二年級下冊奧數(shù)知識點(diǎn)串講

二年級下冊奧數(shù)知識點(diǎn)串講二年級下冊奧數(shù)知識點(diǎn)串講第一講機(jī)智與頓悟數(shù)學(xué)需要踏實與嚴(yán)謹(jǐn)，也含有機(jī)智與頓悟.例1在美國把5月2日寫成5/2,而在英國把5月2日寫成2/5.問在一年之中，在兩國的寫法中，符號相同的有多少天?解：一年中兩國符號相同的日子共有12天.它們是：一月一日1/1七月七日7/7二月二日2/2八月八日8/8三月三日3/3九月九日9/9四月四日4/4十月十日10/10五月五日5/5十一月十一日11/11六月六日6/6十二月十二日12/12注意由差異應(yīng)當(dāng)想到統(tǒng)一，有差異就必須有統(tǒng)一，仔細(xì)想一想這道題就會有所領(lǐng)悟.例2有一個老媽媽，她有三個男孩，每個男孩又都有一個妹妹，問這一家共有幾口人?解：全家共有5口人.妹妹的年齡最小，她是每一個男孩的妹妹.如果你列1個媽媽+3個男孩+3個妹妹=7口人那就錯了.為什么呢?請你想一想.例3小明給了小剛2支鉛筆，他們倆的鉛筆數(shù)就一樣多了，問小明比小剛多幾支鉛筆?解：小明比小剛多4支鉛筆.注意，可不是多2支；如果只多2支的話，小明給小剛后，小剛就反而比小明多2支，不會一樣多了.解：最少1人.因為售票員和司機(jī)是永遠(yuǎn)不必買票的，這是題目的“隱含條件”.有時發(fā)現(xiàn)“隱含條件”會使解題形勢豁然開朗.例5大家都知道：一般說來，幾個數(shù)的和要比它們的積小，如2+3+4比2×3×4小.那么請你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這幾個數(shù)相加的和大還是相乘的積大?解：和大.注意：“0”是個很有特點(diǎn)的數(shù).所以，應(yīng)當(dāng)重視特例.例6兩個數(shù)的和比其中一個數(shù)大17,比另一個數(shù)大15,你知道這兩個數(shù)都是幾?你由此想到一般關(guān)系式嗎?解：這兩個數(shù)就是17和15.因為它們的和比15大17,又比17大15.和-15=17,那么和=15+17.例7小明和小英一同去買本，小明買的是作文本，小英買的是數(shù)學(xué)本.已知小英買的數(shù)學(xué)本的本數(shù)是小明買的作文本的2倍.又知一本作文本的價錢卻是一本數(shù)學(xué)本的價錢的2倍，請問他倆誰用的錢多?結(jié)論是隱含著的，推理就是要把它明明白白地想通，寫出來的推理過程就叫“證明”,這是同學(xué)們現(xiàn)在就可以知道的.例8中午放學(xué)的時候，還在下雨，大家都盼著晴天.小明對小英說：“已經(jīng)連續(xù)三天下雨了，你說再過36小時會出太陽嗎?”小朋友你說呢?解：不會出太陽.因為從中午起再過36個小時正好是半夜.而陰雨天和夜里是不會出太陽的.注意：解題的第一要義是首先明確“問什么”,而且要緊緊抓住“問什么”?“問什么”是思考目標(biāo)，這就好比小朋友走著來上學(xué)，學(xué)校是你走路的目的，試想，如果你走路沒有目標(biāo)，結(jié)果會怎樣?本題迷惑人的地方就是想用陰天下雨把你的注意力從應(yīng)當(dāng)思考的目標(biāo)引開，給你的思維活動造成干擾.學(xué)會刪繁就簡，抓住目標(biāo)，將會大大地提高你的解題效率.例9一位畫家想訂做一個像框，用來裝進(jìn)他的立體畫.他畫了一張像框的尺寸圖拿給你看(右圖),請你幫他算算，需要多長的材料才能做好?(畫家從每一部分來說，這個圖看來是合理的，但從整體上看，這個圖是“荒謬的”、“失調(diào)的”.用一句普通的話說，就是“有點(diǎn)不對勁的”.請你注意，對現(xiàn)實生活覺得有點(diǎn)不對勁的感覺是創(chuàng)造性的起因.習(xí)題一蟻?少錢?5.小黃和小蘭想買同一本書.小黃缺一分錢，小蘭缺4角2分錢.若用他倆的錢合買這本書，錢還是不夠.請問這本書的價錢是多少?他倆各有多少錢?6.一個騎自行車的人以每小時10公里的速度從一個城鎮(zhèn)出發(fā)去一個村莊；與此同時，另一個人步行，以每小時5公里的速度從那個村莊出發(fā)去那個城鎮(zhèn)，經(jīng)過一小時后他們相遇。問這時誰離城鎮(zhèn)較遠(yuǎn)，是騎車的人還是步行的人?7.有人去買蔥，他問多少錢一斤.賣蔥的說：“1角錢1斤.”買蔥的說：“我要都買了.不過要切開稱.從中間切斷，蔥葉那段每斤2分，蔥白那部分每斤8分，你賣不賣?”賣蔥的一想：“8分+2分就是1角”.他就同意全部賣了.但是賣后一算賬，發(fā)現(xiàn)賠了不少錢.小朋友，你知道為什么嗎?8.一天鮑勃用賽車送海倫回家.汽車在快車道上急駛.鮑勃看到前面有輛大卡車.靈機(jī)一動，突然向海倫提出了一個巧妙的問題.鮑勃說：“海倫，你看!前面那輛大卡車開得多快!但是我們可以超過它.假定現(xiàn)在我們在它后面正好是1500米，它以每分鐘1000米的速度前進(jìn)，而我用每分鐘1100米的速度追趕它，我們這樣一直開下去，到時候肯定會從后面撞上它.但是，海倫，請你告訴我，在相撞前一分鐘，我們與它相距多少米?”聰明的海倫略加思考立刻回答了鮑勃的問題.小朋友，你也能回答嗎?9.小明家附近有個梯形公園，公園中有4棵樹排成了一行，如圖所示.小明每天放學(xué)回家都要到公園里去玩一會兒.有一天，他玩著玩著突然想出了一個問題：“能不能把公園分成大小和形狀都相同的4塊，而且每一塊上保留一棵樹?”回到家以后，他又和爸爸媽媽一塊兒討論，終于像小明想的那樣分好了，小明非常高興.小朋友，你也回家與爸爸媽媽討論討論，看能不能分好?10.小莉在少年宮學(xué)畫油畫.一天，他找到了一塊中間有個圓孔的紙板.才好呢?問題.在做第9題時，你可能費(fèi)了很大勁，把大梯形這樣劃分，那樣劃分，試來試去，最終得到了滿意的結(jié)果.原樣理面臨的新問題，這種情況心理學(xué)上就叫做“思維定勢”思維定勢不利于創(chuàng)造性的發(fā)揮，從這個意義上講，有人說學(xué)習(xí)的最大障礙是頭腦中已有的東西，是有一定道理的，你在做第10題時，對此大概也有體會了吧!今后要以此為訓(xùn).習(xí)題一解答2,解：只來了一名學(xué)生.教室里共有兩人，另一個人是老師，所以說學(xué)生占教室里全體人數(shù)的一半.3.解：他們兩人此時一共還有10元.如下圖所示.10元小林小蓉4.解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水，因為原來就有一杯牛奶，最后喝光了；后來又加了兩次水，每次半杯，合起來是一杯水，最后也喝光了.5.解：這本書的價錢就是4角2分錢.小黃有4角1分錢(所以買書還差1分),小蘭1分錢都沒有，所以他若買這本書，還差4角2分錢；小蘭若是有1分7.解：按照買蔥人的說法，蔥葉那段每斤2分，蔥白那段每斤8分，合起來確是1角.但是這樣合起來后是2斤賣1角，不再是一斤1角錢，所以賣蔥的人賠了錢.海倫思考的竅門是倒著想.鮑勃的賽車比卡車每分鐘快100米(即1100米-1000米=100米),所以碰車前的1分鐘它們相距100米.①從中切下一條，倒換個位置放進(jìn)去.(見圖)(見圖)第二講數(shù)數(shù)與計數(shù)從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律.例1數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點(diǎn)?解：方法1:從上到下一行一行地數(shù)，見下圖.+第三行方法2:從左至右一列一列地數(shù)，見下圖.點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5.因為不論人們怎樣數(shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化.所以應(yīng)有下列等式成立：如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a方法3:分成兩塊數(shù)，見右圖.情況.一一一→第一一一→第四排第三排第二排第一排第二層4×2個第三層4×2個三層小長方體的總個數(shù)(4×2)×3個.方法2:從左至右一排一排地數(shù)，見下圖.第一排2×3個第二排2×3個第三排2×3個第四排2×3個四排小長方體的總個數(shù)為(2×3)×4.若把括號中的2×3看成是一個因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫成下面的形式：4×(2×3).因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化.把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：(4×2)×3=4這就是說在三個數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同.或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律.巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡潔、迅速.從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式.例3數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點(diǎn)?解：方法1:從上至下一層一層地數(shù)，見下圖.層層層層層管層層 第第第第第第第第第總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.方法2:補(bǔ)上一個同樣的三角形點(diǎn)群(但要上下顛倒放置)和原有的那個三角形點(diǎn)群共同拼成一個長方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立(見下圖):三角形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)+2因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9而長方形點(diǎn)數(shù)=10×9=(1+9)×9=(1+9)×9÷2=45.方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù).方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”.經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長方形點(diǎn)群，而長方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計算出來了.即1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)×9÷2.這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了.再進(jìn)一步，若脫離開圖形(點(diǎn)群)的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難相同的數(shù)相同的數(shù)相同的數(shù)9個數(shù)相同的數(shù)這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首項，最后一個數(shù)9叫末項，共有9個數(shù)又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半.或是寫成下面的文字式：和=(首項+末項)×項數(shù)+2例4數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點(diǎn)?梯形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)+2.而長方形點(diǎn)數(shù)=8×5=(2+6)×5再進(jìn)一步，若脫離開圖形(點(diǎn)群)的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難相同的數(shù)相同的數(shù)相同的數(shù)相同的數(shù)這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項是2,末項是6,公差是1,項數(shù)是5.這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：和=(首項+末項)×項數(shù)+2習(xí)題二2.數(shù)一數(shù)，下圖中的三角形點(diǎn)群有多少個點(diǎn)?3.數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小正方形?4.數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個小三角形?習(xí)題二解答1.解：方法1:從上至下一行一行地數(shù)，共4行每行5個點(diǎn)，得5×4=20.方法2:分成兩個三角形后再數(shù)，見下圖.得：2.解：方法1:從上至下一行一行地數(shù)，再相加，得：方法2:用拼補(bǔ)法，如圖所示：4:解：方法1:從上至下一層一層地數(shù)(圖略)得，20×10=200.方法2:分成兩個三角形來數(shù)：=200.第三講速算與巧算利用上一講得到的乘法運(yùn)算定律和等差數(shù)列求和公式，可以使計算變得巧妙而迅速.例12×4×5×25×54=(2×5)×(4×25)×54(利用了交換=10×100×54律和結(jié)合律)例254×125×16×8×625=54×(125×8)×(625×16)(利用了=54×1000×10000交換律和結(jié)合律)例35×64×25×125將64分解為2、4、8=5×(2×4×8)×25×125的連乘積是關(guān)鍵一=(5×2)×(4×25)×(8×125)步.例432×125×275注意：某數(shù)乘以11的積等于該數(shù)錯位相加之和，如：=37×(3×16)×625注意37×3=111=(27+13)×25這樣做叫提公因數(shù)例7123×23+123+123×76注意123=123×1;再=123×23+123×1+123×76提公因數(shù)123例881+991×9把81改寫(叫分解因=(9+991)×9一步提出公因數(shù)9例9111×99和=(首項+末項)×項數(shù)+2方法2:把兩個和式頭尾相加(注意此法多么巧妙!)和=1+2+3+…+24+25+)和=25+24+23+…+2+1和=26×25+2例12求8+16+24+32+…+792+800的和.解：可先提公因數(shù)例13某劇院有25排座位，后一排都比前一排多2個座位，最后一排有70個座位，問這個劇院一共有多少個座位?解：由題意可知，若把劇院座位數(shù)按第1排、第2排、第3排、…、第25排的順序?qū)懗鰜?，必是一個等差數(shù)列.那么第1排有多少個座位呢?因為：第2排比第1排多2個座位，2=2×1第3排就比第1排多4個座位，4=2×2第4排就比第1排多6個座位，6=2×3所以第1排的座位數(shù)是：70-48=22.和=(22+70)×25-2=1150.習(xí)題三10.計算下列各題，并牢記答案，以備后用.⑨95×9512.求下列各題之和.把四道題聯(lián)系起來看，你能發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的東西嗎?①1+2+3+…+1013.求下表中所有數(shù)的和。你能想出多少種不同的計算方法?U習(xí)題三解答1.解：4×135×25=(4×25)×135=100×135=13500.=1900×3=5700.3.解：124×25=(124+4)×(25×4)=31×100=3100.4.解：132476×111=14704836.=35×100=3500.=10700.=12345678987654321.=12×10+10×4+2×4多次運(yùn)用乘法分配=(12+4)×10+2×4律(或提公因數(shù))=13×10+(10+3)×7律(或提公因數(shù))個位數(shù)，乘以10(即接著添個“0”),再加上它們個位數(shù)字的積.用這個方法計算下列各題：⑥16×12=180+12=192.=361.發(fā)現(xiàn)規(guī)律：幾十五的自乘積就是十位數(shù)字和十位數(shù)字加1的積，再在其后寫上25.如15×15的積就是1×2再寫上25得225.25×25的積就是2×3再寫上25得625.⑨95×95=9×10×100+25=9025要牢記以上方法和結(jié)果.要知道，孤立的一道題不好記，但有規(guī)律的一整套的東西反而容易記住!+)和=n+(n-1)+(n-2)+…+2=(1+10000)×10000+2=50005000.13.解：方法1:仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)把每列(或每行)的10個數(shù)相加之和按∴總和=(55+145)×10+2=1000,×10=550,但第二行比第一行多10,第三行比第一行多20,…,第十行比第一行多90.總計共多：550+450=1000.方法3:仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，若以數(shù)字10所在的對角線為分界線，將該數(shù)字方陣折疊之后，它就變成下述的三角形陣(多么巧妙!)總和=20×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-100=1000.方法4:找規(guī)律，先從簡單情況開始 和=4×16=4×4×4,可見原來數(shù)字方陣的所有數(shù)的和=10×10×10=1000.看!方法多么簡捷；第四講數(shù)與形相映非常有趣的例子.例1最初的數(shù)和最簡的圖相對應(yīng).個點(diǎn)構(gòu)成一個四面體)例2我國在春秋戰(zhàn)國時代就有了“洛圖”(見下圖).圖中也是用“圓示，你能把這張圖用自然數(shù)寫出來嗎?見下圖所示，這個圖又叫九宮圖.九宮圖618753291例3古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“形數(shù)”的奧秘.比如他把1,3,6,10,15,…叫做三角形數(shù).因為用圓點(diǎn)按這些數(shù)可以堆壘成三角形，見下畢達(dá)哥拉斯還從圓點(diǎn)的堆壘規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個三角形數(shù)，都可以寫成從1開始的n個自然數(shù)之和，最大的自然數(shù)就是三角形底邊圓點(diǎn)的個數(shù).例5類似地，還有四面體數(shù)見下圖.第一個數(shù)0仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，四面體的每一層的圓點(diǎn)個數(shù)都是三角形數(shù)，因此四面體數(shù)可由幾個三角形數(shù)相加得到：第五個數(shù)：35=1+3+6+10+15.例6五面體數(shù)，見下圖.15例7按不同的方法對圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計數(shù)，可以得出一系列等式，進(jìn)而可猜想到一個重要的公式.22+2×2+1.方法2:把點(diǎn)圖看作一個整體來算32.方法1:先算空心點(diǎn)，再算實心點(diǎn)：32+2×3+1.方法2:把點(diǎn)圖看成一個整體來算：42.方法1:先算空心點(diǎn)，再算實心點(diǎn)：方法2:把點(diǎn)圖看成一個整體來算52.42+2×4+1=52.把上面的幾個等式連起來看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可以猜到一個一般的公n2+2×n+1=(nt1)?.利用這個公式，也可用于速算與巧算.如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100=1002=10000.=(1+25)×25+2=325.=(1+50)×50÷2=1275.=(1+1000)×1000+2=500500.5.解：相鄰的兩個三角形之和是一個四角形數(shù)(或叫正方形數(shù)),或是說，一個四角形數(shù)，可以拆成兩個三角形數(shù)之和.=10000.8.解：尋找這樣的例子比較困難.有人找到第49個三角形數(shù)是第35個四角第二個數(shù)第一個數(shù)第五個數(shù)：35=1+4+7+10+13第一個數(shù)1第一個數(shù)1=1第二個數(shù)6=1+5第三個數(shù)15=1+5+9第四個數(shù)28=1+5+9+13第二個數(shù)6第三個數(shù)第五個數(shù)45=1+5+9+13+17.第幾個數(shù)：12345678910四面體數(shù)：141020355684120165220方法1:分4塊數(shù)：32+2×3×4+42=(3+4)2.第五講一筆畫問題一天，小明做完作業(yè)正在休息，收音機(jī)中播放著輕松、悅耳的音樂.他拿了支筆，信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個字.突然，他腦子里閃出一個念頭，這幾個字都能一筆寫出來嗎?他試著寫了寫，“中”和“日”可以一筆寫成(沒有重復(fù)的筆劃),但寫到“田”字，試來試去也沒有成功.下面是他寫的字樣.(見下圖)這可真有意思!由此他又聯(lián)想到一些簡單的圖形，哪個能一筆畫成，哪個不能一筆畫成呢?下面是他試著畫的圖樣.(見下圖)經(jīng)過反復(fù)試畫，小明得到了初步結(jié)論：圖中的(1)、(3)、(5)能一筆畫成；(2)、(4)、(6)不能一筆畫成.真奇怪|小明發(fā)現(xiàn)，簡單的筆畫少如果說一個圖形是否能一筆畫出不決定于圖的復(fù)雜程度，那么這事又決定于什么呢?能不能找到一條判定法則，依據(jù)這條法則，對于一個圖形，不論復(fù)雜與否，也不用試畫，就能知道是不是能一筆畫成?先從最簡單的圖形進(jìn)行考察.一些平面圖形是由點(diǎn)和線構(gòu)成的.這里所說的“線”,可以是直線段，也可以是一段曲線.而且為了明顯起見，圖中所有線的端點(diǎn)或是幾條線的交點(diǎn)都用較大的黑點(diǎn)“●”表示出來了.首先不難發(fā)現(xiàn)，每個圖中的每一個點(diǎn)都有線與它相連；有的點(diǎn)與一條線相連，有的點(diǎn)與兩條線相連，有的點(diǎn)與3條線相連等等.一組(見下圖)(2)三個點(diǎn).(但注意第(2)個圖必須從一個端點(diǎn)畫起)第二組(見下圖)(1)五個點(diǎn)，五條線.(2)六個點(diǎn)，七條線.(“日”字圖)第三組(見下圖)(1)四個點(diǎn)，三條線.(2)四個點(diǎn)，六條線.(3)五個點(diǎn)，八條線.第四組(見下圖)(1)這個圖通常叫五角星.(2)由一個圓及一個內(nèi)接三角形構(gòu)成.三個交點(diǎn)，每個點(diǎn)都與四條線相連(這四條線是兩條線段和兩條弧線).(3)一個正方形和一個內(nèi)切圓構(gòu)成.(四條線是兩條線段和兩條弧線).第四組的三個圖雖然比較復(fù)雜，但每一個圖都可以一筆畫成，而且畫的時候從任何一點(diǎn)開始畫都可以.第五組(見下圖)(1)這是“品”字圖形，它由三個正方形構(gòu)成，它們之間沒有線相連.(2)這是古代的錢幣圖形，它是由一個圓形把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)；把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)，這樣圖中的要么是奇點(diǎn)，要么是偶點(diǎn).能否一筆畫成一個圖中奇點(diǎn)個數(shù)說明第一組能2兩個端點(diǎn)是奇點(diǎn)第二組能2A點(diǎn)、B點(diǎn)是奇點(diǎn)第三組不能4(1)、(2)兩圖中每個點(diǎn)都是奇點(diǎn)(3)圖中長方形的四個頂點(diǎn)都是奇點(diǎn)能三個圖中，每一個圖都不含有奇點(diǎn)，即每一個點(diǎn)都是偶點(diǎn)不能圖的各部分之間不連通，當(dāng)然就不能一筆畫成②有0個奇點(diǎn)(即全部是偶點(diǎn))的連通圖能夠一筆畫成.(畫時可以任一點(diǎn)為起點(diǎn)，最后又將回到該點(diǎn)).③只有兩個奇點(diǎn)的連通圖也能一筆畫成(畫時必須以一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，而另一個奇點(diǎn)為終點(diǎn));用這條判定法則看一個圖形是不是一筆畫時，只要找出這個圖形的奇點(diǎn)的個數(shù)來就能行了，根本不必用筆試著畫來畫去.①與一條線相連的有哪些點(diǎn)?②與二條線相連的有哪些點(diǎn)?③與三條線相連的有哪些點(diǎn)?④與四條線或四條以上的線相連的有哪些點(diǎn)?2.若把與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，把與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)，那么請你回答：①有0個奇點(diǎn)(即全部是偶點(diǎn))的圖形有哪些?②有2個奇點(diǎn)的圖形有哪些7③有4個或4個以上奇點(diǎn)的圖形有哪些?④連通圖形有哪些7不連通圖形有哪些?3.如果筆在紙上連續(xù)不斷、又不重復(fù)地一筆畫成的圖形叫一筆畫，自己動筆實際畫畫看，然后回答：①哪些圖形能夠一筆畫成?②哪些圖形不能一筆畫成?①如果把各部分連結(jié)在一起的圖形叫做連通圖形，那么能一筆畫出的圖形必定是連通圖形；而不是連通圖形必定不能一筆畫出.這句話說得對嗎?②有0個奇點(diǎn)(即全部是偶點(diǎn))的連通圖形一定可以一筆畫出來(畫時可以以任一點(diǎn)為起點(diǎn)，最后必能回到該點(diǎn)),這句話對嗎?③只有兩個奇點(diǎn)的連通圖形也能一筆畫出來，但要注意畫時必須以一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，而以另一個奇點(diǎn)為終點(diǎn)，這句話對嗎?④奇點(diǎn)個數(shù)超過兩個的圖形不能一筆畫出來.這句話對嗎?2.解：①有0個奇點(diǎn)(即全部是偶點(diǎn))的圖形是：(1)、(5)、(10);有6個奇點(diǎn)的圖形是：(8).④(1)～(10)是連通圖形，(11)不是連通圖形.第六講七座橋問題都失敗了.當(dāng)時，德國有個城市叫哥尼斯堡，城中有條河，河中有個島，河上架有七座橋，這些橋把陸地和小島連接起來，這樣就給人們提供了一個游玩的好去處(見下圖).俗話說，“人是萬物之靈”,他們就是在游玩時候想出了這樣一個你是怎樣試的呢?你不可能真到哥尼斯堡城去，像當(dāng)年的游人那樣親自步行過橋上島.因為你并沒有離開自己的教室，你坐在教室里，在你的面前沒有河流，沒有小島，也沒有橋，但在你面前卻有一張圖可是，這又是一張什么樣的圖呢?圖上并沒河流、小島和小橋的原樣，只是用一些線條來代表它們，但卻明白無誤地顯示出了它們之間的位置關(guān)系和連接方式.可以說，這是一張為了做數(shù)學(xué)而舍棄了許多無關(guān)的真實內(nèi)容而抽象出來的“數(shù)學(xué)圖”.也許你是用鉛筆尖在圖上畫來畫去進(jìn)行試驗的吧!好1你做得很好!為什么這樣說呢?因為當(dāng)你這樣做的時候，就發(fā)揮了自己的想像力：你在無意中把自己想像成了一個小筆尖.你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成了你自身的經(jīng)歷，有位教育家曾說“強(qiáng)烈而活躍的想像是偉大智慧不可缺少的屬性”.看來你并不缺少這種想像力|讓我們再好好地想一想，剛才你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成你自己過橋的親身經(jīng)歷，這不就是把過橋問題和一筆畫問題聯(lián)系在一起了嗎?用一句數(shù)學(xué)上常用的話說，這就是把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，下面的圖把這種轉(zhuǎn)化過程詳細(xì)地畫了出來.在下頁右圖中進(jìn)一步把陸地塊縮小，同時改用線段代表小橋，這也不改變過橋問題的實質(zhì).在下面左圖中，進(jìn)一步把陸地和島都用小圓圈代表，這已是“幾何圖形”了，但還是顯得復(fù)雜.在下面右圖中，圓進(jìn)一步縮成了點(diǎn).這樣它變成了只由點(diǎn)和線構(gòu)成的最簡單的幾何圖形了.經(jīng)過上面這樣的一番簡化，七橋問題的確就變成了上右圖(即為第五講習(xí)題1中的圖(9))是不是能一筆畫成的問題了.很容易看出圖中共有4個奇點(diǎn)，由上一講得到的判定法則可知，它不能一筆畫成，因而人們根本不能一次連續(xù)不斷地走過七座橋.這樣七橋問題就得到了圓滿的解決.這種解法是大數(shù)學(xué)家歐拉找到的.這種簡化也就是一種抽象過程.所謂“抽象”就是在解決實際問題的過程中，舍棄與問題無關(guān)的方方面面.而只抓住那個能體現(xiàn)問題實質(zhì)的東西.就像在七橋問題中，陸地和島的大小、橋的寬窄和長短都是與問題無關(guān)的東西.最后，再把解決七橋問題的要點(diǎn)總結(jié)一下：①把陸地和島縮小畫成點(diǎn)，把橋畫成線，這樣就把原圖變成了簡單的幾何圖形了.②如果這種由點(diǎn)和線組成的圖形是一筆畫，人就能一次通過所有的橋；如果這種圖形不能一筆畫成，人就不能一次通過所有的橋.③由前述判定法則可知，有0個奇點(diǎn)或2個奇點(diǎn)的圖形是一筆畫，超過兩個奇點(diǎn)時，圖形就不能一筆畫出來.模仿這種思路，也能解決類似好多問題.習(xí)題六1.學(xué)習(xí)歐拉，先將過橋問題轉(zhuǎn)化為一筆畫問題，再進(jìn)行判斷(見下圖).可否一次通過的橋(每座橋只能走一次)?不可奇點(diǎn)二座橋三座橋九座橋題，大意是說：在法國的首都巴黎有一條河，河中有兩個小島，那里的人們建了15座橋把兩個小島和河岸連接起來，如下圖所示，請你說一說，從任一岸出發(fā)，一次連續(xù)地通過所有的橋到達(dá)另一岸，可能嗎?(每座橋只能走一次)4.下圖所示為一座售貨廳.問顧客從入口進(jìn)去時，能夠一次不重復(fù)地走遍各個門嗎?請說明你的理由.如果售廳出口在4號房間由你設(shè)計再開一個門，使顧客從入口進(jìn)去后一次不重復(fù)地走遍各個門，再從4號房間出售廳，你打算在哪里再開一個門?習(xí)題六解答過橋問題：(每座橋只能走一次)三座橋四座橋五座橋八座橋可2奇點(diǎn)2奇點(diǎn)可可可2奇點(diǎn)可不可2奇點(diǎn)可0奇點(diǎn)2.解：見下兩圖，可知不能一次不重復(fù)地走遍所有的小橋，因為下右圖有4個奇點(diǎn).3.解：由于通過兩島之中任何一個島的橋的數(shù)目都是偶數(shù)，而通過兩岸的任一個岸的橋的數(shù)目都是奇數(shù)，這就表示由任一個岸出發(fā)，都存在一條路，使人們將所有的橋都只走一次而到達(dá)另外一個岸.畫出圖來就能一目了然了.見下因為圖中共有兩個奇點(diǎn)，且奇點(diǎn)均為岸，是一筆畫.所以人們可以一次通過所有的橋，每座橋只走一次，由一岸到另一岸.4.解：從入口進(jìn)入售貨廳后，也就是從1號房間開始不能一次不重復(fù)地走遍各個門，因為雖然整個圖形(見下圖)只有2個奇點(diǎn)，但點(diǎn)1是偶點(diǎn).當(dāng)出口在4號房間時，如再在1號和3號房間之間開一個門，則從1號房間開始后就能一次不重復(fù)地走遍各個門.因為點(diǎn)1變成了奇點(diǎn)，點(diǎn)4仍為奇點(diǎn)，而整個圖形只有2個奇點(diǎn)，因此可以從1號房間進(jìn)，4號房間出.見下圖(進(jìn)入售貨廳后先從1號房間進(jìn)入3號房間即可).第七講數(shù)字游戲問題(一)數(shù)字游戲問題是數(shù)學(xué)游戲中的一類.它要求從數(shù)字以及數(shù)字間的運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后按照這個規(guī)律去填數(shù)或填寫運(yùn)算符號.解決這一類問題的關(guān)鍵是尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.一、找規(guī)律填寫數(shù)列里面的數(shù)例1在口中填入適當(dāng)?shù)臄?shù).分析題中共有8個數(shù)，前7個已經(jīng)知道.最后一個需要填寫.8個1+9=10,2+8=10,3+7=10,所以最后兩個數(shù)是4+□=10.這樣，口里應(yīng)填6.例2在口中填入適當(dāng)?shù)臄?shù).這道題也可以這樣分析：15-1=14,14-2=12,12-1=11,11-2=9,9-1=8,8-2=6,6-1=5.例366在()里填數(shù).分析觀察發(fā)現(xiàn)2+0=2,0+2=2,2+2=4,2+4=6,4+6=10.即前兩個數(shù)相加的和是后面的數(shù).這樣最后一個數(shù)應(yīng)是6+10=16.()里應(yīng)填16.45969是從4開始依次加2,加3,加4得到：7988+9+3=20,所以第三組中應(yīng)是□+2+5=20,空格中的數(shù)是13.78 8 =12+24,□中應(yīng)填18.分析2將這九個數(shù)橫的作一排，第一排中有8+4=12,12+4=16.即后面的數(shù)比前面的數(shù)大4.第三排中有18+6=24,24+6=30,后面的數(shù)比前面的數(shù)大6.再看第二排應(yīng)是13+5=18,18+5=23,所以空格中應(yīng)填18. 8圖表中的填數(shù)一般來說，既要注意橫排，也要注意豎排.大部分問題是橫豎結(jié)合尋找規(guī)律.3系.分析第一個圖發(fā)現(xiàn)6-5=1,1×2=2,分析第二個圖同樣有7-4=3,3×2=6,所7956897956892.4,6,10,16,26,42,□.3.4,6,10,16,24,34,□.243999114247378687習(xí)題七解答 3.解：460從第2個數(shù)開始，后面的數(shù)是它前面的數(shù)依次加2,4,6,8,10,12得到的，即4+2=66+4=1010+6=16,16+8=24,24+10=345.解：14.每個圖中，圈左邊的數(shù)減去圈右邊的數(shù)再加上圈上邊的數(shù)得到圈里的數(shù).里的數(shù).7.解：在上排圓中，從第2個數(shù)開始是把它前面的數(shù)依次加上2,3,4,5得到.在下排圓中，從第2個數(shù)開始是依次把它前面的數(shù)依次加上4,6,8,10得8.解：16.從右上方開始，順時針方向旋轉(zhuǎn)，依次加上1,2,3,4,5得到后面的數(shù).9.解：21.從左上方開始.逆時針方向旋轉(zhuǎn)，依次加上1,3,5,7,9得到后面的數(shù).第八講數(shù)字游戲問題(二)填出()中的數(shù).別是15、12、18,可知O=5,★=4,△=6,又5+4+6=15,所以()內(nèi)應(yīng)填15.66—5#1÷+372×48例2把2,3,4,6,7,9分別填到下面六個圓圈中，使三個算式成立.分析1在2、3、4、6、7、9中相加等于8的只有2和6,先把2、6填在第三個算式中，剩下的就可填成3+7=10,9-4=5.分析2六個數(shù)中9最大，而9不能填在第1或第3個算式中，所以把9填在第2個算式中作被減數(shù).其余的就好填了.解：3+7=10,9-4=5,2+6=8.例3把1～8八個數(shù)字分別填入圖中八個空格中，使圖上四邊正好組成加、減、乘、除四個等式.=÷+×=分析觀察這幅圖，用8個數(shù)組成四個等式.從左上角開始先作減法和除法，得出結(jié)果之后再分別作加法和乘法得到右下角的數(shù)字.所以問題的關(guān)鍵是左上角的數(shù)字與右下角的數(shù)字.它們應(yīng)該是較大的且能夠作乘法與除法的數(shù).即8和6,不妨取左上角是8,右下角是6,再試填其他數(shù)字.也可取左上角是6,右下角是8,再試填其他數(shù)字.87#1÷十45|2X36例4在合適的地方填寫“+”或“-”,使等式成立.分析把六個數(shù)分組，試加會發(fā)現(xiàn)1+2+3+5=11,4+6=10,這樣在4,6前面填上“-”,其他地方填上“+”,等式成立.分析按上題方法試加減，發(fā)現(xiàn)無論如何也得不到2,于是想到是否其中有一個兩位數(shù)，而兩位數(shù)只能是12,再試就能夠成功.例6從+、等式成立.555555口5555555555-、×、+、()中挑選合適的符號，填入適當(dāng)?shù)牡胤?，使下面分析在加減乘除運(yùn)算中，有5+5=1,(5+5)+5=2,5-5=0這樣幾個基本解：①5+5+(5-5)×5=1[ C 1②是1.而最小的三位數(shù)100與最大的兩位數(shù)99的差正好是1(容易知道，只有這一種情形).11,11可以寫成11=9+2=8+3=7+4=6+5.解：①1001例8右面算式中九個字母分別代表1～9九個數(shù)字，試找出字母M和H分別所代表的數(shù)字.A 分析九個字母分別代表1～9.在個位數(shù)字上1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以M=5,同時向十位進(jìn)4.這時十位上8個字母中沒有M,所以十位上的數(shù)字和是40,再加上個位進(jìn)來的四個10.結(jié)果是44.所以H=4.習(xí)題八O-O=O+O.2.△、O、★分別代表三個不等于0的數(shù)字，并且△×★=O,△+△+△=O-△-△,那么★代表的數(shù)字是多少。3.把1～9九個數(shù)字填在O里，(每個數(shù)字只能用1次),組成三道正確的算式.O+O=O,O-O=0,O×O=O.9發(fā)3=3二二二三三三三3.4+5=9,8-7=1,2×3=6.4.△+O+★+==(23).09十7.3+3-3+3-3=3;3×3+3+3-3=3;3+3+3-3+3=3.8 53+24IH6+76+28+l5II74=3或或7一4=3+56+283+5=8+42Il76第九講整數(shù)的分拆解：已知小兵兩發(fā)子彈打中6環(huán)，要求每次打中的環(huán)數(shù)，可將6分拆6=1+5=2+4;同理，要求小軍每次打中的環(huán)數(shù)，可將5分拆5=1+4=2+3.例2某個外星人來到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買7分錢的一件商品，他應(yīng)如何付款?買9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又將如何付款?解：這道題目的實質(zhì)是要求把7、9、10、13、14、15各數(shù)按1、2、4、8進(jìn)行分拆.外星人可按以上方式付款.例3有人以為8是個吉利數(shù)字，他們得到的東西的數(shù)量都能要夠用“8”表示才好.現(xiàn)有200塊糖要分發(fā)給一些人，請你幫助想一個吉利的分糖方案.解：可以這樣想：因為200的個位數(shù)是0,又知只有5個8相加才能使和的個位數(shù)字為0,這就是說，可以把200分成5個數(shù)，每個數(shù)的個位數(shù)字都應(yīng)是8.這樣由8×5=40及200-40=160,可知再由兩個8作十位數(shù)字可得80×2=160即可.最后得到下式：88+88+8+8+8=200.例4試將100以內(nèi)的完全平方數(shù)分拆成從1開始的一串奇數(shù)之和.解：1=1×1=12=1(特例)=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.一個完全平方數(shù)可以寫成從1開始的若干連續(xù)奇數(shù)之和，這個平方數(shù)就等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積(平方).檢驗：把11×11=121,和12×12=144,兩個完全平方數(shù)分拆，看其是否符合上述猜想.例5從1～9九個數(shù)中選取，將11寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法?解：將1～9的九個自然數(shù)從小到大排成一列：分析先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求.但用次大的2和最大的9相加，和為11符合要求，得11=2+9.逐個做下去，可得11=3+8,11=4+7,11=5+6.可見共有4種不同的寫法.例6將12分拆成三個不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方式，請把它們一一列出.解：可以做如下考慮：若將12分拆成三全不同的自然數(shù)之和，三個數(shù)中最小的數(shù)應(yīng)為1,其次是2,那么第三個數(shù)就應(yīng)是9得：12=1+2+9.又得12=1+3+8.以10開頭的分拆方式共8種26=8+7+6+5}以8開頭的分拆方式共1種不同的分拆方式總數(shù)10+10+8+4+1=33種.總結(jié)：由例4明顯看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必須使分拆過程按一定的順序進(jìn)行.習(xí)題九1.把15分拆成不大于9的兩個整數(shù)之和，有多少種不同的分拆方式，請一一2.將15分拆成不大于9的三個不同的自然數(shù)之和有多少種不同分拆方式，請一一列出3.將15分拆成三個不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方式，請一一列出.4.將15分拆成不大于9的四個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的分拆方式，請一一列出.5.將15分拆成四個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的分拆方式，請一一列出.6.把15個玻璃球分成數(shù)量不同的4堆，共有多少種不同的分法?(此題是美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題),從這七只箱子里取出87個蘋果，但每只箱子內(nèi)的蘋果要么全部取走，要么不中有3枚25分的硬幣.問余下的硬幣有哪幾種，每種各有多少枚?(此題是美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題).11.(1,1,8)是一個和為10的三元自然數(shù)組.如果不考慮數(shù)字排列的順序，即把(1,1,8)與(1,8,1)及(8,1,1)看成是相同的三元自然組.那么和為10的自然數(shù)組共有多少個74.解：共6種.7.解：可這樣想：總數(shù)要87個，最先取數(shù)最多的一箱64個蘋果，這樣還差87-64=23個蘋果；再取則不能取裝有32個蘋果的那箱，只能取裝有16個的那箱，這樣還差23-16=7個蘋果；再取裝有1個、2個、4個的三箱蘋果，正好：87=64+16+4+2+1.8.解：從已有經(jīng)驗中可知6×6=36,這樣就可以把每個裝6個盒，還有一個盒裝100-36=64個饅頭.64個這個數(shù)，剛好含有數(shù)字6,滿足題目要求.即得100=64+6+6+6+6+6+6.25×3=75(分).100-75=25(分).將25分拆成7個數(shù)之和，(注意沒有各數(shù)不同的限制)25=1+1+1+1+1+10+10.11.解：共8個.它們是(1,1,8),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),(2,4,4),(3,3,4).第十講枚舉法 面只=1平方厘米長(厘米)寬(厘米)98761234552厘米2厘米8厘米面積=16平方厘米例2如右圖所示，ABCD是一個正方形，邊長為2厘米，沿著圖中線段從A到C的最短長度為4厘米.問這樣的最短路線共有多少條?請一一畫出來.解：將各種路線一一列出，可知共6條，見下圖.注意，如果題中不要求將路徑一一畫出，可采用如右圖所示方法較為便捷.圖中交點(diǎn)處的數(shù)字表示到達(dá)該點(diǎn)的路線條數(shù)，如0點(diǎn)處的數(shù)字2,表示由A到0有2條不同的路徑，見上圖中的(1)和(2);又H點(diǎn)處的數(shù)字3的意義也如此，見上圖中的(1)、(2)、(3)可知有3條路徑可由A到H.仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)各交點(diǎn)處的數(shù)字之間的關(guān)系，如0點(diǎn)的2等于F點(diǎn)和E點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即1+1=2,又例3在10和31之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)?可知滿足條件的數(shù)是12、15、18、21、24、27和30共7個.注意，倘若問10和1000之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)，則用上述一一列舉的方法就顯得太繁瑣了，此時可采用下述方法：10+3=3余1,可知10以內(nèi)有3個數(shù)是3的倍數(shù)；1000+3=333余1,可知1000以內(nèi)有333個數(shù)是3的倍數(shù)；333-3=330,則知10～1000之內(nèi)有330個數(shù)是3的倍數(shù).由上述這些例題可體會枚舉法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)及其適用范圍.例4兩個整數(shù)之積為144,差為10,求這兩個數(shù)?解：列出兩個數(shù)積為144的各種情況，再尋找滿足題目條件的一對出來：可見其中差是10的兩個數(shù)是8和18,這一對數(shù)即為所求.例512枚硬幣的總值是1元，其中只有5分和1角的兩種，問每種硬幣各多少5分幣1234561角幣總錢數(shù)1元1角5分1元1角91元5分81元79角5分69角可見滿足題目要求的搭配是：四個5分幣，八個1角幣.例6小虎給4個小朋友寫信，由于粗心，在把信紙裝入信封時都給裝錯了.4個好朋友收到的都是給別人的信.問小虎裝錯的情況共有多少種可能?解：把4封信編號：1,2,3,4.把小朋友編號，友1,友2,友3,友4.并假定1號信是給友1寫的，2號信是給友2寫的，3號信是給友3的，4號信是情況：說明：如第一種錯收情況是友1得2號信，友2得了1號信，友3得了4號信，友4得了3號信.習(xí)題十①這個長方形的面積有多少可能值?②面積最大的長方形的長和寬是多少?2.有四種不同面值的硬幣各一枚，它們的形狀也不相同，用它們共能組成多少種不同錢數(shù)?3.三個自然數(shù)的乘積是24,問由這樣的三個數(shù)所組成的數(shù)組有多少個?如(1,2,12)就是其中的一個，而且要注意數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作同一數(shù)組，如(1,2,12)和(2,12,1)是同一數(shù)組.4.小虎給3個小朋友寫信，由于粗心，把信裝入信封時都給裝錯了，結(jié)果3個小朋友收到的都不是給自己的信，請問小虎錯裝的情況共有多少種可能?法?長(米)9876寬(米)面積(平方米)12345枚數(shù)錢數(shù)1枚2枚3枚74枚可能情況第一種第二種友123友231友312的有3條不經(jīng)過E點(diǎn)的有2條猜想：兩個項數(shù)相同的數(shù)列配對相乘積之和，同序配對時最大，逆序配對時最小，交叉配對時在最小值和最大值之間.8.解：設(shè)友1、友2、友3、友4、友5的書包分別是1號、2號、3號、4號、5號.因為友1拿了2號書包，那么友2就有拿1號、3號、4號和5號書包的四種可能.如果友2拿了1號書包，友3拿了4號書包，友4拿了5號書包，友5拿了3號書包，這就是一種錯拿方式.其他方式看如下的樹形圖，第十一講找規(guī)律法觀察、搜集己知事實，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線素，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動的主要內(nèi)容.數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來模擬這種活動、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.例1觀察數(shù)列的前面幾項，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第100項來?12345,23451,34512,4仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項同第1項，第7項同第2項，第8項同第3節(jié)包含5項.可見第100項與第5項、第10項一樣(項數(shù)都能被5整除),即第100項是例2把寫上1到100這100個號碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個人，你知道第73號牌子會落到誰的手里?小明小英小方小軍分給小明的牌子號碼是1,5,9,13,…,號碼除以4余1;分給小英的牌子號碼是2,6,10,14,…,號碼除以4余2;分給小方的牌子號碼是3,7,11,…,號碼除以4余3;分給小軍的牌子號碼是4,8,12,…,號碼除以4余0(整除).73→4=18…余1 余1余2余3余4例3四個小動物換位，開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號位子上(如下圖所示).第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換.這樣一直交換下去，問十次換位后，小兔坐在第幾號座位上?第二次交換開始兔34貓第四次交換交換貓.交換盯住小兔的位置進(jìn)行觀察：可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過四次換位后，小兔又回到了原來的位置，利用這個規(guī)律以及10÷4=2…余2,可知：如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交例4從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個數(shù)是多少?公差=3,還可以發(fā)現(xiàn)：7=1+2×3.第n項=第1項+(n-1)×公差第100項=1+(100-1)×3=1+99×3=298.例5畫圖游戲先畫第一代，一個△,再畫第二代，在△下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個△,在另一條的末端畫一個○;畫第三代，在第二代的△下面又畫出兩條線段，一條末端畫△,另一條末端畫O;而在第二代的O的下面畫一條線，線的末端再畫一個△;…一直照此畫下去(見下圖),問第十次的△和〇共有多少個?解：按著畫圖規(guī)則繼續(xù)畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見下圖.數(shù)一數(shù)，各代的圖形(包括△和O)的個數(shù)列成下表：第幾代二三四五六圖形個數(shù)12358可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個數(shù)組成一個數(shù)列，這個數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項起每一項都是前面兩項之和.按此規(guī)律接著把數(shù)列寫下去，可得出第十代的△和○共有89個(見下表):第幾項—二三四五六七八九十十一十二圖形個數(shù)12358這就是著名的裴波那契數(shù)列.裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時代.例6如下圖所示，5個大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤塔.現(xiàn)在要把這座圓盤塔移到另一個木樁上.規(guī)定移動時要遵守一個條件，每搬一次只許拿一個圓盤而且任何時候大圓盤都不能壓住小圓盤.假如還有第三個木樁可作臨時存放圓盤之用.問把這5個圓盤全部移到另一個木樁上至少需要搬動多少次?(下圖所示)①當(dāng)僅有一個圓盤時，顯然只需搬動一次(見下頁圖),②當(dāng)有兩個圓盤時，只需搬動3次(見下圖).③當(dāng)有三個圓盤時，需要搬動7次(見下頁圖).②當(dāng)有兩個圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時樁上，等大圓盤搬到中間樁次，見圖中(5)～(7).圓盤個數(shù)123456789搬動次數(shù)137n123456789148可得出有了這個公式后直接把圓盤數(shù)代入計算就行了，不必再像前一個公式那樣進(jìn)行遞推了.習(xí)題十一3.先計算下面的前幾個算式，找出規(guī)律，再繼續(xù)寫出一些算式：4.有一列數(shù)是2、9、8、2、…,從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)相乘積的個位數(shù)字(比如第三個數(shù)8就是2×9=18的個位數(shù)字).問這一列數(shù)的第100個數(shù)是幾?ABCDEFG1234567896.如果自然數(shù)如下圖所示排成四列，問101在哪個字母下面?ABCD123487659·7.3×3的末位數(shù)字是9,3×3×3的末位數(shù)是7,3×3×3×3的末位數(shù)字是1.求35個3相乘的結(jié)果的末位數(shù)字是幾?習(xí)題十一解答9876543×9+1=88888888.即第100個數(shù)與這六個數(shù)的第2個數(shù)相同，即第100個數(shù)是2.個數(shù)1、8和15,除以7時的余數(shù)都是1;第2列的三個數(shù)2、9和16,除以7時的余數(shù)都是2;第3列的三個數(shù)3、10和17,除以7的余數(shù)都是3;…,利用這個規(guī)律，可求出第1000個自然數(shù)在哪個字母下面：ABCDDCBA123456789·相乘的3的個數(shù)23456789乘積的末位數(shù)字97139713971第十二講逆序推理法例1老師心中想了一個數(shù)，對他的學(xué)生說：“給這個數(shù)加上9,再取和的一5,那么和就應(yīng)是5×2=10;再往前逆推，在沒有加上9之前應(yīng)是10-9=1,這就是老師心中想的數(shù).(□+9)+2=5,我們可以叫它做順序式.把這個算式叫做逆序式.把兩式進(jìn)行對照比較(如下圖如示)可見：①順序的運(yùn)算結(jié)果(或最后結(jié)論)是逆序式的已知數(shù)據(jù)(或起始條件》;例2某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,最后結(jié)果等于6.問這個數(shù)是幾?[(某數(shù)+6)×6-6]+6=6…順序式(6×6+6)+6-6=某數(shù)…逆序式例3小勇拿了媽媽給的零花錢去買東西.他先用這些錢的一半買了玩具，之后又買了1元5角錢的小人書，最后還剩下3角錢.你知道媽媽給小勇多少錢嗎?解：可以這樣倒著想：小勇最后剩下3角錢，在買書之前的錢應(yīng)是3角+1元5角=1元8角.這個數(shù)目是他買玩具后剩下的，買玩具前的錢數(shù)應(yīng)當(dāng)是：1元8角×2=3元6角.這就是媽媽給他的錢數(shù).買玩具的錢買書的錢3角剩B,把剩下的糖的一半分給了他；后來又遇到了好朋友C,把這時手中所剩下的糖的一半又分給了C,這時他自己手里只有一塊了.問在沒有分給A以前，小亮那包糖有幾塊?1×2=2(塊).同理，遇到B之前有糖：2×2=4(塊).遇到A之前有糖：4×2=8(塊).例5農(nóng)婦賣蛋，第一次賣掉籃中的一半又1個，第二次又賣掉剩下的一半又1個，這時籃中還剩1個.問原來籃中有蛋幾個?逆推：籃中最后(即第二次賣后)剩1個；第二次賣前籃中有(1+1)×2=4個；第一次賣前籃中有(4+1)×2=10個；例6某池中的睡蓮所遮蓋的面積，每天擴(kuò)大1倍，20天恰好遮住整個水池，問若只遮住水池的一半需要多少天?例7文化用品店新到一批日記本，上一周售出本數(shù)比總數(shù)的一半少12本；這一周售出的本數(shù)比所剩的一半多12本；結(jié)果還有19本.問這批日記本有多少?31×2=62(本);62-12=50(本);50×2=100(本).[(19+12)×2-12]×2=100(本).1第二次分前-假設(shè)第三次分時，三等份中每分是1個棋子(最少),則此次分前應(yīng)是3+1=4個；4-2=2,則第二次分前應(yīng)是2×3+1=7個，注意7是奇數(shù)(第二次分前的棋子是第一次分后的兩份，應(yīng)是偶數(shù)所以不應(yīng)是7,可見前面假設(shè)不對).習(xí)題十二1.一個數(shù)加上8,乘以8,減去8,除以8,結(jié)果還是8,求這個數(shù)?2.一個數(shù)加上100,乘以100,減去100,除以100,結(jié)果還是100,求這個3.某個數(shù)加上2,減去3,乘以4,除以5,結(jié)果等于12,這個數(shù)是幾?4.有一次小云去買玩具，他買了一架小飛機(jī)用去了他帶去的錢的一半；之后他又用2元錢買了一個小汽車，最后還剩下5角錢.問小云最初帶了多少錢?5.媽媽給小華買了一袋糖，小華決定把糖分給大家吃.第一個看見了妹妹，就把糖的一半分給了妹妹；第二個看見了哥哥，又把剩下的糖的一半分給了哥哥，這時他自己還剩4塊糖.請問，媽媽給小華的這袋糖共有多少塊?6.一個農(nóng)婦賣雞蛋，第一次賣了籃中的一半又半個，第二次又賣了剩下雞蛋的一半又半個，這時籃中還剩一個雞蛋.問籃中原來有幾個雞蛋?7.三棵樹上共有麻雀60只.如果從第一棵樹上飛4只到第二棵樹上去，又從第二棵樹上飛7只到第三棵樹上去，那么三棵樹上的麻雀都是20只.問原來每棵樹上各有幾只?8.一條小蟲，身長每天增大一倍，10天長到20厘米.問它從開始長到5厘米時是第幾天?9.甲、乙、丙三人共有750元錢.如果乙向甲借30元，又借給丙50元，結(jié)果三人所持有的錢相等.問甲、乙、丙三人原來各有多少元錢?10.小明有幾本小人書己記不清楚了，只知道：小芳借走一半加1本；小容又借走剩下的書的一半加2本；再剩下的書，小軍借走一半加3本，最后小明還有2本書.請問小明原有幾本小人書?不減去8時，應(yīng)是64+8=72;不乘以8時，應(yīng)是72+8=9;所以，可知此數(shù)為1.=1.總結(jié)：由習(xí)題1和2以及前面例題2,答案都是1.這難道是偶然的嗎?還是其中必有原因?假設(shè)“某數(shù)”是1,加上a,乘以a,減去a,除以a,其結(jié)果仍為a.因為[(1+a)×a-a]+a (5角+2元)×2=5元.半，所以第二次未賣之前籃中有3個雞蛋.這3個雞蛋加上半個即3個半雞蛋是總數(shù)的一半，因此籃中雞蛋總數(shù)是7個.逆推逆推第一棵第一棵第二棵第三棵∴最初三棵樹上分別有24,23,13只麻雀. 最后第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天逆推750+3=250(元),(2+3)×2=10(本).(10+2)×2=24(本).(24+1)×2=50(本)(原有書的本數(shù)){[(2+3)×2+2]×2+1]×2=50(本).第十三講畫圖顯示法解：依題意畫圖，可以先畫小英，見下圖中①,再畫小美，它比小英多3塊，見下圖中②,接著再畫小初，它又比小美多2塊，見下圖中③,②①由圖可見，小初比小英多3+2=5塊，由圖還可以看出，50-(3+5)=42(塊)就是小英糖數(shù)的3倍，所以小英的一份是：42÷3=14(塊);由此可求出小美的一份是14+3=17(塊);小初的一份是17+2=19(塊).2+10=12(分),12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分),即5角.多少歲?所以小鈴的年齡是：40÷4=10(歲);而媽媽的年齡則是：10×3=30(歲).父親父親30歲(年齡差)小哲先畫陰影部分，小哲(10歲)占1格，父親(40歲)占4格，年齡差(40-10=30(歲))是3格，再畫圖表示二人年齡的增長，注意應(yīng)從上往下畫.不難得出當(dāng)二人年齡各增加2格時，即20年后(父親是6格，小哲是3格)父親年齡是小習(xí)題十三錢?王強(qiáng)和李明各有多少錢?2.大、小二數(shù)之和為10,之差為2,求大、小二數(shù)各多少?3.小軍、小方和小雄共有12本小人書，小軍比小方多2本，小方比小雄多2本，問他們?nèi)烁鲙妆?5.兩個桶里共盛水30斤，如果把第一個桶里的水倒3斤給第二個桶里，兩個桶里的水就一樣多了.問每個桶里各有多少斤水?6.玻璃瓶里裝著一些水，把水加到原來的2倍時，稱得重為5千克；把水加到原來的4倍時，再稱一稱重為9千克，問原來水有多少千克?7.一筐鮮魚，連筐共重56千克.先賣出鮮魚的一半，再賣出剩下的一半，這時連筐還重17千克.原來這筐鮮魚重多少千克?8.小秋用一根繩子測量一口枯井的深.他把繩子放入井里，當(dāng)繩子到達(dá)井底后，井外還留有15米；小秋又把這根繩子對折后再放入井里，井外還留有1米.請問，這口枯井有多少米深?就是說，如圖所示，實線段(表示李明的錢)按圖線可以向上移到短的虛線處(表示王強(qiáng)缺的錢)接起來剛好等書價.也就是說一本書的書價是：即(和+差)+2=大數(shù).即(和-差)+2=小數(shù).大數(shù)=(10+2)÷2=6,小數(shù)=(10-2)+2=4.(12+2×3)+3=6(本)(小軍);6-2=4(本)(小方);4-2=2(本)(小雄);(12-2×3)+3=2(本)(小雄);2+2=4(本)(小方);4+2=6(本)(小軍).(30+6)÷2=18(歲)(哥)(30-6)+2=12(歲)(弟).(30+6)÷2=18斤(大桶);(30-6)+2=12斤(小桶).即一條小線段表示(9-5)+2=2(千克),總重56千克第十四講等量代換法將(1)式中的〇用(2)式中的3個△代替由(2)式得：□=△(4)將(3)式代入(4)式得：□=3×O,48克48克所以●=48(克).由圖(2)得：3O=2●,由