2023-2024學(xué)年廣東省東莞第二高級(jí)中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省東莞第二高級(jí)中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=1?i2A.?i B.i C.0 D.2.已知單位向量a，b滿足a⊥b，則a?A.0 B.12 C.1 D.3.如圖，在太極圖中，A，B分別為太極圖中的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，AB經(jīng)過(guò)大圓和小圓的圓心，且兩個(gè)小圓的圓心是線段AB的兩個(gè)四等分點(diǎn)(異于AB中點(diǎn))，過(guò)A作黑色小圓的切線，切點(diǎn)為C，則向量AB在向量ACA.6AC

B.4AC

C.4.已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底{a,b}表示c，則(

)A.c=3a?2b B.c5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosA.銳角三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形6.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且S=34(b2A.213 B.393 C.7.如圖，已知△ABC與△AMN有一個(gè)公共頂點(diǎn)A，且MN與BC的交點(diǎn)O平分BC，若AA.4

B.3+22

C.

8.在扇形OAB中，OA=2，∠AOB=90°，M是A.0 B.2 C.4?3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(?2,1A.若a⊥b，則t的值為?2

B.若a/?/b，則t的值為12

C.若0<t<10.在△ABC中，A=π3，AA.3 B.23 C.11.已知△ABC的外心是O，其外接圓半徑為1，設(shè)OAA.若λ=?1，μ=0，則△ABC為直角三角形

B.若λ=μ=?1，則△ABC為正三角形

C.若三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)z=1?i22(i為虛數(shù)單位)，則13.(易線性表示)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量ka+2b與8a+k14.神舟十三號(hào)三位航天英雄在太空出差180余天后，順利返回地面．如圖，返回艙達(dá)到一定高度時(shí)，近似垂直落地，在下落過(guò)程中的某時(shí)刻位于點(diǎn)C，預(yù)計(jì)垂直落在地面點(diǎn)D處，在地面同一水平線上的A、B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，分別觀測(cè)到點(diǎn)C的仰角為15°，45°，若|AB|=24千米，則點(diǎn)C距離地面的高度|CD四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知復(fù)數(shù)z=bi(b(1)求復(fù)數(shù)(2)若復(fù)數(shù)(m+16.(本小題15分)

已知向量a，b的夾角為60°，且a=(1,0)．

(1)若|b|=17.(本小題15分)

在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bsinC+asinA=bs18.(本小題17分)

如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸地面上A，B兩點(diǎn)間的距離，某人在河岸邊上選取了C，D兩點(diǎn)，使得CD⊥AB，且CD=500(米)現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α，∠BDC=β，∠ACD=19.(本小題17分)

閱讀材料：

材料一：我國(guó)南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為a，中斜為b，大斜為c，則三角形的面積為S=14[a2c2?(c2+a2?b22)2].這個(gè)公式稱之為秦九韶公式．

材料二：古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》或稱《測(cè)地術(shù)》；中給出了用三角形的三條邊長(zhǎng)表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則它的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p=12(a+b+c)，這個(gè)公式稱之為海倫公式．

材料三：秦九韶公式和海倫公式都解決了由三角形的三邊直接求三角形面積的問(wèn)題海倫公式形式優(yōu)美，容易記憶，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美秦九韶公式雖然與海倫公式形式不一樣，但與海倫公式完全等價(jià)，且由秦九韶在不借助余弦定理的情況下獨(dú)立推出，充分說(shuō)明了我國(guó)古代學(xué)者具有很高的數(shù)學(xué)水平．

材料四：印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多將海倫公式推廣到凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側(cè))中，即設(shè)凸四邊形的四條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，p=12(a+b+c+d)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=1?i2+2i=12?1?i1+2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閱挝幌蛄縜，b滿足a⊥b，則a?(a?b)=3.【答案】B

【解析】解：如圖，記下方小圓圓心為O1，由題意，

有AB=4AO1，由AC與圓O1相切，可得O1C⊥AC，

故AO1在AC上的投影向量為AC4.【答案】A

【解析】解：建立如圖直角坐標(biāo)系，則a=(1,1)，b=(?2,3)，c=(7,?3)，

設(shè)c=xa+yb，

則x?2y=7x5.【答案】C

【解析】解：若bcosC+ccosB=asinA，

則sinBcosC+sinCcos6.【答案】D

【解析】解：由S=34(b2+c2?a2)得

12bcsinA=34?b2+c2?a22bc?2bc=32bccosA，

即：s7.【答案】C

【解析】解：因?yàn)镺為BC的中點(diǎn)，且AB=mAM，AC=nAN，

所以AO=12(AB+AC)=12AB+12AC=m2AM+n2AN，8.【答案】D

【解析】解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，OB的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

則M(1,0)，B(0,2)，設(shè)P(2cosθ,2sinθ)，θ∈[0,π2]，

于是PM=9.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A：若a⊥b，則a?b=?2×(?1)+1×t=0，解得t=?2，故A正確；

對(duì)于B：若a/?/b，則?2t=?1×1，解得t=12，故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)t=12時(shí)，a與b同向，此時(shí)a與b的夾角為0°，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若(a+b)⊥(a?10.【答案】BD【解析】解：△ABC中，A=π3，AB=4，

由正弦定理得asinA=csinC，即a32=4sinC，

所以sinC=23a，

當(dāng)11.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A、若λ=?1，μ=0，則OA=?OB，∴O是AB的中點(diǎn)，

又O是△ABC的外心，∴△ABC為直角三角形，故A正確；

對(duì)于B、若λ=μ=?1，則OA+OB+OC=0，

∴O是△ABC的重心，又O是△ABC的外心，∴△ABC為等邊三角形，故B正確；

對(duì)于C、若λ=?32，μ=?2，則OA=?32OB?2OC，

∴OA2=94OB2+4OC2+6OB?OC，得OB?OC=?712.【答案】i；【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，i的冪的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)i的冪的運(yùn)算逐一化簡(jiǎn)即可．

【解答】

解：z=1?i22=?2i2=?13.【答案】?4【解析】解：向量ka+2b與8a+kb的方向相反，可得ka+2b=t(8a+kb)(t<14.【答案】12(【解析】解：設(shè)x=|CD|，則|AD|=xtan15°,|BD|=x，

所以|AB|=|15.【答案】解：(1)因?yàn)閦=bi(b∈R)，

所以z?21+i=bi?21+i=(bi?2)(1?i)(1+【解析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，(1)z=bi(b∈R)，代入z?21+16.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)b=(x,y)，則x2+y2=4，

a=(1,0)，則|a|=1，

又由向量a，b的夾角為60°，

則a?b=|a【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)b=(x,y)，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得a?b=|a||b17.【答案】解：(1)根據(jù)正弦定理可得：2bc=b2+c2?a2，

又b2+c2?a2=2bccosA，

∴c【解析】(1)由已知結(jié)合余弦定理可求cosA，進(jìn)而可求A；

(18.【答案】解：(1)∵cosα=35,α為銳角，∴sinα=45

∵tanβ=2，β銳角，∴sinβ=25,cosβ=15(3分)

sin∠CBD=【解析】(1)由α+β+∠CBD=π，得sin∠CBD=sin(α+β)，知cos19.【答案】解：(1)若選擇①：證明：

由秦九韶公式證明海倫公式：

S△ABC=14[a2c2?(c2+a2?b22)2]

=14(ac+c2+a