專題02 8字型（原卷版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題02“8”字型【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【例題精講】例1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14例2.如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是．例3．如圖，在△ABC中，BC＝6，，動點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24例4.如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時，求的長．【變式訓(xùn)練2】如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形中，分別為邊，的中點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)M，N．已知，，則的長為_________．【變式訓(xùn)練4】如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，動點(diǎn)在射線上，交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時，_____．【課后訓(xùn)練】1.如圖，△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，則DC的長等于．2．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時兩段影子之和的變化趨勢是（

）A．先變長后變短 B．先變短后變長C．不變 D．先變短后變長再變短3．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．4．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．5．如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．6．如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長線和的延長線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．7．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時，求證：2DF?EG=AF?DG．8．我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如：在線段比、面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題，請你利用重心的概念完成如下問題：（1）若是的重心（如圖），連結(jié)并延長交于，證明：；（2）若是的一條中線（如圖），是上一點(diǎn)，且滿足，試判斷是的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）若是的重心，過的一條直線分別與、相交于、（均不與的頂點(diǎn)重合）（