲、乙兩隊先合修若干天后，乙隊停工休息，甲隊繼續(xù)修了6天完成。乙隊修了多少天?[完全解題]要求乙隊修了多少天，實際上就是要求甲作總量÷工作效率=工作時間”來解答。這里的工作量應是單位“1”減去后來甲6天的工甲、乙兩隊先合修若干天的工作量：甲、乙合修的天數(shù)，即乙隊修的天數(shù)：答：乙隊修了10天。[技法點晴]我們也可以根據(jù)“甲、乙合修的工作量十甲隊修6天的工作量=1”用方設乙隊修了x天。例2修一條公路，甲隊單獨修20天可以完成，乙隊單獨修30天可以完成?，F(xiàn)在兩隊合修，中途甲隊休息2.5天，乙隊休息若干天，這樣一共14天才修完。乙隊休息了幾天?[完全解題]我們把這條公路看作單位“1”,可以分成兩部分：一部分由甲隊修，另一部分由乙隊修。根據(jù)題意，甲隊休息2.5天，說明甲隊修了14-2.5—11.5(天),可以先求出甲隊11.5天修了這條公路的幾分之幾：剩下的就是乙隊修這條公路的幾分之幾：最后，我們根據(jù)“工作總量÷工作效率=工作時間”可以求出乙隊實際修的天數(shù)，也就求出乙隊休息的天數(shù)：答：乙隊休息[技法點睛]想一想：這題也可以用列方程來解答，你會做嗎?試一試。例3運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需12小時，丙需要15小時。有同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又去幫助乙搬運，最后同時搬完兩個倉庫的貨物。丙幫助甲搬運了幾小時?[完全解題]我們可以先不考慮具體是怎樣搬運的，可以先從總體上看，甲、乙、丙三人同時搬這兩個倉庫的貨物，即兩個單位“1”,那么,我們可以先求出甲、乙、丙搬完貨=8(小時)根據(jù)題意，甲、乙、丙都搬運8小時，甲在A倉庫搬運8小時，那么倉庫貨物中有一部分是甲搬8小時的工作量，另一部分則是丙幫助甲搬了幾分之幾：就可以求出丙幫助甲搬運的小時數(shù)：,,答：丙幫助甲搬運了3小時。例4一項工程，如果單獨做，甲需10天完工，乙需15天完工，丙需20天完工?，F(xiàn)在三人合做，中途甲先休息一天，乙再休息三天，而丙一直工作到完工為止。這樣一共用了幾天?[完全解題]根據(jù)“甲的工作量十乙的工作量十丙的工作量=1”我們可以用方程來解。設一共用了x天。答：這樣一共用了6天。[技法點晴]我們也可以用假設的思路來解決這個問題。假設甲、乙的工作天數(shù)都是和丙工作的天數(shù)一樣，那么,三人完成的工作量應該是：用完成的工作量除以效率和，就能求出一共用的天數(shù)：例5某市舉辦花展，新建了一個噴水池。單開甲水管一小時可將噴水池注滿，單開乙水管40分鐘可以將噴水池注滿，兩管同時開分鐘后，注入水噸，噴水池能裝水多少噸?[完全解題]這道題中包含工程問題和分數(shù)應用題兩個方面的問題。要求能裝水多少噸，必須先求出噸對應的分率是該水池的幾分之幾，這就應該運用工程問題的方法求出兩水管齊開分鐘注滿水池的幾分之幾：管齊開已注噴水池的噸，可以求出噴水池能裝水的噸數(shù)：已注噴水池的是答：噴水池能裝水10噸。例6加工一批零件，甲獨做需3天完成。乙獨做需4天完成。兩人同時加工，完成任務時，甲比乙多做24個，這批零件共有多少個?[完全解題]我們可以仿照例5,先求出甲比乙多做的24個占這批零件的幾分之幾：根據(jù)甲比乙多做了這批零件的;求出零件的總數(shù)：[技法點睛]根據(jù)題意，我們先求出甲、乙兩人的工作效率比：甲、乙工效比為4:3.二人共同完成這批零件，那么兩人的工作量之比為4:3,即這批零件共有7份，甲完成了其中的4份，乙完成其中的3份，可以得出，到完成任務時，甲做了這批零件的乙做了這批零件。那么,=168(個)創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.一條公路，甲獨修需24天完成，乙獨修需30天完成。甲、乙兩隊合修若干天后，乙隊停工休息，甲隊繼續(xù)修了6天完成。甲隊修了()天。2.兩隊挖一條水渠。甲獨挖需8天完成，乙獨挖要12天完成?，F(xiàn)在兩隊同時挖了幾天后，乙隊調走，余下的甲隊在3天內完成。乙隊挖了()天。3.一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成。中途甲請假2天，乙請假若干天，從開工到完成工程共用了16天。乙請假()天。4.一項工程，甲、乙合做6天完成等。乙的工作效率是()。.所需的時間相A二、填空題。(每題5分，共20分)1.兩列火車同時從兩地相對開出。快車行完全程需要20小時，慢車行完全程需要30小時，開出15小時后兩車相遇。已知快車中途停留4小時，慢車中途停留小時。2.某工程隊預計30天修完一條水渠，現(xiàn)有18人修12天后完成工程如果要提,前6天完工，還要再增加人。3.修一條公路，甲隊獨做要用40天，乙隊單獨做要用24天，現(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750米處相遇。這條公路長米。4.輪船以相同的速度航行，從A城到B城需要3天，從B城到A城需要4天。小木筏從A城飄流到B城，需要天。三、解答題。(每題20分，共60分)1.加工一批零件，甲獨做需3天完成，乙獨做需4天完成，兩人同時加工，完成任務時，甲比乙多做24個，這批零件共有多少個?2.加工一批零件，甲、乙合做2-1天可以完成。由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒有完成。已知甲每天比乙多加工3個零件，這批零件共有多少個?3.兩車同時從A、B兩地出發(fā)，相向而行。經(jīng)過4小時相遇后，甲車繼續(xù)行駛3小時到達B地，乙車每小時行24千米。A、B兩地全長多少千米?第五節(jié)工程問題典型題例探究目標1.體驗一些典型的工程問題的探究過程，加深對互程問題的認識，抓住本質特點，總結出工程應用題的解題規(guī)律。2.引導探討和工程問題相對應的綜合性問題，滲透靈活應用工程問題的解題規(guī)律的意識，提高解答工程二奶題的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!要學會運用常見的數(shù)學思想方法，如假設、轉化、替換法等來幫助自己解題。比如說，有的題目中講述的是兩人合做，我們可以假設成獨做的形式來解題，有時候甲做的工作可以替換成乙做。為了解題的方便，工作的先后順序、工作方式可以改變，這種改變，不會影響問題的實質和解題的結果。有些稍復雜的分數(shù)應用題，如行程問題，其實質也是工程問題，我們要善于抓住問題的本質特征，把它們看做工程問題來解；有些稍復雜的應用題是包含行程問題、分數(shù)問題與工程問題的綜合性題目，需要我們能認真分析，綜合運用各種方法來進行解答，有時也可以借助比和比例的方法來幫助解答。例1甲、乙兩隊合做工程，24天完成。如果甲隊做6天，乙隊做4天，只能完成工程的兩隊單獨完成工程各需要多少天?事[完全解題]題目中甲隊單獨做6天，乙隊單獨做4天，而各自的工作效率不知，無法解答，我們可以把他們倆獨做變成合做，如右圖：甲、乙兩隊合做4天，甲隊再做2天，一共完成由于效率和已知，這樣我們就可以先求出合作4天的工作量：那么甲隊做2天的工作量為：答：甲隊單獨完成工程需60天，乙隊單獨完成工程需40天。例1一項工程，甲先單獨做2天，然后與乙合做7天，這樣才完成全部工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是2:3。如果由乙單獨做，需要多少天才能完成?[完全解題]如下圖，根據(jù)題意，我們可以得出甲工作(2+7)=9(天),乙工作7天一。根據(jù)甲、乙工效的比2:3,可以知道，完成同樣的工作量，甲、乙所用的時間比是3:2,也可以理解成完成同樣的工作量，乙所用的時間相當于甲的那么題目中甲9天的工作量可以替換乙工作的天數(shù)為：這樣，當完成工程的一半時，就可以看成乙用7+6=13(天)一共做的，完成工程的一半要用13天，那么乙完成這項工程的天數(shù)也就能求出來了。13×2=26(天)答：需要26天才能完成。[技法點睛]想一想：根據(jù)完成同樣的工作量。乙所用的時間相當于甲的乙做7天的工作量替換成甲工作，你利用這種思路再獨立解答一下。例3一項工程，甲獨做需12小時完成，乙獨做需15小時完成，丙獨做需18小時完成。如果先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，再由丙接替乙工作1小時，再由甲接替丙工作1小時……三人這樣交替工作，那么完成這項工程，一共需用多少小時?[完全解題]甲、乙、丙輪流工作1小時，也就是3小時，我們可以看做一個循環(huán)，先看看完成這項工程大約需幾次循環(huán)：可以得出，完成這項工程需4個多循環(huán)，我們可以先求出4個循環(huán)的工作量，剩下的工剩下的甲先工作1小時，還剩下：乙再工作1小時，還剩下：剩下的丙再完成，還需的時間為：因此，完成這項工程的總時間可以理解為4個循環(huán)，每個循環(huán)3小對，再加上2.5小時：4×3+1+1+0.5=14.5(小時)例4一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入的水量是例定的。打開甲管，8小時可以將滿池水放空，打開丙管，12小時可將滿池水放空。如果打開甲、乙兩根水管，4小時可以將水放空。如果打開乙、丙兩根水管，要幾小時方能把滿池水放空?水量為a,那么甲管每小時排水量為：,兩管每小時排水量為：其中“a”可以把每小時滲水量排出，即幾小時滲入的水和幾小時排出的水正好相等。因此，只要求單位“1”里有幾個即可求出幾小時把水排答：要4詈小時方能把滿池水放空。例5客車從甲站開往乙站需要8小時，貨車從乙站開往甲站需要12小時一兩鱗車同時從兩站相對開出，據(jù)中心點39千米處相遇。甲、乙兩站相距多少千米?[完全解題]這道題是有關行程方面的問題，但它實際上需用工程問題的方法來解答。=390(千米)答：甲、乙兩站相距390千米。[技法點睛]本題也可以用兩車速度比的方法來解答，你自己試一試。例6兩枝粗細、長短都不同的蠟燭，長的一枝可以點4小時，短的可以點6小時，將幾分之幾?作單位“1”,每小時各自燃燒自己的、那么兩小時后，長蠟燭剩下自己的,短蠟,由此，根據(jù)兩枝蠟燭所余下的長度正好相等得出：那么長蠟燭和短蠟燭之比：答：原來短蠟燭的長度是長蠟燭的a創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.一項工程，兩隊合做每天能完成全部工程的甲隊單獨做3天，乙隊再單獨做5天后，可以完成全部工程的如果全改成乙隊獨做，()天可以完成。2.某項工程由甲先單獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成。如果兩人合做，需48天完成。現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙單獨完成，那么還需要()天。3.一項工程，甲隊單獨做需30天完成，乙隊單獨做需40天完成。甲隊先做若干天后，由乙隊接著做，共用35天完成了任務。甲隊做了()天。4.一輛客車和一輛貨車同時從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)過6小時相遇。相遇后兩車以原速度繼續(xù)前進，客車又用4小時才到達乙地。貨車還要行()小時才能到達甲地。二、填空題。(每題5分，共20分)1.一項工作，如果單獨做，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙要超過規(guī)定時間3天才能完成?，F(xiàn)在合做2天后，剩下的由乙繼續(xù)單獨做，剛好在規(guī)定的時間完成。若合做，完成這項工程需要天。2.甲、乙兩隊合做一項工程，20天可以完成。現(xiàn)在甲隊做6天，乙隊做8天后，完成這項工程的兩隊單獨做完全工程各需要天。3.一項工程，甲獨做需12小時，乙獨做需18小時，如果甲先做1小時，然后乙再做1小時，再由甲接替做1小時……兩人如此交替工作，完成任務時共用小時。4.一項工程，由甲隊單獨做6天可以完成。甲隊3天的工作量，乙隊要4天完成。兩隊合做了2天后由乙隊獨做，乙隊還需天才能完成。三、解答題。(每題20分，共60分),1.甲、乙、丙合修一段圍墻。甲、乙合修6天修好圍墻的,乙、丙合修2天修好余,下的剩下的三人又合修5天才完工。共得到報酬180元，按個人完成的工作量的多少來合理分配，每人應得多少元?2.蓄水池有甲、丙兩根進水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時；要排光一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時?，F(xiàn)在池內有池水，如果按照甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序，輪流各開1小時，多少時間后水開始溢出水池?3.(第八屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽小學組復賽試題)甲、乙兩人從A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小時，中間三分之一路程的行走速度是4.5千米/小時，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小時；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小時，后二分之一路程的行走速度是4千米/小時。已知甲比乙早到30秒，A地到B地路程是多少千米?本章測試卷(滿分100分)一、填空題。(每題4分，共24分),倍，甲數(shù)是丙數(shù)的:2.某班男生人數(shù)的等于女生人數(shù)的,男生人數(shù)占全班人數(shù)的3.一個長方形的長減要使它的面積不變，寬應增加5.把一個正方形的一邊減,另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來正方形面積相等。原來正方形面積是6.有甲、乙兩桶水，把甲中的倒入乙后，這時兩桶的重量之比是1:2,那么原來兩桶水重量之比是二、選擇題。(每題4分，共16分)1.一件大衣如賣140元，可賺40%,如賣120元，可賺()。2.一水池有3根進水管，要灌滿一池水，單開A管需5小時，單開B管需6小時，單開C管需10小時?，F(xiàn)在空池，按A、B、C、A……的順序各打開1小時注水。水池注滿3.甲、乙兩車從A、B兩地相向而行，4小時后相遇，繼續(xù)前進，甲車又用3小時到4.某人上班時步行，回家時乘車，在路上一共用1.5小時，如果上、下班全部乘車，全程只需0.5小時，如果上、下班都步行，全程需()小時。三、解答題。(每題12分，共60分)1.一批零件，師傅單獨做，13天可完成，現(xiàn)在由師徒合做完成，徒弟每天加工25個，2.一項工程，由甲、乙合做12天可以完成?，F(xiàn)在由甲、乙合做4天后，余下的先由甲獨做10天，再由乙獨做5天，正好完成這項工程。求甲、乙單獨做各需多少天才能完成?3.甲、乙兩人原有錢的比是3:4,后來甲給乙60元，這時甲的錢是乙的求甲、.乙原來共有多少錢?4.甲、乙兩個容器共有藥水2000克，從甲中取出,從乙中取出結果兩個容器共剩下1400克藥水，兩容器原來各有藥水多少克?5.有甲、乙、丙、丁四桶酒，現(xiàn)將乙中的并入甲，再把丙中的并入乙，把丁中的并入丙，這時四桶中的酒都是30升，求每桶原來各裝酒多少升?第三章比有這樣一個故事，有一位老人要把17只羊分給他的三個兒子，大兒子分得總數(shù)的一半，二兒子分得總數(shù)的小兒子分得總數(shù)的該怎樣分呢?如果按照我們所學的分數(shù)應用。題的方法，將會出現(xiàn)只的情況。于是聰明的老人借來一只羊，這樣總數(shù)是18總數(shù)：9+6+2=17(只)老人又把多出的1只還給了人家。這是古代有名的算術題。其實現(xiàn)在我們可以用比的方法加以解決。三個兒子分得羊的只數(shù)比為：因此大兒子分得9份，二兒子分得6份，小兒子分得2份，一共是9+6+2=17(份),共17只羊，所以每份為17÷17=1(只)。大兒子分得9×1=9(只),二兒子分得6×1=6(只),小兒子分得2×1=2(只)。本章就是利用這種比的意義及按比例分配的方法解決生活中的實際問題。在解題過程中，要能積極動腦，找準題中各數(shù)量的比，求出各部分量占總數(shù)的幾分之幾。只要善于觀察和實踐，你將有新的收獲。第一節(jié)比的意義和性質探究目標1.掌握比的意義和比的基本性質，知道比同除法、分數(shù)之間的關系。2.能靈活運用比的意義及比的基本性質解決生活中的實際問題。3.提高學生的分析、綜合、概括的能力。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!例一個容器內已注滿水?，F(xiàn)有大、中、小三個球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中?，F(xiàn)在知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的第三次是第一次的2.5倍。求三個球建議：1.找出三個球的體積，根據(jù)各自的體積寫出三個球的體積比。2.分清每次溢出的水的體積與球的體積之間的關系。3.寫出的比要化成最簡單的整數(shù)比。討論：1.設小球的體積為1份，這樣就可以根據(jù)第二次、第三次溢出的水的情況分別得出中球和大球的體積。2.第二次溢出的水是小球的3倍，在溢出水之前，容器中的水空了1份，所以中球的體積是3+1=4(份)。同樣，第三次的大球和小球也如此。證明：設小球的體積為1份，第一次把小球沉入水中，容器將溢出1份的水。第一次溢出的水是第二次的,所以第二次溢出的水是3份。第二次是把小球取出，把中球沉入水中的，所以中球的體積是3+1=4(份)。第三次溢出的水是第一次的2.5倍，所以第三次溢出的是2.5份，第三次是取出中球，把小球和大球一起沉入水中的，那么小球和大球的體積一共是2.5+4=6.5(份),大球的體積就是6.5-1=5.5(份)。所以，大、中、小三個球的體積比是：5.5:4:1=112822。例1兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個瓶子中酒精與水的體積比是3:1,而另一個瓶子中酒精與水的體積比是4:1。若把兩瓶酒精溶液混合，求混合液中酒精與水的體積之比是多少?[完全解題]求混合液中酒精與水的體積之比是多少，只要求混合液中酒精與水分別是多少即可。因為兩個瓶子相同，所以設每瓶中酒精溶液為1,則一個瓶子中的酒精占水占;另一個瓶子中酒精,水占。兩瓶酒精溶液混合后，酒精,水為所以混合液中酒精與水的體積之比為：:答：混合液中酒精與水的體積之比是31:9。[技法點睛]本題必須將兩個瓶子中的酒精溶液的數(shù)量看作相等才能進行解答。解題時，不能將一個瓶子的酒精看作3,水看作“1”,另一個瓶子的酒精看作4,水看作“1”。例2小軍行走的路程比小紅,而小紅行走的時間卻比小軍多,求小軍與小紅的速度比。[完全解題]小軍行走的路程比小紅多即小紅走的路程是4份，小軍所走路程為1+4=5(份);小紅所用的時間比小軍多即小軍所用的時間為10份，小紅所用的時間為10+1=11(份)。而路程除以時間即為速度，可先求出兩人的速度，所以小軍和小紅的速度:答：小軍與小紅的速度比為11:8。[技法點睛]這是一道復比的題目，先要分別求出小軍和小紅的速度，再求出他們的速度比。為使解題方便，可以將比轉化成份數(shù)解答。例3甲、乙兩個長方形，它們的周長相等，甲的長與寬之比是3:2,乙的長與寬之比是7:5,求甲與乙的面積之比。[完全解題]甲、乙兩個長方形的周長相等，設每個長方形的周長為2。甲長方形的長..;乙長方形的長為,寬為根據(jù)長與寬即求出兩個長方形的面積，所以甲與乙的面積之比為：::答：甲與乙的面積之比為864:875。[技法點睛]與例1相類似，本題必須在兩個長方形周長相等的前提下才能解答，所以先假設了兩個長方形的周長都是2。例4有甲、乙、丙三只水杯和一只空水桶，用甲杯向桶內舀水30次后，桶內水的體積占水桶容量再用丙杯向桶內舀30次，恰好使水桶裝滿。問甲、乙、丙三只水杯的容積之比是多少?;[完全解題]設水桶的容量為1,甲杯30次的容量占水桶容量,所以甲杯的容量乙杯舀10次后，水桶余下的容量縮小了乙杯舀10次后，水桶余下的容量縮小了乙杯的容量是乙、丙三只水杯的容積之比是：答：甲、乙、丙三只水杯的容積之比是4:9:3。[技法點睛]本題的基本思路是，設一個標準量為“1”,再根據(jù)每次舀水的情況算出每只水杯的體積，這種解決問題的思路，在比中經(jīng)常會用到。例5(2002·我愛數(shù)學少年夏令營)有一輛車子，其前輪周長為米，后輪周長為米，則前進多少米，才能使前輪轉的圈數(shù)比后輪轉的圈數(shù)多99圈?[完全解題]根據(jù)題意，前輪周長與后輪周長的比是:76。即前輪轉76圈后輪轉65圈，前輪比后輪多轉了76—65=11(圈),要比后輪多轉99圈，需要前進的[技法點睛]本題關鍵是找出前輪周長與后輪周長的比，得出相同時間內前輪比后輪多例6(2000·南京市數(shù)學冬令營)有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙的長度之比是6:5。如果將甲釘子釘入墻內，甲與丙釘入墻內的長度比是5:4,而它們留在墻外的部分一樣長。問甲、乙、丙的長度比是多少?[完全解題]甲與乙的長度之比是6:5,可以設甲的長度是6,乙的長度就是5,甲釘子的釘入墻內，那么墻內部分長是墻外部分是6-4=2。甲與丙釘入墻內的長度比是5:4,丙釘入墻內的長度是以丙釘子的長度是2+3.2=5.2。而它們留在墻外的部分與甲一樣長，所甲、乙、丙的長度比是6:5:5.2=30225:26。[技法點睛]本題關鍵是先求出丙釘子的長度，為了便于考慮，可以將兩個數(shù)量的比，例7(2003·小學數(shù)學奧林匹克決賽)袋子里紅球與白球數(shù)量之比是19:13。放入若干個紅球后，紅球與白球數(shù)量之比是5:3;再放入若干個白球后，紅球與白球數(shù)量之比是13:11。已知放入的紅球比白球少80個，那么原先袋子里共有多少個球?[完全解題]放入紅球后，白球的數(shù)量不變19:13=57:39,5:3:65:39。設原來有紅球57x個，白球39x個，則第一次放入了(65—57)x=8x個紅球。因為13:11=65:55,所以第二次放入了(55—39)x=16x個白球。已知放入的紅球比白球少80個，則原先袋子中共有球(39+57)×10=960(個)。[技法點睛]本題主要是將兩個比分別擴大一定的倍數(shù)，然后根據(jù)相同的份數(shù)，找出對應關系。創(chuàng)新訓練檢測一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、選擇題。(每題5分，共20分)1.在一種鹽水中，鹽占鹽與水的比為()。2.青菜和芹菜的單價比是3:7,而質量之比是5:4,那么它們的總價比是()。3.甲、乙兩人賽跑，甲跑的路程比乙,乙用的時間比甲,兩人的速度比是()。4.一個長方形與一個正方形的周長比是6:5,長方形的長是寬倍，長方形與正方形的面積比是()。二、填空題。(每題5分，共20分)1.把100克純酒精裝在一個玻璃瓶中，正好裝滿。用去10克后，加滿蒸餾水，又用去10克后，再加滿蒸餾水。這時瓶里蒸餾水與酒精之比是2.兩個長方形重疊部分的面積相當于大長方形面積相當于小長方形面積的這兩個長方形的面積比是3.參加課外活動的男生人數(shù)的與女生人數(shù)的恰好相等，男生和女生人數(shù)的比4.有一個長方形與正方形的周長相等，長方形的寬是長的長方形面積與正方形面 三、解答題。(每題20分，共60分)1.(2003·河北省香河縣小學六年級數(shù)學競賽)有甲、乙、丙三個長方體，它們的長之比是2:2:3,寬之比是3:5:6,高之比是6:2:5。如果丙的體積是90立方厘米，那么,甲、乙兩個長方體的體積之和是多少立方厘米?2.(2002·重慶市沙坪壩區(qū)小學數(shù)學競賽)三個容積相同的瓶子裝滿酒精溶液，酒精與水的比分別是3:2,3:1,4:1。當把三瓶酒精混合時，酒精與水之比是多少?3.(2001·江蘇省吳江市小學數(shù)學競賽)甲、乙兩個水果店梨的千克數(shù)之比是5:4,甲店賣出45千克，乙店運進45千克。那么這兩店梨的千克數(shù)之比為5:7,甲店原有多少?第二節(jié)按比例分配探究目標1.掌握用按比例分配的方法解決有關比的應用題。2.能靈活掌握應用題中有關變量與不變量的關系，并能解決這類問題，初步形成辯證唯物主義思想。探究過程參與一下“做數(shù)學”的過程，樂趣盡在其中哦!例某校六年級三個班人數(shù)如下表：(1)班(2)班(3)班45人50人48人現(xiàn)有429棵樹苗，如果按照各班人數(shù)進行分配，每個班級各應分得多少棵?建議：1.要仔細觀察表格，找出三個班級人數(shù)之間的關系。2.運用按比例分配的思想，找出每個班分得的樹苗各應該占總數(shù)的幾分之幾。討論：方法1:可以根據(jù)表中三個班的人數(shù)，求出人數(shù)比，再根據(jù)人數(shù)比按比例分配。方法2:可以根據(jù)表中三個班的人數(shù)，先求出1個人應分得的樹苗，再算出一個班應分得的樹苗。證明：(1)(2)(3)三個班人數(shù)的比是45:50:48,總份數(shù)為45+50+48=143,(1)班分得的樹苗占總數(shù)的;(2)班分得的樹苗占總數(shù)的;(3)班分得的樹苗占總數(shù)的(1)班分得的樹苗是(2)班分得的樹苗是(3)班分得的樹苗是例1一個長方體的棱長總和是216厘米，它的長、寬、高之比是4:3:2。長方體的表面積和體積各是多少?[完全解題]長方體的棱長可按長、寬、高分成三類，所以長、寬、高的和是216÷4—54(厘米),根據(jù)長、寬、高的比是4:3:2可知長方體的長是00=1872(平方厘米)24×18×12=5184(立方厘米)答：長方體的表面積和體積分別是1872平方厘米和5184立方厘米。[技法點睛]本題將長方體按長、寬、高分類時，一定要注意用216÷4,因為這是長方體12條棱的總長。例2育英小學六年級學生分三批去參觀科技館。第一批和第二批的人數(shù)比是5:4,第二批與第三批的比是3:2,已知第一批比第二、三批人數(shù)的總和少15人。求六年級參觀的有多少人?[完全解題]第一批和第二批人數(shù)的比是5:4,即(5×3):(4×3)=15:12。第二批和第三批人數(shù)比是3:2,即(3×4):(2×4)=12:8。由此可知，第一批、第二批、第三批的人數(shù)比是15:12:8。第一批占總人數(shù)的第二批、第三批的人數(shù)和占總人數(shù)的第一批比第二批、三批人數(shù)總和少總數(shù)|,正好少15人，所以六年級參觀的人數(shù)是：答：六年級參觀的有105人。[技法點睛]這是一道連比的實際應用題，要能根據(jù)其中一個中間量(第二批)找出這三批參觀人數(shù)的比。例3小明讀一本故事書，已讀的頁數(shù)和未讀的頁數(shù)之比是1:5,如果再讀30頁，則已讀的和未讀的頁數(shù)比是3:5,這本書一共有多少頁?[完全解題]一本書，已讀的頁數(shù)和未讀的頁數(shù)之比是1:5,可知已讀的頁數(shù)占總頁數(shù)的如果再讀30頁，則已讀的頁數(shù)占總頁數(shù)的,比原來多了總頁數(shù)的正好是30頁，所以這本書的總頁數(shù)是：答：這本書一共有144頁。[技法點睛]由于讀的頁數(shù)在變化，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)在不斷變化，但是全書總頁數(shù)不會變化，所以，本題關鍵是確定總頁數(shù)為單位“1”。例4甲、乙兩桶油共130千克，從甲桶倒出給乙桶后，甲桶與乙桶油的比為7:6,原來甲、乙兩桶分別有油多少千克?[完全解題]從甲桶倒出給乙桶后，甲、乙兩桶油仍然共是130千克，這時甲、乙兩桶油的比是7:6,所以，這時甲桶油為甲桶這時的油相當于原來油的所以甲桶原有的油為：故,130-98=32(千克)答：原來甲、乙兩桶分別有油98千克、32千克。[技法點睛]因為是從甲桶倒入乙桶，所以兩桶油得總量不變，可以倒過來，先求出兩桶油得數(shù)量比是7:6時甲桶油得重量，再求出原來兩桶油各是多少。例5某團體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是14:11,會員分成三個組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男會員與女會員人數(shù)之比是甲：12:13、乙：5:3、丙：2:1,那么丙組有多少名男會員?[完全解題]因為甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，所以甲組人數(shù)為100÷2=50(人),根據(jù)題意可知：全體男會員人數(shù)是：乙、丙兩組男會員人數(shù)是：56-24=32乙組男會員占全組人數(shù)的丙組男會員占全組人數(shù)的如果丙組男會員也是則兩組男會員應是,比兩組男會員實際人數(shù)少,因為丙組男會員比原來少,所以丙組總人數(shù)為：丙組男會員人數(shù)則為：答：丙組有12名男會員。[技法點睛]本題條件比較多，可以先理清思路，再逐層求出相應的條件。例6一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1:2:3。某人走這三段路所用的時間比依次是4:5:6。已知他上坡速度是每小時3千米，路程全長是50千米，問此人走完全程用了多少小時?[完全解題]路程全長是50千米，上坡、平路、下坡各段路程長的比依次是1:2:3,由此可知，上坡的路程是(千米),由他上坡每小時行3千米可知，他上坡用的時間是(小時),而上坡用的時間占總時間的,所以此人走完全程用的時間為：[技法點睛]本題的關鍵先求出上坡的路程，再根據(jù)上坡的速度求出上坡所需的時間。例7(2001·“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽)某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水4噸以下，每噸1.8元(包括4噸)。當超過4噸時，超過部分每噸3元。某月甲、乙兩戶共交水費26.4元，用水量之比是5:3,甲、乙兩戶各應交水費多少元?[完全解題]如果兩戶居民用水均不超過4噸，則最多交水費1.8×8=14.4(元),而實際交水費是26.4元，超過部分的水費是26.4-14.4=12(元),即超過的水量是12÷3=4(噸),那么兩戶的用水量一共是4+4+4=12(噸)。甲戶應交的水費是4×1.8+(7.5-4)×3=17.7(元)乙戶應交的水費是26.4-17.7=8.7(元)答：甲戶應交水費17.7元，乙戶應交水費8.7元。再用按比例分配的方式分別求出每戶的用水量。例8(2000·小學生數(shù)學報集訓題)甲、乙兩倉共存糧240噸，其中甲倉存糧|倉存糧的相等。甲、乙兩倉各存糧多少噸?相等，可以列出,乙倉存糧是240-90=150(噸)。答：甲倉存糧90破，乙倉存糧