工程力學(xué)：受扭圓軸橫截面上的切應(yīng)力

作業(yè)6.26.36.9FTF1F230°30°活塞桿的受力＝？FACBRARB旋緊螺栓的受力＝RA緊固螺栓的受力＝RB活塞桿受力習(xí)題6.3dpDd1活塞桿軸力強度校核強度足夠。6.5受扭圓軸橫截面上的切應(yīng)力重點掌握GIp：桿的抗扭剛度掌握軸的強度條件：等截面圓軸重點掌握彎曲時，截面上的分布內(nèi)力系可以合成為切力Fs

、彎矩M。RAP1縱向?qū)ΨQ面FsMORAP1切應(yīng)力τ切力Fs切向內(nèi)力系彎矩M正應(yīng)力σ法向內(nèi)力系RAP16.7梁彎曲時橫截面上的應(yīng)力切向內(nèi)力系法向內(nèi)力系平面對稱彎曲：梁有縱向?qū)ΨQ面，外力作用在此面內(nèi)，梁的變形對稱于縱向?qū)ΨQ面。橫截面上只有彎矩而沒有切力的彎曲。如CD段。橫截面上即有彎矩又有切力的彎曲。如AC、DB段。純彎曲：橫力彎曲：6.7.1純彎曲時的正應(yīng)力PP

表面變形(1)縱向線變成同心圓弧，頂側(cè)縮短，底側(cè)伸長。

(2)橫向線仍為直線，相對有轉(zhuǎn)動，仍與縱向線正交，且在同一平面內(nèi)。

(3)橫截面形狀發(fā)生變化，凹側(cè)變寬，凸側(cè)變窄。（1）平面假設(shè)：（2）單向受力假設(shè)：

假設(shè)橫截面變形后保持平面，相對有相對轉(zhuǎn)動，與梁軸線正交?？v向纖維只承受單向拉、壓，相互之間沒有擠壓。1.變形幾何關(guān)系（b）必然有一層纖維既不伸長，也不縮短，稱為中性層。

內(nèi)部變形將梁視為無數(shù)平行底面的縱向纖維層（垂直縱向?qū)ΨQ面），則：（a）每層上的各條纖維伸、縮量相等。（同層上的纖維條受力相同）純彎曲變形的特點：橫截面繞中性軸產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動。中性層與橫截面的交線為中性軸。中性軸z垂直與梁的縱向?qū)ΨQ面（加載平面）。中性層中性軸橫截面縱向?qū)ΨQ面1.變形幾何關(guān)系

須討論與之相應(yīng)的線應(yīng)變（即縱向纖維ab的線應(yīng)變）。dx111.變形幾何關(guān)系討論與正應(yīng)力相應(yīng)的線應(yīng)變在1—1橫截面處，截取微段梁dx。d

欲討論距中性軸為y的各點的應(yīng)力（相等），微段的變形橫截面的相對轉(zhuǎn)角d

變形后ab

的線應(yīng)變設(shè)：中性層的曲率半徑設(shè)為ρ變形前長度O2O1中性層討論ab

的線應(yīng)變O'1O'21—1中性軸zy（豎向?qū)ΨQ軸）yρya'b'yabPPzyx2、物理關(guān)系距中性軸為y的各點線應(yīng)變1、變形幾何關(guān)系由胡克定律法向分布力系的合成結(jié)果：yz此式不能用于求應(yīng)力，ρ未知。對z軸的力矩Mz為彎矩M。沿軸線方向的力FN為零；FNMzy3、靜力學(xué)方面

中性軸過形心截面對z軸的慣性矩

yzdAσM橫截面上法向分布力系的合成結(jié)果:軸力為零，只有彎矩。dA彎曲變形基本公式EIz：截面抗彎剛度彎曲正應(yīng)力公式

——橫截面上距中性軸為y的點的應(yīng)力。M——橫截面上的彎矩。Iz——橫截面對中性軸z的慣性矩。M、y代絕對值，應(yīng)力為拉應(yīng)力或壓應(yīng)力由彎矩方向確定。中性軸（1）中性軸是中性層與橫截面的交線。（2）中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面（加載平面—P與軸線所確定的平面）。（3）中性軸為形心軸（垂直于截面加載方向的對稱軸）。應(yīng)用條件及范圍(了解)：2、適用于任何有豎向?qū)ΨQ軸的截面梁，外力在該對稱軸與軸線所確定的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（平面彎曲）。1、對橫力彎曲，當(dāng)梁長l大于5倍梁高時，應(yīng)用該公式計算誤差很小。即可用于橫力彎曲。4、在彈性范圍內(nèi)應(yīng)用。5、可近似用于曲率半徑比梁高大的多的曲梁，以及變截面梁。3、只適用于平面彎曲。yzPPPPP斜彎曲彎扭組合P應(yīng)力分布圖yzMMMMMyzyzyz例已知：l=1m，q=6kN/m，梁由10號槽鋼制成。截面尺寸如圖，Iz=25.6104mm4。求梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力。qABly1=15.2y2=32.8100z解：（1）作彎矩圖，求最大彎矩。（2）最大應(yīng)力。在固定端。固定端截面彎矩為負，截面上半部受拉，下半部受壓。6.7.2慣性矩定義平面圖形對z軸的慣性矩對y軸的慣性矩對原點的極慣性矩微面積dA對z軸的慣性矩為：y2dAzyOρdAzyD1D2d極慣性矩IP6.7.2慣性矩zyOρdAzy慣性矩極慣性矩2、極慣性矩反映了平面圖形相對于一點的分布情況。慣性矩反映了平面圖形相對于坐標(biāo)軸的分布情況。由于z、y均為對稱軸，所以yzOyOz平面圖形對過一點的一對正交軸的慣性矩之和，恒等于圖形對該點的極慣性矩。3、由于1、IP、Iy

、

Iz的量綱m4；

值恒正。例：求圓截面關(guān)于對稱軸的慣性矩。由于z、y均為對稱軸，根據(jù)可得：解：所以同樣，對于空心圓截面：而要求掌握yzO1.簡單圖形的慣性矩bh例：求矩形截面關(guān)于對稱軸y、z軸的慣性矩。要求掌握z

yOy

dy2.平行移軸公式平面圖形面積為A，形心C，形心軸為yC，zC。對于坐標(biāo)系Oyz，y∥yC，

z∥zC

。（要求掌握）由此可知，平面圖形對形心軸的慣性矩最小。例：求矩形對z1軸的慣性矩。根據(jù)積分性質(zhì)，可得：3.平面組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩等于各個組成部分（簡單圖形）對同一軸的慣性矩之和。組合圖形面積為A，由A1、A2、

An組成。對于任意圖形，都可以利用積分求慣性矩。但計算繁瑣。由于組合圖形由幾個簡單圖形組成，如矩形，圓形。而矩形、圓形關(guān)于自身對稱軸的慣性矩已有現(xiàn)成公式，可以在此基礎(chǔ)上用平行移軸定理很方便的求出組合截面的慣性矩。【例6.11】

計算圖示T形截面對其水平形心軸zC的慣性矩解：（1）求截面的形心580120250500ⅡⅠz0y392mmzCz2z1（2）計算慣性矩d1d2由于y軸為圖形的對稱軸，故形心必在此軸上，即zC＝0?？招慕孛娴膽T性矩zyBbh【例6.11】計算圖示陰影部分面積對其形心軸zC的慣性矩。解：（1）求截面的形心1000600z0yyCzCz2z1（2）計算慣性矩d2d1由于y軸為圖形的對稱軸，故形心必在此軸上，即zC＝0。4003006.8彎曲變形的強度設(shè)計橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠的點。

截面關(guān)于中性軸對稱時M截面上最大拉壓、應(yīng)力相等稱為抗彎截面系數(shù)矩形截面圓形(空心)截面yzbhyzD令MyxPyxP當(dāng)載荷沿y方向時，哪個軸為中性軸？當(dāng)載荷沿x方向時，哪個軸為中性軸？型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可查表，但一定要注意中性軸的位置。

截面關(guān)于中性軸對稱時

截面關(guān)于中性軸不對稱時上下邊緣應(yīng)力不等，計算應(yīng)力用基本式：哪個大就取決于彎矩的方向。MMy1y2yz橫截面上的最大正應(yīng)力截面上最大拉壓、應(yīng)力為梁的彎曲正應(yīng)力強度條件分析應(yīng)力的目的：找出全梁上的最大應(yīng)力，建立強度條件。要保證梁具有足夠的強度，必須有：梁上的最大應(yīng)力≤許可應(yīng)力因此，需要具體情況具體分析。（強度條件）常見情況：等直梁，截面關(guān)于中性軸對稱，梁上的最大應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上下邊緣。強度條件：塑性材料脆性材料強度條件：等直梁，截面關(guān)于中性軸不對稱。

tmax、

Cmax不一定在同一截面上。[

t]

[

C]，需討論梁上最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力。

[

t]＝[

C]，只需討論絕對值最大的應(yīng)力。常見情況：一般要討論最大正彎矩M+max、最大負彎矩M—max截面的最大應(yīng)力。利用強度條件，可以進行三方面強度計算。（1）校核強度；（2）設(shè)計幾何尺寸；（3）確定許可載荷；解題思路：（1）外力分析（一般要求反力）；（2）內(nèi)力分析（一般要畫內(nèi)力圖）；（3）應(yīng)力分析與強度計算。確定許可載荷應(yīng)先設(shè)定單位壓板強度滿足要求Pa解：（1）求約束力（可略）（2）畫彎矩圖Mmax＝0.2kNm（3）強度計算xM工件【例6.13】螺栓壓板夾緊裝置。工件所受壓緊力F＝2kN，3a=300mm，壓板材料的許用應(yīng)力[

]=160MPa。試校核壓板強度。30

10202aaPACBRARBzACBPPP拓展圓截面或矩形截面

xM8kN500500200BDAC5kN解：（1）求約束力（2）畫彎矩圖RA=3kNRB=10kN1.5kNm1kNmRARB【例6.14】

圓截面梁受力如圖，已知材料的許用應(yīng)力［s］＝160MPa，試設(shè)計截面的直徑。C為危險截面，其彎矩值為故可取d＝46mm（3）強度設(shè)計根據(jù)梁的正應(yīng)力的強度條件【例6.15】T形截面鑄鐵梁如圖所示。鑄鐵材料的許用拉應(yīng)力為[t

]=＝35MPa，許用壓應(yīng)力為[c

]＝120MPa，截面對中性軸的慣性矩為Iz＝763cm4，試校核梁的強度。9kN1m1m1mBCAD4kNy1=52y2=88zy2.5kNm4kNmRARB解：（1）求約束力并畫彎矩圖RA=2.5kNRB=10.5kNxM【例6.15】

鑄鐵梁[t

]=

35MPa，[c

]＝120MPa，Iz=763cm4，試校核梁的強度。解：（1）求約束力并畫彎矩圖RA=2.5kNRB=10.5kN正彎矩段：最大拉壓應(yīng)力發(fā)生在D截面（M+max）負彎矩段：最大拉壓應(yīng)力發(fā)生在B截面（M-max）梁上最大拉、壓應(yīng)力（2）強度計算強度足夠解：設(shè)計截面：F=kd(P+P1)=68kN查表P209，取40c號。WZ＝1190cm3，自重q=801N/m梁受載荷：

P、P1、自重。而自重與工字鋼型號有關(guān)，暫不考慮。計算簡圖例：簡易天車起重量P=50kN，跨度l

=9.5m，電葫蘆自重P1=6.7kN。起吊重物時天車要承受一些突然加載