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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年福建省三明市四校聯(lián)考高一(下)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=?1+iiA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知|a|=2,|b|=1,向量a與b的夾角為120°,若A.?1 B.1 C.?123.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABCA.π2 B.π3 C.π44.在梯形ABCD中,已知AB/?/CD,AB=A.AP=23AB+125.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式,在坡度為15°的看臺(tái)上,同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為106
m(如圖
A.10
m B.30
m C.103
m D.106.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BA.2 B.4 C.8 D.07.已知平面向量a與a+b的夾角為60°,若|a|?A.[233,+∞) 8.某中學(xué)開(kāi)展結(jié)合學(xué)科知識(shí)的動(dòng)手能力大賽,參賽學(xué)生甲需要加工一個(gè)外輪廓為三角形的模具,原材料為如圖所示的△ABC,∠BAC=π2,D是邊BC上一點(diǎn),∠ABA.(163?9)πcm二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位,則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是(
)A.i+i2+i3+i4=0 B.復(fù)數(shù)?10.已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,則下列命題中錯(cuò)誤的是A.若△ABC是銳角三角形,則cosA<sinB
B.若△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,則AB?BC11.“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理,它包含三個(gè)結(jié)論,其中一個(gè)是相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等,如圖,已知圓O的半徑2,點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn),且OP=2,弦AC,BD均過(guò)點(diǎn)
A.PA?PC為定值
B.當(dāng)AC⊥BD時(shí),AB?CD為定值
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知向量a=(m,3),b=(1,m13.已知平面向量a=(0,1),b=14.在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c滿足a2?b2=bc四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題15分)
已知復(fù)數(shù)z1=2m21?i,z2=(2+i)m?3(1+2i),16.(本小題15分)
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知c2b2+c2?a2=sinCsinB.
17.(本小題15分)
2023年湖南省油菜花節(jié),益陽(yáng)市南縣羅文村(湖南省首個(gè)涂鴉藝術(shù)村)通過(guò)層層遴選,最終在全省29個(gè)申辦村莊中脫穎而出,取得了此次活動(dòng)的會(huì)場(chǎng)承辦權(quán),主辦方為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局最優(yōu)化、合理,設(shè)計(jì)者們首先規(guī)劃了一個(gè)平面圖(如圖).
已知:A,B,D,E四點(diǎn)共圓,∠ABD=60°,AE=2,AB=2,cos∠EDA=5714,其中AD,18.(本小題15分)
在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,m=(sinA,sinB?sinC),19.(本小題17分)
定義非零向量OM=(a,b)的(相伴函數(shù))為f(x)=asinx+bcosx(x∈R),向量OM=(a,b)稱(chēng)為函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”(其中O答案和解析1.【答案】D
【解析】解:因?yàn)閦=?1+ii=i2?ii2=12.【答案】D
【解析】解:根據(jù)題意,|a|=2,|b|=1,向量a與b的夾角為120°,則a?b=2×1×cos120°=?1,
若3.【答案】C
【解析】【分析】本題考查利用余弦定理解三角形、三角形面積公式等知識(shí),考查學(xué)生運(yùn)算能力,是基礎(chǔ)題.
由S△AB【解答】
∵△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為a2+b2?c24,4.【答案】C
【解析】解:AP=AB+BP
=AB+23BC
=AB+23(5.【答案】B
【解析】解:如圖,
依題意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°?60°?15°=105°,
∴∠BAC=180°?45°?6.【答案】C
【解析】【分析】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
作圖,并取BC邊上的中點(diǎn)D【解答】
解:如圖,設(shè)D是BC邊上的中點(diǎn),
∵在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=2,
∴AD⊥BC,且B7.【答案】A
【解析】解:設(shè)OA=a,OB=b,如圖平行四邊形OACB,
∴a+b=OC,∴∠AOC=60°,
∵|a|?t|b|≤0恒成立,
∴t≥8.【答案】C
【解析】解:在△ABC,∠BAC=π2,設(shè)∠ABD=∠ADB=α,α∈(0,π2),
則∠ACD=π2?α,∠CAD=2α?π2,∠ADC=π?α,
所以sin∠CAD=sin(2α?π2)=?cos2α,
在△ACD中,AC=3cm,CD=39.【答案】AD【解析】解:因?yàn)閕+i2+i3+i4=i?1?i+1=0,A正確;
復(fù)數(shù)?2?i的虛部為?1,B不正確;
若z=i,則z2=?1,|z|210.【答案】BC【解析】解:對(duì)于A:若△ABC是銳角三角形,則A+B>π2,即A>π2?B,
由于A,π2?B∈(0,π2),所以cosA<cos(π2?B)=sinB,故A正確;
對(duì)于B:AB?BC=?BA?BC=?1×1×32=?32,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C:若B=π6,b11.【答案】AB【解析】解:對(duì)于A,如圖,過(guò)O,P作直徑EF,
則PA?PC=?|PA||PC|=?|PF||PE|=?(|OF|?|OP|)(|OF|+|OP|)=?(|OF|2?|OP|2)=?2為定值,
A正確;
對(duì)于B,若AC⊥BD,
則PB?CP=AP?PD=0,
則AB?CD=(AP+PB)?(CP+PD)=AP?CP+PB?CP+AP?PD+PB?PD,
又PA?12.【答案】4【解析】解:∵向量a=(m,3),b=(1,m),a與b反向共線,
∴a=λb(λ<0),
∴m=λ3=λm,解得m13.【答案】(?【解析】解:向量a=(0,1),b=(?1,1),則a?b=1,|b|14.【答案】(0【解析】解:由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA=b2+bc,則c?2bcosA=b,
由正弦定理可得sinB=sinC?2sinBcosA=sin(A+B)?2cosAsinB=sinAcosB+co15.【答案】解:(I)∵z1=2m21?i=2m2(1+i)(1?i)(1+i)【解析】(I)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,以及純虛數(shù)的定義,即可求解.
(I16.【答案】解:(1)在△ABC中,因?yàn)閏2b2+c2?a2=sinCsinB,
因?yàn)閏2b2+c2?a2=sinCsinB,所以c2b2+c2?a2=cb,
整理可得:b2+c2【解析】(1)根據(jù)正弦定理和題中所給式子化簡(jiǎn)計(jì)算得到b2+c2?a2=bc17.【答案】解:(1)∵A,B,D,E四點(diǎn)共圓,∠ABD=60°,
∴∠AED=120°,
∵cos∠EDA=5714,
∴sin∠EDA=1?cos2∠EDA=2114;
在△ADE中,由正弦定理得:AEsin∠EDA=ADsin∠AED,
【解析】(1)在△ADE中,利用正弦定理可求得AD;在△ABD中,利用余弦定理可求得DB18.【答案】解:(1)因?yàn)閙=(sinA,sinB?sinC),n=(a?b,b+c),且m⊥n,
所以sinA(a?b)+(sinB?sinC)(b+c)=0,
利用正弦定理化簡(jiǎn)得:a(a?【解析】(1)利用m⊥n等價(jià)于m?n=
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