2023-2024學(xué)年福建省三明市四校聯(lián)考高一（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年福建省三明市四校聯(lián)考高一（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=?1+iiA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知|a|=2，|b|=1，向量a與b的夾角為120°，若A.?1 B.1 C.?123.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABCA.π2 B.π3 C.π44.在梯形ABCD中，已知AB/?/CD，AB=A.AP=23AB+125.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為106

m(如圖

A.10

m B.30

m C.103

m D.106.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BA.2 B.4 C.8 D.07.已知平面向量a與a+b的夾角為60°，若|a|?A.[233,+∞) 8.某中學(xué)開展結(jié)合學(xué)科知識(shí)的動(dòng)手能力大賽，參賽學(xué)生甲需要加工一個(gè)外輪廓為三角形的模具，原材料為如圖所示的△ABC,∠BAC=π2,D是邊BC上一點(diǎn)，∠ABA.(163?9)πcm二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0 B.復(fù)數(shù)?10.已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中錯(cuò)誤的是A.若△ABC是銳角三角形，則cosA<sinB

B.若△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則AB?BC11.“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=2，弦AC，BD均過(guò)點(diǎn)

A.PA?PC為定值

B.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，AB?CD為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(m,3)，b=(1,m13.已知平面向量a=(0,1),b=14.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足a2?b2=bc四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知復(fù)數(shù)z1=2m21?i，z2=(2+i)m?3(1+2i)，16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知c2b2+c2?a2=sinCsinB．

17.(本小題15分)

2023年湖南省油菜花節(jié)，益陽(yáng)市南縣羅文村(湖南省首個(gè)涂鴉藝術(shù)村)通過(guò)層層遴選，最終在全省29個(gè)申辦村莊中脫穎而出，取得了此次活動(dòng)的會(huì)場(chǎng)承辦權(quán)，主辦方為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局最優(yōu)化、合理，設(shè)計(jì)者們首先規(guī)劃了一個(gè)平面圖(如圖)．

已知：A，B，D，E四點(diǎn)共圓，∠ABD=60°，AE=2，AB=2，cos∠EDA=5714，其中AD，18.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m=(sinA,sinB?sinC)，19.(本小題17分)

定義非零向量OM=(a,b)的(相伴函數(shù))為f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)稱為函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”(其中O答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閦=?1+ii=i2?ii2=12.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，|a|=2，|b|=1，向量a與b的夾角為120°，則a?b=2×1×cos120°=?1，

若3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用余弦定理解三角形、三角形面積公式等知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題．

由S△AB【解答】

∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為a2+b2?c24，4.【答案】C

【解析】解：AP=AB+BP

=AB+23BC

=AB+23(5.【答案】B

【解析】解：如圖，

依題意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°?60°?15°=105°，

∴∠BAC=180°?45°?6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

作圖，并取BC邊上的中點(diǎn)D【解答】

解：如圖，設(shè)D是BC邊上的中點(diǎn)，

∵在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=2，

∴AD⊥BC，且B7.【答案】A

【解析】解：設(shè)OA=a，OB=b，如圖平行四邊形OACB，

∴a+b=OC，∴∠AOC=60°，

∵|a|?t|b|≤0恒成立，

∴t≥8.【答案】C

【解析】解：在△ABC,∠BAC=π2，設(shè)∠ABD=∠ADB=α,α∈(0,π2)，

則∠ACD=π2?α,∠CAD=2α?π2，∠ADC=π?α，

所以sin∠CAD=sin(2α?π2)=?cos2α，

在△ACD中，AC=3cm,CD=39.【答案】AD【解析】解：因?yàn)閕+i2+i3+i4=i?1?i+1=0，A正確；

復(fù)數(shù)?2?i的虛部為?1，B不正確；

若z=i，則z2=?1，|z|210.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A：若△ABC是銳角三角形，則A+B>π2，即A>π2?B，

由于A,π2?B∈(0,π2)，所以cosA<cos(π2?B)=sinB，故A正確；

對(duì)于B：AB?BC=?BA?BC=?1×1×32=?32，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若B=π6，b11.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，如圖，過(guò)O，P作直徑EF，

則PA?PC=?|PA||PC|=?|PF||PE|=?(|OF|?|OP|)(|OF|+|OP|)=?(|OF|2?|OP|2)=?2為定值，

A正確；

對(duì)于B，若AC⊥BD，

則PB?CP=AP?PD=0，

則AB?CD=(AP+PB)?(CP+PD)=AP?CP+PB?CP+AP?PD+PB?PD，

又PA?12.【答案】4【解析】解：∵向量a=(m,3)，b=(1,m)，a與b反向共線，

∴a=λb(λ<0)，

∴m=λ3=λm，解得m13.【答案】(?【解析】解：向量a=(0,1),b=(?1,1)，則a?b=1，|b|14.【答案】(0【解析】解：由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA=b2+bc，則c?2bcosA=b，

由正弦定理可得sinB=sinC?2sinBcosA=sin(A+B)?2cosAsinB=sinAcosB+co15.【答案】解：(I)∵z1=2m21?i=2m2(1+i)(1?i)(1+i)【解析】(I)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解．

(I16.【答案】解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏2b2+c2?a2=sinCsinB，

因?yàn)閏2b2+c2?a2=sinCsinB，所以c2b2+c2?a2=cb，

整理可得：b2+c2【解析】(1)根據(jù)正弦定理和題中所給式子化簡(jiǎn)計(jì)算得到b2+c2?a2=bc17.【答案】解：(1)∵A，B，D，E四點(diǎn)共圓，∠ABD=60°，

∴∠AED=120°，

∵cos∠EDA=5714，

∴sin∠EDA=1?cos2∠EDA=2114；

在△ADE中，由正弦定理得：AEsin∠EDA=ADsin∠AED，

【解析】(1)在△ADE中，利用正弦定理可求得AD；在△ABD中，利用余弦定理可求得DB18.【答案】解：(1)因?yàn)閙=(sinA,sinB?sinC)，n=(a?b,b+c)，且m⊥n，

所以sinA(a?b)+(sinB?sinC)(b+c)=0，

利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a(a?【解析】(1)利用m⊥n等價(jià)于m?n=