2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第4章三角函數(shù)解三角形第1講任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)

第一講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)知識梳理知識點一角的有關(guān)概念1．從旋轉(zhuǎn)的角度看，角可分為正角、負角和零角.2．從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角.3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}.知識點二弧度制及弧長、扇形面積公式1．1弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．2．角α的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝eq\f(l,r).3．角度與弧度的換算(1)1°＝eq\f(π,180)rad；(2)1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.4．弧長、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝|α|r，扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.知識點三任意角的三角函數(shù)1．定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).2．三角函數(shù)的符號三角函數(shù)在各象限的符號一定要熟記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦.歸納拓展1．象限角2．軸線角3．終邊相同的角與對稱性拓展(1)β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α終邊關(guān)于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α終邊關(guān)于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α終邊關(guān)于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.4．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα<α<tanα.雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．(×)(2)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等．(×)(3)若sinα>0，則α終邊落在第一、二象限．(×)(4)角α＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)是第一象限角．(×)(5)若sinα＝sineq\f(π,7)，則α＝eq\f(π,7).(×)[解析]根據(jù)任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是錯誤的．sinα>0，α也可落在y軸正半軸上，故(3)也不對．題組二走進教材2．(必修1P171T3改編)－2025°的角的終邊所在的象限是(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]－2025°＝－6×360°＋135°，－2025°和135°的終邊相同，所以－2025°的終邊在第二象限．3．(必修1P176T5改編)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是(C)A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)[解析]由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，應(yīng)為eq\f(π,4)＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．4．(必修1P182T4改編)若角θ滿足tanθ>0，sinθ<0，則角θ所在的象限是(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角或終邊在y軸非正半軸上，故θ是第三象限角．5．(必修1P176T10改編)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4，m)，且sinα＝－eq\f(3,5)，則m＝－3.[解析]利用任意角的三角函數(shù)的定義求解．∵已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4，m)，且sinα＝－eq\f(3,5)，∴sinα＝eq\f(m,\r(－42＋m2))＝－eq\f(3,5)，解得m＝－3.6．(必修1P176T11改編)已知扇形的周長為4eq\r(2)cm，圓心角為2rad，則該扇形的弧長為2eq\r(2)cm，面積為2cm2.[解析]設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，然后根據(jù)弧長公式以及扇形周長建立方程即可求出l，r，再根據(jù)扇形面積公式即可求解．設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝4\r(2)，,l＝2r，))解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，所以扇形面積為S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2.題組三走向高考7．(2020·課標(biāo)Ⅱ，2)若α為第四象限角，則(D)A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0[解析]解法一：∵α是第四象限角，∴－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的終邊在第三、四象限或y軸非正半軸上，∴sin2α<0，cos2α可正、可負、可零．故選D．解法二：sin2α＝2sinαcosα<0.8．(2019·浙江，14)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，則sin(α＋π)的值為eq\