福建省福州市2023-2024學年高三下學期4月末質量檢測數(shù)學試卷（含答案）

（在此卷上答題無效）2023—2024學年福州市高三年級4月末質量檢測數(shù)學試題（完卷時間120分鐘；滿分150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．設，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．等軸雙曲線經過點，則其焦點到漸近線的距離為（）A． B．2 C．4 D．4．若，則（）A． B． C． D．5．已知非零復數(shù)滿足，則（）A．1 B． C． D．6．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．34 D．747．數(shù)列共有5項，前三項成等差數(shù)列，且公差為，后三項成等比數(shù)列，且公比為．若第2項等于2，第1項與第4項的和等于10，第3項與第5項的和等于30，則（）A．1 B．2 C．3 D．48．四棱錐的頂點均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環(huán)數(shù)如下表，則下列說法正確的是（）甲乙87909691869086928795A．甲選手射擊環(huán)數(shù)的極差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差B．甲選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)等于乙選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)C．甲選手射擊環(huán)數(shù)的方差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的方差D．甲選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)10．已知函數(shù)滿足，且，則（）A． B．C．的圖象關于點對稱 D．在區(qū)間單調遞減11．已知函數(shù)恰有三個零點，，，且，則（）A． B．實數(shù)的取值范圍為C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若向量在向量上的投影向量為，則等于______．13．傾斜角為的直線經過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為線段的中點，為上一點，則的最小值為______．14．如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于________，表面積等于______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列滿足，（）．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：．16．（15分）甲企業(yè)生產線上生產的零件尺寸的誤差服從正態(tài)分布，規(guī)定的零件為優(yōu)等品，的零件為合格品．（1）從該生產線上隨機抽取100個零件，估計抽到合格品但非優(yōu)等品的個數(shù)（精確到整數(shù)）；（2）乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件，先對該批零件進行質量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個作檢測，若這2個零件都是優(yōu)等品，則通過檢測；若這2個零件中恰有1個為優(yōu)等品，1個為合格品但非優(yōu)等品，則再從這批零件中任取1個作檢測，若為優(yōu)等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測．求這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率（精確到0.01）．（附：若隨機變量，則，，）17．（15分）如圖，以正方形的邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉120°形成的面圍成一個幾何體．設是上的一點，，分別為線段，的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）點是橢圓：（）上（左、右端點除外）的一個動點，，分別是的左、右焦點．（1）設點到直線：的距離為，證明為定值，并求出這個定值；（2）的重心與內心（內切圓的圓心）分別為，，已知直線垂直于軸．（?。┣髾E圓的離心率；（ⅱ）若橢圓的長軸長為6，求被直線分成兩個部分的圖形面積之比的取值范圍．19．（17分）記集合，集合，若，則稱直線為函數(shù)在上的“最佳上界線”；若，則稱直線為函數(shù)在上的“最佳下界線”．（1）已知函數(shù)，．若，求的值；（2）已知．（?。┳C明：直線是曲線的一條切線的充要條件是直線是函數(shù)在上的“最佳下界線”；（ⅱ）若，直接寫出集合中元素的個數(shù)（無需證明）．2023~2024學年福州市高三年級4月份質量檢測參考答案與評分細則一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算．每小題5分，滿分40分．1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．B8．A二、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算．每小題6分，滿分18分．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．ABC10．BC11．ACD三、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算．每小題5分，滿分15分．12．13．814．6，22四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【考查意圖】本小題主要考查遞推數(shù)列與數(shù)列求和等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力等；考查分類與整合、化歸與轉化等思想方法；考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎性和綜合性．滿分13分．解：（1）因為，，所以，當時，，所以，所以，，所以，，又因為，所以，．（2）由（1）可知，，所以，所以，所以，又因為，所以．16．【考查意圖】本小題主要考查正態(tài)分布、全概率公式、條件概率等基礎知識，考查數(shù)學建模能力、邏輯思維能力和運算求解能力等，考查分類與整合思想、概率與統(tǒng)計思想等，考查數(shù)學建模、數(shù)據分析、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性和應用性．滿分15分．解：（1）依題意得，，，所以零件為合格品的概率為，零件為優(yōu)等品的概率為，所以零件為合格品但非優(yōu)等品的概率為，所以從該生產線上隨機抽取100個零件，估計抽到合格品但非優(yōu)等品的個數(shù)為．（2）設從這批零件中任取2個作檢測，2個零件中有2個優(yōu)等品為事件，恰有1個優(yōu)等品，1個為合格品但非優(yōu)等品為事件，從這批零件中任取1個檢測是優(yōu)等品為事件，這批產品通過檢測為事件，則，且與互斥，所以，所以這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率為．答：這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率約為0.61．17．【考查意圖】本小題主要考查直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定與性質定理、平面與平面的夾角、空間向量、三角函數(shù)的概念等基礎知識，考查直觀想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力等，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想等，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性．滿分15分．解法一：（1）在正方形中，連接并延長，交的延長線于點，連接．因為，分別為線段，中點，所以，所以，所以，所以．又因為面，面，所以面．（2）依題意得，面，又因為面，所以．又因為，，，面，所以面，又面，所以，所以，，兩兩垂直．以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示．不妨設，則，，，，設平面的法向量為，則即取，得，，所以平面的一個法向量是，又平面的一個法向量為．設平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．解法二：（1）證明：取的中點，連接，．因為，分別為線段，的中點，所以，，又因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面．（2）同解法一．解法三：（1）證明：取的中點，連接，．因為，分別為線段，的中點，所以，，又因為面，面，所以面．因為面，面，所以面．又因為，面，面，所以面面，又因為面，所以面．（2）同解法一．18．【考查意圖】本小題主要考查圓、橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查直觀想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力等，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想等，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性與創(chuàng)新性．滿分17分．解法一：（1）依題意，．設，則，，所以，所以，又，所以，，所以，所以，即為定值，且這個定值為．（2）（?。┮李}意，，設直線與軸交于點，因為軸，所以，所以，因為的內切圓與軸切于點，所以，又因為，解得由（1）得，所以，所以橢圓的離心率．（ⅱ）由，得，又，所以，，所以橢圓的方程為．根據橢圓對稱性，不妨設點在第一象限或軸正半軸上，即，，又，，所以直線的方程為，設直線與交于點，因為，所以，的面積與的面積之比為，令（），則，當，，當，，所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增．又因為，，，所以的值域是，所以，所以，根據對稱性，被直線分成兩個部分的圖形面積之比的取值范圍是．解法二：（1）同解法（2）（ⅰ）依題意，，設直線與軸交于點，因為軸，所以，所以，因為的內切圓與軸切于點，所以，又因為，得所以兩式平方后取差，得對任意成立，所以橢圓的離心率．（ⅱ）同解法解法三：（1）同解法（2）（?。┮李}意，，因為軸，設點坐標為，可求直線方程為，則點到直線的距離，即，化簡得，①同理，由點到直線的距離等于，可得，②將式①－②，得，則．將代入式①，得，化簡得，得，所以橢圓的離心率．（ⅱ）同解法19．【考查意圖】本小題主要考查集合、導數(shù)、不等式等基礎知識，考查邏輯推理能力、直觀想象能力、運算求解能力和創(chuàng)新能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等，考查數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性與創(chuàng)新性．滿分17分．解：（1）依題意，因為，所以，，且，，令，，則，且，所以所以，即，解得或．（2）（ⅰ）先證必要性．若直線是曲線的切線，設切點為，因為，所以切線方程為，即（*）一方面，，所以，，另一方面，令，則，因為，所以當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增，所以，所以．即，，所以，即是函數(shù)在上的“最佳下界線”．再證充