河南省開封市南莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

河南省開封市南莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知O是正三形內(nèi)部一點(diǎn)，，則的面積與△的面積之比是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知集合,,則A∪B=(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)并集運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題：集合,,則.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)描述法表示的集合，并求兩個(gè)集合的并集.4.已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則k的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．參考答案：A由已知中知幾何體的正視圖是一個(gè)正三角形，側(cè)視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體是有一個(gè)側(cè)面垂直于底面，高為，底面是一個(gè)等腰直角三角形的三棱錐，如圖，則這個(gè)幾何體的外接球的球心在高線上，且是等邊三角形的中心，這個(gè)幾何體的外接球的半徑，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為．6.若函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一條對稱軸為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先由最小正周期求出，再令可得對稱軸方程，從而可得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，解得.,令，解得，取，可得圖象的一條對稱軸為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性和對稱軸.對于函數(shù)，最小正周期為，令可得對稱軸方程.7.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z=（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8.若{an}為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S15=10π，則tana8的值為(

) A． B．﹣ C．± D．﹣參考答案：B考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，S15=15a8=10π，求出a8，進(jìn)而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果．解答： 解：由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，S15=15a8=10π，∴∴，故選B．點(diǎn)評：由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)，，求出a8，進(jìn)而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果．9.關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．

其中假命題的個(gè)數(shù)是

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B本題考查換元法及方程根的討論，要求考生具有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力；據(jù)題意可令①，則方程化為②，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：（1）當(dāng)t=0或t>1時(shí)方程①有2個(gè)不等的根；（2）當(dāng)0<t<1時(shí)方程①有4個(gè)根；（3）當(dāng)t=1時(shí)，方程①有3個(gè)根．故當(dāng)t=0時(shí)，代入方程②，解得k=0此時(shí)方程②有兩個(gè)不等根t=0或t=1,故此時(shí)原方程有5個(gè)根；當(dāng)方程②有兩個(gè)不等正根時(shí)，即此時(shí)方程②有兩根且均小于1大于0，故相應(yīng)的滿足方程的解有8個(gè)，即原方程的解有8個(gè)；當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)相等正根t＝，相應(yīng)的原方程的解有4個(gè)；故選B10.已知集合（其中為虛數(shù)單位），，，則復(fù)數(shù)為

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的首項(xiàng)，若，，則

．參考答案：，或12.若三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，適當(dāng)交換這三個(gè)數(shù)的位置后變成一個(gè)等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為

（寫出一個(gè)即可）．參考答案：設(shè)三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)為。（d≠0）交換這三個(gè)數(shù)的位置后：①若是等比中項(xiàng)，則，解得d=0，不符合；②若是等比中項(xiàng)則，解得，此時(shí)三個(gè)數(shù)為，公比為﹣2或三個(gè)數(shù)為，公比為．③若a+d是等比中項(xiàng)，則同理得到公比為，或公比為．所以此等比數(shù)列的公比是或13.（5分）（2015?西安校級二模）將數(shù)列{3n﹣1}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，則第10組中的第一個(gè)數(shù)是．參考答案：345【考點(diǎn)】：歸納推理．【專題】：規(guī)律型；歸納猜想型．【分析】：根據(jù)前三個(gè)分組中的第一個(gè)數(shù)分別為1，3，27，可以歸納每一組的第一個(gè)數(shù)的規(guī)律，利用歸納推理進(jìn)行歸納．解：根據(jù)分組的第一個(gè)數(shù)分別為1=30，3=31，27=33，可知指數(shù)的指數(shù)冪分別為0，1，3，6，設(shè)指數(shù)冪構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1=0，a2=1，a3=3，滿足a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…a10﹣a9=9，等式兩邊累加得，a10﹣a1=1+2+???+9=，即a10=45，所以第10組中的第一個(gè)數(shù)是345．故答案為：345．【點(diǎn)評】：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，觀察數(shù)組第一個(gè)數(shù)的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵．14.在的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

.參考答案：10略15.設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是________．參考答案：

，，即由圖象變換可畫出與的圖象如下：由圖可知，滿足的解為.

16.已知函數(shù)的圖象由的圖象向右平移個(gè)單位得到，這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則=

.參考答案：函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)對稱軸為，所以。關(guān)于對稱的直線為，由圖象可知，通過向右平移之后，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)平移到，所以。17.(9)i是虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)(3+i)(1－2i)=

.參考答案：5-5i三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）

已知曲線的方程為：.（Ⅰ）分別求出時(shí)，曲線所圍成的圖形的面積;（Ⅱ）若表示曲線所圍成的圖形的面積，求證：關(guān)于是遞增的;(III)若方程，，沒有正整數(shù)解，求證：曲線上任一點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)，不能全是有理數(shù).參考答案：（1），；（2）見解析；（3）見解析考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用（1）當(dāng)時(shí)，

由圖可知，

.

（2）要證是關(guān)于遞增的，只需證明：．

由于曲線具有對稱性，只需證明曲線在第一象限的部分與坐標(biāo)軸所圍成的面積遞增．

現(xiàn)在考慮曲線與，

因?yàn)?/p>

因?yàn)?/p>

在(1)和(2)中令，

當(dāng)，存在使得，成立，

此時(shí)必有．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

所以．

兩邊同時(shí)開n次方有，．（指數(shù)函數(shù)單調(diào)性）

這就得到了，

從而是關(guān)于遞增的．

（3）由于可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，

反證：若曲線上存在一點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)，全是有理數(shù)，

不妨設(shè)，，且互質(zhì)，互質(zhì)．

則由可得，

．

即．

這時(shí)就是的一組解，

這與方程，，沒有正整數(shù)解矛盾，

所以曲線上任一點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)，不能全是有理數(shù)．

19.集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)組成的：(1）函數(shù)的定義域是；(2）函數(shù)的值域是；(3）函數(shù)在上是增函數(shù)，試分別探究下列兩小題：(1）判斷函數(shù)及是否屬于集合A？并簡要說明理由；(2）對于（1）中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)，不等式是否對于任意的恒成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.參考答案：（1）函數(shù)不屬于集合A.因?yàn)榈闹涤蚴?在集合A中.因?yàn)椋孩俸瘮?shù)的定義域是；②的值域是-2，4）；③函數(shù)在上是增函數(shù).(2）不等式對任意恒成立.20.如圖，已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直線MN與x軸垂直，求實(shí)數(shù)t的值；（Ⅱ）記的面積分別是，求的最小值．參考答案：(Ⅰ)設(shè)，故直線AM的方程為，直線BN的方程為聯(lián)立得：………………4分，解得：代入直線AM可得……………6分(Ⅱ)直線的方程為，代入橢圓的方程并整理得：解得…………8分直線的方程為，代入橢圓的方程并整理得：解得…………10分所以

………………12分當(dāng)，即時(shí)，……………14分21.（12分）（2015?青島一模）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且a10=28，S8=92；數(shù)列{bn}對任意n∈N*，總有b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1成立．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】：數(shù)列的求和．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（Ⅰ）設(shè)出{an}的首項(xiàng)和公差，由已知列方程組求得首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)；再由b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1，得b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2（n≥2），兩式相除可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）把{an}、{bn}的通項(xiàng)公式代入cn=，化簡后利用錯位相減法求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．解：（Ⅰ）設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a10=28，S8=92，得a10=a1+9d=28，，解得a1=1，d=3，an=1+3（n﹣1）=3n﹣2；又∵b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1，∴b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2（n≥2），兩式相除得，當(dāng)n=1時(shí)b1=4適合上式，∴；（Ⅱ）把{an}、{bn}的通項(xiàng)公式代入cn=，得，則，，兩式作差得：，∴，即．【點(diǎn)評】：本題考查了等差數(shù)列